2.1 认识有理数 教学设计 2026-2027学年北师大版数学七年级上册

课题 有理数 教材分析 本节课是北师大版教材数学七年级上册第二章有理数及其运算第一节的内容，主要在具体情境中进一步认识负数，经历用正负数表示具有相反意义的量的过程，理解有理数的意义，能按一定的标准对有理数进行分类。 “有理数”是在小学数的知识基础上展开的。一方面，从算术数到有理数，数的范围扩大了——跨越具有物理或几何背景的算术数，进入了抽象领域。一个有理数可以表示两个信息：数量与符号（方向）。另一方面，可以解决的问题范围扩大了。“有理数”也是进一步学习代数式、方程等知识的基础。 教学目标 1.在具体情境中，进一步认识负数，理解有理数的意义。 2.经历用正负数表示具有相反意义的量的过程，体会负数是实际生活的需要。 3.会判断一个数是正数还是负数，能按一定的标准对有理数进行分类。 学情分析 七年级的学生在小学已经学习过整数、分数、小数的概念及运算；对负数的概念也有所了解，知道正数、负数和零的区别。学生在小学通过对温度计的认识活动，学习了用负数解决一些简单的比较大小的问题。 七年级的学生掌握正数、负数的概念程度参差不齐，结合实际，正确的表示具有相反意义的量，建立有理数的概念是本节课学习的重点,对负数概念的理解和有理数的分类是难点。 教学重点： 让学生在具体情境中，进一步认识负数，经历用正负数表示具有相反意义的量的过程，体会负数是实际生活的需要。 教学难点： 能按一定的标准对有理数进行分类，理解有理数的意义。 教学过程 本节课共有5个环节： 第一环节：复习回顾 引人新课 第二环节：创设情境 理解新知 第三环节：实际应用 深化理解 第四环节：合作交流 巩固提升 第五环节：小结反思 布置作业 教学设计： 一、复习回顾 引入新课 教师抛出问题：同学们，请你回想一下，在小学我们都学过哪些数呢？ 数的产生和发展源于人类生产和生活的需要，在远古时期人们由记数产生了1、2、3这样的整数；用完某件物品表示“没有”的时候，产生了数0；随着人类的不断进步，在分物品时又产生了1/2，1/3，这样的分数。这些都是我们已经学过的数，那么这些数能够满足人类生产和生活的需要吗？ 【设计意图】 结合“数的产生”引导学生回顾小学学过的几类数，让学生感受数学源于生活，同时引发学生思考：这些数能够满足人类生产和生活的需要吗？为本节课的学习做好铺垫。 二、创设情境 理解新知 1.介绍负数起源： 据史料记载，我国三国时期的数学家刘徽最早给出了正负数的定义。他说：“今两算得失相反，要令正负以名之。”意思就是：在计算过程中，遇到具有相反意义的量，要用正数和负数来区分它们。由此可见，负数的产生是为了表示和正数具有相反意义的量。 2.生活实例： 如图是某地的天气预报，当天的温度是9℃到-1℃，那么，我们是怎么区分零上温度和零下温度的呢？ 如果以0摄氏度为分界线，那么我们就可以用正数来表示零上温度，用负数来表示零下温度。 在地形局部图中，如果以海平面的高度为参照物，把它看作0米，那么，我们就可以用正数来表示高于海平面的高度，用负数来表示低于海平面的高度。在这里，珠穆朗玛峰约8844米，表示的是高于海平面8844米，吐鲁番盆地约-155米，表示低于海平面155米。 生活中还有很多用正数和负数表示的量。比如，收入和支出、得分和扣分、上涨和下跌。 同学们，请你想一想，在生活中你还见到过其他用正数和负数表示的量吗？ 3.归纳总结 如果正数表示某种意义，那么负数就表示与它相反的意义，反之亦然。我们通常习惯把向东、上涨、加分、盈利、增加、收入等规定为正的，把与它们意思相反的量规定为负的。 4.明晰定义 正数和负数的定义: 为了表示某一问题中具有相反意义的两种量，我们把其中一种意义的量规定为正的，如零上温度、高于海平面的高度等，用原来熟悉的数如 9, 8844来表示它们，这样的数叫做正数；正数的前面也可以添上“+”如+9，+8844，通常情况下，正数前面的正号可以省略不写。 把与它意义相反的量，如零下温度、低于海平面的高度等规定为负的，用正数前面添上负号“-”的数来表示它们，如 -1, -155，这样的数叫做负数。 正数和负数前面都有符号，那么0是正数还是负数呢？我们规定： 0既不是正数，也不是负数。它是正数和负数的分界。 5.“0”的含义 在不同的背景中，0所表示的含义也不同： 1. 在计数时，数0表示没有； 2. 0还可以表示某种量的基准； 0在表示某种量的基准时，一般地，高于基准的量用正数表示， 低于基准的量用负数表示。 3. 0还是正数与负数的分界。 【设计意图】 介绍负数的起源，让学生了解“中国是世界上最早使用负数的国家”，培养学生爱国主义情操，增强民族自豪感。用学生熟悉的生活实例让学生切身感受到用负数表示的量和用正数表示的量具有相反的意义。引导学生找出更多的生活中可以用正负数表示的量，从而体会学习负数的必要性。借助实例明晰正负数的定义及“0”的含义，使学生进一步认识负数。 三、实际应用 深化理解 下面，请同学们和老师来看一道例题。 例1.（1）某人转动转盘,如果用+5圈表示沿逆时针方向转了5圈,那么沿顺时针方向转了12圈怎样表示？ （2）在某次乒乓球质量检测中,一只乒乓球超出标准质量0.02克记作＋0.02克,那么﹣0.03克表示什么？ （3）某大米包装袋上标注着：“净含量：10kg±150g”, 这里的“10kg±150g” 表示什么？ 解：（1）沿顺时针方向转了12圈记作﹣12圈； （2）﹣0.03克表示乒乓球的质量低于标准质量0.03克； （3）每袋大米的标准质量应为10kg，但实际在包装的过程中，每袋大米可能有150g的误差，即每袋大米的净含量最多是10kg+150g，最少是10kg-150 g . 【设计意图】 通过对实例的分析，让学生知道用正负数表示具有相反意义的量时要明确“基准”。例1中各题的基准分别是“转盘静止不动”“一只乒乓球标准质量”“10kg”，同时加深学生对负数的认识和理解。 四、合作交流 巩固提升 1.初步分类： 同学们，结合以前和今天的学习，你都认识了哪些类型的数呢？ 你能尝试着将它们写出来吗？ 这是老师收集到的一位同学写出的一组数，你能说说这位同学都写了哪些类型的数吗？ 让我们来仔细观察，这位同学写的1和3是正数，-1和-5是负数，0既不是正数也不是负数，那么你能依据数的正负性把剩下的数据进行分类吗？ 同学们，我们不妨换一个角度，再来观察这组数，这组数能否按照其他的方法进行分类呢？ 我们发现1和3除了可以叫做正数，还可以叫做整数，而且是正整数，-1和-5也是整数，它们是负整数，0也是整数；我们把正整数、0、负整数统称为整数。 、 、 都是分数，而且都是正分数， 也是分数，但它是负分数，我们把正分数和负分数统称为分数。 下面我们来看20％，它是什么数呢？ 它是一个百分数，百分数是一种特殊的分数，因此它可以归到正分数这一类。 那0.5呢？ 对了，0.5等于二分之一，所以0.5也可以归到正分数这一类里面。 那么，是不是所有的小数都可以转化成分数的形式呢？ 2.小数与分数 探究：小数与分数的关系 1.是不是所有的小数都可以转化成分数的形式？ 请你把下面的小数转化成分数的形式： 0.2= 2.43= - 3.457= 结论：所有的有限小数都可以转化成分数的形式。 2.无限循环小数可以转化成分数的形式吗？ 请你把下面的无限循环小数转化成分数的形式： 0.1 (。)= 0.3 (。)= 结论：所有的无限循环小数也都可以转化成分数的形式。 课后任务：请同学们课后去查阅无限循环小数转化成分数的方法。 那么，小数还有其它类型吗？ 我们知道，小数包括有限小数和无限小数，无限小数又包括无限循环小数和无限不循环小数。 通过刚才的探究，我们知道：有限小数和无限循环小数都可以转化成分数的形式。 3.无限不循环小数能够转化成分数的形式吗？ 请举出一个你熟悉的无限不循环小数， 试一试，你能否将它转化成分数的形式？ 我们先来回顾一下分数的表现形式，分数的表现形式是一个整数a与一个非零整数b的比，π是我们熟悉的一个无限不循环小数， 而π并不能够写成两个整数的比的形式。 结论：无限不循环小数中的π不能转化成分数。 探究到这里，我们应该十分清楚，并不是所有的小数都能够转化成分数的形式，无限不循环小数就不能转化成分数的形式。 3.再次分类 让我们回到最初的数的分类，总结一下，正整数、0、负整数统称为整数，正分数、负分数统称为分数。而整数和分数又统称为有理数。 为什么起名为有理数呢？有理数的“理”究竟是什么意思呢？ 4.有理数 有理数这一概念最早源于古希腊，欧几里得撰写《几何原本》，其中，指有理数是一个整数a与一个非零整数b的比，之后被翻译为拉丁文“比例”，又被翻译成英文“成比例的”，一直到明朝时期，我国著名的数学家徐光启在翻译拉丁文版的《几何原本》时，将“比例”翻译为我国古代文言文中的“理”字，因此后来就有了有理数这个名字。 有理数就是一个整数与一个非零整数的比，这恰好是分数的表现形式，而任意一个整数可以看作是它本身与1的比，因此，我们把整数和分数统称为有理数。 5.数的分类（按不同标准分类） 按照有理数的定义，可以把有理数分为整数和分数，然后再依据数的正负性，可以继续把整数分为正整数、0和负整数，把分数分为正分数和负分数。 或者我们也可以把有理数先按照正负性进行分类，分为正有理数、0、和负有理数，然后再根据定义把正有理数分为正整数和正分数，把负有理数分为负整数和负分数。 6.典例精析 例2： 所有的正数组成正数集合，所有的负数组成负数集合，所有的整数组成整数集合，所有的分数组成分数集合．请把下列各数填人相应的集合中: 3，-7，，，0，， 15， 正数集合：｛ … ｝ 负数集合：｛ … ｝ 整数集合：｛ … ｝ 分数集合：｛ … ｝ 【设计意图】 通过让学生回顾所学过的数的类型并写出来，实际是让学生经历初步的数的分类的过程。引导学生对所给出的一组数按不同的标准进行分类的过程，让学生进一步明确所学过的数的类型有哪些，在原有认知结构的基础上，将数扩充到了有理数的范围。同时培养学生分析解决问题的能力，培养学生分类讨论思想和类比化归思想的应用。介绍有理数的起源，丰富学生的数学历史，使学生进一步理解有理数的意义。最后的例题使学生加深对有理数的认识和理解。 五、小结反思 布置作业 1.课时小结 同学们，回顾本节课的学习，你学到了哪些知识？在学习的过程中，你运用了哪些数学学习方法？ 【设计意图】 通过畅谈收获和体会，引导学生梳理知识，体会数学思想，培养学生的反思总结意识。 2.布置作业 必做题： 书26页习题2.1的2、3、4题。 选做题： 1. 选定一个高度作为基准，用正负数表示你们班每位同学的身高与选定的身高标准的差异。 2. 查阅相关资料，制作一份“有理数大家庭”为主题的数学小报。 【设计意图】 必做题是为了巩固应用基础知识而设计；选做题1是为了实际应用知识，进行课后实践活动而设计；选做题2是一个开放性作业，可让学生进一步认识和理解有理数的概念，了解相关的历史，拓展知识面。 课后反思 本节课的内容是在学生小学认识负数的基础上学习有理数，是后续学习数轴、相反数、绝对值以及有理数运算的基础。在教学设计中注意结合学生熟悉的生活情境，唤起学生已有的生活经验，以“知识回顾”---“正负数表示相反意义的量”--- “有理数的分类”为线索让学生掌握有理数的意义。 《数学课程标准》指出，数学课程不仅要考虑数学自身的特点，更应遵循学生学习数学的心理规律，强调从学生已有的知识和生活经验出发。这就要求数学教学活动必须关注学生的个人知识和生活经验，引入贴近学生生活实际的问题情境。教学中从学生熟悉的生活实例入手，让学生在生活实际背景中学习和感受正负数的意义。又通过具有生活实际背景的练习活动，让学生学会用正负数表示一些具有相反意义的量。在数的分类教学中，创设的问题让学生思考、交流、质疑、较好地激发了学生应用数学思维方法观察和解决问题。 学科网（北京）股份有限公司 $