第1章 三角形 拔尖自主测评-【通成学典·拔尖特训】2026-2027学年八年级上册数学（苏科版·新教材）

第1章三角形 第1章拔尖自主测评 ◎满分：100分◎时间：60分钟 一、选择题（每小题4分，共32分） 1.根据下列条件不能画出唯一的△ABC的是 () A.AB=5,BC=6,AC=7 B.AB=5,BC=6,∠B=459 C.AB=5,∠A=50°，∠C=70° D.AB=3,AC=4,∠C=45 2.如图，在△ABC与△ADC中，AB=AD,CB=CD.若∠B=128°，则∠BAC+∠ACD的度数为 () A.42° B.52° C.62 D.128° (第2题) (第3题) (第4题) 3.如图，在△ABC中，∠A=70°，D为BC的中点，过点D作BC的垂线，交AB于点E,连接CE, 作∠ACE的平分线，与DE的延长线交于点F,则∠F的度数为 () A.30 B.35° C.40° D.55 4.如图，点E,F在AD上，ABCD,AB=CD,增加下列一个条件：①∠B=∠C;②AE=DF; ③BF=CE.其中，能判定△ABF≌△DCE的条件有 () A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 5.如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图中图形的各个顶点均为格点，则∠1一∠2一 ∠3的度数为 () A.30 B.45° C.55° D.60° M D E B (第5题) (第6题) 6.如图，AP和BP分别是△ABC的外角∠BAM和∠ABN的平分线，AP和BP交于点P,过点 P作PDCN,交AC于点D,交AB于点E.若CD=8,BE=5,点A到DP的距离为4，则 △ADE的面积为 () A.5 B.6 C.7 D.8 41 拔尖特训·数学（苏科版）八年级上 7.如图，在△ABC中，AB=AC,D,E是△ABC内的两点，AD平分∠BAC,∠EBC=∠E=60°， BE=6,DE=2,则BC的长为 () A.4 B.6 C.8 D.12 (第7题) (第8题) 8.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAD=30°，AC=BC=AD,CE⊥CD,且CD=CE,连接 D,DE,BE.有下列结论：①∠ECAI65②BE=BC;③ADLBE:④1.其中，正确 的是 () A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.①②③④ 二、填空题（每小题3分，共24分） 9.如图，△ABC≌△ADE,且AEBD,∠BAD=94°，则∠BAC的度数为 (第9题) (第10题) 10.如图，在△ABC中，∠A=90°，BE是△ABC的角平分线，ED⊥BC于点D,CD=4,△CDE的 周长为12，则AC的长为 11.如图，AB=4cm,BC=6cm,∠B=∠C,点P在线段BC上以2cm/s的速度由点B向点C运 动，同时，点Q从点C出发沿射线CD运动.若经过ts后，△ABP与△CQP可能全等，则t的 值是 B P D (第11题) (第12题) 12.如图，在△ABC中，AD为边BC上的中线，E为AD上一点，连接BE并延长，交AC于点F. 若∠AEF=∠FAE,BE=4,EF=1.6,则CF的长为 13.如图，∠BAD=∠BCD=90°，E为BD的中点，BD=4,∠ADC=45°，则S△4cE= M >0 (第13题) (第14题) 14.如图，∠MON=72°，OE平分∠MON,A,B,C分别是射线OM,OE,ON上的动点（均不与点 O重合)，连接AC交射线OE于点D.当AB⊥OM,且△ADB有两个相等的角时，∠OAC的度 数为 42 第1章三角形 15.如图，D为△ABC外一点，BD⊥AD,BD平分△ABC的外角.若2∠C+∠BAD=180°，AB= 5,BC=3,则AD的长为 (第15题) (第16题) 16.如图，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC,E为BD延长线上的一点，BE=BA,过点E作 EF⊥AB,垂足为F,连接AE,CE.有下列结论：①△ABD≌△EBC;②∠BCE十∠BCD= 180°；③AD=AE=EC;④BA+BC=2BF.其中，正确的是 (填序号) 三、解答题（共44分）》 17.(10分)如图，点C,F在BE上，BF=CE,ACDF,∠A=∠D.试判断线段AB,DE之间的数 量关系和位置关系，并说明理由. C (第17题) 18.(10分)如图，在△ABC中，BD=DC=AC,E是DC的中点，连接AD,AE.求证：AB=2AE. (第18题) 43 拔尖特训·数学（苏科版）八年级上 19.(12分)如图，点E在AB上，∠A=∠B,AD=BE,AE=BC,F是CD的中点. (1)求证：EF⊥CD. (2)若∠CEA=80°，∠B=60°，求∠ECD的度数. D (第19题) 20.(12分)如图，D为△ABC外一点，连接BD,E为BD的延长线上一点，连接DA,CD,CD交 AB于点F,过点A作AO⊥BC于点O,AM⊥BE于点M,AN⊥CD于点N.已知OB=OC, ∠ABD=∠ACD,求证： (1)△ABM≌△ACN. (2)DA为∠EDC的平分线： (3)CN=DN+BD. E M D VF N B 0 (第20题) 44 >“答案与解析”见D2625BC=号×10=5.在点P,Q运动的过程中，线段DE 的长度不变，DE=5. ② (第4题) 5.(1)∠AGF..∠GFC=∠BAC+∠AGF,∠GFC= 2∠BAC,∴.∠BAC+∠AGF=2∠BAC..∠BAC= ∠AGF.(2)AG=CE.'∠GFC=2∠BAC,∠GFC= ∠FGE,∠FGE=2∠BEG,.'.∠BAC=∠BEG.在△BAC ∠B=∠B, 和△BEG中，了∠BAC=∠BEG,∴.△BAC≌△BEG AC-EG, (AAS)..'BC=BG,AB=EB..'AB-BG=EB-BC, 即AG=CE.(3)如图，延长FG交CB的延长线于点M, 过点M作MNAC交AB的延长线于点N.∴.∠MGN= ∠AGF=∠BAC,∠N=∠BAC.∴.∠N=∠MGN. .'.MG=MN..·∠FGE=2∠BEG=∠BEG+∠GME, ∴.∠BEG=∠GME.∴.MG=GE.AC=GE,∴.MN= ∠NBM=∠ABC, AC.在△NBM和△ABC中，∠N=∠BAC, MN=CA, ∴.△NBM≌△ABC(AAS).∴.BM=BC.设BH=x. HC=2,CE=3,.BM=BC=x+2,EH=5. ∴.MH=BM+BH=2x+2.'MG=GE,GH⊥BC, .MH-EH.. 3 ÷BC=BH+HC-号+2-2 7 (第5题) 综合与实践1光的传播与最短路径 1.(1):l是点B,B的对称轴，点C,C在l上∴.BC= CB',CB=CB..∴.AC十CB=AC+CB'=AB'.在△AC'B 中，AB'<AC'+C'B',∴.AC+CB<AC'+C'B. D (2)如图，点E,F即为所求 (第1题) 2.如图，分别作点A关于FE,FD的对称点A',A”,连接 A'A",分别交FE,FD于点B,C,∴AB=A'B,AC=A"℃ ∴.△ABC的周长=AB+BC+AC=A'B+BC+A"C= A'A.两点之间线段最短，∴.此时△ABC的周长最小， 为A'A"的长.·点A关于FE,FD的对称点为A',A", ∴.∠A'FB=∠AFB,∠A"FC=∠AFC,A'F=AF= A"F.:∠BFC=30°，.∠A'FA"=∠A'FB+∠AFB+ ∠AFC+∠A"FC=2(∠AFB+∠AFC)=60°..△A'FA" 是等边三角形..A'F=A"F=AF=A'A”.当FA⊥DE 时，FA最短.'△DEF的面积为50000m,DE=200m, .Sar=zDE·AF..AF=500m.此时A'A"= 500m,即以A,B,C为顶点的三角形的周长的最小值为 500m. R A4= A” EAD (第2题) 第1章拔尖自主测评 1.DAB=5,BC=6,AC=7,∴.根据“SSS”可画出唯 一的△ABC.故A不符合题意.：AB=5,BC=6,∠B= 45,∴.根据“SAS”可画出唯一的△ABC.故B不符合题 意.AB=5,∠A=50°，∠C=70°，∴.根据“AAS”可画出 唯一的△ABC.故C不符合题意.AB=3,AC=4, ∠C=45°，∴.能画出两种不同的△ABC.故D符合题意. AB=AD, 2.B在△ABC和△ADC中，{CB=CD,∴.△ABC≌ AC=AC, △ADC(SSS).∴.∠ACB=∠ACD.:∠B=128°， ∴.∠BAC+∠ACD=∠BAC+∠ACB=180°-∠B= 180°-128°=52°. 3.B∠A=70°，.∠B+∠ACB=180°-70°=110°. D为BC的中点，ED⊥BC,.ED是BC的垂直平分 线.∴EB=EC.∴.∠ECB=∠B.CF平分∠ACE, ∴.∠ACF=∠ECF.∴.易得∠FCD=∠ECB+∠ECF= 55°.∴.∠F=90°-55=35. 4.C:ABCD,.∠A=∠D.AB=CD,.当添加 ∠B=∠C时，则可根据“ASA”判定△ABF≌△DCE:当 添加AE=DF时，AE+EF=DF+EF,即AF=DE,则 可根据“SAS判定△ABF≌△DCE;当添加BF=CE时， 不能判定△ABF≌△DCE.综上所述，符合题意的条件是 ①②，共2个 5.B如图，取格点E,连接BE,CE.在△ABD和△ECB (AB=EC, 中，{∠BAD=∠CEB=90°，.∴.△ABD≌△ECB(SAS) AD=EB, ∴.∠2=∠EBC,∠ABD=∠ECB.∠1=∠ABD十 ∠EBC,易知∠ACE=45°，∴.∠1-∠2-∠3=∠ABD+ ∠EBC-∠EBC-∠3=∠ECB-∠3=∠ACE=45°. (第5题) 6.B如图，连接CP,过点A作AL⊥PD于点L,过点P 分别作CM,CN,AB的垂线，垂足分别为F,H,I.AP 和BP分别是△ABC的外角∠BAM和∠ABN的平分线， ∴.PF=PI,PH=PI,∠EBP=∠PBN.∴.PF=PH. PF⊥CM,PH⊥CN,∴.点P在∠MCN的平分线上， 即CP平分∠MCN.∴.∠DCP=∠PCN.:'PD∥CN, ∴.∠DPC=∠PCN,∠EPB=∠PBN.∴.∠DPC= ∠DCP,∠EPB=∠EBP.∴.PD=CD=8,PE=BE=5. .DE=PD-PE=3.点A到DP的距离为4，∴.AL 4.Sae=号DEAL=号×3X4=6 D E B HN (第6题) 7.C如图，延长ED交BC于点M,延长AD交BC于点 N.AB=AC,AD平分∠BAC,∴.AN⊥BC,BN=CN. :∠EBC=∠E=60°，∴.∠EMB=60°.∴.△BEM为等 边三角形.∴.BE=EM=BM.BE=6,DE=2, ∴.BM=6,DM=4.'AN⊥BC,∴.∠DNM=90. ./NDM=30'.NM=7 DM=2.BN =BM- NM=4.∴.BC=2BN=8. B (第7题) D 8.D.'∠CAD=30°，AC=AD,∴.∠ACD=∠ADC= 号×(180°-30)=75.CELCD,.∠DcE=90. ∴.∠ECA=∠ACD+∠DE=165°.故①正确.·'∠ACB ∠DCE=90,∴.∠BCE=∠ACD=75°.'CD=CE, AC=BC,.△ACD≌△BCE(SAS)..AD=BE. :AD=BC,∴.BE=BC.故②正确.延长AD交BE于点 F.:∠ACB=90°，AC=BC,∴.∠CAB=∠ABC=45 :∠CAD=30°，.∠BAD=∠CAB-∠CAD=45°- 30°=15°.△ACD≌△BCE,.∴.∠CAD=∠CBE=30 ∴.∠ABF=∠ABC+∠CBE=45°+30°=75°.∴.∠AFB= 180°-∠BAD-∠ABF=180°-15°-75°=90°..AD⊥ BE.故③正确.过点D作DM⊥AC于点M,DN⊥BC于 点N.:∠CAD=30°，DM⊥AC,∠ACB=90°，∴.DM= 2AD,DM∥BC..∠MDC=∠NCD.在△CMD和 ∠MDC=∠NCD, △DNC中，∠CMD=∠DNC=90°，，'.△CMD≌ CD=DC, 1 △DNC(AAS).∴.DM=CN= 2AD=zBC.·CN= N.DN1仪BD=CD,瑞-1.故@正旄综上 所述，正确的是①②③④. 9.43△ABC≌△ADE,∴.∠BAC=∠DAE,AB= AD.:∠BAD=94∠ADB=∠ABD=号X(I80° ∠BAD)=43°.'AE∥BD,∴.∠EAD=∠ADB=43. ∴.∠BAC=∠EAD=43°. 10.8CD=4,△CDE的周长为12，∴.CD+CE+ DE=12.∴.CE+DE=12-CD=8.:BE是△ABC的角 平分线，∠A=90°，ED⊥BC于点D,∴.AE=DE. ∴.CE+AE=CE+DE=8.∴.AC=CE+AE=8,即AC 的长为8. 111或号由题意，得即=2am,则PC=(6-2)cm ①当△ABP≌△PCQ时，BA=CP,BP=CQ.∴.6-2t= 4.∴.t=1,此时点Q的速度为2cm/s.②当△ABP≌ △QCP时，BA=CQ=4cm,BP=CP=3cm,∴.2t=3. 8 ?t一，此时点Q的速度为了cm/s.综上所述，当t的值 是1或号时，△ABP与△CQP可能全等。 12.2.4如图，延长AD至点G,使得DG=AD,连接BG. AD为边BC上的中线，∴BD=CD.在△BDG和 BD=CD. △CDA中，∠BDG=∠CDA,∴.△BDG≌△CDA DG-DA, 27 (SAS.∴.BG=CA,∠G=∠CAD.∠AEF=∠FAE, ∠BEG=∠AEF,.AF=EF=1.6,∠CAD=∠BEG. .∠G=∠BEG.∴.BG=BE=4.∴.AC=BG=4. ∴.CF=AC-AF=4-1.6=2.4. E D (第12题) 13.2:∠BAD=∠BCD=90°，E为BD的中点，BD= 4,EA=BC=ED=2BD=2..∠EAD=∠EDA, ∠ECD=∠EDC.,∠AEB=∠EAD+∠EDA, ∠BEC=∠ECD+∠EDC,∴.∠AEB=2∠EDA, ∠BEC=2∠EDC.∠ADC=45,∴.∠AEC= ∠AEB+∠BEC=2∠EDA+2∠EDC=2(∠EDA+ ∠EDC)=2∠AC=902.SaMm=2AE·EC=号× 2×2=2. 14.18或27°或36°如图①，∠M0N=72°，OE平分 ∠MON,∠M0E=3∠MON=36.又：ABLOM, ∴.∠OAB=90°.∴.∠1=90°-∠MOE=54°.①当∠1= ∠2=54°时，∠OAC=∠OAB-∠2=36°.②当∠1 ∠3=54°时，∠2=180°-∠1-∠3=72°，∴.∠0AC= 90°-∠2=18°.③当∠2=∠3时，∠1=54°，∴.∠2= ∠3=180°2⊥=63.：.∠0AC=∠0AB-∠2=27. 2 ④如图②，当点D在射线BE上时，：∠ABE=180°一 54°=126°，且三角形的内角和为180°，∴.只存在∠BAD= ∠BDA.∠OAC=90+54=17.易得此时点C不 2 在射线ON上，舍去.综上所述，∠OAC的度数为18或27° 或36. M E ① (第14题) 15.4延长AD,CB交于点E.由题意，得∠ABD= ∠EBD.·BD⊥AD,∴.∠ADB=∠EDB=90°.在 D I∠ABD=∠EBD, △ABD和△EBD中，BD=BD, .△ABD≌ ∠ADB=∠EDB, △EBD(ASA)..∴.AD=ED,AB=EB=5,∠BAD=∠E. BC=3,∴.CE=BC+EB=3+5=8.2∠C+ ∠BAD=180°，.2∠C+∠E=180°.：∠E+∠C+ ∠EAC=180°，.∠EAC=∠C..AE=CE=8. ·AD=ED=2AE=4 16.①②③④BD为△ABC的角平分线，∴.∠ABD= BD=BC, ∠EBC.在△ABD和△EBC中，了∠ABD=∠EBC, BA=BE, ∴.△ABD≌△EBC(SAS).故①正确.∴.AD=EC, ∠BDA=∠BCE.:BD=BC,∴.易得∠BDC=∠BCD. ∴.∠BCE+∠BCD=∠BDA十∠BDC=180°.故②正确 BE=BA,∴.∠BEA=∠BAE.:∠BDC=∠BCD, ∠ABE=∠DBC,·.∠ADE=∠BDC=号(180° ∠DBC)-(180-∠ABE)=∠BEA.:AD=AE :AD=EC,∴.AD=AE=EC.故③正确.如图，在BA上 截取BG=BC,连接GE.在△BGE和△BCE中， BG=BC, ∠GBE=∠CBE,∴.△BGE≌△BCE(SAS).∴.EG= BE=BE, EC.∴.EG=AE.EF⊥AG,AF=GF.BA- BF=BF-BG.∴.BA+BG=2BF.∴.BA+BC=2BF. 故④正确.综上所述，正确的是①②③④. (第16题) 17.AB=DE,ABDE.理由：BF=CE,∴.BF+CF= CE+CF..BC=EF.AC∥DF,∴.∠ACB=∠DFE. ∠A=∠D, 在△ABC和△DEF中，∠ACB=∠DFE,∴.△ABC≌ BC=EF, △DEF(AAS.∴.AB=DE,∠B=∠E.∴.AB∥DE. 18.如图，延长AE到点F,使FE=AE,连接FD.·E是 DC的中点，∴.DE=CE.在△DEF和△CEA中， DE=CE. ∠DEF=∠CEA,∴.△DEF≌△CEA(SAS).∴.FD= FE=AE, 28 AC,∠FDE=∠C.BD=DC=AC,∴.BD=FD,∴.∠AED=∠BCE=20°.∴.∠CED=∠CEA+ ∠ADC=∠CAD.:∠ADB=∠C+∠CAD,∠ADF= ∠AED=80°+20°=100°.DE=EC,∴.∠ECD= ∠FDE十∠ADC,'.∠ADB=∠ADF.在△ADB和 1 AD-AD, ∠EDC-2×(180°-100)=40°， △ADF中， ∠ADB=∠ADF,.△ADB≌△ADF 20.(1).OB=OC,AO⊥BC,.AB=AC..AM⊥ BD=FD, BE,AN⊥CD,∴.∠AMB=∠ANC=∠AND=90°.在 (SAS).,∴.AB=AF=2AE. '∠AMB=∠ANC, △ABM和△ACN中，∠ABM=∠ACN,∴.△ABM≌ AB=AC, △ACN(AAS.(2)△ABM≌△ACN,∴.AM= AN.AM⊥DE,AN⊥CD,.DA为∠EDC的平分线. (3)·'DA为∠EDC的平分线，∴.∠MDA=∠NDA.在 (第18题) (AD=BE, ∠DMA=∠DNA, 19.(1)在△AED和△BCE中，{∠A=∠B,∴·△AED≌ △ADM和△ADN中，∠MDA=∠NDA,∴.△ADM≌ DA-DA, AE=BC, △BCE(SAS.∴.DE=EC.F是CD的中点，.EF⊥ △ADN(AAS).∴.DM=DN.'△ABM≌△ACN, CD.(2):∠CEA=80°，∠B=60°，.∠BCE= ∴.BM=CN.BM=DM+BD=DN+BD,∴.CN= ∠CEA-∠B=80°-60°=20°.：△AED≌△BCE, DN+BD. 第2章 实数的初步认识 2.1平方根 为72=49.(2)由(1)知，a=4,∴.a+12=4+12=16. 1.D1的平方根是士1,1的算术平方根是1，故A选项说 :√16=4，.√a十12的平方根是士4=±2. 法错误，不符合题意.负数没有算术平方根，故B选项说法 712(2.3) .(4)-1. 错误，不符合题意.√16=4，而4的平方根是士2，故C选 8.A根据题意，可得m2=x,(m十n)2=x.,m2x十 项说法错误，不符合题意.4的平方根是士2，故D选项说法 (m+n)2x=50,∴.x2十x2=50,解得x=5或x=-5(不 正确，符合题意。 合题意，舍去).∴.x的值为5. 2.B①如果a存在平方根，那么a≥0，故说法错误，不符 易错警示 合题意；②如果a有两个不相等的平方根，那么a>0,故 不能根据平方根的意义解题 说法正确，符合题意；③如果a没有平方根，那么a<0,故 解决这类问题时，往往根据非负数的平方根的意 说法正确，符合题意；④如果a>0,那么a的平方根一个 义，揭示平方根与所求非负数之间的数量关系，进而建 大于0，一个小于0，故说法错误，不符合题意.综上所述，正 立恰当的方程解决问题 确的个数是2. 3.55:5的平方根为±5，∴x=5,x的另一个平 9.Da★b=a2-b,.x★13=x2-13=2..x2= 方根为√5. 15..x=±15. 4.0或8：a是(-4)2的一个平方根，.a=士4.：b 10.C,一个自然数的算术平方根是x,.这个自然数 的一个平方根是2，∴.b=4.当a=4,b=4时，a十b=4十 为x2.∴.与这个自然数相邻的下一个自然数为x2+1. 4=8;当a=-4,b=4时，a十b=一4十4=0.∴.代数式 ∴.与这个自然数相邻的下一个自然数的算术平方根 a十b的值为0或8. 是√x2+1. 5.-1025的算术平方根为√25=5，即x=5.:'4是 11.D当2m-4=3m-1时，m=-3:当2m-4+3m y十1的-一个平方根，∴.y十1=16，解得y=15..x-y= 1=0时，m=1.∴.m的值是一3或1. 5-15=-10. 12.4.x,y是正数a的两个不同的平方根，.y=一x. 6.(1),一个正数两个不同的平方根是a十3和2a一15， ∴.3x+2y=3x十2×(-x)=2,即3x-2x=2,解得x= ∴.a十3+2a-15=0,解得a=4.∴.a十3=7..这个正数 2.∴.a=x2=4. D29