第三章圆（期中知识清单）九年级数学上学期新教材苏科版

第三章 圆　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 圆的相关概念 1.1 圆的定义 平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫作圆。其中，定点叫作圆心，定长叫作半径。以点 为圆心的圆，记作”“，读作”圆 “。 示例：到定点 的距离等于 的所有点组成的图形，就是以 为圆心、 为半径的圆。 1.2 弦、直径与弧 连接圆上任意两点的线段叫作弦；经过圆心的弦叫作直径。 圆上任意两点间的曲线段叫作圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成长度相等的两条弧，每条弧都叫作半圆。大于半圆的弧叫作优弧，小于半圆的弧叫作劣弧。 示例：在 中， 是直径， 是弦；以 、 为端点的弧记作”“，读作”弧 “。 1.3 圆心角、同心圆与等圆 顶点在圆心的角叫作圆心角。圆心相同、半径不相等的两个圆叫作同心圆；半径相等的两个圆叫作等圆。 示例：在 中， 是圆心角；两个同心圆圆心相同、半径不同。 1.4 同圆或等圆的半径相等 根据圆的定义，我们得到：同圆或等圆的半径相等。 示例：在 中，（同圆的半径相等）。 2. 确定圆的条件 2.1 确定圆的条件 不在同一条直线上的三点确定一个圆。 示例：经过不在同一条直线上的 、、 三点可以作且只能作一个圆；若 、、 三点共线，则不能作圆。 2.2 三角形的外接圆与外心 三角形的三个顶点不共线，可以确定一个圆，这个圆叫作三角形的外接圆。外接圆的圆心叫作三角形的外心，这个三角形叫作圆的内接三角形。外心是三角形三边的垂直平分线的交点。 示例：分别作 两边 、 的垂直平分线，其交点 就是外心，以 为圆心、 长为半径的圆就是 的外接圆。 2.3 多边形的外接圆与圆的内接多边形 一般地，如果多边形的顶点都在同一个圆上，这个圆叫作多边形的外接圆，这个多边形叫作圆的内接多边形。 示例：四边形 的四个顶点都在 上，则 是四边形 的外接圆。 3. 圆的对称性 3.1 圆的中心对称性 圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。 示例：将 绕圆心 旋转任意角度，仍与原圆重合。 3.2 圆的轴对称性 圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴。 示例： 的任意一条直径所在直线都是 的对称轴。 3.3 圆心角、弧、弦之间的关系 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 示例：在 中，若 ，则 ，。 3.4 圆心角与弧的度数 圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。我们把 的圆心角所对的弧叫作 的弧。 示例：圆心角 ，则它所对的弧 的度数是 。 3.5 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧。 示例：在 中，直径 于点 ，则 ，，。 4. 圆周角 4.1 圆周角的定义 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫作圆周角。 示例：在 中， 的顶点 在圆上，且两边 、 都与圆相交， 是圆周角。 4.2 圆周角定理 同弧或等弧所对的圆周角相等，圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半。 圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半。 示例：在 中， 所对的圆心角 ，则同弧所对的圆周角 。 4.3 圆周角定理的推论 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。 直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。 示例： 是 的直径， 在 上，则 ；反过来，若 ，则 是直径。 4.4 圆内接四边形的性质 圆内接四边形的对角互补。 示例：四边形 内接于 ，则 ，。 5. 点与圆、直线与圆的位置关系 5.1 点与圆的位置关系 如果 的半径为 ，点 到圆心 的距离为 ，那么： 位置关系 点 到圆心 的距离 与半径 的关系 点 在圆内 点 在圆上 点 在圆外 圆是到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的集合；圆的内部是到圆心的距离小于半径的点的集合；圆的外部是到圆心的距离大于半径的点的集合。 示例： 的半径为 ，点 到圆心 的距离为 ，则点 在 内。 5.2 直线与圆的位置关系 当直线与圆有两个公共点时，直线与圆相交；当直线与圆有唯一公共点时，直线与圆相切，这条直线叫作圆的切线，这个公共点叫作切点；当直线与圆没有公共点时，直线与圆相离。 如果 的半径为 ，圆心 到直线 的距离为 ，那么： 位置关系 公共点个数 与 的关系 相交 两个 相切 一个（切点） 相离 无 示例： 的半径为 ，圆心 到直线 的距离为 ，则直线 与 相切。 5.3 切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 示例：在 中，点 在圆上，过点 作半径 的垂线 ，则直线 与 相切， 为切点。 5.4 切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径。 示例：直线 与 相切于点 ，则 。 5.5 切线长与切线长定理 在经过圆外一点的圆的切线上，这点与切点之间的线段的长，叫作这点到圆的切线长。 过圆外一点可作圆的两条切线，切线长相等。 示例：过圆外一点 作 的两条切线 、，切点分别为 、，则 。 5.6 三角形的内切圆与内心 与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆。内切圆的圆心叫作三角形的内心，是三条角平分线的交点，这个三角形叫作圆的外切三角形。 示例：分别作 的 、 的平分线，其交点 就是内心，以 为圆心作与 相切的圆就是 的内切圆。 6. 正多边形与圆 6.1 正多边形的中心与半径 一般地，正多边形都有一个外接圆，外接圆的圆心叫作正多边形的中心，外接圆的半径叫作正多边形的半径。 示例：正六边形 的外接圆的圆心 是它的中心， 是它的半径。 7. 弧长及扇形面积 7.1 扇形的定义 一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫作扇形。 示例：弧 与半径 、 围成的图形是扇形。 7.2 弧长公式 在半径为 的圆中，弧长 与所对的圆心角度数 之间有如下关系： 示例：半径 、圆心角 的弧长 。 7.3 扇形面积公式 在半径为 的圆中，圆心角为 的扇形面积为 示例：半径 、圆心角 的扇形面积 。 7.4 圆锥的侧面积 圆锥的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的弧长是圆锥底面圆的周长，半径是圆锥的母线长。若圆锥的母线长为 ，底面圆半径为 ，则 示例：圆锥底面半径 、母线长 ，则侧面积 。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 直角三角形的外接圆 直角三角形的外心是斜边的中点，斜边是外接圆的直径，外接圆的半径等于斜边的一半。如 中 ，则其外接圆的圆心是斜边 的中点，半径 。 1.2 外心的位置与三角形形状 锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心在斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形外部。 1.3 垂径定理的推论 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。 【使用提醒】”平分弦”中的弦不能是直径，否则两条直径互相平分但不一定互相垂直。 1.4 圆内接四边形外角的性质 圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（由”对角互补”推出）。如圆内接四边形 中，外角 。 1.5 同圆中弦与弦心距的关系 在同圆或等圆中，相等的弦所对的弦心距相等，较长的弦所对的弦心距较短。 1.6 一条弦所对的两个圆周角 一条弦（不是直径）所对的两个圆周角分别在弦的两侧，它们互补；直径所对的圆周角是直角。如弦 所对的圆周角为 或 。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 圆中作辅助线的常用方法 遇”弦”作弦心距（构造直角三角形）；遇”直径”构造直径所对的圆周角（得直角）；遇”切线”连接圆心与切点（得垂直）；证明切线时”连半径，证垂直”或”作垂直，证半径”。如已知弦求半径，常作弦心距后用勾股定理。 2.2 垂径定理求线段 弦的一半、弦心距、半径构成直角三角形，知二求一。如半径为 、弦心距为 、弦长为 ，则 。 2.3 圆中求角的思路 求圆周角，先找同弧或等弧所对的圆心角或圆周角；求圆心角，先找它所对的弧。利用”弧的度数 圆心角度数 圆周角度数”转化。 2.4 证明直线是圆的切线 已知直线与圆有公共点时，连接圆心与公共点（连半径），再证垂直；未知公共点时，过圆心作直线的垂线，证垂线段长等于半径（作垂直，证半径）。 2.5 求与圆有关的阴影面积 用割补法把不规则图形转化为”扇形面积 三角形（或弓形）面积”。 3. 公式记忆 / 计算小技巧 技巧 要点 示例 弧长公式 （ 为圆心角度数， 为半径），弧长是圆周长的 ，，则 扇形面积 ，也可记为 （ 为弧长） ，，则 圆锥侧面积 （ 为底面半径， 为母线长），全面积 ，，则 圆与圆的位置关系 两圆半径 ，圆心距为 ：外离 ，外切 ，相交 ，内切 ，内含 ，， 时两圆内切 4. 常见考试模型 4.1 双切线模型 公式：从圆外一点 作 的两条切线 ，，切点分别为 ，，则 ，连接 ， 垂直平分 ，且 平分 。 限定：， 均为切点。 示例：如 ，，则 半径 。 4.2 垂径定理模型 公式：设弦 的弦心距为 ，圆的半径为 ，则 ，即弦的一半、弦心距、半径构成直角三角形。 限定：需过圆心作弦的垂线（即垂直于弦的直径或半径所在直线）。 示例：如 ，，则 。 4.3 直径所对圆周角模型 公式：直径所对的圆周角是直角， 的圆周角所对的弦是直径。 限定：三点共圆，且其中两点为直径的端点。 示例：如 是 的直径，点 在 上，则 。 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：把”顶点在圆上”误当圆周角的充分条件，漏掉”两边都与圆相交” 典例：判断：顶点在圆上的角一定是圆周角。 错解：正确。因为圆周角的定义就是”顶点在圆上的角”。 正解：不正确。圆周角要求顶点在圆上，并且角的两边都与圆相交。顶点在圆上但只有一边与圆相交（或两边都不与圆相交）的角不是圆周角。 原因：概念理解不完整。学生只记住了”顶点在圆上”这个最显眼的特征，忽略了”两边都和圆相交”这一同样必要的条件。判断圆周角应同时核对”顶点在圆上”和”两边都与圆相交”两个条件，缺一不可。 易错点 2：垂径定理的推论漏掉”弦不是直径”这一限制 典例：判断：平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 错解：正确。这是垂径定理的推论。 正解：不正确。当被平分的弦是直径时，结论不一定成立。正确表述应为”平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧”。 原因：忽略隐含条件。垂径定理的逆命题必须排除”弦是直径”这一特殊情形：两条直径互相平分，但它们不一定互相垂直。学生在记忆推论时漏掉了”不是直径”这一限制条件。 易错点 3：一条弦所对的圆周角有两个，只求一个漏解 典例：已知 中弦 的长等于半径，求弦 所对的圆周角的度数。 错解：由弦 的长等于半径，得 是等边三角形，，所以弦 所对的圆周角为 。 正解：弦 所对的圆周角有两个：弦 所对的劣弧上的圆周角为 ，弦 所对的优弧上的圆周角为 。所以弦 所对的圆周角为 或 。 原因：漏分类讨论。一条弦所对的弧有优弧和劣弧两条，对应的圆周角分别在这条弦的两侧，两个圆周角互补。学生默认只取劣弧所对的圆周角，遗漏了优弧所对的那一个。 易错点 4：证明切线时漏掉”经过半径的外端”这一条件 典例：判断：与半径垂直的直线是圆的切线。 错解：正确。切线判定定理就是”经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”。 正解：不正确。与半径垂直的直线不一定经过半径的外端，例如过圆心作半径的垂线（即直径所在直线）与圆有两个公共点，不是切线。判定切线必须同时满足”经过半径的外端”和”垂直于这条半径”两个条件。 原因：条件遗漏。学生把切线判定定理的两个条件只记住了”垂直”，忽略了”经过半径的外端”。只有过半径的外端且垂直于半径的直线才是切线；只垂直但不过外端（如过圆心的垂线）是直径所在直线。 易错点 5：判断直线与圆的位置关系时，把”圆心到直线的距离”算错 典例：在 中，，，，以点 为圆心、 为半径作圆，判断 所在直线与圆 的位置关系。 错解：，因为 ，所以 所在直线与圆 相交。 正解：圆心 到直线 的距离 是斜边 上的高，。因为 ，所以 所在直线与圆 相切。 原因：概念理解错误。直线与圆的位置关系比较的是圆心到直线的距离 （垂线段的长）与半径 ，而不是圆心到直线上某个端点的距离。本题 恰好等于 ，应为相切，学生却拿弦长 去和半径比较。 易错点 6：圆中求角混淆”圆周角”与”圆心角”的倍数关系 典例：在 中，弦 所对的圆心角 ，求弦 所对的圆周角 的度数。 错解：。 正解：由圆周角定理，圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半，所以 。 原因：概念关系混淆。学生把”圆心角”和”圆周角”的度数混为一谈，误以为同弧所对的两个角相等。根源是对”圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半”这一结论记忆不牢，做题时漏掉了”一半”这个倍数关系。 学科网（北京）股份有限公司 $