精品解析：重庆市巴川中学校2025-2026学年九年级上学期数学第三次月考试卷

老巴中26届九上月考三 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 1. 下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后与原图重合．根据轴对称图形和中心对称图形的定义即可解答． 【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意； B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：A． 2. 已知反比例函数的图象经过点，下列各点也在这个函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是求出． 由点在反比例函数图象上可求出k的值，再求出四个选项中点的横纵坐标之积，比照后即可得出结论． 【详解】解：反比例函数的图象经过点， A、； B、； C、； D、； 故选项A、B、D不符合题意，选项C符合题意， 故选：C． 3. 下列事件中，属于随机事件的是（ ） A. 任意画一个三角形，其内角和为 B. 用长度分别是，，的细木条首尾顺次相连，可组成一个三角形 C. 掷一枚骰子，向上的一面的点数为6 D. 有一个锐角相等的两个直角三角形相似 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．掌握必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件是解题的关键． 随机事件是指可能发生也可能不发生的事件，具有不确定性，选项A、B、D都是确定性事件，只有选项C是随机事件． 【详解】选项A： 三角形内角和恒为，是必然事件，不属于随机事件； 选项B： 三边长度3cm， 2cm， 1cm，，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形，是不可能事件，不属于随机事件； 选项C： 掷骰子点数为6，可能发生也可能不发生，是随机事件； 选项D： 有一个锐角相等的两个直角三角形，由于直角三角形特性，必然相似，是必然事件，不属于随机事件； 故选：C． 4. 如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，则与的面积比是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，熟练掌握位似图形的相似比与面积比的关系是解题的关键．先根据已知条件求出位似比，再利用位似图形面积比等于位似比的平方求解． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ 和是以点为位似中心的位似图形， ∴ ，且相似比为， ∴ ， 故选：D． 5. 估计的值应在（ ） A. 1到2之间 B. 2到3之间 C. 3到4之间 D. 4到5之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算、二次根式的混合运算，先根据二次根式的运算法则化简式子，再利用无理数的估算即可得出答案． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴估计的值应在2到3之间． 故选：B． 6. 已知是二次函数的图象上的三个点，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据二次函数图象的性质即可求解． 【详解】解：， ∴二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， ∴二次函数图象上的点离对称轴越远，的值越小， ∵，，，且， ∴， 故选：D． 7. 下列图形都是由●按照一定规律组成的，其中第①个图中共有4个●，第②个图中共有8个●，第③个图中共有13个●，第④个图中共有19个●，…，照此规律排列下去，则第⑥个图中●的个数为（ ） A. 34 B. 36 C. 40 D. 43 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是根据已知图形得出图n中点的个数为．根据已知图形得出图n中点的个数为，据此可得． 【详解】解：因为图①中点的个数为， 图②中点的个数为， 图③中点的个数为， 图④中点的个数为， …… 图n中点的个数为， 所以图⑥中点的个数为， 故选：A． 8. 如图，平行四边形，，，以点为圆心，为半径画弧，分别交、于，，连接，若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，圆心角定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 连接，根据平行四边形的性质得到，，得到，求出，可证明是等边三角形，继而得到得出阴影部分的面积，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， 平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ，， ， ， 弓形面积弓形面积， 阴影部分的面积， 故选：A 9. 如图，在正方形ABCD中，E为BC延长线上一点，连接DE，F为BC上一点，且EF＝DE，连接DF．G为CD上一点，且DG＝CF，连接AG并延长交DE于点M，连接CM，若∠DAM＝α，则∠DCM＝（　　） A. 2α B. 45°+α C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】证明，则，得到，，证明，进一步得到． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B 【点睛】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理、等腰三角形的判定和性质，证明是解题的关键． 10. 已知整式M：，规定：M中各项系数之和为A，M中各项次数之和为B，，其中n，为自然数，，为正整数，且．例如，当，时，整式，则，，下列说法： ①当时，满足条件的整式M共有4个； ②当时，满足条件的所有整式M的和为； ③满足条件的整式M共有13个． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是整式的规律探究，分类讨论思想的应用，由条件可得，再分类讨论，依次判断得到答案即可． 【详解】解：∵为自然数，为正整数，且， ∴， 当时，则， ∴， ∵， ∴， ∴满足条件的整式M共有4个，故①正确； 当时，当时，，不符合题意； 当时，， ∴， ∴， 满足条件的整式有：， 当时，， ∴， ∴，， 满足条件的整式有：，， ∴满足条件的所有整式M的和为，故②错误； 由①得当时，满足条件的整式M共有4个； 当时，则， ∴ ∴，，，满足条件的整式M共有6个； 当时，则， ∴ ∴，，，满足条件的整式M共有4个； 当时，则， ∴ ∴，满足条件的整式M共有1个； 当时，则，（不符合题意，舍去） ∴满足条件的整式共有个．故③错误； 故选B 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分） 11. 已知、分别是方程的两根，则代数式的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数之间的关系，熟练掌握基础知识是解题的关键． 由根与系数的关系可得；利用方程解的定义，将用表示，代入代数式化简后求值． 【详解】解：∵是方程的根， ∴，即． ∴． 又∵，是方程的两根， ∴． ∴原式． 故答案为：． 12. 将标有“最”“美”“铜”“梁”的四个小球装在一个不透明的口袋中（每个小球上仅标一个汉字），这些小球除所标汉字不同外，其余均相同．从中随机摸出一个球，放回后再随机摸出一个球，则摸到的球上的汉字是“铜”和“梁”的概率是___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了利用列表法或画树状图法求概率，解题的关键是根据题意列出表格或画出树状图．先根据题意列出表格，得出所有可能的情况数，然后得出符合条件的情况数，最后根据概率公式进行计算即可． 【详解】解：列表如下： 最 美 铜 梁 最 (最，最) (最，美) (最，铜) (最，梁) 美 (美，最) (美，美) (美，铜) (美，梁) 铜 (铜，最) (铜，美) (铜，铜) (铜，梁) 梁 (梁，最) (梁，美) (梁，铜) (梁，梁) ∵共有16种等可能的情况数，其中符合题意的情况数有2种， ∴摸到的球上的汉字是“铜”和“梁”的概率是， 故答案为：． 13. 如图，小明用图中的扇形纸片作一个圆锥的侧面，已知扇形的圆心角为，半径是，那么这个圆锥的底面半径是________． 【答案】##3厘米 【解析】 【分析】本题考查了求圆锥的底面半径．设这个圆锥的底面半径为r，根据圆锥的底面周长等于展开以后扇形的弧长列式计算即可．熟练掌握弧长的计算公式是解题的关键． 【详解】设这个圆锥的底面半径为r，根据题意得， ， 其中，， ， 故答案为：． 14. 如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，轴，点在轴上，的面积为，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数中的几何意义以及三角形面积的等积变换，利用轴得到与面积相等是解题的关键． 连接、，设与轴相交于点，由点在反比例函数的图象上得，由轴得， 从而得，即可得，解得，由反比例函数的图象位于第二象限可知，故． 【详解】解：如图，连接、，设与轴相交于点， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∵轴，点在轴上， ∴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴，解得， ∵反比例函数的图象位于第二象限， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 如图，的三点A、B、C在上，与交于点E，且直线l与相切于点C．分别连接，延长交于点M，交直线l于点P，满足．若半径．则_______， ______． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，切线性质定理，利用垂径定理逆定理可得，利用三角形面积法即可求得，再证明，利用相似三角形的性质即可解答，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 四边形为平行四边形， ， 直线l与相切于点C， ， ， ， ， 根据三角形面积公式可得， ， ， 如图，连接， ， ， ， ， ， ， 在直角三角形中，, ， ， ，， ， 故答案为：；． 16. 如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“方佳数”．例如：四位数4385，因为，所以4385是“方佳数”；四位数4238，因为，所以4238不是“方佳数”．若是“方佳数”，则这个数最大是_________；若四位自然数是“方佳数”，将“方佳数”的千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调，得到新数，若能被33整除，则满足条件的的最小值_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了新定义下的实数运算、一元一次方程的应用等知识点，理解新定义、正确推理计算是解题关键． 根据“方佳数”的定义可得，即，再确定的最大值及的值即可解答；设这个四位数，则，再结合“方佳数”的定义，得出， 再由能被整除可知 是整数，得到满足条件的的值为，进而得出满足条件的等式，即可得到的最小值． 【详解】解： 是“方佳数”， 即 ， ∴当 时，有最大值， ∴这个数最小是； 设这个四位数则 ， ∵四位数是“方佳数”， ， ， 能被整除， 是整数， 是整数且 ∴满足条件的的值为， ， ∵要求的最小值，则， ∴满足条件的的最小值是， 故答案为： ；． 三、解答题（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解方程或计算： （1）； （2） 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，分式的混合运算，整式的乘法，掌握好方程的解法与分式的运算法则是解题关键． （1）使用因式分解法解方程即可； （2）根据分式混合运算的法则和整式的乘法法则进行计算即可． 【小问1详解】 解：， 因式分解得，， 或， 解得，，； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ， ． 18. 学习了平行四边形的知识后，同学们进行了拓展性研究．他们发现作平行四边形一组对角的角平分线与另一组对角的顶点所连对角线相交，则这两个交点与这条对角线两侧的对角顶点的连线所围成的封闭图形是一个特殊四边形．他们的解决思路是通过证明对应线段平行且相等得出结论．请根据以上思路完成下列作图和填空： （1）用直尺和圆规，过点B作的角平分线，交于点F，连接、．（只保留作图痕迹） （2）已知：如图，四边形是平行四边形，是对角线，平分，交于点E，平分，交于点F，连接、． 求证：四边形是平行四边形． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，① ∴． ∵平分，平分， ∴． ∵ ∴② ， ∴ ∴③ ，． ∴， ∴四边形是平行四边形． 同学们再进一步研究发现，过平行四边形任意一组对角的顶点作平行线与另一组对角顶点所连对角线相交，均具有此特征．请你依照题意完成下面命题：过平行四边形一组对角的顶点作平行线与另一组对角顶点所连对角线相交，则这两个交点与这条对角线两侧的对角顶点的连线所④ ． 【答案】（1） 如图，点即为所作； （2）①；②；③；④形成的四边形是平行四边形 【解析】 【分析】本题考查了作图﹣复杂作图，平行四边形的性质和全等三角形的判定的知识，三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件． （1）作的平分线，其中交于即可； （2）由于，根据全等三角形的性质得到根据等角的补角相等可得，，则，根据平行四边形的判定即可得到结论． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴． ∵平分，平分， ∴，． ∵ ∴， ∴． ∴，． ∴， ∴四边形是平行四边形． 命题： 过平行四边形一组对角的顶点作平行线与另一组对角顶点所连对角线相交，则形成的四边形是平行四边形． 故答案为：①；②；③；④形成的四边形是平行四边形． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线） 19. 科大讯飞推出了“讯飞星火”AI聊天机器人（以下简称A款），抖音推出了“豆包”AI聊天机器人（以下简称B款）．有关人员开展了A，B两款AI聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意），下面给出了部分信息：（单位：分） 抽取的对A款AI聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：83，85，86，87，88，89； 抽取的对B款AI聊天机器人的评分数据： 67，68，69，83，85，86，87，87，87，88，88，89，95，96，96，96，96，98，99，100； 抽取的对A，B款AI聊天机器人的评分统计表 设备 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比 A 88 b 96 45％ B 88 88 c 40％ 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中_______，______，______； （2）根据以上数据，你认为哪款AI聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）在此次测验中，有300人对A款AI聊天机器人进行评分、320人对Ｂ款AI聊天机器人进行评分，请通过计算，估计此次测验中对AI聊天机器人不满意的共有多少人？ 【答案】（1），， （2） A款AI聊天机器人更受用户喜爱，理由如下： 因为两款评分数据的平均数、众数都相同，但A款评分数据的中位数为分比B款的中位数88分高，所以A款AI聊天机器人更受用户喜爱（答案不唯一）； （3）此次测验中对AI聊天机器人不满意的共有78人 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图，平均数的定义、中位数的定义、众数的定义，样本估计总体； （1）由扇形统计图及表格获取数据分别求出抽取的对A款AI聊天机器人的评分数据中“不满意”、 “满意” 、“非常满意”、“比较满意”的人数，再由中位数的定义、众数的定义，即可求解； （2）从平均数、中位数、众数几个方面综合分析，即可求解； （3）A款 “不满意”所占的百分比Ｂ款 “不满意”所占的百分比，即可求解； 理解平均数的定义、中位数的定义、众数的定义，会用样本求总体，能从扇形统计图及表格中获取正确的数据，并能根据数据进行分析决策是解题的关键． 【小问1详解】 解：抽取的对A款AI聊天机器人的评分数据中“不满意”的人数：（人）， 抽取的对A款AI聊天机器人的评分数据中“满意”的人数：（人）， 抽取的对A款AI聊天机器人的评分数据中“非常满意”的人数：（人）， 抽取的对A款AI聊天机器人的评分数据中“比较满意”的人数： （人）， ； 抽取的对A款AI聊天机器人的评分数据的中位数是将这组数组按从小到大顺序排好后的第、个数的平均数， “不满意”的人数与“比较满意”的人数共：人， 第、个数在评分为“满意”的数据中， 第、个数为、， ； 抽取的对B款AI聊天机器人的评分数据中出现最多的是数据，共个， ； 故答案为：，，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（人）， 答：此次测验中对AI聊天机器人不满意的共有78人． 20. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，点，与双曲线交于点，点． （1）求双曲线的解析式． （2）过点作轴于点，若点在双曲线上，且的面积为，求点的坐标． （3）当时，直接写出自变量的取值范围． 【答案】（1） （2）点的坐标为或 （3）当时，自变量的取值范围为或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，联立解析式求交点、结合函数图像分析函数值大小关系是解题的关键． （1）将代入得点坐标，将点坐标代入得的值，即可求得双曲线的解析式； （2）先求点、点坐标，即可得长，再由面积公式得点纵坐标，代入解析式即可得点坐标； （3）由点，及图像可知，当时，自变量的取值范围为或 ． 【小问1详解】 解：将代入得：，解得， ∴， 把代入得：， 解得， ∴； 【小问2详解】 ∵过点作轴于点， ∴， ∵直线与轴交于点， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， 即， ∴， ∴， 把代入得，把代入得， ∴点的坐标为 或 ； 【小问3详解】 ∵直线与双曲线交于点，点， ∴由图像可知，当时，自变量的取值范围为或 ． 21. 年卡塔尔世界杯吉祥物，中文名是拉伊卜，代表着技艺高超的球员．随着世界杯的火热进行，吉祥物拉伊卜玩偶成为畅销商品．某经销商售卖大、小两种拉伊卜玩偶，大拉伊卜售价是小拉伊卜售价的倍且元购买小拉伊卜玩偶的数量比购买大拉伊卜玩偶的数量多个． （1）求小、大拉伊卜玩偶售价分别为多少元？ （2）世界杯开赛第一周该经销商售出小拉伊卜玩偶个，大拉伊卜玩偶个，世界杯开赛第二周，该经销商决定降价出售两种拉伊卜玩偶．已知：两种拉伊卜玩偶都降价元，小拉伊卜玩偶售出数量较世界杯开赛第一周多了个：大拉伊卜玩偶售出数量与世界杯开赛第一周相同，该经销商世界杯第二周总销售额为元，求的值． 【答案】（1）小拉伊卜玩偶售价为元，大拉伊卜玩偶售价是元 （2） 【解析】 【分析】（1）设小拉伊卜售价为x元，则大拉伊卜售价是元，根据题意，得，解分式方程即可． （2）根据题意，第二周大拉伊卜售价是元，销售数量为个；第二周小拉伊卜售价是元，销售数量为个，根据题意，得，解方程即可． 【小问1详解】 解：设小拉伊卜售价为x元，则大拉伊卜售价是元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的根， 所以， 答：小拉伊卜玩偶售价为元，大拉伊卜玩偶售价是元． 【小问2详解】 解：根据题意，第二周大拉伊卜售价是元，销售数量为个；第二周小拉伊卜售价是元，销售数量为个， 根据题意，得， 解得（舍去）． 故的值为． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元二次方程的应用，熟练掌握两种的方程的应用是解题的关键． 22. 如图1，在矩形中，，对角线交于点．动点以每秒2个单位长度的速度从点出发，沿着运动，当点到达点时停止运动，设点运动的时间为的面积为． （1）直接写出与之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （2）在图2所示的平面直角坐标系中，画出的函数图象，并根据图象写出函数的一条性质； （3）根据函数图象，直接写出时的值．（近似值精确到0.1，误差不超过0.2） 【答案】（1）； （2）时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．（答案不唯一）； 函数图象如图所示， （3）或． 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、分段函数的建立与图像绘制，熟练掌握矩形的性质及分段函数的分析方法是解题的关键． （1）通过作、，证明三角形相似求出、的长，再分在、段，结合三角形面积公式列分段函数； （2）根据(1)的解析式找关键点画图，观察图像得函数性质． （3）作与函数图像相交即可得解． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，，，，，， ∴，， 过作于， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴， 过作于， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵是中点，故，， ∴， ∴， 当在上（）， ，以为底，为高， ∴， 当在上（），如图， ，， ∵的面积，，， ∴ 综上，； 【小问2详解】 解：略． 由图可知时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小．（答案不唯一）； 【小问3详解】 解：如图， 由图可知，时的值或． 23. 某动物园熊猫基地D新诞生了一只小熊猫，吸引了大批游客前往观看．由于A、B之间的道路正在进行维护，暂时不能通行．游客由入口A进入园区之后可步行到达点C，然后可以选择乘坐空中缆车从，也可选择乘坐观光车从．已知点C在点A的北偏东45°方向上，点D在点C的正东方向，点B在点A的正东方向300米处，点D在点B的北偏东60°方向上，且米．（参考数据：，，） （1）求的长度（精确到个位）； （2）已知空中缆车的速度是每分钟200米，观光车的速度是每分钟320米，若游客想尽快到达熊猫基地D，应选择乘坐空中缆车还是观光车？ 【答案】（1）米； （2）应选择乘坐观光车． 【解析】 【分析】（1）作于M，于N，推出四边形是矩形，得到，求出（米），由锐角的正切定义求出的长，由是等腰直角三角形，得到，求出的长，即可解决问题； （2）分别求出乘坐空中缆车，观光车所用的时间，即可判断． 【小问1详解】 解：作于M，于N， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴（米）， ∵， ∴（米）， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴（米）， ∴（米）， ∴（米）； 【小问2详解】 解：由勾股定理得到（米）， ∴（米）， ∴乘坐观光车的时间是（分钟）， 乘坐空中缆车的时间是（分钟）， ∴应选择乘坐观光车． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用—方向角问题，勾股定理，关键是通过作辅助线构造直角三角形，应用三角函数定义来解决问题． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，，与轴交于点． （1）求该抛物线的解析式； （2）点是直线上方该抛物线上的一动点，连接，，点是直线上一动点，当最大时，求的最小值； （3）在（2）问取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过线段的中点．若点为新抛物线上的一动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】（1） （2）最小值为： （3）或． 【解析】 【分析】（1）把点，代入即可求解； （2）求解直线为，，如图，过作，设直线为，当直线与抛物线有1个交点时，的面积最大，可得有两个相等的实数根，可得，，证明，作关于的对称点，连接，则三点共线，且，，可得，即，进一步求解即可； （3）如图，延长与轴的交点为，求解直线为，可得，，在直线上，抛物线向右平移1个单位，向下平移1个单位，连接，可得，可得，作交新抛物线于，交轴于，则，即满足，证明，设，此时在抛物线上，即，作关于直线的对称点，连接交于，连接交新抛物线于，，，此时满足条件，设，再进一步求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与直线交于点，，与轴交于点， ∴， 解得：， ∴抛物线为：； 【小问2详解】 解：∵，， ∴设直线为， ∴， 解得：， ∴直线为， ∵， 当时，， ∴， 如图，过作， 设直线为， 当直线与抛物线有1个交点时，的面积最大， ∴方程，即有两个相等的实数根， ∴， 解得：， ∴直线为，， 解得：，， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， 作关于的对称点，连接，则三点共线，且，， ∴，即， 当三点共线时， ，此时最小， 最小值为：． 【小问3详解】 解：如图，延长与轴的交点为，，， 同理可得：直线为， ∴，， ∵为的中点， ∴，，， ∴在直线上，抛物线向右平移1个单位，向下平移1个单位， 连接， ∴，，平移后的抛物线为：， ∴， 作交新抛物线于，交轴于，则，即满足， ∵， ∴，设， ∴， ∴，解得：， ∴， 此时在抛物线上，即， 作关于直线的对称点，连接交于，连接交新抛物线于， ∴，，此时满足条件， 设， ∴， ∴，而， ∴，， ∴， ∵， ∴， 同理可得：为， ∴， 解得：或， ∴； 综上：或． 【点睛】本题考查的二次函数的综合应用，涉及求解解析式，二次函数的图象与面积，一元二次方程根的判别式的应用，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质，中点坐标公式的应用，锐角三角函数的应用，本题难度很大，作出合适的辅助线是解本题的关键． 25. 如图，将绕点A顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为N，M． （1）如图1，当点落在的延长线上时，且，，，求的长； （2）如图2，绕点顺时针旋转得到，延长交于点，连接并延长至点，使得，连接，连接交于点，猜想线段，，之间存在的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图3，连接，，直线交于点，点为的中点，连接．若，，，在旋转过程中，是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）的长为； （2） ，证明如下： 在上取点，使，连接，如图： 由绕点顺时针旋转得到得：，， 是等边三角形， ， ， 在中，， 由旋转性质知， ， ， ， ，， ，即， 由旋转性质知， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）在旋转过程中，存在最小值． 【解析】 【分析】（1）根据将绕点顺时针旋转得到，知，可得，，故的长为； （2）在上取点，使，连接，由绕点顺时针旋转得到得：，，得是等边三角形，，故，而，且，可得，从而，可得，，即可得，又，可得，从而可证，得，故； （3）过作交延长线于，连接，由绕点顺时针旋转得到，得，，，知，而，，有，可证，得，从而，即可得，可知是中点，，要使最小，只需最小，此时、、共线，的最小值为，故最小为． 【小问1详解】 解：(1)将绕点顺时针旋转得到， ， ， ， ， ，； 即的长为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 在旋转过程中，存在最小值，理由如下： 过作交延长线于，连接，如图： 绕点顺时针旋转得到， ，，， ， 而， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，即是中点， 点为的中点， 是的中位线， ， 要使最小，只需最小， 而，， 、、共线，的最小值为， 最小为． 【点睛】本题考查了全等三角形判定与性质，勾股定理及应用，三角形中位线定理及应用等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 老巴中26届九上月考三 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 1. 下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知反比例函数的图象经过点，下列各点也在这个函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列事件中，属于随机事件的是（ ） A. 任意画一个三角形，其内角和为 B. 用长度分别是，，的细木条首尾顺次相连，可组成一个三角形 C. 掷一枚骰子，向上的一面的点数为6 D. 有一个锐角相等的两个直角三角形相似 4. 如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，则与的面积比是（ ） A. B. C. D. 5. 估计的值应在（ ） A. 1到2之间 B. 2到3之间 C. 3到4之间 D. 4到5之间 6. 已知是二次函数的图象上的三个点，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 下列图形都是由●按照一定规律组成的，其中第①个图中共有4个●，第②个图中共有8个●，第③个图中共有13个●，第④个图中共有19个●，…，照此规律排列下去，则第⑥个图中●的个数为（ ） A. 34 B. 36 C. 40 D. 43 8. 如图，平行四边形，，，以点为圆心，为半径画弧，分别交、于，，连接，若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形ABCD中，E为BC延长线上一点，连接DE，F为BC上一点，且EF＝DE，连接DF．G为CD上一点，且DG＝CF，连接AG并延长交DE于点M，连接CM，若∠DAM＝α，则∠DCM＝（　　） A. 2α B. 45°+α C. D. 10. 已知整式M：，规定：M中各项系数之和为A，M中各项次数之和为B，，其中n，为自然数，，为正整数，且．例如，当，时，整式，则，，下列说法： ①当时，满足条件的整式M共有4个； ②当时，满足条件的所有整式M的和为； ③满足条件的整式M共有13个． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分） 11. 已知、分别是方程的两根，则代数式的值为___________． 12. 将标有“最”“美”“铜”“梁”的四个小球装在一个不透明的口袋中（每个小球上仅标一个汉字），这些小球除所标汉字不同外，其余均相同．从中随机摸出一个球，放回后再随机摸出一个球，则摸到的球上的汉字是“铜”和“梁”的概率是___________． 13. 如图，小明用图中的扇形纸片作一个圆锥的侧面，已知扇形的圆心角为，半径是，那么这个圆锥的底面半径是________． 14. 如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，轴，点在轴上，的面积为，则的值为___________． 15. 如图，的三点A、B、C在上，与交于点E，且直线l与相切于点C．分别连接，延长交于点M，交直线l于点P，满足．若半径．则_______， ______． 16. 如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“方佳数”．例如：四位数4385，因为，所以4385是“方佳数”；四位数4238，因为，所以4238不是“方佳数”．若是“方佳数”，则这个数最大是_________；若四位自然数是“方佳数”，将“方佳数”的千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调，得到新数，若能被33整除，则满足条件的的最小值_________． 三、解答题（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解方程或计算： （1）； （2） 18. 学习了平行四边形的知识后，同学们进行了拓展性研究．他们发现作平行四边形一组对角的角平分线与另一组对角的顶点所连对角线相交，则这两个交点与这条对角线两侧的对角顶点的连线所围成的封闭图形是一个特殊四边形．他们的解决思路是通过证明对应线段平行且相等得出结论．请根据以上思路完成下列作图和填空： （1）用直尺和圆规，过点B作的角平分线，交于点F，连接、．（只保留作图痕迹） （2）已知：如图，四边形是平行四边形，是对角线，平分，交于点E，平分，交于点F，连接、． 求证：四边形是平行四边形． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，① ∴． ∵平分，平分， ∴． ∵ ∴② ， ∴ ∴③ ，． ∴， ∴四边形是平行四边形． 同学们再进一步研究发现，过平行四边形任意一组对角的顶点作平行线与另一组对角顶点所连对角线相交，均具有此特征．请你依照题意完成下面命题：过平行四边形一组对角的顶点作平行线与另一组对角顶点所连对角线相交，则这两个交点与这条对角线两侧的对角顶点的连线所④ ． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线） 19. 科大讯飞推出了“讯飞星火”AI聊天机器人（以下简称A款），抖音推出了“豆包”AI聊天机器人（以下简称B款）．有关人员开展了A，B两款AI聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意），下面给出了部分信息：（单位：分） 抽取的对A款AI聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：83，85，86，87，88，89； 抽取的对B款AI聊天机器人的评分数据： 67，68，69，83，85，86，87，87，87，88，88，89，95，96，96，96，96，98，99，100； 抽取的对A，B款AI聊天机器人的评分统计表 设备 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比 A 88 b 96 45％ B 88 88 c 40％ 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中_______，______，______； （2）根据以上数据，你认为哪款AI聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）在此次测验中，有300人对A款AI聊天机器人进行评分、320人对Ｂ款AI聊天机器人进行评分，请通过计算，估计此次测验中对AI聊天机器人不满意的共有多少人？ 20. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，点，与双曲线交于点，点． （1）求双曲线的解析式． （2）过点作轴于点，若点在双曲线上，且的面积为，求点的坐标． （3）当时，直接写出自变量的取值范围． 21. 年卡塔尔世界杯吉祥物，中文名是拉伊卜，代表着技艺高超的球员．随着世界杯的火热进行，吉祥物拉伊卜玩偶成为畅销商品．某经销商售卖大、小两种拉伊卜玩偶，大拉伊卜售价是小拉伊卜售价的倍且元购买小拉伊卜玩偶的数量比购买大拉伊卜玩偶的数量多个． （1）求小、大拉伊卜玩偶售价分别为多少元？ （2）世界杯开赛第一周该经销商售出小拉伊卜玩偶个，大拉伊卜玩偶个，世界杯开赛第二周，该经销商决定降价出售两种拉伊卜玩偶．已知：两种拉伊卜玩偶都降价元，小拉伊卜玩偶售出数量较世界杯开赛第一周多了个：大拉伊卜玩偶售出数量与世界杯开赛第一周相同，该经销商世界杯第二周总销售额为元，求的值． 22. 如图1，在矩形中，，对角线交于点．动点以每秒2个单位长度的速度从点出发，沿着运动，当点到达点时停止运动，设点运动的时间为的面积为． （1）直接写出与之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （2）在图2所示的平面直角坐标系中，画出的函数图象，并根据图象写出函数的一条性质； （3）根据函数图象，直接写出时的值．（近似值精确到0.1，误差不超过0.2） 23. 某动物园熊猫基地D新诞生了一只小熊猫，吸引了大批游客前往观看．由于A、B之间的道路正在进行维护，暂时不能通行．游客由入口A进入园区之后可步行到达点C，然后可以选择乘坐空中缆车从，也可选择乘坐观光车从．已知点C在点A的北偏东45°方向上，点D在点C的正东方向，点B在点A的正东方向300米处，点D在点B的北偏东60°方向上，且米．（参考数据：，，） （1）求的长度（精确到个位）； （2）已知空中缆车的速度是每分钟200米，观光车的速度是每分钟320米，若游客想尽快到达熊猫基地D，应选择乘坐空中缆车还是观光车？ 24. 在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，，与轴交于点． （1）求该抛物线的解析式； （2）点是直线上方该抛物线上的一动点，连接，，点是直线上一动点，当最大时，求的最小值； （3）在（2）问取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过线段的中点．若点为新抛物线上的一动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 25. 如图，将绕点A顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为N，M． （1）如图1，当点落在的延长线上时，且，，，求的长； （2）如图2，绕点顺时针旋转得到，延长交于点，连接并延长至点，使得，连接，连接交于点，猜想线段，，之间存在的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图3，连接，，直线交于点，点为的中点，连接．若，，，在旋转过程中，是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $