精品解析：山东省淄博市博山中学2023-2024学年九年级下学期第一次测试数学试题

博山中学初四第二学期第一次单元测试 一、选择题 1. 如图是某几何体的主视图、左视图和俯视图，则该几何体是（ ） A. 球 B. 圆柱 C. 圆锥 D. 长方体 2. 芝麻被称为“八谷之冠”，是世界上最古老的油料作物之一，它作为食物和药物，得到广泛的使用．经测算，一粒芝麻的质量约为0.00000201kg，将0.00000201用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列正多边形中，内角和为的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线，直线EF分别与直线AB，CD交于点E，F，点G在直线CD上，GE⊥EF．若，则∠2的大小为（ ） A. 145° B. 135° C. 125° D. 120° 5. 如图，已知，，用尺规作图的方法在上取一点P，使得，则下列选项正确的是( ) A. B. C. D. 6. 近年来，我国持续大面积的雾霾天气让环保和健康问题成为焦点，为进一步普及环保和健康知识，我市某校举行了“建设宜居成都，关注环境保护”的知识竞赛，某班学生的成绩统计如下： 成绩（分） 60 70 80 90 100 人数 4 4 12 15 5 则该班学生成绩的众数和中位数分别是（ ） A. 85分，90分 B. 80分，80分 C. 90分，85分 D. 90分，80分 7. 不等式组的解集是，则a的取值范围是( ) A. B. C. D. 8. 在某核酸检测任务中，甲医疗队比乙医疗队每小时多检测15人，甲队检测600人所用的时间比乙队检测500人所用的时间少．设甲队每小时检测x人，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 一个寻宝游戏通道如图所示，通道在同一平面内由组成，定位仪器放置在的中点M处，设寻宝者行进时间为x，寻宝者与定位仪器之间的距离为y，寻宝者匀速前进，y与x的函数关系图象如图所示，则寻宝者的行进路线可能是（ ） A. B. C. D. 10. 对于题目“一段抛物线与直线有唯一公共点，若c为整数，确定所有c的值，”甲的结果是，乙的结果是或4，则（ ） A. 甲的结果正确 B. 乙的结果正确 C. 甲、乙的结果合在一起才正确 D. 甲、乙的结果合在一起也不正确 二、填空题 11. 函数中自变量x的取值范围是________． 12. 甲、乙二人分别从相距20km的A，B两地出发，相向而行．下图是小华绘制的甲、乙二人两次运动的情形，设甲的速度是，乙的速度是，根据题意可列的方程组是______． 13. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，则的值为______． 14. 已知第一组数据：12，14，16，18的方差为；第二组数据：32，34，36，38的方差为；第三组数据：2020，2019，2018，2017的方差为，则，，的大小关系是____________（填“＞”，“＝”或“＜”） 15. 如图，内接于于点H，若，的半径为7，则______． 三、解答题 16. 计算与化简求值 （1）计算 （2）先化简，再求值：，其中 17. 近日，据农业农村部消息，“红火蚁”已传播至我国12个省份，435个县市区，经常出现在路边、草地、公园……其危害性极大．国家九部门联合部署防控行动，紧急防控红火蚁．某公司为了解员工对防护措施的了解程度（包括不了解、了解很少、基本了解和很了解），通过网上问卷调查的方式进行了随机抽样调查（每名员工必须且只能选择一项），并将调查结果绘制成如下两幅统计图． 请你根据上面的信息，解答下列问题 （1）本次共调查了______名员工，条形统计图中______； （2）若该公司共有员工1000名，请你估计不了解防护措施的人数______名； （3）在调查中，发现有4名员工对防护措施很了解，其中有3名男员工、1名女员工．若从他们中随机抽取2名，让其在公司群内普及防护措施，请用树状图或列表的方法求恰好抽中一男一女的概率． 18. 如图，在中，平分，BD的垂直平分线分别交，，于点E，F，G，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的长． 19. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于A、B两点，点A的横坐标为2，点B的纵坐标为1． （1）求一次函数的解析式． （2）直接写出关于x的不等式的解集； （3）一次函数下平移m个单位，使得平移以后直线与反比例函数只有一个公共点，求m的值． 20. 某网店专门销售杭州第十九届亚运会吉祥物机器人“江南忆”套装，成本为每件 30元，每天销售 y(件)与销售单价x(元)之间存在一次函数关系，如图所示，网店每天的销售利润为 W元．网店希望每天吉祥物机器人“江南忆”套装的销售量不低于 220 件． （1）求 y 与x之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）． （2）当销售单价为多少元时，每天获得的利润最大？ 最大利润是多少？ （3）如果每天的利润不低于3000 元，直接写出销售单价x(元)的取值范围． 21. 如图，是的直径，点是圆上的一点，于点，交于点，连接，若平分，过点作于点，交于点，延长，交于点． （1）求证：是的切线； （2）求证：； （3）若，求的值． 22. 【证明体验】 （1）如图①，在和中，，，，连接，． 求证：； （2）【思考探究】如图②，在①的条件下，若，，，，求的长； （3）【拓展延伸】如图③，在四边形中，，，，，，求的值． 23. 如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式． （2）如图1，点Q是x轴上方抛物线上一点，射线轴于点N，若，且，请直接写出点Q的坐标． （3）如图2，点E是第一象限内一点，连接交y轴于点D，的延长线交抛物线于点P，点F在线段上，且，连接，，，，若，求面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 博山中学初四第二学期第一次单元测试 一、选择题 1. 如图是某几何体的主视图、左视图和俯视图，则该几何体是（ ） A. 球 B. 圆柱 C. 圆锥 D. 长方体 【答案】C 【解析】 【分析】根据主视图与左视图是三角形，俯视图是圆，即可得出该几何体是圆锥，据此即可求解． 【详解】解：∵主视图与左视图是三角形，俯视图是圆， ∴该几何体是圆锥， 故选：C． 【点睛】本题考查了根据三视图还原几何体，掌握常见几何体的三视图是解题的关键． 2. 芝麻被称为“八谷之冠”，是世界上最古老的油料作物之一，它作为食物和药物，得到广泛的使用．经测算，一粒芝麻的质量约为0.00000201kg，将0.00000201用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将0.00000201表示成的形式，其中，，进而可得结果． 【详解】解：将0.00000201表示成的形式，其中，为负整数 ∵ ， ∴0.00000201表示成 故选C． 【点睛】本题考查了科学记数法．解题的关键在于求出的值． 3. 下列正多边形中，内角和为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据多边形的内角和等于，逐一进行计算，即可得出结论． 【详解】解：A、正方形的内角和为：，不符合题意； B、正五边形的内角和为：，符合题意； C、正六边形的内角和为：，不符合题意； D、正八边形的内角和为：，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查多边形的内角和．熟练掌握多边形的内角和等于，是解题的关键． 4. 如图，直线，直线EF分别与直线AB，CD交于点E，F，点G在直线CD上，GE⊥EF．若，则∠2的大小为（ ） A. 145° B. 135° C. 125° D. 120° 【答案】A 【解析】 【分析】根据，由两直线平行同位角相等可推导；根据GE⊥EF，可知；然后借助三角形外角的性质“三角形外角等于不相邻的两个内角和”，利用（）计算∠2即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵GE⊥EF， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质及三角形外角的定义和性质，解题关键是熟练掌握相关性质并灵活运用． 5. 如图，已知，，用尺规作图的方法在上取一点P，使得，则下列选项正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、此线作法为，得不到，故A错误； B、此线作法为的垂直平分线，故，因此，故B正确； C、此线作法为，得不到，故C错误； D、此线作法为的垂直平分线，故，得不到，故D错误． 6. 近年来，我国持续大面积的雾霾天气让环保和健康问题成为焦点，为进一步普及环保和健康知识，我市某校举行了“建设宜居成都，关注环境保护”的知识竞赛，某班学生的成绩统计如下： 成绩（分） 60 70 80 90 100 人数 4 4 12 15 5 则该班学生成绩的众数和中位数分别是（ ） A. 85分，90分 B. 80分，80分 C. 90分，85分 D. 90分，80分 【答案】C 【解析】 【分析】本题根据众数和中位数的定义求解，先找出出现次数最多的成绩得到众数，再确定总个数后找到中间位置的两个数，计算平均数得到中位数． 【详解】解：∵本班成绩90分的人数最多，为15人， ∴该班学生成绩的众数为90分， 该班学生总人数为， ∵总共有40个数据，中位数是从小到大排列后，第20个和第21个数据的平均数 累计人数可得：前两组累计，前三组累计，即第20个数据为80分，第21个数据为90分 ∴中位数为分． 7. 不等式组的解集是，则a的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先分别求解不等式组中两个不等式，再根据不等式组的已知解集，利用“同小取小”的解集确定规则得到关于a的方程，解方程即可得到a的值． 【详解】解：解不等式得， 解不等式得， ∵不等式组的解集是， ∴，解得． 8. 在某核酸检测任务中，甲医疗队比乙医疗队每小时多检测15人，甲队检测600人所用的时间比乙队检测500人所用的时间少．设甲队每小时检测x人，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设甲队每小时检测人，先根据甲乙效率关系表示出乙队每小时检测人数，再根据时间=总人数÷效率，结合甲时间比乙时间少10%的等量关系列出方程即可． 【详解】解：∵设甲队每小时检测人，则乙队每小时检测人， 根据题意列方程得． 9. 一个寻宝游戏通道如图所示，通道在同一平面内由组成，定位仪器放置在的中点M处，设寻宝者行进时间为x，寻宝者与定位仪器之间的距离为y，寻宝者匀速前进，y与x的函数关系图象如图所示，则寻宝者的行进路线可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将选项中的运动顺序代入分析，即可得出寻宝者随时间的增长与定位仪器点M之间的距离变化规律，此题得解． 【详解】解：A、从A点到B点，y随x的增大而减小，从B点到O点，y随x的增大先减小后增大，故本选项不合题意； B、从A点到D点，y随x的增大先减小后增大，从D点到O点，y随x的增大而减小，故本选项不合题意； C、从A点到O点，y随x的增大而减小，从O点到D点，y随x的增大而增大，故本选项不合题意； D、从B点到O点，y随x的增大先减小后增大，从O点到C点，y随x的增大先减小后增大，故本选项符合题意. 10. 对于题目“一段抛物线与直线有唯一公共点，若c为整数，确定所有c的值，”甲的结果是，乙的结果是或4，则（ ） A. 甲的结果正确 B. 乙的结果正确 C. 甲、乙的结果合在一起才正确 D. 甲、乙的结果合在一起也不正确 【答案】D 【解析】 【分析】分两种情况进行讨论，①当抛物线与直线相切，求得，②当抛物线与直线不相切，但在上只有一个交点时，得到点在抛物线L的下方，点在抛物线上或上方，据此列出不等式组，求解再结合c为整数可得，故，即可判断． 【详解】解：∵抛物线与直线有唯一公共点， ∴①如图1，抛物线与直线相切， 联立解析式得， ∴ 解得：， 当时，相切时只有一个交点，符合题意； ②如图2，抛物线与直线不相切，但在上只有一个交点 ∵当时，， 当时，． 由图象可知，当点在抛物线L的下方，点在抛物线上或上方时，抛物线L与直线l不相切，且范围内只有一个交点， ∴， 解得， 又∵c为整数， ∴， 综上，，所以甲乙合在一起也不正确． 二、填空题 11. 函数中自变量x的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据二次根式中被开方数大于等于0及分母不为0即可求解． 【详解】解：由题意可知：，解得：且， 故答案为：且． 【点睛】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键． 12. 甲、乙二人分别从相距20km的A，B两地出发，相向而行．下图是小华绘制的甲、乙二人两次运动的情形，设甲的速度是，乙的速度是，根据题意可列的方程组是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据“路程=速度×时间”结合两次运动的情形，即可得出关于x，y的二元一次方程组． 【详解】解：设甲的速度是，乙的速度是， 根据题意，得即 13. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，则的值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】取格点，连接，结合网格可得，根据勾股定理求出的长，最后根据正弦定义求解即可． 【详解】解：如图，在正方形网格中，取格点，连接， 由图可知，， ∴， ∴在中，． 14. 已知第一组数据：12，14，16，18的方差为；第二组数据：32，34，36，38的方差为；第三组数据：2020，2019，2018，2017的方差为，则，，的大小关系是____________（填“＞”，“＝”或“＜”） 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据方差的意义，方差反映数据波动的大小，一组数据同时加上同一个常数不改变数据的波动程度，据此分析三组数据的波动情况即可比较方差大小. 【详解】解：第一组数据，，，中每个数据同时加上，即可得到第二组数据，，，， 又∵一组数据同时加上同一个常数，方差不变， ， 第三组数据，，，中相邻数据的差的绝对值为，第一组和第二组中相邻数据的差为， ∴第三组数据波动更小，方差更小， . 15. 如图，内接于于点H，若，的半径为7，则______． 【答案】 【解析】 【分析】作直径AD，连接BD，根据圆周角定理得到∠ABD＝90°，∠D＝∠C，证明△ABD∽△AHC，根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：作直径AD，连接BD， ∵AD为直径， ∴∠ABD＝90°，又AH⊥BC， ∴∠ABD＝∠AHC， 由圆周角定理得，∠D＝∠C， ∴△ABD∽△AHC， ∴，即， 解得，AB＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是三角形的外接圆和外心的概念和性质，掌握圆周角定理、相似三角形的判定和性质是解题的关键． 三、解答题 16. 计算与化简求值 （1）计算 （2）先化简，再求值：，其中 【答案】（1） （2）化简结果为，值为 【解析】 【分析】（1）分别算出特殊角的三角函数值，负整数指数幂，化简绝对值，算术平方根，再根据实数的混合运算法则计算即可； （2）先计算括号内的分式的减法运算，同时对分母中的多项式进行因式分解，然后计算除法运算，约分后得到最简整式再代入a的数值计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 当时， 原式． 17. 近日，据农业农村部消息，“红火蚁”已传播至我国12个省份，435个县市区，经常出现在路边、草地、公园……其危害性极大．国家九部门联合部署防控行动，紧急防控红火蚁．某公司为了解员工对防护措施的了解程度（包括不了解、了解很少、基本了解和很了解），通过网上问卷调查的方式进行了随机抽样调查（每名员工必须且只能选择一项），并将调查结果绘制成如下两幅统计图． 请你根据上面的信息，解答下列问题 （1）本次共调查了______名员工，条形统计图中______； （2）若该公司共有员工1000名，请你估计不了解防护措施的人数______名； （3）在调查中，发现有4名员工对防护措施很了解，其中有3名男员工、1名女员工．若从他们中随机抽取2名，让其在公司群内普及防护措施，请用树状图或列表的方法求恰好抽中一男一女的概率． 【答案】（1）60；20； （2）200； （3） 【解析】 【分析】（1）用“了解很少”的人数除以它所占的比例即可得到调查的总人数，再用总人数减去“不了解”的人数、“了解很少”的人数及“很了解”的人数即可得到m； （2）用1000乘以样本中“不了解”的人数所占的比例即可； （3）列表展示出所有12种等可能的结果数，再找出恰好抽中一男一女的结果数，然后根据概率公式即可求解． 【小问1详解】 由统计图可知，“了解很少”的员工有24名，其所占的百分比为40%， 故本次调查的员工人数为（名）， ∴， 故答案为：60 ，20； 【小问2详解】 （名）． 答：估计不了解防护措施的人数为200名． 【小问3详解】 由题意，列表如下： 男1 男2 男3 女 男1 男1，男2 男1，男3 男1，女 男2 男2，男1 男2，男3 男2，女 男3 男3，男1 男3，男2 男3，女 女 女，男1 女，男2 女，男3 共12种等可能的结果，其中恰好抽中一男一女的结果有6种， ∴． 18. 如图，在中，平分，BD的垂直平分线分别交，，于点E，F，G，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：平分， ， 垂直平分， ，， ，， ， ，， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，熟练运用菱形的判定和性质是本题的关键． （1）由角平分线的性质和垂直平分线的性质可证，可得，，由菱形的判定可证结论； （2）过点作，由菱形的性质可得，，由直角三角形的性质可得，，即可求的长． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：如图，过点作， 四边形是菱形， ， ， 又， ，， ，， ， ， ． 19. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于A、B两点，点A的横坐标为2，点B的纵坐标为1． （1）求一次函数的解析式． （2）直接写出关于x的不等式的解集； （3）一次函数下平移m个单位，使得平移以后直线与反比例函数只有一个公共点，求m的值． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）先利用点在反比例函数图象上求点A和点B的坐标，再运用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）图形结合分析即可求解； （3）根据图形的平移得出平移后的解析式，再联合反比例函数，得出二元一次方程，根据根的判别式即可求解m的值． 【小问1详解】 解：把，代入，得， ∴， 把代入，得， ∴， ∵一次函数的图象过点，， ∴，解得：， ∴一次函数的解析式． 【小问2详解】 解∶∵一次函数与反比例函数的图象交于点，， ∴根据图象可得，当或，． ∴不等式的解集为或． 【小问3详解】 解∶由（1）知， 设平移后的直线为， 联立得， ∴， ∵平移后的直线与反比例函数的图象只有一个公共点， ∴， ∴， ∴或， 即m的值为或． 20. 某网店专门销售杭州第十九届亚运会吉祥物机器人“江南忆”套装，成本为每件 30元，每天销售 y(件)与销售单价x(元)之间存在一次函数关系，如图所示，网店每天的销售利润为 W元．网店希望每天吉祥物机器人“江南忆”套装的销售量不低于 220 件． （1）求 y 与x之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）． （2）当销售单价为多少元时，每天获得的利润最大？ 最大利润是多少？ （3）如果每天的利润不低于3000 元，直接写出销售单价x(元)的取值范围． 【答案】（1） （2）当销售单价为 48元时，每天获得的利润最大，最大利润是 3960 元 （3） 【解析】 【分析】本题考查一次函数的实际应用，二次函数的实际应用，正确的列出函数表达式，是解题的关键． （1）设函数解析式为，待定系数法求出函数解析式即可； （2）利用总利润等于单件利润乘以销量列出二次函数解析式，求最值即可； （3）先求出时的的值，进而求出的取值范围即可． 【小问1详解】 解∶设， 将代入，得 ， 解得 ， ∴y与x之间的函数关系式为． 【小问2详解】 依题意得， 又∵， ∴． ∵时，W 随x的增大而增大， ∴当时，W 取得最大值，最大值为． 【小问3详解】 当时：， 解得：， ∵抛物线的开口向下，且， ∴当时，． 21. 如图，是的直径，点是圆上的一点，于点，交于点，连接，若平分，过点作于点，交于点，延长，交于点． （1）求证：是的切线； （2）求证：； （3）若，求的值． 【答案】（1）证明：连接 ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是的切线．     （2）证明： 由（1）得，， ∵， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）连接，根据平分，则，根据，得，根据平行线的判定和性质，即可； （2）由（1）得，，根据，，相似三角形的判定和性质，即可； （3）根据，则，设的半径为，则，根据勾股定理求出；根据，，根据勾股定理求出，再根据，在根据勾股定理求出，根据，即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ∵， ∴， 设的半径为， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查圆，相似三角形，锐角三角形函数的知识，解题的关键圆的切线定理的运用，相似三角形的判定和性质，锐角三角形函数的运用． 22. 【证明体验】 （1）如图①，在和中，，，，连接，． 求证：； （2）【思考探究】如图②，在①的条件下，若，，，，求的长； （3）【拓展延伸】如图③，在四边形中，，，，，，求的值． 【答案】（1） 证明：如图中， ∵， ， 在和中， ， ≌， ； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）证明≌，可得结论； （2）证明∽，推出，可以假设，由，构建方程求出，求出，可得结论； （3）由，可以将绕点逆时针旋转得到，连接，则，证明，利用勾股定理求出，再利用相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：如图中， ， ∽， ∴， 可以假设， ∵ ∴ ，∴ 解得，（负根已经舍去， ∴ ∵ ∴； 【小问3详解】 解：如图中，， 将绕点A逆时针旋转得到，连接，则， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴∽， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考常考题型． 23. 如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式． （2）如图1，点Q是x轴上方抛物线上一点，射线轴于点N，若，且，请直接写出点Q的坐标． （3）如图2，点E是第一象限内一点，连接交y轴于点D，的延长线交抛物线于点P，点F在线段上，且，连接，，，，若，求面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将点，代入抛物线得到，解方程组即可得到答案； （2）设，，则，则，，从而表示出点的坐标为，代入抛物线解析式，求出的值即可得到答案； （3）求出直线的表达式，利用，得到，求出点的坐标，再根据进行计算即可得到答案． 【小问1详解】 解：抛物线与轴交于点，， ，解得， 抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 解：， 设，， ， ， ， 点， ， ， 点的坐标为， 点是轴上方抛物线上一点， ， 解得：（舍去）或， ； 【小问3详解】 解：设点，直线的解析式为， ， ， 解得：， 直线的解析式为， 当时，， ， ， ， 在抛物线中，当时，， ， ， ， 设点的坐标为， ，， ， ， ， ， 解得：， 点的坐标为， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $