精品解析：青海西宁市五一学校2026-2027学年第一学期九年级数学第一次学情自测

西宁市五一学校2026-2027学年第一学期九年级数学第一次月考 一、选择题（共8小题，每题3分，共24分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 3. 用配方法解一元二次方程，配方后所得的方程是（ ） A. B. C. D. 4. 已知一元二次方程的两根分别是3和，则这个方程可以是（ ） A. B. C. D. 5. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 某抛物线与抛物线的形状相同，且顶点为，开口向下．该抛物线的函数表达式为（　　） A. B. C. D. 7. 若，两点在二次函数的图象上，则，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 8. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（ ） A.   B.   C.   D.   二、填空题（共10小题，每题2分，共20分） 9. 方程的解是___________． 10. 关于x的一元二次方程 有一根为0，则________． 11. 若二次函数的图象开口向上，则m的值是________． 12. 抛物线的对称轴是________． 13. 将二次函数化成的形式为____________． 14. 一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都赛两场），若共要比赛90场，则共有___________支队参加比赛． 15. 将二次函数的图象沿x轴方向平移4个单位后，得到的抛物线的表达式为________． 16. 已知m，n是方程的两个根，则的值为______． 17. 已知抛物线y＝﹣x2﹣2x+3，当﹣2≤x≤2时，对应的函数值y的取值范围为________． 18. 对于实数定义新运算：※．例如：3※，若关于的方程※有两个不相等的实数根，则的取值范围是_______． 三、解答题（共8小题，共56分） 19. 解方程： 20. 已知抛物线经过点 （1）求抛物线的解析式； （2）求抛物线的顶点坐标和对称轴． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）证明：不论m为何值，方程总有实数根； （2）若方程的两个实数根为，且满足，求m的值． 22. 如图，学校准备在教学楼后面搭建一个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼10米长的后墙，另外三边利用学校现有的总长为21米的铁栏围成（墙的厚度忽略不计）． （1）若围成的车棚面积为54平方米，求出自行车车棚的长和宽； （2）能围成面积为60平方米的车棚吗？若能，说出你的方案；若不能，请说明理由． 23. 如图，矩形中，，点P从A开始沿边向点以的速度移动，同时点从点开始沿边向点以的速度移动．当点Q到达点C时，P，Q两点同时停止运动． （1）出发几秒时的面积为？ （2）出发几秒时的长度为？ 24. 掷实心球是某市初中毕业升学体育考试选考项目之一．如图1是一名男生掷实心球情境，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示．掷出时，起点处高度为．当水平距离为4m时，实心球行进至最高点5m处． （1）求关于的函数表达式； （2）根据某市2023年初中毕业升学体育考试评分标准（男生版），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于12.4m时，即可得满分．该男生在此项考试中能否得满分，请说明理由． 25. 2025年，在四川省城市足球联赛（简称“川超”）比赛期间，为促进体育经济发展，眉山市文旅局联合餐饮住宿企业、土特产生产企业推出各种优惠活动． （1）某食品厂原计划每月生产芝麻糕2000件，为响应文旅局号召，连续两月提高产量后，月产量达到2880件，若每月产量的增长率相同，求每月产量的增长率； （2）该食品厂原来每天可销售60件芝麻糕，每件盈利30元．参与优惠活动后，该食品厂每降价1元，就可多售出5件．问该食品厂应降价多少元，才能使利润最大？最大利润为多少？ 26. 九年级某班成立了数学学习兴趣小组，该数学兴趣小组对函数的图象和性质进行探究，过程如下，请你补充完整． （1）函数的自变量x的取值范围是__________； （2）①列表：如表是x，y的几组对应值，其中___________，___________； x … 0 1 2 3 4 … y … 9 0 m 3 n 0 9 … ②描点：根据表中的数值描点，请补充描出点，； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图象补充完整； （3）请观察函数图象，当y随x的增大而增大时，x的取值范围为___________． （4）当直线与这个新图象有三个交点时，m的取值是________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西宁市五一学校2026-2027学年第一学期九年级数学第一次月考 一、选择题（共8小题，每题3分，共24分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念．由一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程进行判断即可． 【详解】解：A、该方程中含有2个未知数，不是一元二次方程，故本选项不合题意； B、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意； C、该方程不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不合题意； D、当时，不是一元二次方程，故本选项不合题意； 故选：B． 2. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的顶点式．二次函数的顶点式“”的顶点为，对称轴为，所以可根据题中给出的表达式直接得出结果． 【详解】解：抛物线已经是顶点式，顶点坐标为． 为该抛物线的对称轴． 故选：B． 3. 用配方法解一元二次方程，配方后所得的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 4. 已知一元二次方程的两根分别是3和，则这个方程可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用因式分解法解方程和根与系数的关系进行判断即可． 【详解】解：A：方程的解是，不符合题意； B：由题意得，而方程中，不符合题意； C：方程的解是，符合题意； D：由题意得，而方程中，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程和一元二次方程的根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的相关知识． 5. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，根据方程有两个不相等的实数根，得到，进行求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，解得：； 故选D． 6. 某抛物线与抛物线的形状相同，且顶点为，开口向下．该抛物线的函数表达式为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．根据二次函数的图象和性质，形状相同则二次项系数绝对值相等，开口向下则系数为负，顶点代入顶点式解答即可． 【详解】解：∵抛物线与抛物线的形状相同，且顶点为，开口向下． ∴该抛物线的函数表达式为． 故选：C． 7. 若，两点在二次函数的图象上，则，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质．根据二次函数解析式可知，函数图象的对称轴为直线，且在对称轴左侧，随的增大而增大，再根据与与对称轴的位置关系，即可得出答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数开口向下，对称轴为直线， ∴当时，函数的值随的增大而增大， ∵点，都在二次函数的图象上， ∴， 故选：A． 8. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（ ） A.   B.   C.   D.   【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的开口方向，与y轴的交点，一次函数经过的象限，再结合相关图象即可求出结果． 【详解】解：∵一次函数和二次函数都经过y轴上的， ∴两个函数图象交于y轴上的同一点，故B选项错误； 当时，二次函数开口向上，一次函数必经过一、三象限，故C选项错误； 当时，二次函数开口向下，一次函数必经过二、四象限，故A选项错误，D选项正确． 二、填空题（共10小题，每题2分，共20分） 9. 方程的解是___________． 【答案】， 【解析】 【分析】方程左边已分解为两个一次因式的乘积，分别令两个因式等于0即可求出方程的解． 【详解】解：∵ ∴或 ∴，． 10. 关于x的一元二次方程 有一根为0，则________． 【答案】 【解析】 【分析】已知方程为一元二次方程，且一根为，先将根代入方程求的可能值，再结合一元二次方程二次项系数不为排除不符合的解． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴，即， ∵方程有一个根为， ∴将代入原方程得：， 解得或， ∵， ∴． 11. 若二次函数的图象开口向上，则m的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数定义可得的次数为，再根据开口向上可得二次项系数大于，列不等式组求解即可． 【详解】解：∵函数是二次函数，且图象开口向上， ∴，， 解得或，， ∴． 12. 抛物线的对称轴是________． 【答案】直线 【解析】 【分析】此题考查抛物线对称轴的计算公式，掌握公式是解题的关键. 利用对称轴的计算公式解答. 【详解】解：抛物线的对称轴是直线， 故答案为：直线. 13. 将二次函数化成的形式为____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用配方法先提出二次项系数，在加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式． 【详解】解∶， 故筦案为∶． 【点睛】本题考查了二次函数的三种形式，熟练掌握配方法是解题的关键． 14. 一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都赛两场），若共要比赛90场，则共有___________支队参加比赛． 【答案】10 【解析】 【分析】设共有支队参加比赛，根据双循环赛制的场次关系列出一元二次方程，舍去不符合实际的负根即可得到结果． 【详解】解：设共有支队参加比赛， ∵双循环赛制每两队之间赛两场，总比赛场次为， 根据题意列出方程， ， 整理得， 解方程得或， ∵参赛队伍的数量为正整数， ∴舍去不符合题意的， ∴共有10支队参加比赛． 15. 将二次函数的图象沿x轴方向平移4个单位后，得到的抛物线的表达式为________． 【答案】或 【解析】 【分析】沿轴平移未指定方向，需分向左、向右两种情况，利用二次函数平移规律“左加右减”求解． 【详解】解：若二次函数的图象沿x轴方向向左平移4个单位后，得到的抛物线的表达式为； 若二次函数的图象沿x轴方向向右平移4个单位后，得到的抛物线的表达式为． 因此所得抛物线的表达式为或． 16. 已知m，n是方程的两个根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程解的定义得到，根据一元二次方程根与系数的关系得到，再由进行求解即可． 【详解】解：∵m，n是方程的两个根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程解的定义，一元二次方程根与系数的关系，灵活运用所学知识是解题的关键． 17. 已知抛物线y＝﹣x2﹣2x+3，当﹣2≤x≤2时，对应的函数值y的取值范围为________． 【答案】-5≤y≤4 【解析】 【详解】解：y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4． ∵x=﹣1时，y=4，x=2时，y=﹣4﹣4+3=﹣5， ∴当﹣2≤x≤2时，﹣5≤y≤4． 故答案为﹣5≤y≤4． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是得出二次函数顶点坐标． 18. 对于实数定义新运算：※．例如：3※，若关于的方程※有两个不相等的实数根，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了新定义的运算，要根的判别式，理解新定义的运算是解答关键． 根据新定义的运算表示出一元二次方程，再利用判别式来求解． 【详解】解：※， ， 即． 关于的方程※有两个不相等的实数根， ， 解得． 故答案为：． 三、解答题（共8小题，共56分） 19. 解方程： 【答案】， 【解析】 【详解】解∶， 移项，得， 因式分解，得， 所以或， 解得，． 20. 已知抛物线经过点 （1）求抛物线的解析式； （2）求抛物线的顶点坐标和对称轴． 【答案】（1） （2）顶点坐标为点，对称轴为直线 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）把函数解析式化为顶点式，即可求解． 【小问1详解】 解：把点代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为点，对称轴为直线． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）证明：不论m为何值，方程总有实数根； （2）若方程的两个实数根为，且满足，求m的值． 【答案】（1） 证明：∵ ， 不论为何值时，方程总有实数根； （2）或． 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，熟练地运用“根的判别式证明方程的实数根的情况，利用根与系数的关系求解参数的值”是解本题的关键． （1）计算判别式的值得到，利用非负数的意义得到，然后根据判别式得到结论； （2）利用根与系数的关系得到，将变形为，然后解关于m的方程即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：根据题意得， ∵即： ， ∴， 解得， ∴m的值为或． 22. 如图，学校准备在教学楼后面搭建一个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼10米长的后墙，另外三边利用学校现有的总长为21米的铁栏围成（墙的厚度忽略不计）． （1）若围成的车棚面积为54平方米，求出自行车车棚的长和宽； （2）能围成面积为60平方米的车棚吗？若能，说出你的方案；若不能，请说明理由． 【答案】（1）面积为54平方米时车棚的长为9米，宽为6米 （2）解：不能围成面积为60平方米的车棚； 理由：设为x米，则为米， 由题可得：， 整理得， ∵， ∴不能围成面积为60平方米的车棚． 【解析】 【小问1详解】 解：设为x米，则为米， 由题可得：， 解得，， ， （舍去）， ，米， ∴面积为54平方米时车棚的长为9米，宽为6米； 【小问2详解】 略． 23. 如图，矩形中，，点P从A开始沿边向点以的速度移动，同时点从点开始沿边向点以的速度移动．当点Q到达点C时，P，Q两点同时停止运动． （1）出发几秒时的面积为？ （2）出发几秒时的长度为？ 【答案】（1）秒 （2）秒 【解析】 【分析】（1）先分别表示出，再由三角形面积公式列一元二次方程求解即可； （2）先分别表示出，再由勾股定理列一元二次方程求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，点走完所花时间为；点走完所花时间为； 两点同时停止运动的时间为， 设出发秒时的面积为，则、， 在矩形中，，则， ， 即， ，解得或（，舍去）， 即出发秒时的面积为； 【小问2详解】 解：设出发秒时的长度为，则、， 在矩形中，，则， 在中，由勾股定理可得，则， ，即， 解得或（不合题意，舍去）， 即出发秒时的长度为． 24. 掷实心球是某市初中毕业升学体育考试选考项目之一．如图1是一名男生掷实心球情境，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示．掷出时，起点处高度为．当水平距离为4m时，实心球行进至最高点5m处． （1）求关于的函数表达式； （2）根据某市2023年初中毕业升学体育考试评分标准（男生版），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于12.4m时，即可得满分．该男生在此项考试中能否得满分，请说明理由． 【答案】（1） （2）该男生在此项考试中不能得满分 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的实际运用，掌握二次函数的性质及求解是解题的关键． （1）由图2可知，顶点坐标为，设二次函数表达式为，由此即可求解； （2）令（1）中抛物线的解析式，且，解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：设关于的函数表达式为， 把代入解析式得：， 解得：， 关于的函数表达式为； 【小问2详解】 解：该男生在此项考试中不能得满分， 理由：令，则， 解得：，（舍去）， ， 该男生在此项考试中不能得满分． 25. 2025年，在四川省城市足球联赛（简称“川超”）比赛期间，为促进体育经济发展，眉山市文旅局联合餐饮住宿企业、土特产生产企业推出各种优惠活动． （1）某食品厂原计划每月生产芝麻糕2000件，为响应文旅局号召，连续两月提高产量后，月产量达到2880件，若每月产量的增长率相同，求每月产量的增长率； （2）该食品厂原来每天可销售60件芝麻糕，每件盈利30元．参与优惠活动后，该食品厂每降价1元，就可多售出5件．问该食品厂应降价多少元，才能使利润最大？最大利润为多少？ 【答案】（1）每月产量的增长率为 . （2）应降价元，最大利润为 元. 【解析】 【分析】（1）设每月产量的增长率为，根据原产量和增长两次后的产量关系列方程，舍去不符合实际的负根即可得到结果； （2）设降价元，每天总利润为 元，根据总利润每件利润销售量列出二次函数解析式，配方后根据二次函数的性质即可求出最大利润和对应的降价金额． 【小问1详解】 解：设每月产量的增长率为， 根据题意列方程得: ， 解得  ,  ，增长率不能为负，不符合实际，舍去， 答: 每月产量的增长率为； 【小问2详解】 解：设降价元，每天总利润为 元， 根据题意，每件盈利为 元，每天销售量为 件， ∴，  ， 当时， 取得最大值，最大值为， 答: 该食品厂应降价元，才能使利润最大，最大利润为 元． 26. 九年级某班成立了数学学习兴趣小组，该数学兴趣小组对函数的图象和性质进行探究，过程如下，请你补充完整． （1）函数的自变量x的取值范围是__________； （2）①列表：如表是x，y的几组对应值，其中___________，___________； x … 0 1 2 3 4 … y … 9 0 m 3 n 0 9 … ②描点：根据表中的数值描点，请补充描出点，； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图象补充完整； （3）请观察函数图象，当y随x的增大而增大时，x的取值范围为___________． （4）当直线与这个新图象有三个交点时，m的取值是________． 【答案】（1）全体实数 （2）①，；②所描点，如图所示； ③所作函数图象如图所示： （3）或 （4） 【解析】 【分析】（1）根据函数解析式可直接进行求解； （2）①把或代入函数解析式进行求解即可；②根据描点可进行作图；③根据描点、连线可进行作图； （3）根据函数图象可直接进行求解； （4）根据m的取值进行分类讨论求解即可． 【小问1详解】 解：由可知：自变量为全体实数； 故答案为全体实数； 【小问2详解】 解：①当时，则有； 当时，则有； ②略 ③略 【小问3详解】 解：由（2）中函数图象可知：当y随x的增大而增大时，x的取值范围为或； 故答案为或； 【小问4详解】 解：如图 由图可得， ①当时，直线与抛物线没有交点，不符合题意； ②当时，直线与抛物线只有2个交点，不符合题意； ③当时，直线与抛物线有4个交点，不符合题意； ④当时，直线与抛物线有3个交点，符合题意； ⑤当时，直线与抛物线有2个交点，不符合题意； 综上所述，当直线与抛物线有3个交点时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $