精品解析：青海西宁市虎台中学2026-2027学年 上学期九年级质量检测（一）数学试卷

2026-2027学年虎台中学九年级数学试卷质量检测（一） 一、选择题 1. 若函数y＝（3﹣m）﹣x+1是二次函数，则m的值为（ ） A. 3 B. ﹣3 C. ±3 D. 9 2. 若菱形ABCD的一条对角线长为8，边CD的长是方程x2﹣10x+24＝0的一个根，则该菱形ABCD的周长为（　　） A. 16 B. 24 C. 16或24 D. 48 3. 若将抛物线图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的解析式为（ ） A. B. C. D. 4. 秋冬季节是我国流感等急性呼吸道传染病高发期，有1人患了流感，经过两轮传染后共有168人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 5. 二次函数的图象及局部细节如图中所示，则关于x的方程的较大的根的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题 6. 已知，则的值为________． 7. 若p，q是方程的两个实数根，则代数式的值为_______． 8. 二次函数的图象如图所示，一次函数的图象经过该二次函数图象上的点，，则满足的x的取值范围是________． 9. 二次函数关于轴对称的函数解析式为__________．原函数向左平移3个单位，向上平移2个单位的解析式为__________． 10. 我校组织“求实杯”篮球联赛，赛制为单循环形式（每两个班之间都赛一场），共比了21场，设共有个班参加比赛，根据题意，列出方程为__________． 11. 抛物线，当时，随增大而减小，则的取值范围是________． 12. 已知二次函数，当时，y的取值范围是_______． 13. 如图是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴为x=，且经过点（2，0），下列说法：①abc＜0；②﹣2b+c=0；③4a+2b+c＜0；④若( ，y1)、(，y2)是抛物线上的两点，则y1＜y2；⑤>m(am+b)（其中m≠）．其中说法正确的是_____ 三、解答题 14. 解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 15. 已知抛物线，求证：此抛物线与x轴必有两个不同的交点． 16. 某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆，据统计，第一天进馆64人次，进馆人次逐日增加，第三天进馆100人次，若进馆人次的日平均增长率相同．求进馆人次的日平均增长率． 17. 如图，已知抛物线与轴的一个交点为，与轴的交点，其顶点为，对称轴为直线．求顶点的坐标及抛物线的函数表达式． 18. 如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以的速度向点B匀速移动；同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C匀速移动．设点P运动的时间为． （1）___________，___________（用含t的代数式表示） （2）记的面积为，的面积为． ①试判断是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． ②求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年虎台中学九年级数学试卷质量检测（一） 一、选择题 1. 若函数y＝（3﹣m）﹣x+1是二次函数，则m的值为（ ） A. 3 B. ﹣3 C. ±3 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的定义来求解，注意二次项的系数与次数. 【详解】根据二次函数的定义，可知 m2-7=2 ，且 3-m≠0 ，解得 m=-3 ，所以选择B. 故答案为B 【点睛】本题考查了二次函数的定义，注意二次项的系数不能为0. 2. 若菱形ABCD的一条对角线长为8，边CD的长是方程x2﹣10x+24＝0的一个根，则该菱形ABCD的周长为（　　） A. 16 B. 24 C. 16或24 D. 48 【答案】B 【解析】 【分析】解方程得出x＝4或x＝6，分两种情况：①当AB＝AD＝4时，4+4＝8，不能构成三角形；②当AB＝AD＝6时，6+6＞8，即可得出菱形ABCD的周长． 【详解】解：如图所示： ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD， ∵x2﹣10x+24＝0， 因式分解得：（x﹣4）（x﹣6）＝0， 解得：x＝4或x＝6， 分两种情况： ①当AB＝AD＝4时，4+4＝8，不能构成三角形； ②当AB＝AD＝6时，6+6＞8， ∴菱形ABCD的周长＝4AB＝24． 故选：B． 【点睛】本题考查菱形的性质、解一元二次方程-因式分解法、三角形的三边关系，熟练掌握并灵活运用是解题的关键． 3. 若将抛物线图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】向右平移2个单位，将原解析式中的x替换为，得到第一次平移后的解析式．向下平移3个单位，在第一次平移后的解析式基础上减去3，整理后和选项对比即可． 【详解】解：将抛物线向右平移2个单位，得． 再向下平移3个单位，得． 4. 秋冬季节是我国流感等急性呼吸道传染病高发期，有1人患了流感，经过两轮传染后共有168人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用两轮总患病人数为，建立方程即可得解． 【详解】解：∵初始患病人数为1，每轮传染中平均1人传染个人， ∴第一轮传染后，新增患病人数为，总患病人数为， 第二轮传染中，个患者每人传染人，新增患病人数为， ∴两轮传染后总患病人数为，由题意两轮后共有168人患病，因此列方程为． 5. 二次函数的图象及局部细节如图中所示，则关于x的方程的较大的根的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二次函数对称轴公式求出对称轴，结合图象读出较小根的范围，利用两根关于对称轴对称的性质求出较大根的范围． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， 设的两个根分别为，，且， 根据函数图象有：， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， ∴． 二、填空题 6. 已知，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】将看作整体，利用换元法结合平方差公式化简方程，根据平方的非负性舍去不符合条件的根即可得到结果． 【详解】解：设， ∵任何数的平方都是非负数， ∴， 将代入原方程得：， 根据平方差公式展开得：，整理得：， 解得或， ∵， ∴舍去，因此． 7. 若p，q是方程的两个实数根，则代数式的值为_______． 【答案】8 【解析】 【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系得到的值，然后根据方程根的定义表示出，最后代入代数式即可求解． 【详解】解：∵p，q是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴． 8. 二次函数的图象如图所示，一次函数的图象经过该二次函数图象上的点，，则满足的x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的交点问题，掌握不等式的解集与两函数图象交点的关系是解题的关键． 根据一次函数和二次函数的交点，解不等式即可． 【详解】解：， ． 由图可知，当时，一次函数图象在二次函数图象的上方（含交点）， 满足的的取值范围是． 故答案为：． 9. 二次函数关于轴对称的函数解析式为__________．原函数向左平移3个单位，向上平移2个单位的解析式为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】设点是二次函数关于轴对称的函数图象上一点，则点是二次函数图象上一点，求出n关于m的关系式即可得到第一空的答案；根据“上加下减，左加右减”的平移规律可得第二空的答案． 【详解】解：设点是二次函数关于轴对称的函数图象上一点，则点是二次函数图象上一点， ∴， ∴， ∴二次函数关于轴对称的函数解析式为； 二次函数向左平移3个单位，向上平移2个单位的解析式为，即． 10. 我校组织“求实杯”篮球联赛，赛制为单循环形式（每两个班之间都赛一场），共比了21场，设共有个班参加比赛，根据题意，列出方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据单循环赛制的规则，推导总比赛场数的表达式，结合已知总场数列出方程． 【详解】解：∵共有个班参加比赛，单循环赛制中每个班需要和除自身外的个班各赛一场， 又∵两个班之间只赛一场，上述计算中每场比赛被重复计算了一次， ∴总比赛场数为， ∵已知总比赛场数为， ∴列方程得． 11. 抛物线，当时，随增大而减小，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】先确定抛物线开口方向和对称轴，根据二次函数增减性得到对称轴满足的条件，解不等式得到的取值范围. 【详解】解：∵ 抛物线的二次项系数为， ∴ 抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴ 在对称轴左侧，即时，随的增大而减小， ∵ 当时，随的增大而减小， ∴ ， 解得 ． 12. 已知二次函数，当时，y的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数顶点式确定开口方向与对称轴，结合给定的的取值区间，计算顶点及区间端点的函数值，进而确定的取值范围． 【详解】解：∵ ，二次项系数为， ∴ 抛物线开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线。 ， 当时，取得最大值， 当时，， 当时，， ， 当时，的最小值为， 的取值范围是． 13. 如图是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴为x=，且经过点（2，0），下列说法：①abc＜0；②﹣2b+c=0；③4a+2b+c＜0；④若( ，y1)、(，y2)是抛物线上的两点，则y1＜y2；⑤>m(am+b)（其中m≠）．其中说法正确的是_____ 【答案】①②④⑤； 【解析】 【分析】①根据抛物线开口方向、对称轴位置、抛物线与y轴交点位置求得a、b、c的符号②根据对称轴求出b=﹣a；③把x=2代入函数关系式，结合图象判断函数值与0的大小关系；④求出点(-，y1)关于直线x=的对称点的坐标，根据对称轴即可判断y1和y2的大小，⑤根据最大值判断即可. 【详解】①∵图像开口向下， ∴a＜0， ∵抛物线与y轴交于y轴正半轴， ∴c＞0， ∵对称轴x= -=＞0， ∴b＞0， ∴abc＜0，故①正确； ②将（2，0）代入y=ax2+bx+c （a≠0）， 得4a+2b+c=0， ∵-=， ∴a=﹣b， ∴﹣4b+2b+c=0， ∴﹣2b+c=0，故②正确； ③由②可知：4a+2b+c=0，故③错误； ④由于抛物线的对称轴为x= ， ∴（，y1）与（，y1）关于x=对称， ∵由于x＞时，y随着x的增大而减小，>， ∴y1＜y2 ，故④正确； ⑤由图象可知：x=时，y可取得最大值，且最大值为a+b+c， ∴m≠ ∴ a+ b+c＞am2+bm+c， ∴a+b>m(am+b)，故⑤正确； 故答案为①②④⑤； 【点睛】本题考查了二次函数的图象和系数的关系的应用，注意：当a＞0时，二次函数的图象开口向上，当a＜0时，二次函数的图象开口向下，熟练掌握二次函数的对称性是解题关键. 三、解答题 14. 解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， 解得，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得，； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得，； 【小问4详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，． 15. 已知抛物线，求证：此抛物线与x轴必有两个不同的交点． 【答案】 当时， ∵ ∴原抛物线与x轴有两个不同的交点． 【解析】 【分析】根据二次函数的交点与图象的关系，证明其方程有两个不同的根即即可． 【详解】略 【点睛】本题考查二次函数的图象与轴的交点问题，把求二次函数与轴的交点问题转化为解关于的一元二次方程，决定抛物线与轴的交点个数． 16. 某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆，据统计，第一天进馆64人次，进馆人次逐日增加，第三天进馆100人次，若进馆人次的日平均增长率相同．求进馆人次的日平均增长率． 【答案】 进馆人次的日平均增长率为． 【解析】 【分析】根据日平均增长率相同的条件，结合第一天与第三天的进馆人次列一元二次方程求解． 【详解】解：设进馆人次的日平均增长率为 ∵第一天进馆人次，进馆人次的日平均增长率相同， ∴第三天进馆人次为 依题意得 解得，（不符合题意，舍去） 答：进馆人次的日平均增长率为． 17. 如图，已知抛物线与轴的一个交点为，与轴的交点，其顶点为，对称轴为直线．求顶点的坐标及抛物线的函数表达式． 【答案】, 【解析】 【分析】利用抛物线对称性求出另一个x轴交点，设交点式代入B点求解析式，再代得顶点C的坐标． 【详解】解：根据抛物线的对称性，抛物线与x轴的两个交点的对称轴即为， 设另一个交点为，则有，解得， ∴抛物线与x轴的交点为、， ∴设抛物线交点式为， 又∵抛物线过点， 代入、有，解得， ∴抛物线解析式为， ∵点C为顶点，即代入有， 故． 18. 如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以的速度向点B匀速移动；同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C匀速移动．设点P运动的时间为． （1）___________，___________（用含t的代数式表示） （2）记的面积为，的面积为． ①试判断是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． ②求的最小值． 【答案】（1）， （2）①是，；② 【解析】 【分析】本题主要考查列代数式、三角形的面积和二次函数的性质，正确理解题意是解答本题的关键． （1）根据题意列出相关代数式即可； （2）分别计算出和，①求得是定值；②求得，运用二次函数的性质可得结论． 【小问1详解】 解：∵点P的速度是，运动时间为，所以； 点Q的速度是，运动时间为，所以； ∵， ∴； 故答案为：t，； 【小问2详解】 解：①，， ∴；； ∴； 又矩形的面积为， ； ； ∴ ∴，是定值； ② ∵， ∴当时，取得最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $