专题特训9 圆中的最值问题&3.6 正多边形与圆-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(苏科版·新教材)

拔尖特训·数学（苏科版）九年级上 专题特训九 圆中的最值问题 类型一利用圆的性质求最值 1.如图，在⊙O中，弦AB的长为2，点C在AB上移动，连接OC,过点C作CD⊥ OC,交⊙O于点D,则CD长的最大值为 ( A A.4 B.2 C.2 D.1 (第1题) 类型二利用“将军饮马”模型求最值 2.如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=3,⊙A,⊙B的半径分别为2和1，P, E,F分别是边CD,⊙A和⊙B上的动点，则PE+PF的最小值为 ( A.1 B.2 C.2.5 D.3 (第2题) 类型三利用圆外点到圆的距离求最值 3.如图，⊙O是以原点为圆心，2√3为半径的圆，P是直线y=一x十8上的一点，过 点P作⊙O的一条切线PQ,Q为切点，则切线长PQ的最小值为 ( A.25 B.4 C.8-23 D.213 (第3题) 类型四利用定弦定角构造辅助圆求最值 4.如图，等边三角形ABC的边长为6cm,D,E分别是BC和AC上的点，且BD= CE,AD,BE交于点P,连接CP,则CP长的最小值为 类型五折叠中隐圆的最值问题 (第4题) 5.如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=5,E是AD上的一个动点，将△ABE沿BE折叠，得到 △ABE,连接CA'并延长，交AD于点F,连接AA'.当AF长的值最大时，AA'的长为 B B P (第5题) (第6题) 6.如图，在菱形ABCD中，E是边AB的中点，动点P在边BC上运动，以EP为折痕将△BEP折 叠得到△FEP,连接DF.若AB=4,∠B=60°，则DF长的最小值为 68 >“答案与解析”见P44 第3章圆 3.6正多边形与圆 自一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O,连接AC,FC,则∠ACF的度数为 () A.30° B.36 C.45 D.60° E D B B (第1题) (第2题) (第3题) (第4题) 2.如图，△ABC内接于⊙O,∠ACB=18°.若弦AB是圆内接正多边形的一边，则该正多边形为() A.正十边形 B.正九边形 C.正八边形 D.正六边形 3.易错题[2025自贡中考改编]如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则α十B= 4.如图，在正六边形ABCDEF中，AC=23,则它的外接圆的半径是 5.如图，在正五边形ABCDE中，对角线AC与BD相交于点O.试判断四边形AODE的形状，并 说明理由. (第5题) 扫二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 6.眉境生活实际[2024青岛中考]为筹备运动会，小松制作了如图所示的宣传牌，在正五边形ABCDE 和正方形CDFG中，CF,DG的延长线分别交AE,AB于点M,N,则∠FME的度数是() A.90 B.99° C.108° D.1359 D D (第6题) (第7题) (第8题) 7.如图，在正六边形ABCDEF中，M,N是对角线BE上的两点.有下列条件：①BM=EN; ②∠FAN=∠CDM;③AM=DN;④∠AMB=∠DNE.其中，能使四边形AMDN为平行四 边形的是 () A.①②④ B.①③④ C.①②③④ D.①④ 8.如图，在正五边形ABCDE中，连接CE,以点E为圆心、EA长为半径画弧，与CE交于点F,连 接AF,则∠AFE的度数是 69 拔尖特训·数学（苏科版）九年级上 9.如图，正方形ABCD内接于⊙O,E为BC上一点，连接BE,CE.若∠CBE=15°，D BE=5,则正方形ABCD的边长为 0 10.如图，CE是正六边形ABCDEF的一条对角线，延长CE,AF交于点M. (1)判断△EFM的形状，并说明理由. (第9题) (2)若EF=3,求AM的长. D (第10题) 11.如图①，正五边形ABCDE内接于⊙O,阅读以下作图过程，并回答下列问题. 作法：如图②！ 步骤一，作直径AF, 步骤二，以点F为圆心，FO为半径作圆弧，与⊙O交于点M,N. 步骤三，连接AM,MN,NA. (1)△AMN是正三角形吗？请说明理由. (2)从点A开始，以DV的长为边长，在⊙O上依次截取，点，再依次连接这些分点，得到正边 形，求n的值. ① ② (第11题) ]三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维▲ 12.如图，在正六边形ABCDEF中，以AD为对角线作正方形APDQ,AP,DP与BC分别交于点 M,N. (1)∠BAM= (2)若AB=4,求MN的长 (第12题) 70 >“答案与解析”见P46限可以参照①进行同样的操作，同理，可得y轴的负半轴 上的点C的坐标为(0，一12).综上所述，点C的坐标为(0， 12)或(0，-12). y B B、-E-A ⑦ ③ (第4题) 5.3-3AE=CP,.∠ACB=∠CDP. ,∠ACB=30°，.∠CDP=30°..∠BDC=180°- 30°=150°.∴.点D在以BC为弦，∠BDC=150的圆弧上 运动.如图，设点D运动的圆弧所在圆的圆心为点M,取优 弧BC上一点N,连接MB,MC,NB,NC,AM,MD,则 ∠BNC=180°-∠BDC=30°，∴.∠BMC=60°.BM= CM,∴.△BMC为等边三角形.∴.∠MCB=60°，MC= BC=3.:'∠ACB=30°，∴.∠ACM=∠ACB+∠MCB= 30°+60°=90°.∴.AM=√AC2+MC=√22+3= √I3..当A,D,M三点共线时，AD长取得最小值.此 时，AD=AM-MD=√3-3. .0 (第5题) 6.(1)如图①，连接OC.EF和⊙O相切于点C, ∴.OC⊥EF.:AD⊥EF,∴.OC∥AD.∴.∠DAC= ∠OCA..OA=OC,∴.∠BAC=∠OCA.∴.∠DAC= ∠BAC.(2)5如图②，连接OC.:AD和⊙O相切于 点A,.OA⊥AD.:AD⊥EF,OC⊥EF,.∠OAD= ∠ADC=∠OCD=90°.∴.四边形OADC是矩形 :OA=OC,.矩形OADC是正方形.∴.AD=OA :AB=2OA=10,∴.AD=OA=5.(3)存在； ∠BAG=∠DAC.如图③，连接BC.:'AB是⊙O的直径， ∴.∠BCA=90°.∴.∠ACD+∠BCE=90°.'∠ADC 90°，∴.∠ACD+∠DAC=90.∴.∠DAC=∠BCG. :BG=BG,∴.∠BCG=∠BAG.∴∠BAG=∠DAC. B ① ② B 0 EG C DF ③ (第6题) 7.(1)连接OB.OA=OB,∴.∠OAB=∠OBA. PA=PB,∴.∠PAB=∠PBA.∴.∠OAB+∠PAB= ∠OBA+∠PBA,即∠PAO=∠PBO.又，'PA是⊙O的 切线，∴.∠PAO=90°.∴.∠PBO=90°.∴.OB⊥PB.又 :OB是⊙O的半径，∴.PB是⊙O的切线.(2)连接 OP.PA=PB,.点P在线段AB的垂直平分线上 :OA=OB,∴点O在线段AB的垂直平分线上..OP 为线段AB的垂直平分线.又∠ABC=90°，即BC⊥ AB,∴.PO∥BC.∴.∠AOP=∠ACB=60°.由(1)知， ∠PAO=90°，∴.∠APO=30°.∴.易得PO=2AO.:在 Rt△APO中，AO2+PA2=PO2,.AO2+3=(2AO)2. 又AO>0,.A0=1..⊙0的半径为1. 8.(1)如图，延长CD交⊙O于点M.:AB⊥CD, .AC=AM,CD=MD.AC=CE,..AC=CE= AM..AM+AC=AC+CE,MC=AE..MC=AE. .MC=MD+CD,∴.MC=2CD.∴.AE=2CD. (2)AB是⊙O的直径，∴.∠ACG=90°.∴.∠ACF+ ∠FCG=90°，∠CAF+∠FGC=90°.：CE=AM, ∴.∠CAF=∠ACF..AF=CF,∠FCG=∠FGC. ∴.AF=CF=FG.∴.点F是△ACG的外心. M E B (第8题) 专题特训九圆中的最值问题 1.D如图，连接OD.:CD⊥OC,∴.∠DCO=90° ∴.CD=√OD2-OC.OD长一定，.当OC长最小 时，CD长最大.又：当OC⊥AB时，OC长最小，D,A两 点重合CD-CB=2AB=3×2=1.CD长的最大 值为1. B A D (第1题) 2.D如图，连接AE,AP,BF,BP,则PA一AE≤PE, PB一BFPF.∴.PE+PF≥PA+PB一(AE+BF),即 PE+PF≥PA+PB一3.∴.要求PE+PF的最小值，即 求PA十PB的最小值.作点A关于直线CD的对称，点A', 连接BD,DA',AA',CD的延长线与AA交于点H:四 边形ABCD是菱形，∴.AB=AD,ABCD.'∠BAD= 60°，.△ADB是等边三角形，∠ADC=120°..∠ADB= 60°，∠ADH=180°-∠ADC=60°.由对称，可得∠A'DH= ∠ADH=60°.∴.∠ADB+∠ADH+∠A'DH=60°+ 60°+60°=180°.∴.点A',D,B在一条直线上.当点P与 点D重合，点E在边AD上，点F在线段BD上时，此时 PE+PF最小.：△ABD是等边三角形，∴.BD=AB= AD=3,即PA=PB=3.∴.PA十PB的最小值为6. .PE十PF的最小值为6一3=3. B (D(P) ,H、 (第2题) 3.A点P在直线y=一x十8上，.设点P的坐标为 (m,8-m),连接OQ,OP.由PQ为⊙O的切线，得OQL PQ.在Rt△OPQ中，由勾股定理，得PQ=OP2-OQ= m2+(8-m)2-(23)2=2m2-16m+52=2(m-4)2+ 20.易知当m=4时，PQ取得最小值20.∴.切线长PQ的 最小值为25， 4.23cm如图，△ABC是等边三角形，∴.AB= BC=AC,∠ABC=∠BAC=∠BCE=60°.在△ABD和 BD=CE. △BCE中，∠ABD=∠BCE,.△ABD≌△BCE AB=BC, (SAS).∴.∠BAD=∠CBE.又·'∠APE=∠BAD+ ∠ABE,∴.∠APE=∠CBE+∠ABE=∠ABC=60°. ∴.∠APB=180°-∠APE=120°.如图，作△ABP的外接 圆，设圆心为O,则点P在以点O为圆心，OA为半径的劣 弧AB上运动，连接OC,交⊙O于点N,连接OP.当点P 与，点N重合时，CP的长最小，最小值为OC-ON.连接 OA,OB.∠APB=120°，∴.∠AOB=2×(180° ∠APB)=120°.OA=OB,.∠OAB=∠OBA= 180°-∠A0B=30..∠0BC=∠0AC=30°+60=90. 2 OA=OB,OC=OC,∴.Rt△OAC≌Rt△OBC(HL). ∠0CB=∠0CA=2∠ACB=30.0C=20B= 20A.:OA2+AC=0C,∴.OA2+6=(20A)2. ∴.OA=23cm,则OC=43cm∴.CP长的最小值为 OC-ON=43-2W3=2W3(cm). A 0 B D C (第4题) 53⑩ 5 由折叠可知，AB=A'B=3,∠BAD=∠BA'E= 90°，AE=A'E,∴.点A'在以点B为圆心，AB为半径的圆 上（如图）.当A'C与⊙B相切时，AF长有最大值，则 ∠BA'F=∠BA'C=90°，点E与点F重合.∴.A'C= √BC2-AB=√5-3=4.设AF=x,则DF=AD- AF=5-x,CF=A'F+AC=x+4.在Rt△CDF中，由勾 股定理，得DF2十CD2=CF2,即(5-x)2+32=(4十x)2, 解得x=1.∴.AF=AE=1.记AA'交BE于点H.由折 叠可知，△ABE≌△A'BE,∴.BA=BA',AE=A'E, ∴.BE垂直平分AA',即AH=A'H,A'A⊥BE.在 Rt△ABE中，BE=√AB2+AE=√32+1F=√/10. :SaE=号AB·AE-BE·AH,AH- ABAE-3X-3四.A4=2AH=3 BE /1010 5 A E(F) (第5题) 6.27-2E是边AB的中点，AB=4,∴.BE=AE- AB=2.:以EP为折痕将△BEP折叠得到△FEP, 1 EF=BE=号AB=2点F在以点E为圆心，EF为 半径的圆上（如图）.连接DE,DF≥DE一EF,∴.当 点F在DE上时，DF长有最小值，最小值为DE一EF.过 点E作EH⊥AD交DA的延长线于点H.:'四边形 ABCD是菱形，∴.AD∥BC..∠EAH=∠ABC=6O ·.∠AEH=30.·AH-=号AE=1.EH √AE2-AH=√22-1'=√5，DH=AD+AH=4十 1=5.∴.DE=√DH+EH=√52+（√3）2=27. ∴.DF长的最小值=DE-EF=2√7-2. D Ho C (第6题) 3.6正多边形与圆 1.A连接OA.根据正六边形ABCDEF内接于⊙O,得 ∠A0F-360=602:∠ACr=2∠A0F=30 6 2.A连接OA,OB,则∠AOB=2∠ACB=2X18°=36°. 根据题意，得360÷36=10，∴.这个正多边形是正十边形. 3.150如图，正六边形的每个内角为6-2)×180 6 120°，正方形的每个内角为90°.，：四边形的内角和是(4一 2)×180°=360°，.∠1+∠2=360°-120°-90°=150. a=∠1，B=∠2，∴.a+B=150°. (第3题) 易错警示 不会灵活转化导致错误 解答问题时，往往会出现不会灵活转化待求问题， 而使解题错误的情况. 4.2如图，连接OA,OB,OC,OB与AC相交于点G.由 对称性可知，OB⊥AC,AG=CG=2AC=5.由正六边形 ABCDEF,可得∠AOB=360°=60.：.易得∠OAG=30. 6 在Rt△OAG中，设OG=x,则OA=2x,∴.AG= √OA-OG=√3x.∴.√3x=3,解得x=1.∴.OA=2. E D 、G A B (第4题) 5.四边形AODE是菱形.理由：：正五边形ABCDE有一 个外接团∠B0E=×号×360=2，∠E=3× gX360=108.∠BDE+Z乙E=180..D0/AE.同 理，可证AODE.'.四边形AODE是平行四边形.又由正 五边形ABCDE,可得AE=DE,∴，四边形AODE是菱形. 6.B:五边形ABCDE是正五边形，∴.∠CDE=∠E= (5-2)X180-108.:四边形CDFG为正方形， 5 ∴.∠CDF=90°，∠CFD=45.∴.∠FDE=∠CDE- ∠CDF=108°-90°=18°，∠DFM=180°-∠CFD= 180°-45°=135°.∴.∠FME=360°-∠FDE-∠DFM ∠E=360°-18°-135°-108°=99°. 7.A如图，连接AD交BE于点O.,在正六边形ABCDEF 中，AB=DE,易得∠BAO=∠ABO=∠OED=∠ODE= 60°，∴.△AOB和△DOE是等边三角形.∴.OA=OB= AB=DE=OE=OD.①BM=EN,∴.OB-BM= OE一EN,即OM=ON.又OA=OD,.∴.四边形AMDN 为平行四边形.故①符合题意.②：'∠FAN=∠CDM,易 得∠DAF=∠CDA=60°，∴.∠DAF-∠FAN=∠CDA- ∠CDM,即∠OAN=∠ODM.∴.AN∥DM.又∠AON= ∠DOM,OA=OD,∴.△AON≌△DOM(ASA).∴.AN= DM.∴.四边形AMDN为平行四边形.故②符合题意. ③'AM=DN,AB=DE,∠ABM=∠DEN,∴.△ABM 和△DEN不一定全等，进而不能得出四边形AMDN为平 行四边形.故③不符合题意.④·'∠AMB=∠DNE, ∠ABM=∠DEN=60°，AB=DE,∴.△ABM≌△DEN (AAS..AM=DN..'∠AMB+∠AMN=180°， ∠DNM+∠DNE=180°，∴.∠AMN=∠DNM.∴.AM∥ DN.∴.四边形AMDN为平行四边形.故④符合题意.综 上所述，符合题意的是①②④. A C D (第7题) 8.54在正五边形ABCDE中，∠AED=∠CDE= 5-2)X180°-108.：DE=CD,.∠DCE=∠CED= 5 X(180°-108)=36°.·∠AEF=∠AED-∠CED= 1 108-36°=72°.由题意，得EF=AE,.∠AFE= ∠EAF=3(180-∠AEF)=3X(180-72)=5 9.5√2如图，连接AO,BO,EO.:正方形ABCD内接 于⊙0.OA=0B=0E.:∠A0B=360°=90，AB 4 BC,∠ABC=90,∠0AB=∠0BA=号(180° ∠AOB)=45°.∴.∠OBC=∠ABC-∠OBA=90°-45°= 45.∠CBE=15°，∴.∠OBE=∠OBC+∠CBE=45°+ 15°=60°.又：OB=OE,∴△OBE是等边三角形. ∴.OB=BE=5..OA=OB=5..AB=√OA2+OB2= 5√2.∴.正方形ABCD的边长为5√2. D 0、 B (第9题) 10.(1)△EFM是直角三角形.理由：：'六边形ABCDEF 是正六边形，∴.∠AFE=∠FED=∠D=120°，DE=DC. ·∠CBD=∠cD-2180-∠D)=0.∠CEF= ∠FED-∠CED=120°-30°=90°..∠FEM=180° ∠CEF=90°.∴.△EFM是直角三角形.(2)：∠AFE= 120°，∠FEM=90°，.∠M=∠AFE-∠FEM=120°- 90°=30°.∴.FM=2EF=6.又由正六边形ABCDEF,可得 AF=EF=3,..AM=AF+FM=3+6=9. 11.(1)△AMN是正三角形.理由：如图，连接ON,NF. 由题意，可得FN=OF=ON,∴.△FON是等边三角形. ∴.∠NFA=60°.∴.∠NMA=60°.同理，可得∠ANM 60°，∴.∠MAN=60°.∴.∠NMA=∠ANM=∠MAN. ∴.△AMN是正三角形.(2)如图，连接OD.由(1)，得 ∠A0N=120,∠AMN=6m.:∠A0D=3X2= 144°，.∠NOD=∠AOD-∠AON=144°-120°=24°. 360°÷24°=15，.从点A开始，以DN的长为边长，在 ⊙O上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n边形， 则n的值是15. (第11题) 12.(I)15.在正六边形ABCDEF中，∠DAB= 2∠BAF= 令×120=0.在正方形ANPQ中，∠DAN=2∠PAQ= 3X90=46.·∠BAM=∠DAB-∠DAP=60- 45°=15°.(2)如图，连接BE交AD于点O,连接OP交 BC于点H.在正六边形ABCDEF中，CD=BC=AB=4, ∠BAF=∠ABC=∠C=∠CDE=120°，AO,BO分别平 分∠BAF,∠ABC,OA=OB,∴.∠BAO=∠ABO= ∠C0=号×120=60.：.△AB0是等边三角形， ∴.AO=BO=AB=4,∠AOB=∠CBO=60°.∴.AD= 2AO=8,BC∥AD.在正方形APDQ中，AP=DP, ZAPD=90AO=DO.PO=7AD-4,POLAD. ∠APO=∠DP0=∠PD=452.:AD∥BC. ∴.∠MHP=∠AOP=90°.∴.∠BHO=90°..∠OBH= 60,B0=4,∠B0H=30.·BH=2B0=2,0H= √OB2-BH=2√5.易得△PHIM为等腰直角三角形， .MH=PH=OP-OH=4-25.易得△PMN为等腰 直角三角形，PH⊥MN,∴.MN=2MH=8-4W3. (第12题) 3.7扇形 第1课时弧长及扇形面积 1.B设大圆的半径为r,小圆的半径为r2.解法一：根据 题意，得24=r:>4<1: 1 解法二： 设扇形的面积为S,所在圆的半径为r,圆心角所对的弧长 为1，则S-,即1-25.：两个扇形的面积相等> r2,∴.l<l2. 易错警示 不会灵活运用扇形面积公式导致错误 解答这类问题时，往往会出现仅仅使用孤长公式而 使问题解答陷入困境的情况，究其原因，是不会灵活根 据条件运用扇形面积公式，扇形面积一定时，其弧长与 所在圆的半径成反比例. 2.元连接OC.,四边形ABCD是⊙O的内接四边形， AD为直径，AD=6,0A=0C=0D=号AD=3, ∠ABC+∠D=180°.：∠ABC=120°，∴.∠D=180° ∠ABC=60°.又：OC=OD,.△OCD是等边三角形. ∠C0D=60..CD的长为60rX3=元 180 3.8元，O是AB的中点，.S△c=S△C..S色=