山东淄博市高青县高青双语学校2024-2025学年九年级下学期质量检测试卷

高青双语学校2025九年级下学期质量检测试卷 一．选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1．在中，负数的个数有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．我国有56个民族，民俗文化丰富多彩．下面是几幅具有浓厚民族特色的服饰图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．下列运算中，正确的是（　　） A．（m+n）2＝m2+n2 B．a2+a2＝a4 C．﹣a8÷a4＝﹣a2 D．（﹣3a2）3＝﹣27a6 4．古代中国诸多技艺均领先世界．榫卯结构就是其中之一，榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式．凸出部分叫榫（或榫头），凹进部分叫卯（或榫眼、榫槽），榫和卯咬合，起到连接作用，如图是某个部件“榫”的实物图，它的俯视图是（　　） A． B． C． D． 5．截至2025年3月29日，《哪吒之魔童闹海》（《哪吒2》）的全球票房已突破154亿元人民币，目前位居全球影史票房榜第5位．数据“154亿”用科学记数法表示为（　　） A．1.54×1010 B．154×108 C．1.54×1011 D．0.154×1011 6．月球车工作时所需的电能都是由太阳能电池板提供的．当太阳光线垂直照射在太阳光板上时，接收的太阳光能最多，某一时刻太阳光的照射角度如图所示，如果要使此时接收的太阳光能最多，那么将太阳光板绕支点P顺时针旋转的最小角度为（　　） A．40° B．45° C．50° D．60° 7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠ADC＝116°，点E在⊙O上，则∠BEC的度数是（　　） A．28° B．56° C．46° D．26° 8．某校组织九年级学生赴韶山开展研学活动，已知学校离韶山50千米．师生乘大巴车前往，某老师因有事情，推迟了10分钟出发，自驾小车以大巴车速度的1.2倍前往，结果同时到达．设大巴车的平均速度为x千米/时，则可列方程为（　　） A． B．10 C．10 D． 9．如图，平行四边形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，点D（3，2）在对角线OB上，反比例函数的图象经过C、D两点．已知平行四边形OABC的面积是18，则点B的坐标为（　　） A．（6，4） B．（4，6） C．（5，4） D．（4，5） 10．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，2）与（0，3）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝2．下列结论：①abc＜0；②9a+3b+c＞0；③若点M（，y1），点N（，y2）是函数图象上的两点，则y1＜y2；④a；⑤c﹣3a＞0．其中正确结论有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二．填空题（共5小题，每小题4分，共20分） 11．若二次根式有意义，则x的取值范围是 ________ ． 12．2025年我国人工智能领域取得重大突破，国产大模型DeepSeek（深度求索）凭借开源模式和成本优势火爆全球．在单词DeepSeek中任意选择一个字母，选到字母“e”的概率是__________________ ． 13．若x＝3是关于x的方程ax2﹣bx＝3的解，则2025﹣3a+b的值为_________ ． 14．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，AE平分∠BAD交BC于点E．点F，G分别是AD，AE的中点，则FG的长为 ________________ ． 15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D是平面内一点，且CD＝1．过点B作BE⊥AD于点E． ①若CD⊥AE，则AD的长为_____ ； ②当线段CD绕点C在平面内旋转时，线段BE长度的最大值为_____ ． 三．解答题（共8小题，共90分） 16．（1）计算：； （2）先化简：，其中a为整数且﹣2≤a≤1，再选一个你喜欢的a的值代入求值． 17．2024年植树节来临之际，某学校计划采购一批树苗，参加“保护黄河，远离雾霾”植树节活动．已知每棵甲种树苗比每棵乙种树苗贵10元，用400元购买甲种树苗的棵数恰好与用300元购买乙种树苗的棵数相同． （1）求甲、乙两种树苗每棵的价格分别是多少元？ （2）学校决定购买甲、乙两种树苗共100棵，实际购买时，甲种树苗的售价打九折，乙种树苗的售价不变．学校用于购买两种树苗的总费用不超过3200元，最多可购买多少棵甲种树苗？ 18．今年央视春晚节目《秧BOT》别出心裁，独树一帜，人机共舞为文化传承搭建了新的桥梁，不仅舞出了精彩的节目，更是舞出了传统文化与现代科技交织的艺术新境界．科创小达人菲菲从某省的快递分拣站随机抽取A、B两种型号的智能机器人各10台，统计它们每天可分拣的快递数量． 【数据收集与整理】 A型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）条形统计图如图所示： B型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）如表所示： 分拣快递数量（万件） 16 17 20 22 23 机器人台数（台） 1 1 5 2 1 【数据分析与运用】 两组样本数据的众数、中位数、平均数、方差整理如表： 众数/万件 中位数/万件 平均数/万件 方差/万件2 A型号 14和16 b 15 c B型号 a 20 20 4.2 请你根据以上数据，解答下列问题： （1）填空：表中a＝_______ ，b＝_______ ，c＝________ ； （2）若某快递公司只能购买一种型号的智能机器人，请你结合“数据分析与运用”，为该公司提出一条合理化建议． （3）若某快递公司新购进A型号智能机器人2台，B型号智能机器人2台，随机抽取两台分拣快递，求抽取的智能机器人恰有同一型号智能机器人的概率． 19．综合与实践：小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习． 【实验操作】 第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处，入射光线与水槽内壁AC的夹角为∠A； 第二步：向水槽注水，水面上升到AC的中点E处时，停止注水．（直线NN′为法线，AO为入射光线，OD为折射光线．） 【测量数据】 如图，点A，B，C，D，E，F，O，N，N′在同一平面内，测得AC＝20cm，∠A＝45°，折射角∠DON＝32°． 【问题解决】 根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题： （1）求BC的长； （2）求B，D之间的距离（结果精确到0.1cm）． （参考数据：sin32°≈0.52，cos32°≈0.84，tan32°≈0.62） 20．如图1，在△ABC中，AD为BC边上的高，∠ACB＝45°，tan∠ABC，AB＝5，动点P从点B出发，沿B→C运动，到达点C时停止运动，设点P运动的路程为x，过点P作PQ⊥BC交△ABC的边AB于点Q，点P，Q的距离为y1，△ABD的面积与点P运动的路程之比为y2． （1）请直接写出y1，y2分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在如图2所示的平面直角坐标系中，画出函数y1，y2的图象，并写出函数y1的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出y1≤y2时，x的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 21．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB为直径，D是⊙O上一点，且∠CDO＝∠B，过点C作CE⊥DA交DA的延长线于点E． （1）求证：CE是⊙O的切线； （2）若AD＝5，，求AC的长． 22．如图，在矩形ABCD中，，点P为射线CA上一动点，连接DP，将线段DP绕点P逆时针旋转30°得到线段EP，连接DE． （1）当点P为线段AC的中点时，求证：△ADP是等边三角形； （2）当PE与矩形ABCD的边平行时，求线段DP的长； （3）在点P的运动过程中，线段DE的长度是否存在最小值？如果存在，求出最小值；如果不存在，请说明理由． 23．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2ax+3（a为常数）与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B，若抛物线的对称轴为直线x＝1． （1）求a的值； （2）若点C（c，6）是抛物线上的点，且c＜1，求证：点A，B，C三点共线； （3）点P（t﹣1，m），Q（t，n）是抛物线上的两点，记抛物线在P，Q之间的部分为图象G（包含P，Q两点），若图象G上任意两点纵坐标之差的最大值是3，求t的值． 高青双语学校2025九年级下学期质量检测试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1．在中，负数的个数有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【分析】根据正数和负数的定义判断即可，注意：0既不是负数也不是正数． 【解答】解：0，是负数； ﹣|﹣2|＝﹣2＜0，是负数； （﹣1）3＝﹣1＜0，是负数； 0既不是正数，也不是负数； ﹣（﹣5）＝5＞0，是正数； ∴负数有，﹣|﹣2|，（﹣1）3，共3个． 故选：B． 【点评】本题考查了对正数和负数定义的理解，难度不大，注意0既不是正数也不是负数． 2．我国有56个民族，民俗文化丰富多彩．下面是几幅具有浓厚民族特色的服饰图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【解答】解：A、选项图形是中心对称图形，不是轴对称图形，选项不符合题意； B、选项图形既是轴对称图形又是中心对称图形，选项符合题意； C、选项图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，选项不符合题意； D、选项图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，选项不符合题意． 故选：B． 【点评】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是关键． 3．下列运算中，正确的是（　　） A．（m+n）2＝m2+n2 B．a2+a2＝a4 C．﹣a8÷a4＝﹣a2 D．（﹣3a2）3＝﹣27a6 【分析】根据积的乘方与幂的乘方、合并同类项、完全平方公式逐项判断即可得． 【解答】解：A、（m+n）2＝m2+2mn+n2，故此项错误，不符合题意； B、a2+a2＝2a2，故此项错误，不符合题意； C、﹣a8÷a4＝﹣a4，故此项错误，不符合题意； D、（﹣3a2）3＝﹣27a6，故此项正确，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了积的乘方与幂的乘方、合并同类项、完全平方公式，熟练掌握各运算法则和完全平方公式是解题关键． 4．古代中国诸多技艺均领先世界．榫卯结构就是其中之一，榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式．凸出部分叫榫（或榫头），凹进部分叫卯（或榫眼、榫槽），榫和卯咬合，起到连接作用，如图是某个部件“榫”的实物图，它的俯视图是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据俯视图的意义，判断解答即可． 【解答】解：部件“榫”的实物图的俯视图是： ． 故选：C． 【点评】本题考查了三视图的意义，熟练掌握俯视图的意义是解题的关键． 5．截至2025年3月29日，《哪吒之魔童闹海》（《哪吒2》）的全球票房已突破154亿元人民币，目前位居全球影史票房榜第5位．数据“154亿”用科学记数法表示为（　　） A．1.54×1010 B．154×108 C．1.54×1011 D．0.154×1011 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：154亿＝15400000000＝1.54×1010． 故选：A． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 6．月球车工作时所需的电能都是由太阳能电池板提供的．当太阳光线垂直照射在太阳光板上时，接收的太阳光能最多，某一时刻太阳光的照射角度如图所示，如果要使此时接收的太阳光能最多，那么将太阳光板绕支点P顺时针旋转的最小角度为（　　） A．40° B．45° C．50° D．60° 【分析】根据题意，画出图形，得到∠DCB＝∠FBA＝40°，从而求出∠CPD的度数即可． 【解答】解：将太阳能板绕P点旋转到DE位置时，太阳光FB⊥DE、DC⊥DE， ∵DC∥FB， ∴∠DCB＝∠FBA＝40°， ∵∠DPC＝90°， ∴∠CPD＝90°﹣∠DCB＝50°， 故选：C． 【点评】本题考查了平行线的性质应用，角度的计算，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠ADC＝116°，点E在⊙O上，则∠BEC的度数是（　　） A．28° B．56° C．46° D．26° 【分析】连接OC，根据圆内接四边形的性质，得∠ABC＝64°，再得到∠OCB＝∠ABC＝64°，再根据圆周角定理即可求解． 【解答】解：如图，连接OC， ∵四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠ADC＝116°， ∴∠ABC＝180°﹣∠ADC＝180°﹣116°＝64°， ∵OB＝OC， ∴∠OCB＝∠ABC＝64°， ∴∠BOC＝180°﹣∠OCB﹣∠ABC＝52°， ∴， 故选：D． 【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，等腰三角形的性质，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 8．某校组织九年级学生赴韶山开展研学活动，已知学校离韶山50千米．师生乘大巴车前往，某老师因有事情，推迟了10分钟出发，自驾小车以大巴车速度的1.2倍前往，结果同时到达．设大巴车的平均速度为x千米/时，则可列方程为（　　） A． B．10 C．10 D． 【分析】设大巴车的平均速度为x千米/时，则小车的平均速度为1.2x千米/时，根据题意列出方程即可． 【解答】解：设大巴车的平均速度为x千米/时，则小车的平均速度为1.2x千米/时， 根据题意可得：． 故选：A． 【点评】本题主要考查由实际问题抽象出分式方程，解题关键关键是分析题意找出相等关系． 9．如图，平行四边形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，点D（3，2）在对角线OB上，反比例函数的图象经过C、D两点．已知平行四边形OABC的面积是18，则点B的坐标为（　　） A．（6，4） B．（4，6） C．（5，4） D．（4，5） 【分析】先求出反比例函数，设OB的解析式为y＝mx，由OB经过D（3，2），得出OB的解式为，设，且a＞0，由平行四边形的性质得BC∥OA，S▱OABC＝2S△OBC，则，，代入面积公式即可得出结果． 【解答】解：∵反比例函数的图象经过点D（3，2） ∴k＝3×2＝6， ∴反比例函数的解析式为， ∵OB经过原点O， ∴设直线OB的解析式为y＝mx（m≠0）， ∵OB经过点D（3，2）， ∴2＝3m， ∴， ∵直线OB的解析式为， ∵反比例函数经过点C， ∴设，且a＞0， ∵四边形OABC是平行四边形， ∴BC∥OA，S▱OABC＝2S△OBC， ∴点B的纵坐标为， ∵OB的解析式为， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵平行四边形OABC的面积是18， ∴S平行四边形OABC＝2S△OBC， 解得：或（舍去）， ∴点B的坐标是（6，4）， 故选：A． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数的解析式、平行四边形的性质、三角形的面积，熟练掌握以上知识是解题的关键． 10．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，2）与（0，3）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝2．下列结论：①abc＜0；②9a+3b+c＞0；③若点M（，y1），点N（，y2）是函数图象上的两点，则y1＜y2；④a；⑤c﹣3a＞0．其中正确结论有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】由抛物线开口向下，对称轴为直线x＝2，与y轴的交点B的范围，即可得出a＜0、b＞0、c＞0，进而可得出abc＜0，即可判断结论①；由抛物线的对称轴以及与x轴的一个交点坐标，可得出另一交点坐标为（5，0），进而可得出9a+3b+c＞0，即可判断结论②；由二次函数的性质即可判断结论③；由抛物线对称轴为x＝2可得出b＝﹣4a，结合y轴的交点B在（0，2）与（0，3）之间（不包括这两点），即可判断结论④；由c＝﹣5a，a＜0得出c﹣3a＝﹣8a即可判断结论⑤． 【解答】解：①∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝2，与y轴的交点B在（0，2）与（0，3）之间（不包括这两点）， ∴a＜0，2，c＞0， ∴b＝﹣4a＞0， ∴abc＜0，结论①正确； ②∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为直线x＝2， ∴二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的另一个交点为（5，0）， ∴x＝3时，y＞0， ∴9a+3b+c＞0，结论②正确； ③∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝2， ∴x＜2时，y随x的增大而增大， ∵点M（，y1），点N（，y2）是函数图象上的两点，且点M（，y1）到对称轴的距离大于点N（，y2）到对称轴的距离， ∴y1＜y2；结论③正确； ④∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0）， ∴a﹣b+c＝0， ∵b＝﹣4a， ∴5a+c＝0，即c＝﹣5a， ∵与y轴的交点B在（0，2）与（0，3）之间（不包括这两点）， ∴2＜c＜3， ∴2＜﹣5a＜3， ∴a，结论④正确； ∵c＝﹣5a，a＜0， ∴c﹣3a＝﹣8a＞0，结论⑤正确． 故选：D． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象与系数的关系、二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，逐一分析五条结论的正误是解题的关键． 二．填空题（共5小题，每小题4分，共20分） 11．若二次根式有意义，则x的取值范围是 x≥1　 ． 【分析】根据二次根式的性质可知，被开方数大于等于0，列出不等式即可求出x的取值范围． 【解答】解：根据二次根式有意义的条件，x﹣1≥0， ∴x≥1． 故答案为：x≥1． 【点评】此题考查了二次根式有意义的条件，只要保证被开方数为非负数即可． 12．2025年我国人工智能领域取得重大突破，国产大模型DeepSeek（深度求索）凭借开源模式和成本优势火爆全球．在单词DeepSeek中任意选择一个字母，选到字母“e”的概率是　　 ． 【分析】根据字母一共有8个，所以选到“e”的四种情况除以总数即可． 【解答】解：选到“e”的概率是：4÷8， 故答案为：． 【点评】本题考查了概率公式，解题的关键是掌握概率的计算方法． 13．若x＝3是关于x的方程ax2﹣bx＝3的解，则2025﹣3a+b的值为　2024　 ． 【分析】把x＝3代入方程求出3a﹣b＝1的值，代入2025﹣3a+b计算即可求出值． 【解答】解：把x＝3代入方程ax2﹣bx＝3得：9a﹣3b＝3，即3a﹣b＝1， 2025﹣3a+b＝2025﹣（3a﹣b）＝2025﹣1＝2024， 故答案为：2024． 【点评】此题考查了一元二次方程的解，解答本题的关键要明确：方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 14．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，AE平分∠BAD交BC于点E．点F，G分别是AD，AE的中点，则FG的长为 　　 ． 【分析】连接DE．根据矩形性质和角平分线性质，得出AB＝BE＝6，进而求出EC的长度．利用勾股定理计算出DE的长度．由于F、G分别是AD、AE的中点，可知FG是△ADE的中位线．得出，从而求出FG的长度． 【解答】解：连接DE，如图所示： ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝∠B＝∠C＝90°，AB＝CD＝6，AD＝BC＝8，AD∥BC， ∴∠DAE＝∠AEB， ∵AE平分∠BAD， ∴∠DAE＝∠BAE＝45°， ∴∠BAE＝∠AEB， ∴AB＝BE＝6， ∴EC＝BC﹣BE＝2， ∴， ∵点F、G分别为AD、AE的中点， ∴FG是△ADE的中位线， ∴； 故答案为：． 【点评】本题考查矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，三角形性中位线定理．解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D是平面内一点，且CD＝1．过点B作BE⊥AD于点E． ①若CD⊥AE，则AD的长为　3　 ； ②当线段CD绕点C在平面内旋转时，线段BE长度的最大值为　4　 ． 【分析】（1）由勾股定理可求解； （2）根据题意识别出点E是在以AB为直径的圆上运动，点D是在以C为圆心，以1为半径的圆上运动，所以当AE与圆C相切于点D，且D在△ABC外部时，∠BAE最大，BE最大，由勾股定理可求解． 【解答】解：（1）∵CD⊥AE， ∴AD3， 故答案为：3； （2）∵BE⊥AE， ∴∠BEA＝90°， ∴点E是在以AB为直径的圆上运动， ∵CD＝1，且CD是绕点C旋转， ∴点D是在以C为圆心，以1为半径的圆上运动， 如图，当AE与圆C相切于点D，且D在△ABC外部时，∠BAE最大，BE最大， 由题意可得：AD＝3， ∵四边形AECB为圆的内接四边形，∠ACB＝90°，CA＝CB， ∴∠CED＝∠CBA＝45°，∠CEB＝∠CAB＝45°，AB＝2， ∴DE＝CD＝1，∠AEB＝90°， ∴AE＝2， ∴BE4， 故答案为：4． 【点评】本题主要考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、圆周角定理、切线的性质、勾股定理等，解题的关键是识别出隐圆模型，作出合适的辅助线． 三．解答题（共8小题，共90分） 16．（1）计算：； （2）先化简：，其中a为整数且﹣2≤a≤1，再选一个你喜欢的a的值代入求值． 【分析】（1）先利用立方根，零指数幂，特殊三角函数值，负指数幂，绝对值的运算法则算出各项的值，再进行加减运算即可； （2）先对括号内的式子进行通分，再将除法转化为乘法进行化简，其中有涉及到平方差公式，最后根据给定的a取值范围代入合适的值求解求值即可． 【解答】解：（1） ； （2） ， 由题意，a﹣1≠0，a+2≠0，﹣2≤a≤1， ∴a＝0或1（不合题意，舍去）， 当a＝0时，原式＝2． 【点评】本题考查了分式的化简求值，实数的运算．熟练掌握立方根，零指数幂，特殊三角函数值，负指数幂，绝对值以及分式运算的运算法则是解题的关键． 17．2024年植树节来临之际，某学校计划采购一批树苗，参加“保护黄河，远离雾霾”植树节活动．已知每棵甲种树苗比每棵乙种树苗贵10元，用400元购买甲种树苗的棵数恰好与用300元购买乙种树苗的棵数相同． （1）求甲、乙两种树苗每棵的价格分别是多少元？ （2）学校决定购买甲、乙两种树苗共100棵，实际购买时，甲种树苗的售价打九折，乙种树苗的售价不变．学校用于购买两种树苗的总费用不超过3200元，最多可购买多少棵甲种树苗？ 【分析】（1）设甲种树苗每棵的价格是x元，根据用400元购买甲种树苗的棵数恰好与用300元购买乙种树苗的棵数相同得：，解方程并检验可得答案； （2）设购买m棵甲种树苗，根据学校用于购买两种树苗的总费用不超过3200元得：40×0.9m+30×（100﹣m）≤3200，解不等式取最大整数解即可． 【解答】解：（1）设甲种树苗每棵的价格是x元，则乙种树苗每棵的价格是（x﹣10）元， 根据题意得：， 解得x＝40， 经检验，x＝40是原方程的解，也符合题意， ∴x﹣10＝40﹣10＝30； ∴甲种树苗每棵的价格是40元，乙种树苗每棵的价格是30元； （2）设购买m棵甲种树苗， 根据题意得：40×0.9m+30×（100﹣m）≤3200， 解得m≤33， ∵m为整数， ∴m最大取33； ∴最多可购买33棵甲种树苗． 【点评】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和不等式． 18．今年央视春晚节目《秧BOT》别出心裁，独树一帜，人机共舞为文化传承搭建了新的桥梁，不仅舞出了精彩的节目，更是舞出了传统文化与现代科技交织的艺术新境界．科创小达人菲菲从某省的快递分拣站随机抽取A、B两种型号的智能机器人各10台，统计它们每天可分拣的快递数量． 【数据收集与整理】 A型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）条形统计图如图所示： B型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）如表所示： 分拣快递数量（万件） 16 17 20 22 23 机器人台数（台） 1 1 5 2 1 【数据分析与运用】 两组样本数据的众数、中位数、平均数、方差整理如表： 众数/万件 中位数/万件 平均数/万件 方差/万件2 A型号 14和16 b 15 c B型号 a 20 20 4.2 请你根据以上数据，解答下列问题： （1）填空：表中a＝　20　 ，b＝　15　 ，c＝　1.4　 ； （2）若某快递公司只能购买一种型号的智能机器人，请你结合“数据分析与运用”，为该公司提出一条合理化建议． （3）若某快递公司新购进A型号智能机器人2台，B型号智能机器人2台，随机抽取两台分拣快递，求抽取的智能机器人恰有同一型号智能机器人的概率． 【分析】（1）根据众数和中位数、方差的定义求解即可； （2）从中位数、平均数、众数角度去分析比较即可； （3）列出树状图或表格即可得解． 【解答】解：（1）B型号的智能机器人每天可分拣20万件的机器人有5台，数量最多， 故众数 a＝20； A型智能机器人分拣的快递件数最中间的两个数据是15，15， 故中位数； c1.4； 故答案为：20，15，1.4； （2）从众数、平均数、中位数来看，B型机器人的数据都高于A型机器人， 所以购买B型智能机器人； （3）树状图如图所示， ∴P， 即抽取的智能机器人恰有同一型号智能机器人的概率为． 【点评】本题主要考查了频数分布直方图，中位数，众数，用样本估计总体，概率等内容，从统计图中得出数量之间关系是解答本题的关键． 19．综合与实践：小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习． 【实验操作】 第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处，入射光线与水槽内壁AC的夹角为∠A； 第二步：向水槽注水，水面上升到AC的中点E处时，停止注水．（直线NN′为法线，AO为入射光线，OD为折射光线．） 【测量数据】 如图，点A，B，C，D，E，F，O，N，N′在同一平面内，测得AC＝20cm，∠A＝45°，折射角∠DON＝32°． 【问题解决】 根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题： （1）求BC的长； （2）求B，D之间的距离（结果精确到0.1cm）． （参考数据：sin32°≈0.52，cos32°≈0.84，tan32°≈0.62） 【分析】（1）根据等腰三角形的性质计算求值即可； （2）利用锐角三角函数求出DN的长，然后根据BD＝BN﹣DN计算即可． 【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠A＝45°， ∴∠B＝45°， ∴BC＝AC＝20cm； （2）由题可知ON＝ECAC＝10cm， ∴NB＝ON＝10cm， 又∵∠DON＝32°， ∴DN＝ON•tan∠DON＝10•tan32°≈10×0.62＝6.2cm， ∴BD＝BN﹣DN＝10﹣6.2＝3.8cm． 【点评】本题考查解直角三角形的实际应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 20．如图1，在△ABC中，AD为BC边上的高，∠ACB＝45°，tan∠ABC，AB＝5，动点P从点B出发，沿B→C运动，到达点C时停止运动，设点P运动的路程为x，过点P作PQ⊥BC交△ABC的边AB于点Q，点P，Q的距离为y1，△ABD的面积与点P运动的路程之比为y2． （1）请直接写出y1，y2分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在如图2所示的平面直角坐标系中，画出函数y1，y2的图象，并写出函数y1的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出y1≤y2时，x的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 【分析】（1）根据三角形的高，得∠ADB＝∠ADC＝90°，得∠CAD＝45°，得AD＝CD，，AB＝5，可得AD＝CD＝4，BD＝3，BC＝7，当0＜x≤3时，，得； （2）根据x＝0时，y1＝0；x＝3时，y1＝4；x＝1时，y2＝6；x＝2时，y2＝3；x＝3时，y2＝2；x＝6时，y2＝1；描点，连线，画出函数图象；当0＜x≤3时，y1随x增大而增大； （3）由图象看出函数与交于点A（2.1，2.8），可得不等式y1≤y2的解集． 【解答】解：（1）在△ABC中，AD为BC边上的高，∠ACB＝45°，tan∠ABC，AB＝5， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∠CAD＝90°﹣∠QCB＝45°， ∴AD＝CD， ∵， ∴， 设AD＝4k，BD＝3k， 在直角三角形ABD中，由勾股定理得：AD2+BD2＝AB2，AB＝5， ∴（4k）2+（3k）2＝52， 解得k＝1， ∴AD＝CD＝4，BD＝3， ∴BC＝BD+CD＝7， 当0＜x≤3时， ∵PQ⊥BC， ∴， ∴， ∴（0＜x≤3）； 解：（2）在中， x＝0时，得y1＝0；x＝3时，y1＝4； 在中， x＝1时，得y2＝6；x＝2时，得y2＝3；x＝3时，得y2＝2；x＝6时，得y2＝1； 作函数图象如图2； 由函数图象可知，当0＜x≤3时，y1随x增大而增大． （3）由图象看出与交于点A（2.1，2.8）， ∴不等式y1≤y2的解集为0＜x≤2.1． 【点评】本题属于一次函数综合题，主要考查了一次函数与反比例函数的图象与性质，熟练熟练掌握一次函数与反比例函数的图象和性质是解题的关键． 21．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB为直径，D是⊙O上一点，且∠CDO＝∠B，过点C作CE⊥DA交DA的延长线于点E． （1）求证：CE是⊙O的切线； （2）若AD＝5，，求AC的长． 【分析】（1）连接OC，利用平行线的判定与性质计算得到∠ECO＝90°，依据切线的判定定理即可得出结论； （2）利用正切的意义得到，设AE＝2x，CE＝3x，通过证明△ACE∽△CDE，利用相似三角形的性质求得x值，再利用勾股定理即可求得结论． 【解答】（1）证明；连接OC，如图， ∵CE⊥DA， ∴∠E＝90°． ∵， ∴∠ADC＝∠B， ∵∠CDO＝∠B， ∴∠ADC＝∠CDO． ∵OC＝OD， ∴∠CDO＝∠DCO． ∴∠ADC＝∠DCO， ∴CO//DE． ∴∠OCE+∠E＝180°． ∴∠ECO＝180°﹣∠E＝90°， 即OC⊥EC， ∵OC是⊙O的半径， ∴CE是⊙O的切线； （2）解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠CAB+∠B＝90°． ∵OC＝OA， ∴∠ACO＝∠CAB， ∵∠ECO＝∠ECA+∠ACO＝90°， ∴∠B＝∠ECA． 在Rt△ACE中，∠E＝90°， ∴， 即． 设AE＝2x，CE＝3x， ∵∠B＝∠ECA＝∠ADC，∠E＝∠E， ∴△ACE∽△CDE． ∴， 即． 解得：x＝2． ∴AE＝4，CE＝6 在Rt△ACE中，由勾股定理，得： ∴． 【点评】本题主要考查了圆的切线的判定，圆周角定理，平行线的判定与性质，直角三角形的边角关系，勾股定理，连接OC是解决此类问题常添加的辅助线． 22．如图，在矩形ABCD中，，点P为射线CA上一动点，连接DP，将线段DP绕点P逆时针旋转30°得到线段EP，连接DE． （1）当点P为线段AC的中点时，求证：△ADP是等边三角形； （2）当PE与矩形ABCD的边平行时，求线段DP的长； （3）在点P的运动过程中，线段DE的长度是否存在最小值？如果存在，求出最小值；如果不存在，请说明理由． 【分析】（1）由题易得，进而可得∠ACD＝30°，从而得证； （2）分类讨论：当PE∥AB或PE∥AD，然后利用勾股定理和特殊角求解即可； （3）过点D作DM⊥EP 于点M，利用勾股定理可得DE2＝（2）DP2，进而据此求解即可． 【解答】（1）证明：在矩形ABCD 中，∠ADC＝90°， ∵点P为线段AC的中点， ∴， ∵∠ACD＝30°， ∴∠DAP＝90°﹣∠ACD＝60°， ∴△ADP 是等边三角形； （2）解：①当PE∥AB时，如图， ∴∠APE＝∠ACD＝30°， ∴∠APD＝∠APE+∠DPE＝60°， ∴∠APD＝∠DAP＝60°， ∴△ADP 是等边三角形， ∴； ②当 PE∥AD时，如图， 在 Rt△ACD中，∠ACD＝30°，， ∴， ∵PE∥AD， ∴∠ADP＝∠DPE＝30°， ∴∠PDC＝∠ADP+∠ADC＝120°， ∴∠APD＝180°﹣∠PDC﹣∠PCD＝30°， ∴∠APD＝∠PCD， ∴； 综上，线段DP的长为或； （3）解：方法一：如图，过点D作DM⊥EP 于点M， ∵∠DPE＝30°， 设DM＝x，则DP＝2x， ∴， ∴， ∴， 当DP⊥AC时，DP取得最小值，DP 最小值为， ∵当DP最小时，DE最小， ∴DE最小值为； 方法二：在AC上取一点H，使得CH＝CD，连接DH，EH， （i）如图，当点P在线段CH上时， ∵， ， ∴∠DHP＝∠DEP， ∴D，E，H，P四点共圆； （ii）如图，当点P在线段CH的延长线上时， ∵∠DHP＝180°﹣∠CHD＝105°，∠DEP＝75°， ∴∠DHP+∠DEP＝180°， ∴D，E，H，P四点共圆； 综合（i）与（i），在点P的运动过程中，D，E，H，P四点共圆， ∴∠DHE＝∠DPE＝30°， ∴E在射线HE上运动， ∴当DE⊥HE时，DE最小， ∴∠DPH＝180°﹣∠DEH＝90°， ∴，， ∴PH＝CH﹣PC， ∴DH， ∴DE； 方法三：在AC上取一点H，使得CH＝CD，连接DH，EH如图， ∵，， ∴△CDH∽△PDE， ∴且∠CDP＝∠HDE， ∴△DPC∽△DEH， ∴∠DHE＝∠DCP＝30°， ∴E在射线HE上运动， ∴当DE⊥HE 时，DE最小， ∴∠DPH＝180°﹣∠DEH＝90°， ∴，， ∴PH＝CH﹣PC， ∴DH， ∴． 【点评】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、解直角三角形、等边三角形的判定等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 23．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2ax+3（a为常数）与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B，若抛物线的对称轴为直线x＝1． （1）求a的值； （2）若点C（c，6）是抛物线上的点，且c＜1，求证：点A，B，C三点共线； （3）点P（t﹣1，m），Q（t，n）是抛物线上的两点，记抛物线在P，Q之间的部分为图象G（包含P，Q两点），若图象G上任意两点纵坐标之差的最大值是3，求t的值． 【分析】（1）直接根据对称轴公式求解即可； （2）先求出直线AB解析式，然后把点C坐标求出，代入直线AB解析式看是否成立，进而即可证出； （3）由题易得m＝（t﹣1）2﹣2（t﹣1）+3＝t2﹣4t+6，n＝t2﹣2t+3，分类讨论，看其在对称轴同侧还是异侧，然后根据增减性解决问题即可． 【解答】（1）解：∵抛物线y＝x2﹣2ax+3（a为常数）的对称轴为直线x＝1， ∴， 解得a＝1； （2）证明：由（1）知a＝1， ∴y＝x2﹣2x+3， ∵抛物线与y轴交于点A，对称轴与x轴交于点B， ∴A（0，3），B（1，0）， 设经过点A，B的直线的解析式为y＝kx+b， 将其坐标代入，得， 解得， ∴直线AB的解析式为y＝﹣3x+3， ∵点C（c，6）在抛物线上， ∴c2﹣2c+3＝6， 解得c＝3或c＝﹣1， ∵c＜1， ∴c＝﹣1，即C（﹣1，6）， 将x＝﹣1代入直线y＝﹣3x+3得，y＝﹣3×（﹣1）+3＝6， ∴点C（﹣1，6）在直线AB上， 即点A，B，C三点共线； （3）解：∵点P（t﹣1，m），Q（t，n）是抛物线y＝x2﹣2x+3上的两点， ∴m＝（t﹣1）2﹣2（t﹣1）+3＝t2﹣4t+6，n＝t2﹣2t+3， ∵抛物线的开口向上，对称轴为x＝1， ∴分以下两种情况： ①，则t﹣1＜1＜t，点P，Q在对称轴两侧， 此时图象G上的最低点是抛物线的顶点，其纵坐标为2， ∵， ∴点P与对称轴的距离小于点Q与对称轴的距离，此时点Q的纵坐标最大， ∴n﹣2＝t2﹣2t+3﹣2＝3， ； ②当t≥2时，则t﹣1≥1，P，Q均在对称轴的右侧，y随x的增大而增大， 此时点P的纵坐标最小，点Q的纵坐标最大， ∴．n﹣m＝t2﹣2t+3﹣（t2﹣4t+6）＝2t﹣3＝3， 解得t＝3； 综上所述，t的值为3． 【点评】本题主要考查了二次函数的增减性、平面直角坐标系中三点共线的证法、二次函数的最值等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/10/18 11:08:18；用户：15918981596；邮箱：15918981596；学号：68053221 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $