广东广州市十校联考2026-2027学年上学期高三年级10月适应性训练数学试题

2026一2027学年上学期高三年级10月适应性训练 数学 广州十校联考：华附、省实、二中、六中、执信、广外等 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟。 注意事项： 1.开考前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、班级、考号等相关信息填写在答 题卡指定区域内。 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干 净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置 上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作 答的答案无效。 4.考生必须保持答题卡的整洁。 一、选择题本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。 1.已知复数之=（-1+2)·，则之的虚部为 A.2 B.-i C.-2 D.-1 2. 若集合M={女”2<0N=u2-4≤0，则Mnw- A.② B.{x0<x<2} C.{x|-2≤x≤2} D.{x|0≤x<2} 3. (+2)° 的展开式中x2的系数为 B.20 C.60 D.96 4.“9=2r+行，大∈2”是“函数y=c0s2r+)的图象关于原点对称”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.设a=3,b=() -0.7 ,c=logo.60.7,则a,b,c的大小关系为 A.a<b<c B.b<a<c C.b<c<a D.c<a<b 数学试卷第1页共4页 广州十校联考 高三数学·10月适应性训练 6.已知sina-)=3 sincs3=号，则cms2a+29) R时 c日 D.- 9 7.在平面直角坐标系中，已知圆 C1:(x+3)2+(y-1)2=4,C2:(x-4)2+(y-5)2=4. 若点P满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线1和2，它们分别与圆C1和圆C2 相交，且直线1被圆C1截得的弦长与直线2被圆C2截得的弦长相等，则所有满足条件 的点P的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 8.将1,2,3，.·，10这10个数字进行重新排列，得到新的排列为a1,2,·,a10,则满足对于 k∈{1,2，，10}，1a-≤1的所有排列的个数为 A.35 B.55 C.89 D.144 二、选择题本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。 9.下列说法正确的是 A.当经验回归方程为=-0.5x+2时，变量x和y负相关 B.成对样本数据的线性相关程度越强，样本相关系数？的值越接近1 C.回归分析中，残差图中残差比较均匀地分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状 区域内，且宽度越窄表示拟合效果越好 D.回归分析中，决定系数越大，拟合效果越好 10.在三棱柱上底所在平面上，将上底图形绕一点旋转180°后，再将上、下底顶点连接形成的 空间几何体称为“扭反三棱柱”。如图所示的“扭反三棱柱”上、下底为全等的等腰三角形， AB=AC=A1B1=A1C1=m, BC=2,B1C=4 若顶点A,B,C,A1,B1,C1均在球O的球面上，则下列结论正确的是 41 A.点A,B,A1,B1共面 B.球O的表面积为20π C.截面ACA1C1的面积的最大值为5 D.当该几何体体积最大时m=√I0 B 数学试卷第2页共4页 广州十校联考 高三数学·10月适应性训练 1山.已知椭圆C:子+了=1的左，右熊点分别为日，R,右顶点为N,两条直线：y=-方 和l2:y=一x与椭圆C在x轴上方的两个交点分别为A(x1,h1)和B(ax2,2),动点M(m,n) 在椭圆C上，且1<m<2,n>0。若过点M作椭圆的切线1，与直线l1,2分别交于 P,Q两点，则 A.∠MFF2和∠MF2N的角平分线的交点在定直线x=2上 B.1OPOQ的最小值为2 C.S24OM+S2BOM为定值 D.四边形OAMB的面积的最大值为V√3 三、填空题本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知向量d=(3,1),b=(1,-1),若d⊥(d+b,则实数入= 13.现将3个小球随机装进3个盒子中，则装有球的盒子的个数的期望是 14.对于任意k∈[4，+∞)，函数 f@)=(+m-+月 的图象上总存在两点M(x1,1),N(x2,2),使得函数f(x)在M,N两点处的切线互相平行， 则x1+x2的取值范围为 四、解答题本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知△ABC的外接圆半径是2，角AB.C所对的边为a,点c,翡足b=2+csA。 (1)求角C的值； (2)求a2+b2的最大值。 16.（15分)已知数列{an}的前n项和Sn满足 2Sn+an =2n 2. (1)证明：{an-1}是等比数列； ②设数列b,=na,-,,}的前n项和T,证明：T,三多 数学试卷第3页共4页 广州十校联考 高三数学·10月适应性训练 17.(15分)如图，正方形ABCD边长为8，E,F分别为边AD,BC的中点，M是线段EF 上的点，且EM=3MF。把矩形EDCF沿EF折起，设∠AED=0(0<0<π)。 C D M B 4 (折叠前) (折叠后) DP (I)在DF上找一点P,使得直线MP‖平面ADE,并求出PF的值； (2)若BD⊥MC,求cos0的值； (3)若四棱锥D-ABFE的外接球半径为5，求sin0的值。 18.(17分)在平面直角坐标系中，已知曲线：xy=1和双曲线C:x2-y2=2。 (1)设两个定点F(-V2,-V2),2(V2,V2),动点M在曲线P上，且点M在第一象 限。证明：MF-MF2为定值； 1 (2)双曲线C上有两个点PQ,并且∠P0Q=45°.求OP+OQF的值： (3)设双曲线C上关于原点对称的两点分别为N和N',以N为圆心，N为半径的 圆与双曲线C交于另外三点B,C,D。证明：△BCD为等边三角形。 19.(17分)已知n∈N*,x∈R,函数fn(x)的导函数 f%(x)=-e2+2e2r-3e3x+.+2ne2mr 且fn(O)=0。设fn(x)的极值点为xno (1)求五(x)的单调区间和极值； (2)证明：≤血(-2元)： (3)证明：xn+1>xn 数学试卷第4页共4页2026-2027学年上学期高三年级10月适应性训练 数学参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 P 答案 D B c A D B B C 二、多选题 题号 9 10 11 答案 ACD ABD AC 三、填空题 12.-5 39 4 ,+0 9 14. 5 【详解】 1.【答案】D 因为z=-2-i,所以z的虚部为-1，选：D. 2.【答案】B 由 <0,解得0<x<2,由x2-4≤0解得-2≤x≤2， x-2 MON={x|0<x<2},选：B. 3.【答案】C 要得到x2y4,需从6个因子中选2个取。x,其余4个取2y, 所以x2y的系数为C× 71)2 2 24=15××16=60.选：C 4 4.【答案】A 函数y=cOs(2x+p)的图象关于原点对称，等价于该函数为奇函数. 令x=0,得cosp=0,解得p=阮+元，k∈Z. ● 数学答案第1页共15页 条作0-2k红受kc7是“p-尔受kc7的克了笑 充分性：若p=2m+无，则cosp=0,函数为奇函数，图象关于原点对称，充 3元 分性成立：必要性：图象关于原点对称时，P还可取2k红+ 必要性不成立. 因此是充分不必要条件.选：A 5.【答案】D 由于函数y=3在R上单调递增，函数y=lOg06x在(O,+o)上单调递减，那么 1-0.7 =307>36,即b>a,36>3°=1,1og060.7<log060.6=1,即a>1>c, 所以，c<1<a<b.选：D 6.【答案】B 因为sim(&-P)=sin-cossn in cos- 所以0-石所以m(a-P川-子，因t eas(2u+29)-12sm(aA)-号选：B 7.【答案】B 设点P坐标为(，)，由题可知存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l和12， 所以一定有无穷多对直线和1，斜率存在满足题意，故可设直线1,12的方程分别 为：y-n=k(x-m),y-n=- -mk0. 即：xy+n=am0,2x-y+n+m=0 因为直线被圆C截得的弦长与直线，被圆C2截得的弦长相等，两圆半径相等， 由垂径定理，得圆心C到直线l与圆心C2到直线，的距离相等， 数学答案第2页共15页 _4-5+n+m 1 :.-3k-1+n-n k Vk2+1 化简，得(2-m-n)k=m-n-3,或(m-n+8)k=m+n-5, 2-m-n=0m-n+8=0 关于k的方程有无穷多解，有 。或 m-n-3=0域m+n-5=01 .313 解方程组，得点P坐标为 经检验以上两点满足题意选：B 8.【答案】C 设1,2,3，，n共n个数字满足条件的排列为4，凸，，a,总排列数记为b., 首先考虑a,g-h≤1，所以a=n或a=n-1 当a.=n时，即前面n-l个数字满足条件即可，此时有b-1个排列 当a=n-1时，因为4.-≤1，所以ie{1,2,,n-2},a≠n,则a1=n,只需要 前n-2个数字满足条件即可，此时有b,-2个排列 从而b.=b-1+b,-2,又b=1,b2=2枚举可得b=89.选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项 中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的 得0分. 9.【答案】ACD 选项A,当经验回归方程为y=-0.5x+2时，-0.5<0，变量x和y负相关， 正确： 选项B,两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1，错 误： 选项C,因为在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，表明数 据越集中，模型的拟合效果越好，正确： 选项D,因为决定系数越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好， 数学答案第3页共15页 正确选：ACD 10.【答案】ABD A选项，由题意可知，可得AB‖AB,所以A,B,A,B,四点共面，正确： B选项，同选项A可得A,C,A,C,四点共面，又四点共圆， B 故四边形ACA,C,为矩形，同理四边形BCB,C,为矩形，从 而A4,BB,均与CC1交于一点，则该点即为该几何体外接 球的球心0，故外接球的半径R照-2+45，所以 2 2 球O的表面积为20π，正确 C选项，AC2+AC2=(2R)2=20≥2AC·AC,,截面ACAC1的面积的最大值为10. 错误： D选项，该几何体的体积为四棱锥A-BCB,C,体积的2倍，又矩形BCB,C,的面 积S=8,外接球球心O在矩形BCBC,内，点A在球O的球面上运动，当AO⊥ 平面BCB,C,时，四棱锥的高最大，此时四棱锥的体积最大，此时 AO=R=√5，OE=2,则AB=3=√m-1,所以m=V10.正确选：ABD 11.【答案】AC M F N 图1 图2 [x2 +y2=1 [x2=2 【详解】联立 4 得 则两条曲线在x轴上方的两个交点为 42=0 }和 数学答案第4页共15页 设直线1：y=k(x-m)+n,联立 +y=1 4 消去y得 y=k(x-m)+n (1+4k2)x2+8k(n-m）x+4(n-kamj-l=0, 因为直线1与椭圈C相切，所以△=16[--如+小-0，又矿+r=1,得 e(a)+2m+-0, 化简得(4k+m=0,所以k=物，即直线：四+四=1 A选项，如图1，设交点为I,作IG⊥FM,IH⊥FM,IN'⊥FF,因为 FM+FM+FF=2a+2c =（FM+MG)+(EF,+FN') =2(耳F,+FN") 所以F,N'=a-c,即N'与N重合，所以I在直线x=2上.正确 三-y=0 4 4 x=- x=- B选项，联立 4 得 2n+m 或 ”,不妨设P m-2n 42 mx 2 2n+m'2n+m (4 +y=1 y=- 2n+m y=1 2n-m 2 m-2n'2n-m) 则OP=x好+异= 0m同里og22,o4og=n 16+4 20 20 因为M在椭圆上，霄+=1，即m=4-4r所以m-4n=4-8, 由于<m<名，所以m<2,即4-4r<2,>又0<as1,所以，则 20≥20 -4r=4-8e40,m-4e(0,所以or0g4产翠-5：当m=1时， 取等号：错误 C选项，对于△A0M,O(0,0), M(m.n), 数学答案第5页共15页 则w母a+j,理…-目a引--小 所以 2 2 1 1 2++m2+n2-m+2 2 4 1 2+4 2 1.21 =1 正确： D选项，S边形Oas=S.AOM+S.BOM≤V2(SAM+SOw)=V2,当且仅当S,AOM=SBoM,限即M 与上顶点重合时等号成立，错误选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.【答案】-5 由a⊥(a+b)得 ā.a+2b)=a2+ā.b=(32+1)+23×1+1×(-1)]=10+22=0,解得 2=-5, 13.【答案】号 Px--x=2-x=)-所以()9 14.【答案】（怎+w 由题意可得f'(x)="(x),(x,x2>0,且x≠x2), 4 即有+上 化为6+)(+到华而色5 防以告产化为 k+4对k∈[4，+)都成立， 数学答案第6页共15页 令8)=k+是，在k4+)单调递增， 4 所以k+4之≥5，当且仅当k=4取得等号，所以k+ s4 45, 所以+>手， 即x+x的取值范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤 15解：(1)因为b-分cmsA,所以由正弦定理得到： 2sin B=sinA+2sin CcosA........................ 因为A+B+C=π，所以 2sin(A+C)）=sinA+2 sinCcosA,.2分 所以 2sin AcosC+2cosAsinC=sin A+2sinCcosA........................................3 所以 2sin AcosC=sin A,............... 4分 1 又因为0<A<π，所以sinA≠0，所以cosC= 5分 又因为0<C<π所以C= 3 6分 (2)因为R=2,C=, =,所以由正弦定理可得2×2 sinC’7分 解得C=258分 在△ABC中，由余弦定理： ad2+b2-12=ab.9分 根据均值不等式可得 m+bP-12=ab≤+b 2 10分 所以a2+b2≤24 .11分 当且仅当a=b=25,等号成立.12分 所以a2+b2的最大值为24.13分 数学答案第7页共15页 16.解：(1)因为2Sn+an=2n+2,①所以当n=1时，2S,1+4=2×1+2=4, 即3a,=4,所以a=3 1分 当n≥2时，2Sn-1+a-1=2(n-1)+2,② 所以①-②得：2(Sm-Sn-1)+an-a-1=2, 2分 即3a。=0-1+2,3分 12 h3%-t3… 2-1 所以a,-1=4+ 111 30m-133 a-1-1), .5分 又a所以4- .6分 3 所以数列{a.-1是以为公比，号为首项的等比数列…7分 8分 所以bn=n× 9分 所以=3+目sgn目，@ 吉=3+2g)+w目”@ .10分 ①一②得： 周G” .11分 12分 3 数学答案第8页共15页 后 .13分 所=〔日小[ .14分 因为n∈N,所以 j写>0，所以工< .15分 17.解：(1)在平面DEFC上过点M作P/DE交DF于P. .1分 又DEC平面ADE,MP丈平面ADE, .2分 所以MP/平面ADE,.… ..3分 因为AMP/DE, DP=3414分 PF MF (2)分别以EA,EF为x,y轴，过点E垂直平面ABFE向上为z轴， 如图建立空间直角坐标系. .5分 则E(0,0,0)B(48,0）D(4cos6,0,4sin日）C(4cos6,84sin6）M(0,6,0）6分 BD=(4cos0-4,-8,4sin0),MC=(4cos0,2,4si0). ..7分 .BD⊥MC,.16cos20-16cos0-16+16sim20=0 ..8分 解得：C0S日=0.9分 (3)设DF的中点为O,四边形ABFE的中心为O, 分别过O,作垂线1⊥面DEF,过O,作垂线1，⊥面AEFB,1,与1，交于点O,则点O为 四棱锥D-ABFE的外接球的球心. ..10分 作EF的中点G,连接OG,O,G,在矩形EFCD,ABFE中可知OG/1DE,O,G/AE, 即O,G⊥EF,O,G1EF,从而∠AED=∠OG02=8.11分 数学答案第9页共15页 又00，=VR-0,B=V5-(25例=5=00 .12分 且0G=0,G=2 .'.tan 85 2-2 .13分 2sincos- 2tan ∴.sin0= 2 2 +co8 ..14分 +1 2 545 l9 5 .15分 G 18.(1)证明： 方法一：设点M(5,%),%=1, M-MR=V++(6+2-s-(⅓ 2.1分 =√6+坊+2√2(6+%)+4-V后+听-2W2(+o)+4 =V6+6+2x%+2W2(6+%)+2-√+6+2%-2W2(6+W+2 =V(。+%)'+2W2(6+%)+2-V6+%)2-22(6+%)+2 5+%+2-6+%回 .2分 因为5>0=右0气+%5名之2当月仅当无%=1时等号成立…3分 所以M-M=(5+%+V2)-（+h-√2)=2W2 .4分 方法二：（参考给分）设点M(6%),%=1,M-M引=t 所以M=M引+t,即 数学答案第10页共15页 -++回j-（-%可+ 25(+⅓)=ts-V+(%Vj =5+%-2引 =t(6+%-V2) 因为5>0奶名>0七+%=5名2当且仅当飞=关=1时等号成立 所以P+t(26+2%-2W2)-4W2(6+6)=0 即(t+2+2%)(t-22)=0,所以M-M=t=2W2 方法三：（参考给分)如图， 作MA垂直x轴于点A,MB垂直y轴于点B,则S形oB=1 将y=1绕原点顺时针旋转45°后，点M,A,B对应点M,A,B,其中A在直线y=-x 上，B在直线y=x上，设点M(%)，则 及8s=S阳=1=6二为.6+为_片-8， √2√22 所以可得M在双曲线x-片=2上，实轴长2√2为又其左右焦点R(-2,0),F'(2,0) 分别对应E(-V2,-√2)，E(V2,),所以M-ME=MM=22 方法四：（参考给分) 将y=1绕原点顺时针旋转45，M(OMCos8,OMsin0)对应 roMs0到m(0)(s为 所以 数学答案第11页共15页 发-g-o4[os0sm6旷(cg6时 =2OMP sin e cose 又M(OMcos8,OM sinθ)在y=1上，即OMsin6cos0=1 所以-坊=2，下同方法三 (2)方法一：如图设直线OP:y=kx,其倾斜角为C,直线O2:y=kx,其倾斜 角为A,m00-x-A-a-2- ...5分 可得长生 ，,，6分 y=kx 联立--2解得o州- (1+) .7分 1-k 将是代入化简可得o听-1发 .8分 -k 同理可得og 20+) 1-3 9分 1,1(1-)+41 所以or+og .10分 41+G)月 4 方法二：（参考给分) 如上图设oP=i,og=5,则P(hcosa,4sina),2 ta cosa a-aj代入 x2-y2=2可得 2-2 ,2= 2 2 cos2a cos2 a-4 sin 2a, 111 从而or+og-4 数学答案第12页共15页 方法三：（参考给分） 将双曲线r2-y2=2绕原点逆时针旋转牙可得曲线gy=1,如上设oP=4.0g=6, 代入y=1可得 5-2 111 sin2a F-cos2a'从而1oP+0g4 (3)将双曲线2-y=2绕原点逆时针旋转元可得曲线y=1.11分 A 如下拨45，(》 9y=1 联立 +r+在+g+f=0得r+dr+R+e+1=0=(c-y)(x-5)0x-s)(x+5） 对比系数可得5=一1. 12分 过点B作CD的垂线，交y=1于点H 1 因为 11 ko=占5= 1 .13分 6一为 同理可得 kon=- 1,= =- 七4 55 1 353x4 .14分 .15分 所以CH⊥BD,即H为△BCD的垂心， 根据5x23=-1和 =-1可得x4=,即H与N重合，16分 23X4 即△BCD的垂心与外心重合，所以△BCD为等边三角形.17分 数学答案第13页共15页 19.解：(1)f(x)=-e+2e2x=0解得x=-h21分 当x∈(-m,-ln2),f(x)<0,f(x)单调递减： 当x∈(-ln2,+o),f(x)>0,才(x)单调递增： .2分 (x)=-e+e2x+C根据(0)=0，解得C=0 所以f(x)=-e+e2x ....,3 fG)=f(-血2)=- 41 .4分 综合，f(x)的单调递减区间为(-o,-n2),单调递增区间为，(-n2,+o)极小 值-子，无极大值 .5分 (2)由(1)可得f(x)=-e+e2x-+e2m 所以f(x)=-e*+en-+e2m-e2mr-e e"+1 6分 f(x)= 2me2m+r+(2n+1)e2m-1e (e+月 .7分 因为(x)的极值点为x,所以f(x)=0, 即gn(x)=2eam++(2n+1)em-1=0,又y=gn（x)为R上的增函 数，8分 所以 女动0=-动)-动片9分 即证 数学答案第14页共15页 1 2n ...10分 2n2n2n 即证)-h-)h20,0引 -+n2-r-1,o)-（日-大0，所以在0号上单调逆 减， .11分 2m2-3<0,t→0时，(t)→+，所以存在唯一t使得H(t)=0, 从而t∈(0，)，)>0，函数h4单调递增：t5:2(0k0,函数h)单调 递减： .12分 又t→0时，h(t)→0， 兮=0，所以10，时，有0)20成立1B分 (3)由(2)知8n(x,)=2e2m*+(2n+1)e2m-1=0, 8(x)-g(x)=e20(e+1[(2n+2)e-(2n+1】.14分 因为x<n1分)，所以 2e-pn-=121-m10,15分 所以 8m+1(x)）-8n(x)<0一g+1()K8n(化)=0=g+1(化41)， ..16分 根据y=gn(x)为R上的增函数可得x#1>x ..17分 数学答案第15页共15页