精品解析：重庆市铜梁区巴川初级中学校2026-2027学年九年级上学期数学第一次学情自测

老巴中27届九上月考一9.30 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为、、、的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 在﹣4，0，﹣1，3这四个数中，最大的数是（　　） A. ﹣4 B. 0 C. ﹣1 D. 3 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：根据正数大于0大于一切负数，所以最大的数是3．故选D． 考点：实数的大小比较． 2. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A．是一元二次方程； B．未明确，当时无二次项，不符合； C．展开后最高次项为，最高次数为4，不符合； D．分母含未知数，是分式方程，不符合． 3. 方程 的根的情况是（ ） A. 只有一个实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无实数根 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程根的判别式求解即可，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴方程有两个相等实数根， 故选：C． 4. 某商品售价准备进行两次下调，如果每次降价的百分率都是x，经过两次降价后售价由298元降到了268元，根据题意可列方程为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据该商品的原售价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：依题意得：298（1-x）2=268． 故选：D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 5. 关于二次函数的图像，下列说法正确的是（ ） A. 开口向下 B. 最低点是 C. 对称轴是直线 D. 当时，随的增大而增大 【答案】D 【解析】 【详解】解：由解析式可知，二次项系数为，顶点坐标为，对称轴为y轴， ∴当时，随的增大而增大， ∴四个选项中，只有D选项中的说法正确，符合题意． 6. 若将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数“上加下减，左加右减”的平移规律进行求解． 【详解】解：将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线的表达式为， 故选A． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象的平移，熟知二次函数图象的平移规律是解题的关键． 7. 用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木棍，……，按此规律排列下去，则第⑧个图案用的木棍根数是（ ） A. 39 B. 44 C. 49 D. 54 【答案】B 【解析】 【分析】根据各图形中木棍的根数发现计算的规律，由此即可得到答案． 【详解】解：第①个图案用了根木棍， 第②个图案用了根木棍， 第③个图案用了根木棍， 第④个图案用了根木棍， ……， 第⑧个图案用的木棍根数是根， 故选：B． 【点睛】此题考查了图形类规律的探究，正确理解图形中木棍根数的变化规律由此得到计算的规律是解题的关键． 8. 一个等腰三角形的两条边长分别是方程的两根．则该等腰三角形的周长是（ ） A. 2 B. 8 C. 10 D. 10或8 【答案】C 【解析】 【分析】先求出方程的两根，然后进行分类讨论即可． 【详解】解：， 因式分解得：， ∴或， ∴，， ∵是等腰三角形的两条边长， 当等腰三角形的三条边长分别为时，，不能构成三角形； 当等腰三角形的三条边长分别为时，等腰三角形的周长为， 故选：C． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形三边关系的应用，熟练掌握解一元二次方程以及熟知有两条边相等的三角形是等腰三角形是解本题的关键，注意进行分类讨论． 9. 如图，抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，下列结论：①；②方程的两个根是，；③；④当时，x的取值范围是；⑤当时，y随x增大而增大．其中结论正确的个数是（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】A 【解析】 【分析】由抛物线的对称性可知，抛物线与x轴的另一个交点坐标为由此即可判断①②；根据当时，，可得即可判断③；根据函数图象即可判断④⑤． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为，， ∴，即，方程的两个根是，，，故①②正确； ∵当时，， ∴， ∴，故③错误； 由函数图象可知当时，的取值范围是，当时，随增大而增大，故④⑤正确； ∴正确的一共有4个， 10. 已知四个多项式，下列说法中正确的个数为（ ） ①若，则； ②若，则或； ③若为正整数，且为整数，则； ④若对任意都有，当时，则． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】逐个判断四个说法的正误，统计正确个数即可． 【详解】解：①∵，，， ∴， 展开得， 解得，故①错误． ②∵， ∴， 化简得， 移项因式分解得， ∴或，故②正确． ③， ∵为正整数，且为整数， ∴是的正约数，且， ∴，即，故③正确． ④∵， 且对任意都有， ∴一次项系数相等，即， 解得， ∴，， ∵， ∴，即，故④错误． 综上，正确的有②③，共2个． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将每个小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 抛物线的顶点坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了的性质，顶点坐标为，根据顶点式即可得出答案． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故答案为：． 12. 将一元二次方程x2﹣6x+5=0化成（x﹣a）2=b的形式，则ab=__． 【答案】12 【解析】 【详解】x2−6x+5=0， x2−6x=−5， x2−6x+9=−5+9， (x−3)2=4， 所以a=3，b=4， ab=12， 故答案为12. 13. 点是二次函数图像上的点，则的大小关系是_____（用“＜”连接）． 【答案】 【解析】 【分析】先确定二次函数的开口方向和对称轴，根据开口向下的二次函数的性质，点到对称轴的水平距离越大，函数值越小，通过比较三点到对称轴的距离即可得到函数值的大小关系． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ∵开口向下的抛物线，点到对称轴的水平距离越大，对应的函数值越小， 又∵， ∴． 14. 如图，的顶点在抛物线上，将绕点O顺时针旋转，得到，边与该抛物线交于点，则点的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据点A的坐标得到的长，利用待定系数法求出抛物线的解析式，根据旋转的性质确定点D的坐标，并得到轴，据此求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵点在抛物线上， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； 由旋转的性质可得，， ∴点D在y轴上，则轴， ∴， 在中，当时，， 解得或（舍去）， ∴． 15. 已知α，β是一元二次方程的两个实数根，则的值为____． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的定义降次，再结合根与系数的关系代入计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴． ∵由根与系数的关系可得，， ∴ ， ， ． 16. 如果一个四位自然数的百位数字大于或等于十位数字，且千位数字等于百位数字与十位数字的和，个位数字等于百位与十位数字的差，则我们称这个四位数为“巴川校庆密码数”，例如：自然数4312，其中，所以4312是“巴川校庆密码数”；则最大的“巴川校庆密码数”是_____；若一个“巴川校庆密码数”的千位数字是，百位数字是，十位数字是，个位数字是是整数，且的后三位数字所表示的数与千位数字所表示的数的7倍之差能被13整除，满足条件的的最小值是_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】求最大的四位数，优先让高位数字最大，根据定义确定各数位即可；求满足整除条件的最小数，优先让千位数字最小，将条件变形得到是的倍数，分类讨论即可得到结果. 【详解】解：由定义可知，“巴川校庆密码数”满足，，. 求最大的“巴川校庆密码数”： ∵ 四位数的大小由高位到低位依次决定，要得到最大的数，优先让千位数字最大， ∴ 取， ∵ 千位确定后，优先让百位数字最大， ∴ 取， ，，满足的条件， ∴ 最大的“巴川校庆密码数”为； 求满足条件的最小： ∵ 的后三位数字所表示的数与千位数字的倍之差为， 将，代入得： ， ∵ ，且能被整除， ∴ 必须是的倍数. ∵ 要最小，优先让千位最小，时，，，可得，不存在满足条件的； 当，且，解得，， ∴ ，，对应， 更大的的倍数对应的更大，得到的也更大， 因此满足条件的最小是. 三、解答题：（本大题9个小题，第17题，第18题各8分，其余每题各10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） ， （2） ， 【解析】 【分析】（1）用直接开平方法求解． （2）用因式分解法求解． 【小问1详解】 解：，开平方得， 当时，， 当时，， 即，． 【小问2详解】 解：， 因式分解得， 则或， 解得，． 18. 在体育测试时，初三的一名高个子男同学推铅球，已知铅球所经过的路线是某个二次函数图像的一部分，如果这个男同学的出手处点的坐标为，铅球路线的最高处点的坐标为（单位：米）． （1）求这个二次函数的解析式； （2）该男同学把铅球推出去多远？ 【答案】（1） （2）该男同学把铅球推出去10米 【解析】 【分析】（1）点B为该二次函数的顶点，把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可； （2）求出函数值为0时自变量的值即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得，这个二次函数的顶点为， 设这个二次函数的解析式为， 把点A的坐标代入得． 解得， ∴这个二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：在中，当时，， 解得或（舍去）， 答：该男同学把铅球推出去10米． 19. 先化简，再计算：，其中满足． 【答案】 化简结果为，值为 【解析】 【分析】先对括号内分式通分化简，将除法转化为乘法，分解因式后约分得到最简结果，解方程得到的值，根据分式有意义的条件舍去不符合条件的值，代入计算即可. 【详解】解：  由，因式分解得 解得或 ∵，， ∴ ，， ∴ 将代入得，原式 20. 已知关于的一元二次方程． （1）若方程的一个根为，求的值和方程的另一个根； （2）求证：不论为何值，方程总有两个不相等的实数根． 【答案】（1）的值为，方程的另一个根为． （2）证明：∵ 一元二次方程中，，，， ∴ 判别式． ∵ 对任意实数，， ∴ ，即． ∴ 不论为何值，方程总有两个不相等的实数根． 【解析】 【分析】（1）把代入原方程得到关于k的方程，解方程求出k的值，再把k的值代入原方程并解方程求出另一个根即可； （2）利用判别式求解即可． 【小问1详解】 解：∵关于的一元二次方程的一个根为， ∴把代入原方程得， 解得， ∴原方程为，即， ∴， 解得或， ∴原方程的另一个根为2； 【小问2详解】 略 21. 新塑科技广泛应用于智慧农业．为了降低成本和提高采摘效率，某果园引进1台智能机器人采摘某种水果．如图，为了方便智能机器人和工人采摘水果，计划在一块长92m、宽60m的矩形果园上修建三条道路，道路的宽度都相等，道路将果园分成面积均为的6个小矩形，求道路的宽度． 【答案】道路的宽度为． 【解析】 【分析】矩形的面积长宽，用将减去道路宽度的长和宽表示出来，列式求解即可． 【详解】解：设道路的宽度为，则矩形果园的长为，宽为， 根据题意可列式， 解得（舍）， 答：道路的宽度为． 22. 某商店销售一种成本为元的水产品，若按元销售，一个月可售出，售价每涨元，月销售量就减少． 写出月销售利润（元）与售价（元）之间的函数表达式； 当售价定为多少元时，该商店月销售利润为元？ 当售价定为多少元时会获得最大利润？求出最大利润． 【答案】（1）y；（2）当售价定为元或元时，该商店月销售利润为元； 当售价为元，利润最大，最大利润是元． 【解析】 【分析】（1）根据月销售利润=每千克的利润×数量就可以表示出月销售利润y（单位：元）与售价x（单位：元/千克）之间的函数解析式； （2）当y=8000时，代入（1）的解析式求出结论即可， （3）将（1）的解析式化为顶点式就可以求出结论． 【详解】解：（1）由题意，得 y=（x-40）[500-10（x-50）]， y=-10x2+1400x-40000=． 答：y与x之间的函数关系式为：y=-10x2+1400x-40000； （2）由题意，得 8000=-10x2+1400x-40000， 解得：x1=60，x2=80． 答：销售单价应定为80元； （3）∵y=-10x2+1400x-40000． ∴y=-10（x-70）2+9000． ∴a=-10＜0，y有最大值． ∴当x=70时．y最大=9000元． 【点睛】本题考查了利润率问题的数量关系的运用，二次函数的解析式的运用，二次函数的性质的运用，解答时求出函数的解析式是关键． 23. 如图，在中，，．点从点出发，以的速度沿折线运动，同时点从点出发，以的速度沿线段运动，当点到达点时，，停止运动．设点运动的时间为的面积为， （1）请直接写出与的函数关系式，并注明自变量的取值范围； （2）在平面直角坐标系中，画出的函数图象，并写出这个函数的一条性质_____； （3）若与的函数图象与直线有两个交点，则的取值范围是_____． 【答案】（1） （2），当时，随x的增大而增大，当时，随x的增大而减小（答案不唯一） （3） 【解析】 【分析】（1）分两种情况：当点在线段上时，，当点在线段（不包括点B）上时，， 分别计算即可； （2）画出函数图象后分析函数图象即可得到性质； （3）平移，找到与的函数图象有两个交点的范围即可． 【小问1详解】 解：当点在线段上时，， 此时，， ∴； 当点在线段（不包括点B）上时，， 此时，， ∴， ∴； 综上所述， 【小问2详解】 解：函数图象见答案： 根据函数图象可得，当时，随x的增大而增大，当时，随x的增大而减小； 【小问3详解】 解：如图所示， 当过时，有两个交点，此时函数解析式为，， 当过时，有一个交点，此时函数解析式为，， 当过时，有一个交点，此时函数解析式为，， ∴若与的函数图象与直线有两个交点，则的取值范围是． 24. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点坐标为，点坐标为． （1）求此抛物线的函数解析式． （2）点是直线上方抛物线上一个动点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线，垂足为点，请探究是否有最大值？若有最大值，求出最大值及此时点的坐标；若没有最大值，请说明理由． （3）点为该抛物线上的点，当时，请直接写出所有满足条件的点的坐标． 【答案】（1） （2），； （3）或． 【解析】 【分析】（1）根据抛物线与轴的交点即可求出答案； （2）求出直线的解析式为，设，则，得到，根据二次函数的性质即可求出答案； （3）以为对角线作正方形则与抛物线的另一个交点即为，过点作轴的平行线交轴于点，过点作于点，则，证明，则，设则，得到，求出，得到，求出为：，联立得到，即可求出，得到，同理可得，直线为，联立得到，即可求出． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于，两点，点坐标为，点坐标为． ∴ 【小问2详解】 解：当时，， ∴， 设直线的解析式为，把代入得到， ， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴ 当时，有最大值， 此时； 【小问3详解】 解：如图，以为对角线作正方形 ∴， ∴与抛物线的另一个交点即为， 如图，过点作轴的平行线交轴于点，过点作于点，则， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 设则， ∴， 由可得，， 解得， ∴， 设为：， ∴， 解得， ∴为：， 联立得到， 解得或 ∴ ∵，，，正方形， ∴ 同理可得，直线为， ∴联立得到， 解得或 ∴ 综上可知，点的坐标为或． 25. 已知四边形是正方形，点为射线上一点，连接并以为对角线作正方形，连接． （1）如图1，当点在线段上时，求证：； （2）如图1，当点在线段上时，求证：； （3）如图2，当点在线段的延长线上时，请直接写出线段与间满足的关系式． 【答案】（1）证明：四边形，四边形都是正方形， ，，， ， ， ； （2）证明：如图中，设交于点，过点作交于， ， ，，，四点共圆， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， 由（1）可知：， ； （3），理由如下： 如图，过点作交的延长线于， ， 点，点，点，点四点共圆， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 又， ， ， ， ． 【解析】 【分析】核心是利用正方形的边相等、角为的性质，找到相等夹角，证明 全等；第问构造直角三角形，得到等腰直角三角形，利用等腰直角三角形斜边与直角边倍的线段关系转化；第问图形位置变化，线段和差关系改变，但全等思路不变． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 老巴中27届九上月考一9.30 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为、、、的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 在﹣4，0，﹣1，3这四个数中，最大的数是（　　） A. ﹣4 B. 0 C. ﹣1 D. 3 2. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 方程 的根的情况是（ ） A. 只有一个实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无实数根 4. 某商品售价准备进行两次下调，如果每次降价的百分率都是x，经过两次降价后售价由298元降到了268元，根据题意可列方程为（ ）． A. B. C. D. 5. 关于二次函数的图像，下列说法正确的是（ ） A. 开口向下 B. 最低点是 C. 对称轴是直线 D. 当时，随的增大而增大 6. 若将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 7. 用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木棍，……，按此规律排列下去，则第⑧个图案用的木棍根数是（ ） A. 39 B. 44 C. 49 D. 54 8. 一个等腰三角形的两条边长分别是方程的两根．则该等腰三角形的周长是（ ） A. 2 B. 8 C. 10 D. 10或8 9. 如图，抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，下列结论：①；②方程的两个根是，；③；④当时，x的取值范围是；⑤当时，y随x增大而增大．其中结论正确的个数是（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 10. 已知四个多项式，下列说法中正确的个数为（ ） ①若，则； ②若，则或； ③若为正整数，且为整数，则； ④若对任意都有，当时，则． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将每个小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 抛物线的顶点坐标是______． 12. 将一元二次方程x2﹣6x+5=0化成（x﹣a）2=b的形式，则ab=__． 13. 点是二次函数图像上的点，则的大小关系是_____（用“＜”连接）． 14. 如图，的顶点在抛物线上，将绕点O顺时针旋转，得到，边与该抛物线交于点，则点的坐标为_____． 15. 已知α，β是一元二次方程的两个实数根，则的值为____． 16. 如果一个四位自然数的百位数字大于或等于十位数字，且千位数字等于百位数字与十位数字的和，个位数字等于百位与十位数字的差，则我们称这个四位数为“巴川校庆密码数”，例如：自然数4312，其中，所以4312是“巴川校庆密码数”；则最大的“巴川校庆密码数”是_____；若一个“巴川校庆密码数”的千位数字是，百位数字是，十位数字是，个位数字是是整数，且的后三位数字所表示的数与千位数字所表示的数的7倍之差能被13整除，满足条件的的最小值是_____． 三、解答题：（本大题9个小题，第17题，第18题各8分，其余每题各10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解方程： （1） （2） 18. 在体育测试时，初三的一名高个子男同学推铅球，已知铅球所经过的路线是某个二次函数图像的一部分，如果这个男同学的出手处点的坐标为，铅球路线的最高处点的坐标为（单位：米）． （1）求这个二次函数的解析式； （2）该男同学把铅球推出去多远？ 19. 先化简，再计算：，其中满足． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）若方程的一个根为，求的值和方程的另一个根； （2）求证：不论为何值，方程总有两个不相等的实数根． 21. 新塑科技广泛应用于智慧农业．为了降低成本和提高采摘效率，某果园引进1台智能机器人采摘某种水果．如图，为了方便智能机器人和工人采摘水果，计划在一块长92m、宽60m的矩形果园上修建三条道路，道路的宽度都相等，道路将果园分成面积均为的6个小矩形，求道路的宽度． 22. 某商店销售一种成本为元的水产品，若按元销售，一个月可售出，售价每涨元，月销售量就减少． 写出月销售利润（元）与售价（元）之间的函数表达式； 当售价定为多少元时，该商店月销售利润为元？ 当售价定为多少元时会获得最大利润？求出最大利润． 23. 如图，在中，，．点从点出发，以的速度沿折线运动，同时点从点出发，以的速度沿线段运动，当点到达点时，，停止运动．设点运动的时间为的面积为， （1）请直接写出与的函数关系式，并注明自变量的取值范围； （2）在平面直角坐标系中，画出的函数图象，并写出这个函数的一条性质_____； （3）若与的函数图象与直线有两个交点，则的取值范围是_____． 24. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点坐标为，点坐标为． （1）求此抛物线的函数解析式． （2）点是直线上方抛物线上一个动点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线，垂足为点，请探究是否有最大值？若有最大值，求出最大值及此时点的坐标；若没有最大值，请说明理由． （3）点为该抛物线上的点，当时，请直接写出所有满足条件的点的坐标． 25. 已知四边形是正方形，点为射线上一点，连接并以为对角线作正方形，连接． （1）如图1，当点在线段上时，求证：； （2）如图1，当点在线段上时，求证：； （3）如图2，当点在线段的延长线上时，请直接写出线段与间满足的关系式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $