精品解析：广东省江门市棠下中学、实验中学（高中部）两校2026-2027学年高三上学期10月联考数学试题

江门市棠下中学/江门市实验中学（高中部） 2027届高三10月份联考数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题设， 所以. 2. 已知，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法法则化简，再根据虚部的定义求结论. 【详解】因为，代入得， 所以虚部为. 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】通过判断是否能相互推出，由充分条件与必要条件的定义可得. 【详解】由，则“”是“”的充分条件； 又当时，，可知， 故“”不是“”的必要条件， 综上可知，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 4. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】移项后转化为求一元二次不等式的解即可. 【详解】即为即，故， 故解集为. 故选：C. 5. 已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据周期性和奇偶性把待求自变量转化为的范围中求解. 【详解】由题知对一切成立， 于是. 故选：A 6. 已知函数的图象如下，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由函数奇偶性排除AB，再由时函数值正负情况可得解. 【详解】由图可知函数为偶函数，而函数和函数为奇函数，故排除选项AB； 又当时，此时， 由图可知当时，，故C不符合，D符合. 故选：D 7. 记为等差数列的前n项和.若则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由等差数列前n项和公式结合题意列出关于首项和公差d的方程求出首项和公差d，再由等差数列前n项和公式即可计算求解. 【详解】设等差数列的公差为d，则由题可得 ， 所以. 故选：B. 8. ，在上单调递增，且为图象的一条对称轴，是图象的一个对称中心，当时，的最小值为（ ） A. B. C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，结合五点法作图求出函数解析式，再求出指定区间上的最小值. 【详解】由函数在上单调递增，得，则， 由为图象的一条对称轴，是图象的一个对称中心， 得，解得，因此， 而，，则， 因此，当时，， 所以． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，为两条直线，，为两个平面，则下列结论中错误的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】ABD 【解析】 【详解】A：如果直线平行于平面，那么与平面内的直线可能平行，但也可能是异面直线，故错误； B：由线面垂直的性质定理，垂直于同一条直线的两个平面互相平行，故错误； C：过直线作一个平面，使其与平面相交于直线， 因为，所以，又，所以， 因为，根据面面垂直的判定定理，可得，故正确； D：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线才垂直于另一个平面，并不是面内的任意一条直线都垂直于另一个面，故错误. 10. 下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若（、），则与共线 D. 若，则向量，的夹角不一定为钝角 【答案】BD 【解析】 【详解】对于A，由于的方向不确定，故A错误； 对于B，由得的方向相同，所以成立，故B正确； 对于C，当时，对任意均成立，此时与不一定共线，故C错误； 对于D，当与方向相反时，不属于钝角，满足，说明夹角不一定为钝角，故D正确； 11. 已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（ ） A. B. 当时， C. 当且仅当 D. 是的极大值点 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，根据奇函数特点即可判断；对B，利用代入求解即可；对C，举反例即可；对D，直接求导，根据极大值点判定方法即可判断. 【详解】对A，因为定义在上奇函数，则，故A正确； 对B，当时，，则，故B正确； 对C，， 故C错误； 对D，当时，，则， 令，解得或（舍去）， 当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减， 则是极大值点，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知平面向量若，则___________ 【答案】 【解析】 【分析】根据向量坐标化运算得，再利用向量垂直的坐标表示得到方程，解出即可. 【详解】，因为，则， 则，解得. 则，则. 故答案为：. 13. 设，则的最小值为_________． 【答案】4 【解析】 【分析】灵活利用“1”将展开利用基本不等式计算即可. 【详解】易知， 当且仅当，即时取得最小值. 故答案为：4 14. 若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数列的公比等于_________. 【答案】 【解析】 【分析】法一：利用等比数列的求和公式作商即可得解；法二：利用等比数列的通项公式与前项和的定义，得到关于的方程，解之即可得解；法三：利用等比数列的前项和性质得到关于的方程，解之即可得解. 【详解】法一：设该等比数列为，是其前项和，则， 设的公比为， 当时，，即，则，显然不成立，舍去； 当时，则， 两式相除得，即， 则，所以， 所以该等比数列公比为2. 故答案为：. 法二：设该等比数列为，是其前项和，则， 设的公比为， 所以， ， 所以，则，所以， 所以该等比数列公比为2. 故答案为：2. 法三：设该等比数列为，是其前项和，则， 设的公比为， 因为， 又， 所以，所以， 所以该等比数列公比为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明或演算步骤． 15. 已知平面向量，，，且． （1）求； （2）若，求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据平面向量的线性运算的坐标表示求出，再求得，进而根据平面向量模的坐标表示求解即可； （2）根据平面向量平行的坐标表示列方程求解即可. 【小问1详解】 因为，，且， 所以，解得，则，而， 所以， 则． 【小问2详解】 由（1）知，而， 所以，， 因为，所以，解得． 16. 如图，四棱锥中，底面ABCD，，． （1）若，证明：平面； （2）若，且二面角的正弦值为，求． 【答案】（1）证明：因为平面，而平面，所以， 又，，平面，所以平面， 而平面，所以. 因为，所以， 根据平面知识可知， 又平面，平面，所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）先证出平面，即可得，由勾股定理逆定理可得，从而 ，再根据线面平行的判定定理即可证出； （2）过点D作于，再过点作于，连接，根据三垂线法可知，即为二面角的平面角，即可求得，再分别用的长度表示出，即可解方程求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图所示，过点D作于，再过点作于，连接， 因为平面，所以平面平面，而平面平面， 所以平面，又，所以平面， 根据二面角的定义可知，即为二面角的平面角， 即，即． 因为，设，则，由等面积法可得，， 又，而为等腰直角三角形，所以， 故，解得，即． 【点睛】 17. 已知等差数列的前项和为，且，；等比数列的首项为1且，，成等差数列． （1）求数列和的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1） ，； （2） 【解析】 【分析】（1）列方程组求解等差数列的首项和公差得通项，利用等差中项求等比数列的公比得通项； （2）将拆分为等差乘等比的结构和等差数列结构，分别用错位相减法、等差数列求和公式求和后合并. 【小问1详解】 设等差数列首项为，公差为，由得 ，化简得 ①， 由，令得，即 ②， 联立①②解得，故， 设等比数列公比为，由题意，且成等差数列，由等差中项性质得， 代入得，解得，故， 所以，； 【小问2详解】 由题意，故，设的前项和是， 设的前项和是，则， ，  ③ ，两边同乘得  ④， ③-④得：  ， 由代入得 ， 化简得， 故. 18. 定义两种新运算“”与“”，满足如下运算法则：对任意的，有，.设全集且，且，. （1）求集合； （2）求集合； （3）集合是否能满足？若能，求出实数的取值范围；若不能，请说明理由. 【答案】（1）； （2）； （3）集合能满足，实数的取值范围为. 【解析】 【分析】（1）根据新定义运算可得，分、与讨论即可求解； （2）根据新定义运算可得，代入即可求解； （3）易知，假设集合能满足，则，或且，代入求解即可. 【小问1详解】 因为对任意的，有，， 全集且， 所以 因为，所以，或，或. 当时，； 当时，； 当时，， 所以. 【小问2详解】 , 因为且，所以， 所以 所以. 【小问3详解】 因为，，所以. 假设集合能满足， 则，或且. 又， 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得. 所以若且，则且且,. 综上所述，实数的取值范围为. 所以集合能满足，实数的取值范围为. 19. 对于定义在R的函数，都有，且满足，当时，. （1）求的值； （2）证明：函数为R上的增函数； （3）若，求关于的不等式的解集. 【答案】（1） （2） 设，且， 有 又即又， ， ∴函数在R上为增函数. （3） 【解析】 【分析】（1）利用赋值法，结合已知等式进行求解即可； （2）根据函数单调性的定义，结合已知等式进行运算证明即可； （3）根据函数的单调性，结合已知等式进行求解即可. 【小问1详解】 ， 或（舍），即； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ， ， 又， 令，由（2）知在R上也为增函数， 又， ，由函数单调性可知， ∴不等式的解集为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江门市棠下中学/江门市实验中学（高中部） 2027届高三10月份联考数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 1 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 5. 已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的图象如下，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 7. 记为等差数列的前n项和.若则（ ） A. B. C. D. 8. ，在上单调递增，且为图象的一条对称轴，是图象的一个对称中心，当时，的最小值为（ ） A. B. C. D. 0 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，为两条直线，，为两个平面，则下列结论中错误的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 10. 下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若（、），则与共线 D. 若，则向量，的夹角不一定为钝角 11. 已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（ ） A. B. 当时， C. 当且仅当 D. 是的极大值点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知平面向量若，则___________ 13. 设，则的最小值为_________． 14. 若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数列的公比等于_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明或演算步骤． 15. 已知平面向量，，，且． （1）求； （2）若，求实数的值． 16. 如图，四棱锥中，底面ABCD，，． （1）若，证明：平面； （2）若，且二面角的正弦值为，求． 17. 已知等差数列的前项和为，且，；等比数列的首项为1且，，成等差数列． （1）求数列和的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 18. 定义两种新运算“”与“”，满足如下运算法则：对任意的，有，.设全集且，且，. （1）求集合； （2）求集合； （3）集合是否能满足？若能，求出实数的取值范围；若不能，请说明理由. 19. 对于定义在R的函数，都有，且满足，当时，. （1）求的值； （2）证明：函数为R上的增函数； （3）若，求关于的不等式的解集. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $