基本不等式 题型训练-2027届高三数学一轮复习

基本不等式题型归纳 题型一：基本不等式的概念与证明 1．给出下面三个推导过程： ①∵a、b为正实数，∴＋＝2； ②∵a∈R，a≠0，∴＋a＝4； ③∵x、y∈R，xy＜0，∴＋＝－＝－2. 其中正确的推导为（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】利用特殊值确定错误推导，结合基本不等式判断正确推导. 【详解】①，根据基本不等式的知识可知①正确. ②，当时，，所以②错误. ③，根据基本不等式的知识可知③正确. 所以正确的为①③. 故选：B 2.对于任意a，b∈R，下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】当时，可判断A；当时，可判断B；当时，可判断C；利用均值不等式，可判断D. 【详解】选项A：当时，，，不成立，故A错误； 选项B：当时，，，不成立，故B错误； 选项C：当时，，不成立，故C错误； 选项D：由有意义，故，因此 由均值不等式，，当且仅当，即时等号成立 故D正确 故选：D 3.下列说法不正确的是（    ） A．x＋(x>0)的最小值是2 B．的最小值是2 C．的最小值是 D．若x>0，则2－3x－的最大值是2－4 【答案】B 【解析】由二次根式的性质及基本不等式成立的条件逐项判断即可得解. 【详解】对于A，当时，，当且仅当时，等号成立，故A正确； 对于B，， 但，所以等号不成立，所以，故B错误； 对于C，，当时，等号成立，故C正确； 对于D，， 当且仅当时，等号成立，故D正确. 故选：B. 4.在下列函数中，最小值是的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据基本不等式，对选项中依次进行求解判断，特别要注意基本不等式成立的条件“一正、二定、三相等”. 【详解】对于选项A，，当时，，即最小值不是，故选项A不符合题意； 对于选项B，，当时，，当且仅当时取等号，即最小值是2，故选项B不符合题意； 对于选项C，，令，则，在上单调递增，当时，最小值为，故选项C不符合题意； 对于选项D，，当且仅当时取等号，即最小值是，故选项D符合题意； 故选：D. 5.下列不等式证明过程正确的是（    ） A．若，则 B．若x＞0，y＞0，则 C．若x＜0，则 D．若x＜0，则 【答案】D 【分析】利用基本不等式成立的条件及特值法，逐一判断即可． 【详解】∵可能为负数，如时，，∴A错误； ∵可能为负数，如时，，∴B错误； ∵，如时，，∴C错误； ∵，，，∴，当且仅当，即等号成立，∴D正确． 故选：D． 6.下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用特殊值法，即可判断A、B、D的正误，作差法有，即可确定C的正误. 【详解】A：当时，有，故不等式不一定成立，故A错误； B：当，即时，有，故不等式不一定成立，故B错误； C：恒成立，故C正确； D：当时，有，故不等式不一定成立，故D错误； 故选：C 题型二：利用基本不等式证明不等关系 1．已知a，b，c是两两不等的实数，则p＝a2＋b2＋c2与q＝ab＋bc＋ca的大小关系是________. 【答案】p＞q 【分析】根据a、b、c互不相等，利用基本不等式有a2＋b2＞2ab，b2＋c2>2ac，a2＋c2>2ac，再利用不等式的基本性质，两边相加求解. 【详解】∵a、b、c互不相等， ∴a2＋b2＞2ab，b2＋c2>2ac，a2＋c2>2ac. ∴2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ac). 即a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ac. 所以 故答案为： 2．已知，都是正数，求证：. 【答案】证明见解析 【分析】对分别应用基本不等式求解即可. 【详解】证明∵，都是正数， ∴，，，，， ∴，（当且仅当时等号成立）. ∴， 即，当且仅当时，等号成立. 3．已知a，b，c都是非负实数，求证:++. 【答案】证明:因为, 所以,即≥,当且仅当时取得等号, 则有， 同理得≥，≥， 相加可得++≥++，当且仅当时等号成立. 【分析】利用基本不等式证明. 【详解】略 4.已知正实数，且，证明： 证明：因为，且， 可得，当且仅当时，等号成立， 同理可得，， 三个式子相加，可得，当且仅当时，等号成立. 5．（1）若，，，都是正数，求证：； （2）若，，都是正数，求证：. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）对分别应用基本不等式即可证明； （2）对分别应用基本不等式即可证明. 【详解】证明  （1）由，，，都是正数，利用基本不等式可知，， 当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立. 所以， 即有，当且仅当，时，等号成立. （2）由，，都是正数，利用基本不等式可知， ，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立. 所以， 当且仅当时，等号成立. 题型三：利用基本不等式求最值 方法一：直接法求最值 1.核心逻辑 式子本身就是两正数相加或相乘。 （1）积定和最小：若（常数），则，和有最小值； （2）和定积最大：若（常数），则，积有最大值。直接套用基本不等式。 2.解题步骤 (1)判断两个变量均为正数，满足“一正”； (2)观察乘积/和是否为定值，满足“二定”； (3)令两变量相等，解出变量，验证能取到（三相等）； (4)写出对应最值。 3.易错提醒 忽略变量为负的情况；等号取不到时不能用此方法。 1.已知，则的最小值为______________. 【答案】1 【分析】应用基本不等式计算求解. 【详解】已知，则， 当且仅当时取等号， 所以的最小值为1. 2.设，为正数，且，则的最大值为__________． 【答案】/0.25 【详解】（当且仅当时，取等号），所以的最大值为 3.已知正数，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本不等式进行求解即可. 【详解】因为，都是正数， 所以， 当且仅当时取等号， 所以当时，有最大值. 4.的最小值为（    ） A． B．9 C．8 D． 【答案】B 【详解】，当且仅当，即时取等 有和有积有常数型这类题型往往给出条件式：ax+by=cxy+d，此时往往利用基本不等式进行放缩，由条件式构建得到关于"和"或"积"的不等式，解此不等式即可求得"和"或"积"的最值． 5．已知，，且，则的最小值为（   ） A．6 B．4 C． D．2 【答案】A 【详解】因为，故， 又因为，，因此有， 因此，当且仅当时等号成立， 设，所以，解得或， 由和，解得， 因此当时，的最小值为6. 6．已知正数a，b，且，满足，则（     ） A．a的取值范围是 B．的最小值为2 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】D 【分析】由得，利用基本不等式逐项验证即可求解. 【详解】由，所以，即， 又，所以，所以，即的取值范围为，故A错误； 由在单调递增，所以，所以无最小值，故B错误； 由， 当时，即时，等号成立，所以的最小值为，故C错误； 由，当，即时，等号成立， 所以的最小值为，故D正确. 方法二：配凑法求最值 1. 设实数x满足，则函数的最小值为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【详解】因为，所以， 则， s时，等号成立， 故函数的最小值为5. 2.已知，则函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】因为，可得， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以函数的最大值为. 故选：C. 3.函数的最小值是（    ） A．8 B．6 C．9 D．4 【答案】A 【分析】利用配凑法结合基本不等式即可求解. 【详解】， ，，， 由基本不等式可得：， 当且仅当，即时，等号成立，故选A. 4．已知，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】变形应用基本不等式求解即可. 【详解】由，得， 又， 当且仅当，即时等号成立. 故选：A. 5．若，则的最小值为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【分析】先代数变形得，再利用基本不等式即可求解. 【详解】由题意得：， ， 当，即时，等号成立. 6．函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对于函数进行变形得，再利用基本不等式求最值即可． 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当时，取等号， 所以的最大值为． 7．若则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将变形为，设，根据基本不等式即可求解． 【详解】， 因为，所以，设， 则，当且仅当时等号成立， 此时，解得， 故选：A． 8．已知，则的最小值为_____． 【答案】 【详解】，则， 当且仅当时，即时取等号， 即的最小值为. 方法三：分式函数型求最值 求分式型函数的最值时，常利用分离常数法和倒数法求解，若分子次数低于分母次数，则常常作商；若分子次数高于分母次数，则往往分离常数，凑成“对勾”型，再利用基本不等式求得最值. 对于一些较为复杂的分式，往往先换元，再考虑作商或分离常数. 1.已知，则函数的最小值是______． 【答案】 【分析】将函数化简，分离常数，然后结合基本不等式即可得到结果. 【详解】因为， 当且仅当，即时，等号成立. 所以函数的最小值是 故答案为:. 2. (1)求的最大值. (2)求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将函数解析式化为，利用基本不等式可求得该函数的最大值； （2）将函数解析式变形为，利用基本不等式可求得该函数的最小值； 【详解】（1）当时， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，函数的最大值为. （2）当时，， 则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故函数的最小值为. 3.求下列函数的最小值 （1）； （2）； （3）. 【答案】（1）3；（2）；（3）10. 【分析】对分式函数利用分离常数法构造基本不等式（对勾函数）的结构，或利用基本不等式（1,、2）或利用函数单调性求最值. 【详解】（1） ∵（当且仅当，即x=1时取“=”） 即的最小值为3； （2）令，则在是单增， ∴当t=2时，y取最小值； 即y的最小值为 （3）令，则可化为： 当且仅当t=3时取“=” 即y的最小值为10 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： (1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； (2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； (3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方． 4. 已知，函数的最大值是（       ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先换元，再运用基本不等式求解. 【详解】令，则， 所以， 当且仅当等号成立. 故选：B. 5.函数的值域（y的取值范围）是 ． 【答案】 【分析】分三种情况讨论，运用基本不等式求值域. 【详解】当时， 当，. 若时，，当且仅当，即时等号成立，此时 ，即. 若时，，当且仅当，即时等号成立，此时，即. 综上所述，函数的值域为. 6．已知，则的最大值是（    ）． A． B． C．5 D．8 【答案】A 【分析】化简变形利用基本不等式计算即可． 【详解】易知． 因为，所以，所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 故，则的最大值是． 故选：A 7．设正实数、、满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】计算得出，利用基本不等式可求得的最大值. 【详解】因为正实数、、满足，则， 则，当且仅当时取等号. 故的最大值为. 故选：C. 8．已知且，则的最大值为____． 【答案】 【分析】利用基本不等式计算可得. 【详解】因为，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最大值为. 故答案为： 方法四：常数代换法求最值 【解题攻略】 利用常数代换法，可以代通过“分子分母相约和相乘”，相约去或者构造出“倒数”关系。多称之为“1”的代换 （1） 条件和结论有“分子分母”特征； （2）可以乘积出现对构型，再用均值不等式。注意取等条件 结构形式： （1）求 （2）求 1.若，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件可得，利用基本不等式求其最小值. 【详解】由题意，，，， ∴， 当且仅当，即时，代入解得时等号成立 则的最小值为. 2.已知、，且满足，那么的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为知、，且满足， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故选：B. 3.已知正实数，满足，则的最小值为__________. 【答案】 【详解】∵ 正实数满足,∴ . ∴ . ∵ ，由基本不等式得， 当且仅当，即时等号成立. 将代入，解得，符合为正实数的约束条件. ∴ 的最小值为. 4.已知正数，满足，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据，展开根据基本不等式求解即可. 【详解】由题意， ，当且仅当，即时取等号. 故选：B 5.若，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【详解】， ， 当且仅当，即时取等号， 所以. 6.当时，的最小值是（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】A 【详解】由题意得， 则 ， 当且仅当即时等号成立. 注：有些题型不能直接用常数代换法求解，但适当配凑后，便可利用常数代换法转化求解. 7.若实数，则的最小值为（       ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【详解】由条件可知，， 所以 ， 当，即，结合条件 ， 可知时，等号成立，所以的最小值为. 故选：D 8.若，，，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 所以 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 故选：A． 9．已知实数，且，则的最小值为（   ） A．5 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用“1”的代换并变形，再利用基本不等式求解. 【详解】实数，且，则 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 10．已知，，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据条件将，进而得，再用基本不等式可得最小值. 【详解】由，，，所以 当且仅当时等号成立，即，再代入，得. 所以当时的最小值为. 故选：B 方法五：消元法求最值 1.核心逻辑 含两个变量，给出线性等式约束，用约束式把一个变量用另一个表示，消元变为单变量函数再求最值。 2.解题步骤 (1)利用已知等式，用一个变量表示另一个变量； (2)代入目标式，化为只含一个变量的代数式； (3)写出变量取值范围，保证各项为正； (4)配凑定值，用基本不等式求解。 3.易错提醒 消元后遗漏变量取值范围；化简过程计算失误。 1.若正实数满足，则的最小值为______． 【答案】6 【分析】将代换后使用基本不等式求解. 【详解】因为正实数满足，所以，解得，则， 可得， 当且仅当时取等号，所以的最小值为6. 2.已知，若，则的最小值为______ 【答案】8 【分析】根据题意，由条件可得，然后结合基本不等式即可得到结果. 【详解】因为，且，所以， 则，当且仅当，即时等号成立， 则的最小值为8． 故答案为: 3.已知正实数满足，则的最小值是（    ） A． B．4 C．5 D． 【答案】B 【分析】由题意得，代入得，再由均值不等式即可求解. 【详解】由有：， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故选：B. 4.，，且满足，则的最小值为____________，的最小值为____________． 【答案】 9 3 【分析】第①问通过对已知等式变形结合基本不等式求解；第②问通过换元法化简，再结合已知等式利用基本不等式求最小值． 【详解】①，由，所以，，，当且仅当时取得等号,则的最小值为， 由条件得，，，，，当且仅当，时取得等号， 则的最小值为. 方法六：换元法求最值 在代换法运用中，如果分母是两个相关的多项式的问题中，可以将分母通过换元转换成一个变量，这样就可以将所求的式子转换为简单的形式． 1.为正实数，且，则的最小值为________. 【答案】 【分析】令，将所求代数式转化为关于的代数式，再结合基本不等式及1的代换求解即可. 【详解】∵ ,令， ∴， ∴， ∴ 又∵ ∴； 当且仅当时，即时取得最小值， ∴的最小值为. 故答案为： 2.已知，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】设，，表示出，然后代入目标式，利用基本不等式可得范围. 【详解】设，，得到，， 于是， 当且仅当，即时，等号成立，即， 又因为，解得，，满足． 一题多解 ， ， （另解：由，得，， ）． 令， 则， 令，得，此时函数单调递增； 令，得，此时函数单调递减， ， 又当时，，当时，， ，． 故答案为：. 3.若实数，满足，则的最大值为______. 【答案】 【分析】已知条件可化为，故可设，从而目标代数式可化为，利用基本不等式可求其最大值. 【详解】由，得， 设，其中，则， 从而， 故 记，则， 要求最大值，则只需考虑，则, 当且仅当，即时取等号，即最大值为. 故答案为：. 4.已知，是正实数，且，求的最小值． 【答案】 【分析】解法1：双变量换元法，设，，可得，再利用1的妙用可求最小值. 解法2：配凑法，可得，利用基本不等式可求最小值. 解法3：权方和不等式，可得，可求最小值. 【详解】解法1：设，， 则，所以 ． 因为， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以， 当且仅当，时取等号． 所以的最小值为． 解法2：因为，则， 所以 ， 当且仅当，即，时取等号． 所以的最小值为． 解法3：， 当且仅当，即，，即，时取等号． 所以的最小值为． 方法七：因式分解型求最值 1.已知，，且，则的最小值是（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】根据已知得，代入目标式并应用基本不等式求最小值即可. 【详解】由，则，，，故， 所以， 当且仅当，此时取等号. 题型模版 1.特征：已知条件能够因式分解，变形得到两个代数式乘积为定值 2.方法：对条件因式分解，配凑目标代数式构造和定/积定结构，使用基本不等式，同步验证等号能否成立 2.已知正实数满足，则的最小值是（    ） A．26 B．28 C．30 D．32 【答案】B 【分析】根据题意，化简题设条件为，又由，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由正数满足，可得， 所以，同理，将条件变形为， 则， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为. 3.（多选）已知，且，则下列结论正确的有（    ） A．ab的最小值是 B．的最小值为8 C．的最小值为2 D．此方程有且仅有3组整数解 【答案】BCD 【分析】对于ABC，由，得，再结合基本不等式逐个判断即可.对于D，结合，,分析整数解即可. 【详解】由，得，又， 所以，即，由得，由,故. 对于A由，令，得，解得， 即，当且仅当时，取等号，A错误； 对于B，，当且仅当时，等号成立，故B正确， 对于C，， 当且仅当时，取等号，故C正确； 对于D，由，,，故当时，；当时，；当时，，不满足整数解； 当时，；当时，，故不满足整数解； 综上，此方程有且仅有3组整数解，分别为，；，；，.故D正确. 故选：BCD 4.已知，b为正实数，且，则的最小值为_______． 【答案】 【分析】由条件可得，据此利用基本不等式求解即可. 【详解】因为， 所以， ，b为正实数，所以，， ， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为. 故答案为： 方法八：因式分解双换元型 如果条件（或者结论）可以因式分解，则可以通过对分解后因式双换元来转化求解 1.特征：条件式子复杂，一般有一次和二次（因式分解展开就是一次和二次），可能就符合因式分解原理 2.最常见的因式分解：a+b+ab+1=（a+1）（b+1） 1.已知，，且，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知条件可得，令，，可得，，，进一步可得，最后利用基本不等式求出最大值即可. 【详解】，，配凑得：， 两边同时除以4得：，即， 令，，则，，， 所以 （当且仅当即时，等号成立）. 故选：C. 2.已知，且，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法表示出代入所求式子，化简利用均值不等式即可求得最小值. 【详解】因为，所以，令，则且 ，代入中得： 当即时取“=”,所以最小值为1.故选：B 3.若，且，则的最小值为_____ 【详解】由a2+2ab﹣3b2＝1得（a+3b）（a﹣b）＝1，令x＝a+3b，y＝a﹣b，则xy＝1且a，b， 所以a2+b2＝（）2+（）2，当且仅当x2，y2时取等．故答案为． 4.已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】法一：因式分解后根据式子特征，设，，从而表达出，结合基本不等式去除最小值； 【详解】：∵， ∴可设，， ∴，代入所求式子得， ， 当且仅当，时等号成立.所以的最小值为. 5,。已知且满足，则的最小值是 . 【答案】 【分析】将因式分解，令，，即可求得，代入利用均值不等式即可求得最小值． 【详解】解：， 令，， 则，，且， 所以 当且仅当时取等号，此时的最小值故答案为：． 方法九：待定系数法求最值 出现结构形式，通常用待定系数法，再利用基本不等式求解最值问题. 1.为正整数，求的最小值为 . 【答案】4 【详解】由题意知，引入参数k，使之满足 , 当且仅当，且，即时，等号成立， 所以， 故的最小值为4. 方法十：万能K法求最值 1.核心逻辑 求分式型二元代数式最值，设目标式，整理成一元二次方程，利用判别式求范围。 2.解题步骤 (1)令目标代数式等于参数； (2)整理为关于（或）的一元二次方程； (3)根据变量存在实数解，得判别式； (4)解不等式得到的最值，回代验证取等条件。 3.易错提醒 只看判别式，忽略变量正数约束；等号对应根不在定义域内。 1.已知实数，满足，则的最大值为_____. 【答案】 【分析】令，把方程化为，根据方程有解，利用，求得，进而求得的最大值. 【详解】令，则， 方程可化为， 整理得，则满足， 解得，所以，即， 所以的最大值为. 2.已知，满足则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，然后代入方程，进而根据“法”解得答案. 【详解】由题意，设，代入方程得：， 所以，即的最小值为：. 故选：D. 3.已知实数满足． (1)分别求出的取值范围和的最大值． (2)求的最大值，并求此时，的值． (3)当，分别为何值时取得最小值？请求出最小值． 【答案】(1)的取值范围都是，的最大值为3． (2)最大值为6，此时或． (3)时取得最小值，最小值为 【分析】（1）由方程有解，可得，求解可得的范围，同理可求得的范围，由基本不等式可求得的最大值． （2）利用，可求得的最大值，由等号成立的条件可求得此时，的值． （3）利用配方法，结合，可求得的范围，进而可求得最小值，由等号成立的条件可求得此时，的值. 【详解】（1），即， 则关于的方程有解，所以， 可得，即． 同理，，故的取值范围都是． ， 所以（当时取等号），即的最大值为3． （2）由，得， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最大值为6，此时或． （3），即， 又，则， 因此， 解得，当且仅当和分别取左右等号； 所以当时取得最小值，最小值为. 4.若实数满足且，则的最小值为________. 【答案】 【分析】利用代数变形与换元法将条件简化，首先由作因式分解并设对称代换，将原式转化为关于新变量的多项式，然后，通过均值不等式或配方法求出最小值；另一思路是齐次化处理，将目标与条件相除构造出关于比值的二次方程，利用判别式法确定目标式的取值范围，进而分析得到最小值. 【详解】法一：，令，则， 所以， 当且仅当，等号成立. 法二（齐次化）：令，同除以得：，令，所以， 此方程有解，即，所以或（舍）. 故答案为： 方法十一： 配方型求最值 1.已知a，，且，则的最大值为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】由题知，进而得，再结合已知得，即可得答案. 【详解】解：， 则，当且仅当时，“=”成立， 又a，，所以，当且仅当时，“=”成立， 所以的最大值为.故选：C 2.已知正实数a，b满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】将条件中的式子进行配方，利用基本不等式得到关于的不等式，解不等式即可求出结果. 【详解】因为， 所以 ，当且仅当时等号成立，因为， 所以，即，所以， 即，因为为正实数，所以，因此，故的最大值为，此时，故选：B. 3.已知实数x、y满足，且不等式恒成立，则c的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，得出，进一步得到的最小值，再根据不等式恒成立，得出求出c的取值范围． 【详解】解：，，当且仅当时“”成立， 又不等式恒成立，， 的取值范围是．故选：B． 4.已知a，b为非负数，且满足，则的最大值为（    ） A．40 B． C．42 D． 【答案】D 【分析】将表示成的函数，利用均值不等式求出的范围即可求解作答. 【详解】， 又，当且仅当时取“=”，则， 所以当时，的最大值为.故选：D 5.设，，若，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】利用基本不等式可得出关于的不等式，即可解得的最大值. 【详解】因为， 所以，，可得， 当且仅当时，取最大值. 故答案为：. 方法十二：三角换元构造型求最值 一般情况下，复合或者能转化为型，则可以通过三角换元（圆的参数方程型）来转化构造，转化为三角函数辅助角为主的恒等变形来计算求解最值 1.已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】法一：因式分解后根据式子特征，设，，从而表达出，结合基本不等式去除最小值； 法二：采用三角换元，结合三角函数恒等变换，利用三角函数有界性求出最小值. 【详解】法一：∵，∴可设，， ∴，代入所求式子得，， 当且仅当，时等号成立.所以的最小值为. 法二：设，，代入已知等式得，， ∴ ， 其中，.∴，所以的最小值为.故选：D 2.已知，则的最大值是（    ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【解析】利用均值不等式及三角换元法，即可得到结果. 【详解】 令 ，等号在时取到． 故选：A 3.已知正实数满足，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】设，结合三角函数定义表示，代入条件等式通过三角恒等变换和正弦函数性质可求的最小值. 【详解】设，则，则点在单位圆上， 根据三角函数的定义，可设，，则， 则由可得， 则，因为由可得，所以，即， 所以， 由可得， 所以当时，取得最小值，即的最小值为， 故答案为： 4.已知，，则的最小值为 . 【答案】 【分析】把整理为完全平方式，利用三角换元法可求. 【详解】因为，所以令， 解得， 所以 . 因为，所以的最小值为. 5.已知实数a，b，c满足a2＋b2＝c2，c≠0，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由a2＋b2＝c2可设a＝csinx，b＝ccosx，＝＝，可以理解为点(2，0)与单位圆上的点连线的斜率的范围，而两条切线的斜率为±，则的取值范围为. 方法十三：多次使用基本不等式求最值 1.核心逻辑 式子含三组及以上正数，需要两次及以上套用基本不等式。两次取等条件必须同时成 立。 2.解题步骤 (1)分步对不同部分分别使用基本不等式； (2)分别写出每一步取等的条件； (3)联立所有等号条件，看是否存在同时满足的正数； (4)条件能同时满足，才可合并得到最值。 3.易错提醒 多次用不等式，但取等条件无法同时成立，此时结果无效。 1.已知，，且，则的最小值为______． 【答案】64 【分析】借助基本不等式计算即可得. 【详解】法一：因为，，所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立． 所以的最小值为64． 法二：因为，，， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立． 所以的最小值为64． 故答案为：64. 2.已知，则的最小值为______________. 【答案】4 【解析】化简原式为，两次运用基本不等式可得结果. 【详解】 ， 当且仅当，即等号成立， 所以，的最小值为4， 故答案为：4. 【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于中档题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）. 3.设，那么 的最小值是___________. 【答案】16 【分析】利用均值不等式求的最大值表达式，再利用均值不等式求解作答. 【详解】因，则，当且仅当，即时取“=”， 因此，，当且仅当，即时取“=”， 所以，当时，取最小值16. 故答案为：16 4.对任意的正实数，满足，则的最小值为__________. 【答案】 【分析】变形得到，利用两次基本不等式，求出最小值. 【详解】任意的正实数，满足， 由于为正实数，故由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 综上，的最小值为. 故答案为： 【点睛】利用基本不等式求解最值问题，方法灵活，式子不能直接使用基本不等式时，常常需要变形，比如凑项法，“1”的妙用，消元法，多次使用基本不等式等 5.已知，且，则的最小值为______． 【答案】 【分析】记原式为．首先齐次化，结合均值不等式有，从而可得，利用对勾函数的性质求解即可. 【详解】令 ， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以． 令， 注意到单调递增， 故． 当且仅当时等号成立． 故答案为： 题型模版 1.特征：三元及以上代数式，需要分步多次运用基本不等式放缩 2.方法：分步放缩，写出每一步等号成立条件；必须保证所有等号条件能够同时满足，避免虚假最值 方法十四：复杂代数式型求最值 1.若正数，满足，则的最小值为__________. 【答案】/ 【分析】依题意可得，从而得到，再利用基本不等式计算可得. 【详解】因为正数，满足， 所以，则， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 即的最小值为. 故答案为： 题型模版 1.特征：多元、高次、混合分式，不具备标准不等式模型，无法直接套用基本不等式 2.方法：优先齐次化、拆项配凑，尝试转化为标准模型；无法配凑时转为函数单调性求解 2.已知a，b，，，则（1）最大值为______；（2）的最大值为______． 【答案】 【分析】由，将拆分为，由基本不等式得到；对于，将拆分为，则由基本不等式，，故. 【详解】由，将拆分为，则， 根据基本不等式，，， 两式相加得，故，等号成立当且仅当，， 代入，得，即，此时 对于，将拆分为，则， 由基本不等式，，， 两式相加得，故， 等号成立当且仅当，，代入，得， 即，此时， 故答案为：； 3.若正实数，满足，则的最大值为______. 【答案】 【详解】 ，即 又 ，等号成立的条件为 ，原式整理为 ，即 ，那么，所以 的最大值是 . 【点睛】基本不等式常考的类型，已知和为定值，求积的最大值，经常使用公式 ，已知积为定值，求和的最小值， ，已知和为定值，求和的最小值，例如：已知正数 ， ，求 的最小值，变形为 ，再 ，构造1来求最值. 4.已知，均为正数，且，则的最小值为__________． 【答案】6 【分析】由已知有，则，利用基本不等式求其最小值，注意取值条件. 【详解】由均为正数，且，则， 又， ，当且仅当，即取等号， 所以，当且仅当取等号，则， 所以，当且仅当取等号，目标式最小值为6. 故答案为：6 方法十五：基本不等式链求最值 正数：调和平均数几何平均数算术平均数平方平均数 全部在时取等。 2.解题步骤 (1)分清所求为调和、几何、算术、平方平均数中的哪一种； (2)根据不等式链直接比较大小或求范围； (3)需要最值时锁定对应不等方向，验证能否成立。 3.易错提醒 记混四个平均数的顺序；忽略前提。 1. 设正实数，满足，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为6 D．的最大值为9 【答案】AC 【分析】先消元限定定义域，然后利用二次函数性质、常数代换法、取特值求解即可. 【详解】由及正实数，得，且. 对选项A：，这是关于的二次函数，开口向下， 对称轴为，且，故的最大值为. 该项正确. 对选项B：，对称轴为， 代入得最小值为，不等于. 该项错误. 对选项C：， 当且仅当时等号成立，故最小值为. 该项正确. 对选项D：令，则，所以最大值不是9. 该项错误. 2.【多选】已知正实数a，b满足，则（     ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为2 D．的最小值为 【答案】AD 【分析】对于A：利用基本不等式求最值即可；对于B：消元整理可得，进而分析最值；对于C：平方整理可得，进而分析最值；对于D：整理可得，利用“”的妙用结合基本不等式运算求解. 【详解】对于A，因为，当且仅当时等号成立， 的最大值为，A正确； 对于B，将代入得， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为，B错误； 对于C，因为，故， 所以的最大值为，C错误； 对于D，因为，即， 则， 当且仅当，时取等号， 所以的最小值为，D正确. 3.【多选】若实数，，且，则（     ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】BD 【分析】根据给定等量关系，应用基本不等式、“1”的代换及柯西不等式求各项对应代数式的最值，注意取值成立条件. 【详解】A：由均值不等式，得， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为，错误， B：因为，则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为，正确， C：由题设， 由，得， 当且仅当，即时取等号，错误， D：设，问题化为，求的最大值， 根据柯西不等式， 所以，当且仅当即时等号成立， 此时，代入，解得，符合的条件， 所以的最大值为，正确. 4.【多选】已知正实数a、b满足，则（   ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为8 D．的最大值为 【答案】ABD 【分析】直接利用基本不等式即可判断选项；将表示成，代入，利用二次函数即可求出的最小值；根据基本不等式“1”的应用，求的最小值即可判断选项；先求出的最大值，即可判断选项. 【详解】解：选项，由正实数a、b满足，则， 所以，当且仅当，即时取等号，因此的最大值为，选项正确； 选项，由，则，所以， 则当时，取最小值为，选项正确； 选项，由， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，选项错误； 选项，因为，由可知， 所以，当且仅当时取等号， 此时取最大值2，所以的最大值为，选项正确. 5.《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法是后世西方数学家处理数学问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，可以直接通过比较线段与线段的长度完成的无字证明为（  ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题图可知，，. 在中，由勾股定理可得. ，. 题型模版 1.特征：已知正数a,b，要求证明调和平均数、几何平均数、算术平均数、平方平均数的大小关系 2.方法：借助圆的射影定理构造对应四条线段，利用垂线段最短、直径最长等几何性质比较线段长短完成证明 6.《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明，现有图形如图所示，C为线段上的点，且，，O为的中点，以为直径作半圆，过点C作的垂线交半圆于D，连接，，，过点C作的垂线，垂足为E，若不添加辅助线，则该图形可以完成的所有无字证明为__________．（填写序号） ①；②； ③；④． 【答案】①③ 【分析】先明确，的几何意义，即在图中相对应的线段，根据直角三角形的相似可得相应的比例式，结合不等关系，即可证明①③选项；由于在该图中没有相应的线段与之对应，可判断②④选项． 【详解】由题意可知，， 由∽可知，即， 所以； 在中，，即， 当时，O，C点重合，，此时，所以①正确； 在中，由∽可得，即， 所以， 由于，所以， 当时，，此时，所以③正确； 由于在该图中没有相应的线段与之对应，故②④中的不等式无法通过这种几何方法来证明． 7.《几何原本》中的几何代数法(用几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”.如图所示，AB是半圆O的直径，点C是AB上一点(不同于)，点D在半圆O上，且于E，设，则该图形可以完成的“无字证明”为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆和直角三角形的性质得到、、，结合即可得. 【详解】由，可得半圆的半径， 由， ， 所以， ， 由图知，则. 故选：D 8.《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，运用这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，则该图形可以完成的无字证明为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题知，结合及，即可求解. 【详解】因为，点在直径上，不妨设点在线段上，如图所示， 则， 当与不重合时，因为，则， 当与重合时，，，也满足， 又易知，所以，    题型四：基本不等式求恒成立问题的参数范围 1.核心逻辑 不等式恒成立：-恒成立；-恒成立；先用基本不等式求出最值，再解参数。 2.解题步骤 (1)分离参数，把参数单独放一侧； (2)另一侧函数用基本不等式求出最大/最小值； (3)根据恒成立规则列出参数不等式； (4)解出参数取值范围，标注定义域限制。 3.易错提醒 恒成立最值方向搞反；求函数最值时不满足一正二定三相等。 1.【多选】已知，，当时，不等式恒成立，则m的值可以是（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】BCD 【分析】利用“1”的妙用和基本不等式求出的最小值，再由不等式恒成立，解不等式求出的范围，再逐一检验各选项即可. 【详解】因，，故，又， 则，当且仅当时等号成立， 依题意，可得恒成立，即，解得. 当时，由，解得，此时恒成立； 当时，由，解得此时恒成立； 当时，由，解得，此时恒成立. 故选：BCD. 2.【多选】已知，且，若不等式恒成立，则的值可以为（ ） A．11 B．9 C．10 D．8 【答案】BD 【分析】根据题意和基本不等式，求出不等式，即可作答. 【详解】因为，且，所以不等式， 当且仅当，即时，等号成立； 又因为不等式恒成立，所以， 结合选项，可得选项B、D符合题意. 故选：BD. 3.已知，若不等式恒成立，则m的最大值为（ ） A．5 B．6 C．10 D．25 【答案】A 【分析】不等式可化为，利用基本不等式求出的最小值，即可得到m的最大值. 【详解】因为不等式恒成立，，， 所以恒成立， 设，则 当且仅当时等号成立， 所以，所以，所以m的最大值为5. 4.若不等式对恒成立，则实数的最大值为（    ） A．12 B． C．6 D． 【答案】A 【分析】借助基本不等式“1”的活用可得，则可得. 【详解】当时，，， 则， 当且仅当，即时等号成立， 即恒成立，则，故， 故实数的最大值为. 故选：A. 5.已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用基本不等式求得的最小值，由此列不等式来求得的取值范围. 【详解】已知，则， 因为4， 当且仅当时等号成立，由，解得. 故的最小值为4. 因为恒成立，所以，解得，即. 故选：B 6.若正实数x，y满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】利用代换1法，结合均值不等式求出最小值，再解绝对值不等式即可求出选项. 【详解】因为正实数x，y满足， 所以， 当且仅当，即时取等号， 又由不等式恒成立， 所以，解得：， 故选：C. 题型五：基本不等式的实际应用问题 1．如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为的十字形地域．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为．设总造价为S（单位：元），则当总造价S最小时，AD的长度为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设根据十字形地域的面积，得出的关系式，进而求出各个图形的面积，将各个区域造价相加，求得总造价，结合基本不等式，即可求得总造价最小值和取最小值时的长. 【详解】设 则，所以， 所以， 因为，即且，解得， 所以. 故 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时， 该休闲场所的总造价最小，最小值为 元. 故选：B 2．如图所示，某小区要建造一个一面靠墙的无盖长方体垃圾池，垃圾池的容积为50m3，为了合理利用地形，要求垃圾池靠墙一面的长为5m，如果池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为180元（不计靠墙一面的造价），设垃圾池的高为，墙高5m.当垃圾池的总造价最低时，垃圾池的高应为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【分析】利用长方体垃圾池的容积及长与高表示宽，再求各面面积，得出总造价，利用基本不等式求最值. 【详解】由题意，无盖长方体垃圾池的容积为，长为5m，高为，宽，， 则总造价， 当且仅当，即时取等号，且， 所以当垃圾池的高为时，垃圾池总造价最低. 故选：C. 3．如图，某厂有许多形状为直角三角形的铁皮边角料，为了降低损耗，现要从这些边角料上截取矩形铁片加以利用．已知，设，当截取的矩形铁片的面积最大时，___________，___________ 【答案】 10 8 【分析】根据已知可得，应用基本不等式求最值，并确定取值条件，即可得. 【详解】设矩形铁片的面积为， 因为，所以，解得， 所以，则， 当且仅当时等号成立，即取得最大值时. 故答案为：， 4．某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为48 m2，房屋正面每平方米造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元．如果墙高为3 m，且不计房屋背面和地面的费用，那么房屋的总造价最低为______元． 【答案】 【分析】求出房屋的总造价，利用基本不等式可得答案. 【详解】设房屋底面一边长为m，则另一边长为m， 所以房屋的总造价为， 因为，所以， 当且仅当即时等号成立. 故答案为：. 5．某企业2025年年初花费49万元购进一台新的设备，并立即投入使用，该设备使用后，每年的总收入预计为40万元.设备使用年后该设备的总维修保养费用为万元，盈利总额为y万元. (1)求y关于x的函数关系式； (2)求该设备的年平均盈利额的最大值（年平均盈利额=盈利总额÷使用年数）. 【答案】(1) (2)万元. 【分析】（1）根据给定条件，直接求出y关于x的函数关系式； （2）求出年平均盈利额的表达式，再利用基本不等式求得最大值. 【详解】（1）根据题意：， 故y关于x的函数关系式为. （2）由（1）知盈利总额为， 则年平均盈利额为， 因为，等号成立时， 所以， 故第年年平均盈利额取得最大值，最大值为万元. 6．发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是推动绿色发展的战略措施，某汽车工业园区正在不断建设，计划在园区建造一个高为3米，宽度为（单位：米），地面面积为81平方米的长方体形状的储物室，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案： 方案一：储物室的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共计7200元，总计报价记为； 方案二：其给出的整体报价为元， (1)当宽度为8米时，方案二的报价为29700元，求的值； (2)求的函数解析式，并求报价的最小值； (3)若对任意的时，方案二都比方案一省钱，求的取值范围. 【答案】(1)18 (2)   (3) 【分析】（1）根据函数定义直接代入可计算；     （2）根据题意求出长方体侧面积，然后可求函数，再利用基本不等式求最值；     （3）代入进行参变分离，接着求函数最值即可. 【详解】（1）宽度为8米时，方案二的报价为29700元， ， 所以的值为18. （2）设底面长为，， 所以墙面面积为， ，，当时取等， 所以，最小值为. （3）对任意的时，方案二都比方案一省钱， 即时，恒成立， 整理得， 因为，， 设，则， 又由对勾函数性质可得在在上单调递增， ， 又，所以， 所以方案二都比方案一省钱，的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 基本不等式题型归纳 题型一：基本不等式的概念与证明 1．给出下面三个推导过程： ①∵a、b为正实数，∴＋＝2； ②∵a∈R，a≠0，∴＋a＝4； ③∵x、y∈R，xy＜0，∴＋＝－＝－2. 其中正确的推导为（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 2.对于任意a，b∈R，下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D．2 3.下列说法不正确的是（    ） A．x＋(x>0)的最小值是2 B．的最小值是2 C．的最小值是 D．若x>0，则2－3x－的最大值是2－4 4.在下列函数中，最小值是的是（    ） A． B． C． D． 5.下列不等式证明过程正确的是（    ） A．若，则 B．若x＞0，y＞0，则 C．若x＜0，则 D．若x＜0，则 6.下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 题型二：利用基本不等式证明不等关系 1．已知a，b，c是两两不等的实数，则p＝a2＋b2＋c2与q＝ab＋bc＋ca的大小关系是________. 2．已知，都是正数，求证：. 3．已知a，b，c都是非负实数，求证:++. 4．已知，，，且，证明： (1)； (2). 5．（1）若，，，都是正数，求证：； （2）若，，都是正数，求证：. 题型三：利用基本不等式求最值 方法一：直接法求最值 1.核心逻辑 式子本身就是两正数相加或相乘。 （1）积定和最小：若（常数），则，和有最小值； （2）和定积最大：若（常数），则，积有最大值。直接套用基本不等式。 2.解题步骤 (1)判断两个变量均为正数，满足“一正”； (2)观察乘积/和是否为定值，满足“二定”； (3)令两变量相等，解出变量，验证能取到（三相等）； (4)写出对应最值。 3.易错提醒 忽略变量为负的情况；等号取不到时不能用此方法。 1.已知，则的最小值为______________. 2.设，为正数，且，则的最大值为__________． 3.已知正数，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 4.的最小值为（    ） A． B．9 C．8 D． 有和有积有常数型这类题型往往给出条件式：ax+by=cxy+d，此时往往利用基本不等式进行放缩，由条件式构建得到关于"和"或"积"的不等式，解此不等式即可求得"和"或"积"的最值． 5．已知，，且，则的最小值为（   ） A．6 B．4 C． D．2 6．已知正数a，b，且，满足，则（     ） A．a的取值范围是 B．的最小值为2 C．的最大值为 D．的最小值为 方法二：配凑法求最值 1. 设实数x满足，则函数的最小值为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 2.已知，则函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 3.函数的最小值是（    ） A．8 B．6 C．9 D．4 4．已知，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 5．若，则的最小值为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 6．函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 7．若则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．已知，则的最小值为_____． 方法三：分式函数型求最值 求分式型函数的最值时，常利用分离常数法和倒数法求解，若分子次数低于分母次数，则常常作商；若分子次数高于分母次数，则往往分离常数，凑成“对勾”型，再利用基本不等式求得最值. 对于一些较为复杂的分式，往往先换元，再考虑作商或分离常数. 1.已知，则函数的最小值是______． 2. (1)求的最大值. (2)求的最小值. 3.求下列函数的最小值 （1）； （2）； （3）. 4. 已知，函数的最大值是（       ） A．1 B．2 C．3 D．4 5.函数的值域（y的取值范围）是 ． 6．已知，则的最大值是（    ）． A． B． C．5 D．8 7．设正实数、、满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．已知且，则的最大值为____． 方法四：常数代换法求最值 利用常数代换法，可以代通过“分子分母相约和相乘”，相约去或者构造出“倒数”关系。多称之为“1”的代换 （1） 条件和结论有“分子分母”特征； （2）可以乘积出现对构型，再用均值不等式。注意取等条件 结构形式： （1）求 （2）求 1.若，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2.已知、，且满足，那么的最小值为（   ） A． B． C． D． 3.已知正实数，满足，则的最小值为__________. 4.已知正数，满足，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 5.若，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．2 6.当时，的最小值是（    ） A．3 B．4 C． D． 注：有些题型不能直接用常数代换法求解，但适当配凑后，便可利用常数代换法转化求解. 7.若实数，则的最小值为（       ） A． B．1 C． D．2 8.若，，，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C． D． 9．已知实数，且，则的最小值为（   ） A．5 B．4 C． D． 10．已知，，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 方法五：消元法求最值 1.核心逻辑 含两个变量，给出线性等式约束，用约束式把一个变量用另一个表示，消元变为单变量函数再求最值。 2.解题步骤 (1)利用已知等式，用一个变量表示另一个变量； (2)代入目标式，化为只含一个变量的代数式； (3)写出变量取值范围，保证各项为正； (4)配凑定值，用基本不等式求解。 3.易错提醒 消元后遗漏变量取值范围；化简过程计算失误。 1.若正实数满足，则的最小值为______． 2.已知，若，则的最小值为______ 3.已知正实数满足，则的最小值是（    ） A． B．4 C．5 D． 4.，，且满足，则的最小值为____________，的最小值为____________． 方法六：换元法求最值 在代换法运用中，如果分母是两个相关的多项式的问题中，可以将分母通过换元转换成一个变量，这样就可以将所求的式子转换为简单的形式． 1.为正实数，且，则的最小值为________. 2.已知，则的取值范围是______． 3.若实数，满足，则的最大值为______. 4.已知，是正实数，且，求的最小值． 方法七：因式分解型求最值 1.已知，，且，则的最小值是（    ） A．2 B．4 C． D． 2.已知正实数满足，则的最小值是（    ） A．26 B．28 C．30 D．32 3.（多选）已知，且，则下列结论正确的有（    ） A．ab的最小值是 B．的最小值为8 C．的最小值为2 D．此方程有且仅有3组整数解 4.已知，b为正实数，且，则的最小值为_______． 方法八：因式分解双换元型 如果条件（或者结论）可以因式分解，则可以通过对分解后因式双换元来转化求解 1.特征：条件式子复杂，一般有一次和二次（因式分解展开就是一次和二次），可能就符合因式分解原理 2.最常见的因式分解：a+b+ab+1=（a+1）（b+1） 1.已知，，且，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 2.已知，且，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 3.若，且，则的最小值为_____ 4.已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5.已知且满足，则的最小值是 . 方法九：待定系数法求最值 出现结构形式，通常用待定系数法，再利用基本不等式求解最值问题. 1.为正整数，求的最小值为 . 方法十：万能K法求最值 1.核心逻辑 求分式型二元代数式最值，设目标式，整理成一元二次方程，利用判别式求范围。 2.解题步骤 (1)令目标代数式等于参数； (2)整理为关于（或）的一元二次方程； (3)根据变量存在实数解，得判别式； (4)解不等式得到的最值，回代验证取等条件。 3.易错提醒 只看判别式，忽略变量正数约束；等号对应根不在定义域内。 1.已知实数，满足，则的最大值为_____. 2.已知，满足则的最小值是（    ） A． B． C． D． 3.已知实数满足． (1)分别求出的取值范围和的最大值． (2)求的最大值，并求此时，的值． (3)当，分别为何值时取得最小值？请求出最小值． 4.若实数满足且，则的最小值为________. 方法十一： 配方型求最值 1.已知a，，且，则的最大值为（    ） A．2 B．3 C． D． 2.已知正实数a，b满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D．2 3.已知实数x、y满足，且不等式恒成立，则c的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4.已知a，b为非负数，且满足，则的最大值为（    ） A．40 B． C．42 D． 5.设，，若，则的最大值为 ． 方法十二：三角换元构造型求最值 一般情况下，复合或者能转化为型，则可以通过三角换元（圆的参数方程型）来转化构造，转化为三角函数辅助角为主的恒等变形来计算求解最值 1.已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2.已知，则的最大值是（    ） A． B． C．0 D． 3.已知正实数满足，则的最小值为 ． 4.已知，，则的最小值为 . 5.已知实数a，b，c满足a2＋b2＝c2，c≠0，则的取值范围为 ． 方法十三：多次使用基本不等式求最值 1.核心逻辑 式子含三组及以上正数，需要两次及以上套用基本不等式。两次取等条件必须同时成 立。 2.解题步骤 (1)分步对不同部分分别使用基本不等式； (2)分别写出每一步取等的条件； (3)联立所有等号条件，看是否存在同时满足的正数； (4)条件能同时满足，才可合并得到最值。 3.易错提醒 多次用不等式，但取等条件无法同时成立，此时结果无效。 1.已知，，且，则的最小值为______． 2.已知，则的最小值为______________. 3.设，那么 的最小值是___________. 4.对任意的正实数，满足，则的最小值为__________. 5.已知，且，则的最小值为______． 方法十四：复杂代数式型求最值 1.若正数，满足，则的最小值为__________. 2.已知a，b，，，则（1）最大值为______；（2）的最大值为______． 3.若正实数，满足，则的最大值为______. 4.已知，均为正数，且，则的最小值为__________． 方法十五：基本不等式链求最值 正数：调和平均数几何平均数算术平均数平方平均数 全部在时取等。 2.解题步骤 (1)分清所求为调和、几何、算术、平方平均数中的哪一种； (2)根据不等式链直接比较大小或求范围； (3)需要最值时锁定对应不等方向，验证能否成立。 3.易错提醒 记混四个平均数的顺序；忽略前提。 1. 设正实数，满足，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为6 D．的最大值为9 2.【多选】已知正实数a，b满足，则（     ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为2 D．的最小值为 3.【多选】若实数，，且，则（     ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最大值为 4.【多选】已知正实数a、b满足，则（   ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为8 D．的最大值为 5.《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法是后世西方数学家处理数学问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，可以直接通过比较线段与线段的长度完成的无字证明为（  ）    A． B． C． D． 6.《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明，现有图形如图所示，C为线段上的点，且，，O为的中点，以为直径作半圆，过点C作的垂线交半圆于D，连接，，，过点C作的垂线，垂足为E，若不添加辅助线，则该图形可以完成的所有无字证明为__________．（填写序号） ①；②； ③；④． 7.《几何原本》中的几何代数法(用几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”.如图所示，AB是半圆O的直径，点C是AB上一点(不同于)，点D在半圆O上，且于E，设，则该图形可以完成的“无字证明”为（    ） A． B． C． D． 8.《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，运用这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，则该图形可以完成的无字证明为（    ）    A． B． C． D． 题型四：利用基本不等式求恒成立问题的参数范围 1.核心逻辑 不等式恒成立：-恒成立；-恒成立；先用基本不等式求出最值，再解参数。 2.解题步骤 (1)分离参数，把参数单独放一侧； (2)另一侧函数用基本不等式求出最大/最小值； (3)根据恒成立规则列出参数不等式； (4)解出参数取值范围，标注定义域限制。 3.易错提醒 恒成立最值方向搞反；求函数最值时不满足一正二定三相等。 1.【多选】已知，，当时，不等式恒成立，则m的值可以是（    ） A． B．2 C． D．4 2.【多选】已知，且，若不等式恒成立，则的值可以为（ ） A．11 B．9 C．10 D．8 3.已知，若不等式恒成立，则m的最大值为（ ） A．5 B．6 C．10 D．25 4.若不等式对恒成立，则实数的最大值为（    ） A．12 B． C．6 D． 5.已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6.若正实数x，y满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 题型五：基本不等式的实际应用问题 1．如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为的十字形地域．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为．设总造价为S（单位：元），则当总造价S最小时，AD的长度为（   ）    A． B． C． D． 2．如图所示，某小区要建造一个一面靠墙的无盖长方体垃圾池，垃圾池的容积为50m3，为了合理利用地形，要求垃圾池靠墙一面的长为5m，如果池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为180元（不计靠墙一面的造价），设垃圾池的高为，墙高5m.当垃圾池的总造价最低时，垃圾池的高应为（    ） A． B．3 C． D．4 3．如图，某厂有许多形状为直角三角形的铁皮边角料，为了降低损耗，现要从这些边角料上截取矩形铁片加以利用．已知，设，当截取的矩形铁片的面积最大时，___________，___________ 4．某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为48 m2，房屋正面每平方米造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元．如果墙高为3 m，且不计房屋背面和地面的费用，那么房屋的总造价最低为______元． 5．某企业2025年年初花费49万元购进一台新的设备，并立即投入使用，该设备使用后，每年的总收入预计为40万元.设备使用年后该设备的总维修保养费用为万元，盈利总额为y万元. (1)求y关于x的函数关系式； (2)求该设备的年平均盈利额的最大值（年平均盈利额=盈利总额÷使用年数）. 6．发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是推动绿色发展的战略措施，某汽车工业园区正在不断建设，计划在园区建造一个高为3米，宽度为（单位：米），地面面积为81平方米的长方体形状的储物室，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案： 方案一：储物室的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共计7200元，总计报价记为； 方案二：其给出的整体报价为元， (1)当宽度为8米时，方案二的报价为29700元，求的值； (2)求的函数解析式，并求报价的最小值； (3)若对任意的时，方案二都比方案一省钱，求的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $