精品解析：广东省江门市恩平市第一中学2026-2027学年高三上学期10月模拟测试数学试题

恩平市第一中学高三10月模拟测试 数学 命题人：陈林培 审题人：吴怀业 本试卷共4页，19题，满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答题前，考生务必把自己的姓名、考生号等填写在答题卡相应的位置上. 2．做选择题时，必须用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 3．非选择题必须使用黑色字迹钢笔或签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上. 4．所有题目必须在答题卡上指定位置作答，不按以上要求作答的答案无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则在复平面内对应的点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知向量，，则（ ） A. B. 6 C. D. 8 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 4. 若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知抛物线：的焦点为，过的直线与相交于，两点，若线段的中点到轴的距离为3，则（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 6. 已知函数在上单调，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 8. 有8张分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8的卡片，现从这8张卡片中随机抽出3张，则事件“抽出的3张卡片上的数字之和不小于其余5张卡片上的数字之和”的概率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下表为日常生活中部分数字出现频率的统计结果（单位：%），则（ ） 数字 2 3 4 5 6 7 频率 18 13 10 8 7 6 A. 频率的极差等于12 B. 频率的平均数大于11 C. 频率的中位数等于9 D. 频率的标准差大于5 10. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 有且仅有一个零点 B. 在区间单调递减，在区间单调递增 C. 关于的方程有两个不同的实数解 D. 曲线有两条经过点的切线 11. 如图，在正三棱柱中，点P，Q，M，N分别是，，，BC的中点，则下列说法中正确的有（ ） A. 平面ABC B. C. 平面 D. PQ与MN相交 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量，且，则__________． 13. 图书馆安静区域的声强级（单位：）通常满足．声强级的计算公式为，其中（单位：）为声强，基准声强．根据以上条件，图书馆安静区域对应的声强的取值范围是______． 14. 设等差数列的前项和为，已知，当且仅当时，取得最大值，写出满足条件的一个的值______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，，，． （1）求的值； （2）求的面积． 16. 年美加墨世界杯圆满收官，赛事热度带动全国校园足球氛围持续升温.为响应“体教融合”号召，某中学举办校园足球文化节配套的知识竞赛，赛后从全校所有参赛答卷中随机抽取份作为样本，成绩分布统计如下： 成绩分组 人数 假设所有参赛学生的成绩相互独立，以频率估计概率，完成下列问题： （1）从所有参赛学生中随机抽取人，估计该学生的成绩低于分的概率； （2）从所有参赛学生中随机抽取人，记为这人中成绩低于分的人数，求的分布列及数学期望； （3）从所有参赛学生中随机抽取人，记为这人中成绩低于分的人数，求使概率取得最大值时的的值．（直接写出结论） 17. 如图，在四棱锥中，，，，，为线段的中点． （1）求证：平面； （2）若，求与平面所成角的正弦值． 18. 已知函数． （1）若是偶函数，求实数的值； （2）若函数，，，使得，求实数的取值范围． 19. 已知双曲线的离心率为，是上一点，直线的斜率为，且与交于两点. （1）求的方程； （2）若，求的方程； （3）证明：的外接圆的圆心在定直线上. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 恩平市第一中学高三10月模拟测试 数学 命题人：陈林培 审题人：吴怀业 本试卷共4页，19题，满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答题前，考生务必把自己的姓名、考生号等填写在答题卡相应的位置上. 2．做选择题时，必须用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 3．非选择题必须使用黑色字迹钢笔或签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上. 4．所有题目必须在答题卡上指定位置作答，不按以上要求作答的答案无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则在复平面内对应的点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的运算法则，化简复数，结合复数的几何意义，即可求解. 【详解】由复数， 所以复数在复平面内对应的点位于第一象限. 2. 已知向量，，则（ ） A. B. 6 C. D. 8 【答案】C 【解析】 【详解】因为，， 所以， 所以. 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由集合的交集运算求解． 【详解】，则． 4. 若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以，由不等式的性质得，故选项A正确. 5. 已知抛物线：的焦点为，过的直线与相交于，两点，若线段的中点到轴的距离为3，则（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】利用抛物线的定义结合中点坐标公式，由中点到轴的距离推导弦长的值. 【详解】首先抛物线满足，即，因此焦点为，准线方程为. 设，，线段的中点为，由题意得到轴的距离为3，故. 根据抛物线的定义可得：，, 弦长， 由中点坐标公式得，即，代入得. 6. 已知函数在上单调，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出内层函数在的取值范围，结合正弦函数的单调区间列不等式求解的范围。  【详解】令，由可知是关于的单调递增函数. 当时，代入得, 函数在上单调，等价于在上单调, 正弦函数的单调递增区间为，单调递减区间为, 由于且左端点为，不属于任何单调递减区间， 因此必须完全包含于时的单调递增区间，即, 结合，解得, 即. 7. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】， ， ． 8. 有8张分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8的卡片，现从这8张卡片中随机抽出3张，则事件“抽出的3张卡片上的数字之和不小于其余5张卡片上的数字之和”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】数字1，2，3，4，5，6，7，8总和： ， 设抽出3张和为，剩余5张和为， 题目条件：， 从8张抽3张，有， 找出3个数之和不小于18的组合， ，，，， ，，，一共7组， 所以所求的概率为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下表为日常生活中部分数字出现频率的统计结果（单位：%），则（ ） 数字 2 3 4 5 6 7 频率 18 13 10 8 7 6 A. 频率的极差等于12 B. 频率的平均数大于11 C. 频率的中位数等于9 D. 频率的标准差大于5 【答案】AC 【解析】 【详解】首先将频率数据从小到大排序为：6，7，8，10，13，18； 选项A：极差为最大值减去最小值，即，A正确； 选项B：平均数为，B错误； 选项C：共6个数据，中位数为第3个和第4个数据的平均值，即，C正确； 选项D：计算得方差，标准差，D错误. 10. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 有且仅有一个零点 B. 在区间单调递减，在区间单调递增 C. 关于的方程有两个不同的实数解 D. 曲线有两条经过点的切线 【答案】ABD 【解析】 【分析】先确定函数定义域为，求导得到，以此分析单调性、极值最值，再结合零点定义、切线方程逐一判断选项. 【详解】对于A，令，因为，所以，解得，是唯一零点，故A正确； 对于B，，令得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增，故B正确； 对于C，由B知最小值为，故无实根，故C错误； 对于D，设切点为，切线斜率为， 切线方程为，代入化简得. 设，， 在单调递减，在单调递增， 最小值，且，故有两个零点，即存在两条切线，故D正确. 11. 如图，在正三棱柱中，点P，Q，M，N分别是，，，BC的中点，则下列说法中正确的有（ ） A. 平面ABC B. C. 平面 D. PQ与MN相交 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，取的中点，证明，结合线面平行判定定理证明平面，即可判断，对于B，若，则，连接，为的中点，证明，设，，求，推出矛盾，对于C，根据线面垂直判定定理证明结论即可判断，对于D，证明，，由此即可判断. 【详解】对于A，取的中点D，连接，. 在中，P，D分别为，中点， ，且. 在直三棱柱中，，. Q为棱的中点，，且. ，. 四边形为平行四边形，从而. 又平面，平面，平面，A正确， 对于B，因为为的中点，若，则， 连接，为的中点，则，又平面， 所以平面，平面， 所以，设，， 则，， 所以，，与矛盾， 所以不成立，B错误， 对于C，在直三棱柱中，平面. 又平面，.，D为中点，. 由选项A的推理知，，. 又，平面，平面， 所以平面，C正确； 对于D，因为为的中点，四边形为矩形， 所以点为的中点，又为的中点， 所以，且， 又分别为的中点，所以，， 所以，， 所以四边形为平行四边形，故与相交，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量，且，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】因为变量，所以正态分布对称轴， 所以. 13. 图书馆安静区域的声强级（单位：）通常满足．声强级的计算公式为，其中（单位：）为声强，基准声强．根据以上条件，图书馆安静区域对应的声强的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】应用新定义结合对数运算律计算求解. 【详解】由，可得， 即，解得. 14. 设等差数列的前项和为，已知，当且仅当时，取得最大值，写出满足条件的一个的值______． 【答案】1（答案不唯一，区间内的任意实数均可） 【解析】 【分析】求出满足题意的的范围，然后在其中取一个数即可. 【详解】等差数列的前项和为，中当且仅当取得最大值，则，时，，因此有， ，，， ，，，， 所以，取其中任一实数均可. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，，，． （1）求的值； （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合同角三角函数基本关系，利用三角形内角和性质、两角和正弦公式求解即可； （2）.利用正弦定理及三角形面积公式求解即可. 【小问1详解】 因为，所以，，， 所以； 【小问2详解】 由正弦定理得：， 所以. 16. 年美加墨世界杯圆满收官，赛事热度带动全国校园足球氛围持续升温.为响应“体教融合”号召，某中学举办校园足球文化节配套的知识竞赛，赛后从全校所有参赛答卷中随机抽取份作为样本，成绩分布统计如下： 成绩分组 人数 假设所有参赛学生的成绩相互独立，以频率估计概率，完成下列问题： （1）从所有参赛学生中随机抽取人，估计该学生的成绩低于分的概率； （2）从所有参赛学生中随机抽取人，记为这人中成绩低于分的人数，求的分布列及数学期望； （3）从所有参赛学生中随机抽取人，记为这人中成绩低于分的人数，求使概率取得最大值时的的值．（直接写出结论） 【答案】（1） （2） 的分布列为： 数学期望 （3） 【解析】 【分析】（1）根据统计数据求出样本中成绩低于的人数及频率，再由频率估计概率； （2）先说明服从二项分布， 结合二项分布分布列公式求结果，再由期望公式求结论； （3）判断的单调性，由此确定结论. 【小问1详解】 样本中成绩低于70分的是和两组， 总人数为，样本容量为， 从所抽取的学生中随机抽取人，该学生的成绩低于分的频率为； 用频率估计概率，从所有参赛学生中随机抽取人， 估计该学生的成绩低于分的概率；​ 【小问2详解】 由题意，抽取的人中每个人成绩低于分的概率为​，且各次抽取相互独立， 因此服从二项分布， 的可能取值为， ，， ，​， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 3 根据二项分布的数学期望公式可得， 【小问3详解】 由题意，， 令​ 当，即时，， 当，即时，， 因此时，取得最大值. 17. 如图，在四棱锥中，，，，，为线段的中点． （1）求证：平面； （2）若，求与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）取的中点，连接，. 因为为线段的中点，所以，. 又，，所以，， 则四边形为平行四边形，所以. 因为平面，平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明即可. （2）根据线面垂直的判定定理及线面垂直的性质，得到线线垂直，建立空间直角坐标系，根据线面角的向量求法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 延长到点，使，连接. 因为，所以. 又，所以四边形为平行四边形， 又，所以四边形为矩形，则，. 因为，所以. 又，所以. 又平面，，所以平面. 又平面，所以，即两两垂直. 故以点为原点，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，， 设平面的法向量为， 则，即，令，则，所以. 设与平面所成角为， 则. 故与平面所成角的正弦值为. 18. 已知函数． （1）若是偶函数，求实数的值； （2）若函数，，，使得，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据偶函数的定义结合的解析式列出等式，即可求出的值； （2）分别求出在上的值域，在上的值域，根据两者值域的关系列出不等式，从而求出的取值范围． 【小问1详解】 因为是偶函数，所以． 已知，则． 由，可得，化简得． 因为上式对于任意都成立，所以． 【小问2详解】 已知，，则． 根据正弦函数的性质，可得， 故． 函数的图象开口向下，对称轴为． ①当，即时，在上单调递减， 则，， 所以的值域为； ②当，即时，在上单调递增，则，， 所以的值域为； ③当，即时，在上单调递增，在上单调递减， 则，，． 比较和的大小：． 当时，，， 所以的值域为； 当时，，， 所以的值域为 ． 因为，，使得， 所以的值域是的值域的子集． （1）当时，，解得； （2）当时，，此时无解； （3）当时，，此时无解； （4）当时，，此时无解． 综上，实数的取值范围是． 19. 已知双曲线的离心率为，是上一点，直线的斜率为，且与交于两点. （1）求的方程； （2）若，求的方程； （3）证明：的外接圆的圆心在定直线上. 【答案】（1） （2） （3） 由（2）知，可得的中点的横坐标为， 则点的纵坐标为，即， 所以线段的垂直平分线的方程为，即， 设点的坐标为， 因为，可得 ， 又因为， 代入得， 整理得， 又由，可得， 则，可得， 其中， 则， 整理得， ①当时，两边同除以，可得， 代入，可得，即， 所以的外接圆的圆心在定直线上； ②当时，即时，可得直线的方程为， 此时点满足直线的方程，此时三点共线，不能构成三角形，舍去， 综上可得，的外接圆的圆心在定直线上. 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用双曲线的几何性质，列出方程组，求得，即可求解； （2）设，联立方程组，由，求得，且，结合，根据向量数量积的运算公式，列出方程，求得的值，即可求解； （3）由（2）求得线段的垂直平分线的方程为，设点的坐标为，根据及，列出方程，化简得到，代入，求得，得到圆心在定直线上，即可得证. 【小问1详解】 因为双曲线的离心率为，且是上一点， 可得，解得， 所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 设直线的方程为，且， 联立方程组，整理得， 则，解得，所以或， 且， 因为，可得， 又因为， 可得， 所以 ， 将代入上式得， ， 因为，可得，即， 解得或， 又因为或，所以， 所以直线的方程为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $