精品解析：广东揭阳第一中学2026-2027学年高二第一学期阶段考试一数学试题

揭阳一中106届高二第一学期阶段考试—数学科试题 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分． 1. 全集，集合，，则集合（ ） A. B. C. D. 2. 设i为虚数单位,,“复数是纯虚数”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 3. 已知点，，，，且直线AB与直线CD平行，则m的值为（ ） A. 或0 B. 0或1 C. 1 D. 2 4. 已知，，是三个不共面的向量，，，，且，，，四点共面，则的值为（ ）． A. B. 1 C. D. 2 5. 已知点，直线，直线随着取值变化而发生变化过程中，到的距离的最大值为（　　） A. 3 B. C. D. 5 6. 已知二面角的棱上有两点，，，，，，若，，，异面直线与所成角为，则线段的长为（ ） A. 或 B. C. D. 或 7. 下列说法正确的是（ ） A. 过点且在两坐标轴上截距相等的直线l方程为 B. 若直线：与直线：互相平行，则或2 C. 对任意的，“”是“直线与直线垂直”的充分不必要条件 D. 已知直线和以，为端点的线段相交，则实数k的取值范围为 8. 已知函数，则（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的图象关于点对称 C. 的图象关于点对称 D. 的图象关于直线对称 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分． 9. 在空间直角坐标系中，，则（ ） A. B. 点B到平面的距离是2 C. 异面直线与所成角的余弦值 D. 点O到直线的距离是 10. 已知两个正数，，满足，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值 C. 的最大值为 D. 的最小值为 11. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. C. 函数在上单调递增 D. 方程的解为， 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知实数x，y满足方程，当]时，的取值范围为_______. 13. 如图，在正四棱台中，，，，，直线与平面交于点，则_________． 14. 已知，，若关于x的不等式在上恒成立，则的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数. （Ⅰ）求的最小正周期； （Ⅱ）若在区间上的最大值为，求的最小值. 16. 荆州是楚文化发祥地，出土大量青铜器与竹简．荆州市某学校为促进学生对楚文化的了解程度．举办了“楚文化”知识竞赛，现从所有答卷卷面成绩中随机抽取100份作为样本，将样本数据（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，，，并作出如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值； （2）样本数据的第59百分位数约为多少； （3）若落在中的样本数据平均数是52，方差是6，落在中的样本数据平均数是64，方差是3，求这两组数据的总平均数和方差． 17. 如图，平面，，. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）若二面角的余弦值为，求线段的长. 18. 在中，内角的对边分别是，，． （1）求角； （2）若，求边上的角平分线长； （3）若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围． 19. 函数. （1）若的定义域为，求实数a的取值范围； （2）当时，为定义域为的奇函数，且时，， ①求的解析式 ②若关于x的方程恒有两个不同的实数根，求t的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 揭阳一中106届高二第一学期阶段考试—数学科试题 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分． 1. 全集，集合，，则集合（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 先利用补集运算求得集合A的补集，再利用交集运算求解. 【详解】因为全集，集合， 所以， 又， 所以集合 故选：D 2. 设i为虚数单位,,“复数是纯虚数”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先求得“复数是纯虚数”时的值，再根据充分、必要条件的判断依据，判断出正确选项. 【详解】解：复数是纯虚数,则或, 所以“复数是纯虚数”不是“”的充分条件； 当时,复数为,是纯虚数,“复数是纯虚数”是“”的必要条件, 所以“复数是纯虚数”是“”的必要不充分条件． 故选B． 【点睛】本题考查复数的基本概念,属于基础题,直接利用复数的基本概念以及充要条件判断即可． 3. 已知点，，，，且直线AB与直线CD平行，则m的值为（ ） A. 或0 B. 0或1 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】分直线与直线的斜率不存在与存在两类分别讨论，斜率存在时由斜率相等建立关于的关系式，解之即可. 【详解】当时，直线与直线的斜率均不存在，此时直线的方程为， 直线的方程为，故； 当时，，， 则，即，得， 综上，或1． 故选：B. 4. 已知，，是三个不共面的向量，，，，且，，，四点共面，则的值为（ ）． A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件用，，表示，，再由空间共面向量定理设，再列方程组，解方程组即可求解. 【详解】因为，， 所以 ，， 由空间共面向量定理可知，存在实数满足， 即， 所以，解得，所以的值为， 故选：B. 5. 已知点，直线，直线随着取值变化而发生变化过程中，到的距离的最大值为（　　） A. 3 B. C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】整理直线方程得到直线经过定点，当时，此时点到动直线的距离最大，由两点的距离公式求出最大距离. 【详解】直线方程可以整理为， 令，解得，即直线过定点， 当时，点到直线的距离最大， 最大距离为. 故选：D. 6. 已知二面角的棱上有两点，，，，，，若，，，异面直线与所成角为，则线段的长为（ ） A. 或 B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】将向量分解为，通过平方运算结合异面直线夹角的性质求解的长度 【详解】设向量与的夹角为，由异面直线夹角的取值范围为，已知异面直线与所成角为，得，即， 由题意，，，在棱上，故，。 因为，两边平方得：  ， 代入垂直条件化简得：  ， 又，故， 代入已知数值， ，，    ，整理得： ，  当时， ，即； 当时， ，即。， 故线段的长为或. 7. 下列说法正确的是（ ） A. 过点且在两坐标轴上截距相等的直线l方程为 B. 若直线：与直线：互相平行，则或2 C. 对任意的，“”是“直线与直线垂直”的充分不必要条件 D. 已知直线和以，为端点的线段相交，则实数k的取值范围为 【答案】C 【解析】 【分析】对于选项A，按照过点的直线过原点和不过原点进行讨论求解；对于选项B，利用两条直线平行的公式求出的值，将的值代入直线检验是否有平行，从而得到结论；对于选项C，利用两条直线垂直的公式求出的值，利用充分条件和必要条件求解；对于选项D，求出直线恒过的定点，求出，，结合图形得到的范围. 【详解】对于选项A，当过点的直线过原点时，此直线在两坐标轴上的截距均为， 截距相等，此时，此直线的斜率为，方程为； 当过点的直线不过原点时， 此直线在两坐标轴上截距相等，设此直线方程为， 代入，得到，解得， 设此直线方程为， 综上可知，过点且在两坐标轴上截距相等的直线l方程为或，故选项A错误； 对于选项B，直线：与直线：互相平行， ，，或， 当时，直线：与直线：，； 当时，直线：与直线：，直线重合； 综上可知，直线：与直线：互相平行， 则，故选项B错误； 对于选项C，直线与直线垂直， ，，或， “”是“直线与垂直”的充分不必要条件， 故选项C正确； 选项D，直线转化为，，解得， 则直线恒过点， ，， 直线和以，为端点的线段相交， 或，故选项D错误. 故选：C. 8. 已知函数，则（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的图象关于点对称 C. 的图象关于点对称 D. 的图象关于直线对称 【答案】C 【解析】 【分析】根据对称性定义计算判断各个选项． 【详解】对于A选项，若的图象关于直线对称，则，而，，二者不相等，故A错误； 对于B选项，若的图象关于点对称，则， 而，故B错误” 而， 所以的图象关于点对称，C选项正确，D选项错误． 故选：C． 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分． 9. 在空间直角坐标系中，，则（ ） A. B. 点B到平面的距离是2 C. 异面直线与所成角的余弦值 D. 点O到直线的距离是 【答案】BD 【解析】 【分析】由已知，选项A，可以通过三点的坐标，直接计算即可验证；选项B，可先求解平面的法向量，然后再利用点到平面距离公式即可求解；选项C，分别表示出异面直线与的方向向量，然后利用向量数量积计算夹角即可；选项D，先计算在上的投影，然后再计算点到直线的距离. 【详解】因为，所以，A错误． 在空间直角坐标系中，结合A与C两点的坐标可知y轴与平面垂直，所以为平面的一个法向量，则点B到平面的距离是，B正确． 因为，所以异面直线与所成角的余弦值为，C错误． 因为，所以，所以点O到直线的距离是．D正确． 故选：BD. 10. 已知两个正数，，满足，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】AB 【解析】 【分析】根据已知条件，利用基本不等式分析判断选项A、B、C，利用基本不等式结合二次函数性质判断选项D． 【详解】， ，即，当且仅当时取等号， 的最大值为，故A正确； ， 当且仅当，即时等号成立，故B正确； ，又， ，即，当且仅当时取等号， 的最大值为，故C错误； ，， ， 二次函数开口向上，对称轴为，， 当时函数取得最小值，最小值为，故D错误． 故选：AB． 11. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. C. 函数在上单调递增 D. 方程的解为， 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定的函数图象，求出周期及、、，进而求出解析式，再根据正切函数的性质逐项判断即可. 【详解】对于A，由图可知，函数的最小正周期为，故A正确； 对于B，由，所以， 因为，则，则， 因为，则，所以，故B正确； 对于C，，由，得， 而，即时，没有意义，故C错误； 对于D，，则， 方程，得， 即，即， 所以或，因为，， 所以或，解得或，故D正确. 故选：ABD. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知实数x，y满足方程，当]时，的取值范围为_______. 【答案】 【解析】 【分析】利用斜率的几何意义直接求解即可. 【详解】的几何意义是过两点的直线的斜率，如图所示： 由题知点M在直线上，且，当时，； 当时，.设，.又，结合图象可得， 的取值范围是 . 故答案为： 13. 如图，在正四棱台中，，，，，直线与平面交于点，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】取一组基向量，用基向量表示关键向量，利用四点共面条件比较系数求解。 【详解】设，，，则， 由于，则， 于是① 由题意得，②， ③，④， 设，由①得⑤， 因为，，，四点共面，则存在，使得， 而，，，. 整理得， 将②③④代入得⑥ 比较⑤⑥系数得，，，即，解得. 14. 已知，，若关于x的不等式在上恒成立，则的最小值为______. 【答案】8 【解析】 【分析】结合一次函数与二次函数的图象性质，由不等式可得两函数有共同零点，由此得是方程的根，可得的关系，消b再利用基本不等式求解最值可得. 【详解】设， 又，所以在单调递增， 当时，；当时，， 由图象开口向上，，可知方程有一正根一负根， 即函数在有且仅有一个零点，且为异号零点； 由题意知，则当时，；当时，， 所以是方程的根， 则，即，且， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 则的最小值是8， 故答案为：8 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数. （Ⅰ）求的最小正周期； （Ⅱ）若在区间上的最大值为，求的最小值. 【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）. 【解析】 【分析】（I）将化简整理成的形式，利用公式可求最小正周期；（II）根据，可求的范围，结合函数图象的性质，可得参数的取值范围. 【详解】（Ⅰ）， 所以的最小正周期为. （Ⅱ）由（Ⅰ）知. 因为，所以. 要使得在上的最大值为， 即在上的最大值为1. 所以，即. 所以的最小值为. 点睛：本题主要考查三角函数的有关知识，解题时要注意利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，化简时要注意特殊角三角函数值记忆的准确性，及公式中符号的正负. 16. 荆州是楚文化发祥地，出土大量青铜器与竹简．荆州市某学校为促进学生对楚文化的了解程度．举办了“楚文化”知识竞赛，现从所有答卷卷面成绩中随机抽取100份作为样本，将样本数据（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，，，并作出如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值； （2）样本数据的第59百分位数约为多少； （3）若落在中的样本数据平均数是52，方差是6，落在中的样本数据平均数是64，方差是3，求这两组数据的总平均数和方差． 【答案】（1） （2）78分； （3）60；36 【解析】 【分析】（1）根据每组小矩形的面积之和为列式即可求解； （2）由频率分布直方图求第百分位数的计算公式即可求解； （3）利用分层抽样的平均数和方差的计算公式即可求解. 【小问1详解】 根据题意可知，， 解得； 【小问2详解】 因为， ， 所以样本数据的第59百分位数在内， 可得， 所以样本数据的第59百分位数为78分； 【小问3详解】 样本数据落在的个数为， 落在的个数为， 总方差． 17. 如图，平面，，. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）若二面角的余弦值为，求线段的长. 【答案】（1）依题意，可以建立以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴正方向的空间直角坐标系(如图)， 可得. 设，则. 依题意，是平面的法向量， 又，可得， 又因为直线平面，所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用直线的方向向量和平面的法向量的关系即可证明线面平行； （2）分别求得直线的方向向量和平面的法向量，然后求解线面角的正弦值即可； （3）首先确定两个半平面的法向量，然后利用二面角的余弦值计算公式得到关于长度的方程，解方程可得的长度. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 依题意，， 设为平面的法向量， 则，即，不妨令，可得， 因此有. 所以，直线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 设为平面的法向量，则，即. 不妨令，可得. 由题意，有，解得. 经检验，符合题意. 所以，线段的长为. 18. 在中，内角的对边分别是，，． （1）求角； （2）若，求边上的角平分线长； （3）若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理结合两角和的正弦公式化简求值即可； （2）根据余弦定理及已知得，然后利用面积分割法列方程求解即可； （3）利用向量加法运算及数量积以及模的运算得，利用正弦定理得，然后利用角的范围，结合正弦函数的性质求解范围即可. 【小问1详解】 在中，由正弦定理及， 得 ， 即，而，， 解得，又，所以. 【小问2详解】 由及，余弦定理得， 又，解得， 由得， 即，则，所以. 【小问3详解】 因为是的中点，所以， 则， 由正弦定理得， 即， 为锐角三角形， ，所以，所以， 所以，所以， 所以， 所以，即边上的中线的取值范围为． 19. 函数. （1）若的定义域为，求实数a的取值范围； （2）当时，为定义域为的奇函数，且时，， ①求的解析式 ②若关于x的方程恒有两个不同的实数根，求t的取值范围. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）由函数定义域为，推得恒成立，只需求的值域即得. （2）①先求出时的的解析式，再利用函数奇偶性求得时的解析式，结合，即得分段函数的解析式； ②结合的解析式，将方程等价转化成，再利用在上的单调性，并化简得到，最后利用双勾函数的值域求得的取值范围. 【小问1详解】 因的定义域为，故恒成立，即恒成立， 设，则， 在上单调递增， 则，即，故，即. 【小问2详解】 ①因，则当时，； 若，则，， 又因为为定义域为的奇函数，所以当时，， 故； ②方程等价于， 根据解析式可知，当时，， 当时，，当时，， 即，，故方程即为， 由于在上是单调递增函数， 故方程等价于，即：， 当时，函数在单调递减，在上单调递增， 而，故要使得有两个不同的实数解，须使，即； 当时，同理可得. 综上可得，. 【点睛】思路点睛：本题主要考查求解分段函数的解析式和方程的根与函数零点关系的综合运用，属于难题. 解题思路为：求解分段函数解析式时，注意不重不漏，利用函数奇偶性求解并正确书写；对于函数与方程的关系，一般要有等价转化思想，巧妙运用函数奇偶性和单调性将其转化为求解函数的值域问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $