精品解析：江苏南京东山外国语学校2026-2027学年八年级上学期10月阶段学情自测数学试卷

2026-2027学年江苏省南京东山外国语学校八年级（上）月考 数学试卷（10月份） 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列各数是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 根据下列条件，不能画出唯一确定的的是（ ） A. B. C. D. 4. 三角形两边长为5和11，第三边长为偶数，则第三边所有可能值之和为（ ） A. 36 B. 40 C. 44 D. 50 5. 若，则下列说法正确的是（ ） A. 是的算术平方根 B. 是的平方根 C. 是的平方根 D. 6. 如图，三座商场分别坐落在A、B、C所在位置，现要规划一个地铁站，使得该地铁站到三座商场的距离相等，该地铁站应建在（ ） A. 三角形三条中线的交点 B. 三角形三条高所在直线的交点 C. 三角形三个内角的角平分线的交点 D. 三角形三条边的垂直平分线的交点 7. 如图，在中，，点是边上的任意一点，则的长不可能是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 8. 如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，，，则下列结论中正确的个数（ ） ①平分；②；③；④． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 9. 的平方根为_________． 10. 计算的结果是________． 11. 已知，都为实数，若，则______． 12. 如图，在中，BO平分，CO平分，过点O作，若，，则的周长是______． 13. 如图，是等边三角形．D，E分别是上的点，若．则______． 14. 如图，是的角平分线，，，，的面积为，则_________． 15. 如图，一架梯子斜靠在竖直墙上，点为梯子的中点，当梯子底端向左水平滑动到位置时，滑动过程中的变化规律是____________________．（变大、变小、不变） 16. 一个正数的两个平方根分别为和，则这个正数是____________． 17. 如图，为方格纸中格点上的两点，若以为边（在格点上），使得为等腰三角形，则点的个数为 _____个． 18. 如图，，，，如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点从点出发以的速度沿射线运动，经过秒后，若以、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形全等，则的值是_________． 三、解答题（本大题共8小题，共64分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 求下列各式中的. （1）； （2）． 20. 如图，点E在边上，，，．求证： 21. 如图，在中，，平分，过点E分别作、，，垂足分别为M、N、D，，连接． （1）求证：点D为的中点； （2）若，求的度数． 22. 如图：， （1）图中有怎样的数量和位置关系？试证明你的结论． （2）连接，求证：平分． 23. 阅读下面的文字，解答问题：我们知道是无理数，因此的小数部分不可能全部写出来．因为，即，所以的整数部分为2，将减去其整数部分，差就是小数部分，即的小数部分为． 根据以上材料请解答： （1）的整数部分是 ； （2）已知的小数部分是x，则 ，的小数部分是y，则y= ； （3）在（2）的条件下，若m是数M的整数部分，且，求出满足条件的m的值，并写出相应的M的范围． 24. 已知，，，求证：． （1）证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格． （2）请用另一种方法证明． 25. 如图，中，，将沿着翻折，使点恰好落在上点处，且． （1）求证：； （2）延长交延长线于点，求证：． 26. 如图，在中，，高、相交于点O，且． （1）求线段的长； （2）点F是直线上的一点且，动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发沿射线BC以每秒4个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t秒， 是否存在t值，使以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等？若存在，请直接写出符合条件的t值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年江苏省南京东山外国语学校八年级（上）月考 数学试卷（10月份） 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列各数是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】该题考查了无理数，无理数是无限不循环小数，据此求解即可． 【详解】解： A． 是分数，属于有理数，不符合题意； B．是有限小数，可写为 ，属于有理数，不符合题意； C．，7不是完全平方数，其平方根为无限不循环小数，属于无理数，符合题意； D．，是整数，属于有理数，不符合题意． 故选：C． 2. 下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了立方根的定义，求一个数的平方根 ，求一个数的算术平方根． 逐一计算后判断即可． 【详解】A．，原式正确； B．，原式错误； C．，原式错误； D．，原式错误； 故选：A． 3. 根据下列条件，不能画出唯一确定的的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全等三角形判定．根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：A、三边确定，符合全等三角形判定定理，能画出唯一的，故不合题意； B、已知两个角及其公共边，符合全等三角形判定定理，能画出唯一的，故不合题意； C、已知两边及其中一边的对角，属于的情况，不符合全等三角形判定定理，故不能画出唯一的三角形，故符合题意， D、已知一个直角和一条直角边以及斜边长，符合全等三角形判定定理，能画出唯一的，故不合题意． 故选：C． 4. 三角形两边长为5和11，第三边长为偶数，则第三边所有可能值之和为（ ） A. 36 B. 40 C. 44 D. 50 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角形三边关系确定第三边的取值范围，结合第三边为偶数的条件找出所有符合的第三边长，求和后选出正确选项． 【详解】解：设第三边长为， 根据三角形三边关系可得，即， ∵第三边长为偶数， ∴符合条件的第三边长为，，，， ∴第三边所有可能值之和为． 5. 若，则下列说法正确的是（ ） A. 是的算术平方根 B. 是的平方根 C. 是的平方根 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平方根定义，根据平方根定义判断即可，解题的关键是正确理解平方根的定义． 【详解】解：∵， ∴是的平方根， 故选：． 6. 如图，三座商场分别坐落在A、B、C所在位置，现要规划一个地铁站，使得该地铁站到三座商场的距离相等，该地铁站应建在（ ） A. 三角形三条中线的交点 B. 三角形三条高所在直线的交点 C. 三角形三个内角的角平分线的交点 D. 三角形三条边的垂直平分线的交点 【答案】D 【解析】 【分析】根据线段的垂直平分线的性质即可求解． 【详解】解：依题意，使得该地铁站到三座商场的距离相等，该地铁站应建在三角形三条边的垂直平分线的交点, 故选：D． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 7. 如图，在中，，点是边上的任意一点，则的长不可能是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质和含的直角三角形的性质，当点是的中点时，最小，根据等腰三角形等边对等角的性质求得，根据等腰三角形三线合一的性质求得，然后根据直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半求解． 【详解】解：当点是的中点时，如图所示， ，， ，，此时最小， ， 在中，， 则的长不可能是， 故选：A． 8. 如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，，，则下列结论中正确的个数（ ） ①平分；②；③；④． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．过点作于，由角平分线的性质定理可得，即可判断①；证明（），得出，同理可得（），从而得出，进而可得，即可判断②；由角平分线的定义可以判断③；由全等三角形的性质可以判断④； 【详解】解：①过点作于， ∵平分，平分， ，，， ∴，， ∴， ∴平分，故①正确； ②∵，， ∴， ∴， 在和中， ∴（）， ∴， 同理可得：（）， ∴， ∴， ∴， ∵不一定等于， 故②错误； ③∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴，③正确； ④由②可知（）， （）， ∴，， ∴，④正确， 故选：C． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 9. 的平方根为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平方根的定义，找出平方后等于的数即可得到结果． 【详解】解：根据平方根的定义，若一个数的平方等于，即，则是的平方根， ∵ ， ∴ 的平方根为． 10. 计算的结果是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的性质求出答案即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，注意：当a＜0时，． 11. 已知，都为实数，若，则______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题主要考查了非负数的性质、算术平方根、有理数乘方等知识点，掌握几个非负数的和为，则这几个非负数都为是解题的关键． 根据非负数的性质得到关于、的等式，求得、的值，然后代入代数式求解即可． 【详解】解：∵， ∴，，即，， ． 故答案为：． 12. 如图，在中，BO平分，CO平分，过点O作，若，，则的周长是______． 【答案】14 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线的定义，熟知平行线的性质，角平分线的定义和等腰三角形的判定定理是解题关键． 先根据平行线的性质、角平分线的定义、等角对等边，得到，，再进行线段的代换，即可求出的周长． 【详解】解：∵BO平分， ∴， ∵CO平分， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴的周长， ∵，， ∴的周长为：14． 故答案为：14． 13. 如图，是等边三角形．D，E分别是上的点，若．则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用等边三角形的性质可得，从而利用三角形的外角性质可得，然后利用等腰三角形的性质可得，从而利用三角形的内角和定理可得，最后利用角的和差关系进行计算即可解答． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键． 14. 如图，是的角平分线，，，，的面积为，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据角平分线定理，三角形面积公式直接计算即可． 【详解】解：过点作交于点，如图， ∵是的角平分线，，， ∴， ∵， ∴的面积， ∴， ∵的面积为， ∴的面积， ∵， ∴． 15. 如图，一架梯子斜靠在竖直墙上，点为梯子的中点，当梯子底端向左水平滑动到位置时，滑动过程中的变化规律是____________________．（变大、变小、不变） 【答案】不变 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，连接，可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 依题意，点为梯子的中点，， ∴ ∴滑动过程中的变化规律是不变 故答案为：不变． 16. 一个正数的两个平方根分别为和，则这个正数是____________． 【答案】25 【解析】 【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数，列方程求解． 【详解】解：根据题意得，， 解得， 所以这个正数为 17. 如图，为方格纸中格点上的两点，若以为边（在格点上），使得为等腰三角形，则点的个数为 _____个． 【答案】 【解析】 【分析】根据格点可得，根据等腰三角形的性质，分类讨论：①当时；②当时；③当时；根据格点中作等腰三角形的方法，图形结合分析即可求解． 【详解】解：如图所示，为等腰三角形，， ①当时，以点为圆心，以为半径画弧，交格点于点， ∴，， ∴点即为所求； ②当时，以点为圆心，以为半径画弧，交格点于点， ∴， ∴点即为所求； ③当时，作线段的垂直平分线交格点于点， ∴，，则，符合题意， ，，则，符合题意， ∴点即为所求； 综上所述：使得为等腰三角形，则点的个数为个， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查格点作等腰三角形，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 18. 如图，，，，如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点从点出发以的速度沿射线运动，经过秒后，若以、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形全等，则的值是_________． 【答案】或 【解析】 【分析】结合，两个三角形全等存在两种对应情况：；，分别根据全等三角形对应边相等列方程求解，进而求出． 【详解】解：由题意得：，，， ，与全等， 分两种情况： 情况1：， 此时对应边：，， 由得， 解得， 由得， 将代入，得， 解得； 情况2：， 此时对应边：，， 由得， 解得， 由得， 将代入，得， 解得， 综上，的值为或． 三、解答题（本大题共8小题，共64分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 求下列各式中的. （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了运用开平方和开立方的知识解方程． 用两边直接开平方法解一元二次方程； 用两边直接开立方法解方程． 【小问1详解】 解：， 两边直接开平方得：； 【小问2详解】 解：， 两边直接开立方得：， 移项、合并同类项得：． 20. 如图，点E在边上，，，．求证： 【答案】 证明：， ， ，，， ， 在和中， ， ． 【解析】 【分析】根据平行线的性质，得到，再根据三角形外角的性质，得出，即可利用“”证明． 【详解】略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键． 21. 如图，在中，，平分，过点E分别作、，，垂足分别为M、N、D，，连接． （1）求证：点D为的中点； （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明：连接， 平分，，， ， ∵， ∴， ∴， ， ， 故点D为的中点． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，证明，再利用等腰三角形三线合一性质证明即可； （2）利用直角三角形的两个锐角互余，等腰三角形的三线合一性质，解答即可． 【小问1详解】 证明：略． 【小问2详解】 解：如图， 平分，， ， ，， ， ， 根据等腰三角形的三线合一性质，得， ， ， ． 22. 如图：， （1）图中有怎样的数量和位置关系？试证明你的结论． （2）连接，求证：平分． 【答案】（1） 解：结论：，理由如下： 如图，设交于点G， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2） 证明：如图，作于P，于Q， ∵， ∴（全等三角形对应边上的高相等）， ∵于P，于Q， ∴平分． 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质及角平分线的判定， （1）设交于点G，先证明，进而得出，即可证明结论； （2）作于P，于Q，由全等得出，即可证明结论； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 阅读下面的文字，解答问题：我们知道是无理数，因此的小数部分不可能全部写出来．因为，即，所以的整数部分为2，将减去其整数部分，差就是小数部分，即的小数部分为． 根据以上材料请解答： （1）的整数部分是 ； （2）已知的小数部分是x，则 ，的小数部分是y，则y= ； （3）在（2）的条件下，若m是数M的整数部分，且，求出满足条件的m的值，并写出相应的M的范围． 【答案】（1）4 （2）， （3）当时，；当时，． 【解析】 【分析】本题考查了估算无理数的大小，不等式的性质，平方根，解题的关键是：熟练掌握估算无理数的大小的方法． （1）根据，得到，即可求解， （2）根据，计算x，y的值，即可求解， （3）把，，代入即可求解． 【小问1详解】 解∶， ． 的整数部分是4． 故答案为：4． 【小问2详解】 解∶ ， ． ． ． ， ． ． 故答案为∶，． 【小问3详解】 解：由（2）知，，． ， ． ． ，． 是数M的整数部分， 当时，． 当时，． 24. 已知，，，求证：． （1）证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格． （2）请用另一种方法证明． 【答案】（1）， （2）证明：，， ． ， ， ，． ， ，即． 【解析】 【分析】（1）结合题意应用不等式的性质进行求解； （2）运用求差法，结合算术平方根和平方差公式等知识进行变式、求解． 【小问1详解】 解：，， ，． ， ，． ． ． 【小问2详解】 略 25. 如图，中，，将沿着翻折，使点恰好落在上点处，且． （1）求证：； （2）延长交延长线于点，求证：． 【答案】（1）证明：如图，过点作于点， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）证明：根据折叠可知：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（）过点作于点，由等腰三角形的性质得，再根据平行线的性质证明即可求证； （）由折叠的性质可得，结合（）的结论得到，再根据三角形外角性质得到，即可求证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 26. 如图，在中，，高、相交于点O，且． （1）求线段的长； （2）点F是直线上的一点且，动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发沿射线BC以每秒4个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t秒， 是否存在t值，使以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等？若存在，请直接写出符合条件的t值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）5 （2）存在，或 【解析】 【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练运用分类讨论的思想解决问题． （1）只要证明即可解决问题； （2）分两种情形讨论：①如图2中，当时，；②如图3中，当时，． 【小问1详解】 解：∵是高， ∴， ∵是高， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ∴， ∴； 【小问2详解】 存在t值，使以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等；理由如下： ①如图2中，当时， ， ∵，， ∴． ∴， ∴， 解得； ②如图3中，当时， ， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得：， 综上所述，存在t值，使以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等；符合条件的t值为1s或s． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $