广东省深圳实验学校高中园2026-2027学年度高二第一学期第一阶段考试数学试题

深圳实验学校高中园2026-2027学年度第一学期第一阶段考试 高二数学 时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知直线与平行，则实数的值为（ ） A． B． C． D． 2．如图，在斜三棱柱中，为的中点，为靠近的三等分点，设，，，则用，，表示为（ ） A． B． C． D． 3．如图，在平行六面体中，，，，，，则线段的长为（ ） A． B． C． D． 4．在以下4个命题中，正确的命题的个数为（ ） ①若，则； ②若三个向量，，两两共面，则向量，，共面； ③若为空间的一个基底，则构成空间的另一基底； ④． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．已知点在确定的平面内，是平面外任意一点，满足，且，，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 6．已知点，点为两条直线与交点，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 7．空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面的方程为，经过的直线的方程为，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A． B． C． D． 8．如图，两条异面直线，所成角为，在直线，上分别取点，和点，，使且．已知，，．则线段的长为（ ） A．或 B． C．或 D．或 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9．下列说法正确的是（ ） A．如果，，则直线不通过第二象限 B．向量是直线的一个方向向量 C．已知直线与直线平行，则两平行线间的距离是 D．“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件 10．下列四个命题中真命题有（ ） A．任意一条直线都有倾斜角和斜率 B．直线必过定点 C．点关于直线的对称点为 D．直线与直线关于直线对称 11．如图，正方体的棱长为，为的中点，为棱上的动点（包含端点），则下列结论正确的是（ ） A．存在点，使 B．不存在点，使 C．四面体的体积为定值 D．二面角的余弦值的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知直线的方向向量，则直线的倾斜角为________． 13．求过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程________． 14．半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示）．若它的所有棱长都为，则该二十四等边体的体积为________；与平面所成角的正切值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．（本小题13分） 已知直线：，：，其中为实数． （1）当时，求直线，之间的距离； （2）当时，求过直线，的交点，且垂直于直线的直线方程． 16．（本小题15分） 如图，在直三棱柱中，，点、、分别为，，的中点，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面夹角的余弦值． 17．（本小题15分） 如图，四棱锥中，底面，，，，． （1）求证：平面； （2）若二面角的余弦值为，求点到平面的距离． 18．（本小题17分） 如图，在棱长为的正方体中，E，F分别是棱，上的动点， （1）若，当E从A运动到B，求截面扫过的几何体的体积； （2）若，则 （ⅰ）求证：； （ⅱ）当三棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面的夹角正切值． 19．（本小题17分） 已知点和非零实数，若两条不同的直线、均过点P，且斜率之积为，则称直线、是一组“共轭线对”，如直线：和：是一组“共轭线对”，其中是坐标原点． （1）已知、是一组“共轭线对”，且知直线：，求直线的方程； （2）如图，已知点、点和点分别是三条倾斜角为锐角的直线、、上的点（A、B、C与P、Q、R均不重合），且直线、是“共轭线对”，直线、是“共轭线对”，直线、是“共轭线对”，求点的坐标； （3）已知点，直线、是“共轭线对”，当的斜率变化时，求原点到直线、的距离之积的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $深圳实验学校高中园2026-2027学年度第一学期第一阶段考试 高二数学试卷参考答案及评分标准 一、选择题（单选题5分，多选题6分，共58分） 题号 2 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D A C B B B C ACD BCD ACD 二、填空题（每题5分，共15分） 12.3 13.3x-2y=0或x+y-5=0 20 14.3 1 15.【答案】解：1)因为直线4：2x+3y-2=0,:mx+(2m-)y+1=0,时 m-2m-1≠1 则23 2,解得m=2,此时直线的方程为2x+3y+1=0,所以两条直线间的距离 d=2-1-3 V22+3213 (2)当m=1时，则直线的方程为：x+y+1=0, 2x+3y-2=0 联立x+y+1=0,解得x=-5,y=4,即两条直线的交点P的坐标为(-5,4) 又因为所求的直线垂直于x-2y+4=0,设所求的直线方程为2x+y+a=0 将P点的坐标代入可得2×(-5)+4+a=0,解得a=6.所以直线的方程为2x+y+6=0 16.【答案】(1)在直三棱柱ABC-AB,C中，AA1平面ABC,且AC⊥AB,则AC⊥AB 以点4为坐标原点，A4、4B、AC所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则A(2,00)、B(22,0)、C(20,2)、A(0,0,0)、B(0,2,0)、C(0,0,2)、D(01,0)、E1,0,0) .mF- 易知平面ABC的一个法向量为m=(L0,0),则EF.m=0,故 EF⊥m :EF4平面ABC,故EF∥平面ABC. C *sp (2)解：CC=(2,0,0),CD=(0,1-2),EB=(1,2,0) uCC=2x=0 设平面CCD的法向量为“=(，，)，则CD=y-2名=0】 EB·u4 取片=2，可得“=(02,1)， EE网 .因此，直线BE与平面CCD夹角的正弦值为 4 5 (3)解：4C=(2,0,2).AD=(01,0) -AC=2x2+222=0 设平面4CD的法向量为=(：，，2)，则AD=乃=0 v 1 V10 数5海-0-0 s雨 V5xV2-10 √10 因此，平面ACD与平面CCD夹角的余弦值为10. 17.【答案】(1)证明：：PA⊥底面ABCD,BCC平面ABCD,.PA⊥BC由∠ACB=90°，知 BC⊥AC, 又PA∩AC=A,PA、ACC平面PAC,.BC⊥平面PAC. (2)解：设AP=h(h>0),取CD的中点E,连接AE,则AE⊥CD,:AB/CD,AE⊥AB, 又PA⊥底面ABCD,AE、ABC平面ABCD,PA⊥AE,PA⊥AB, 故以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， y .Ap=(0,0,h) c-0m x (n.AP=hz =0 设平面PAC的法向量为1=(x少2)，则” 2x+2y=0 2 取x=h,则y=-3h,2=0,n=(-V3h,0) m.PC= 2a+2b-hc=0 1 2 设平面PAC的法向量为m=(a,b,c).则m·P历3a-I 24 b-hc=0 2 2， n.m h2 5 :二面角D-PC-A的余弦值为5， ,解得h=V5 元-5P-aa同 =x+ 2x+2y-V52=0 设平面PBC的法向量为“=(，，2)，则 2x-2=0 取=2，则=3，片=5.u=(35,2 AP.i 235 V9+3+42 ∴.点A到平面PBC的距离为 1 18.【答案】(1)3”； (2)(i)以C为坐标原点，C0,CB,CC为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图： :AE=BF=m,则4'(a,a,a）,F(0,a-m,0）,C'(0,0a）.E(a-m,a,0), .A'F=(-a,-m,-a）CE=(a-m,a,-a） 由AF.C'E=-a2+am-am+a2=0,.A'F⊥C'E」 (2)(i) Vg-s=3SaEr·BB ,若三棱锥B'-BEF的体积取得最大值，则S△BEF取得最大值， w号驱ru-mm0-g a2 22 8 m=a 当且仅当a-m=m时，即2时取等号， 即E,F分别是棱AB,BC上中点， 过B作BG⊥EF,连接B'G,由三垂线定理可得出∠B'GB为平面B'EF与平面BEF的夹角， BG=1BO=12a tan∠BGB=BB=2N2 B'B=a. 4 4，所 BG 19.【答案】解：(1)、是一组：0共轭线对”，且知直线：y=2x, 66=-3飞=2么= 3 2,~直线过原点，直线4的方程'=2， .y=- (2)设直线PR,P巴，DR的斜率分别为k,,k, :直线PR,P是“B共轭线对”，直线QP、QR是“O4共轭线对”，直线RP、RO是“R共轭线 对”， kk2=1 .kk3=4 k=9,得 k=月，k=6c负的会 22, 2 3 2 k= k=3k=6时， 直线PR的方程为三乏(x-1) 2 ，直线P吧的方程为"专x+1 ，联立得P(3,3), 故所求为P(3,3), ③段4：+5=.4y5+ 其中k≠0 k-2 22 k k2-2 V1+k2 1+ V2+(k2+4 故 =2 k4-4k2+4 9k2 9 1- Vk4+5k2+4 k4+5k2+4 =V2. 24 由于+5≥9 4 k2+ (等号成立的条件是k2=2), 1、9 +450,) ,d4,∈[o,v)