辽宁沈阳市南昌中学2026-2027学年九年级上学期10月学情自测数学试题

数学 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列各方程是一元二次方程的是() A.x2+是=1 B.(x-1)(x-2)=x2+1 C.ax2+bx+c=0 D.x2-5=0 2.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中正确的是() A.当AB=BC时，它是矩形 B.当AC=BD时，它是菱形 C.当∠ABC=90时，它是矩形 D.当AC=BD时，它是正方形 3.下列图形中不一定是相似图形的是() A.两个等边三角形 B.两个等腰直角三角形 C.两个菱形 D.两个正方形 4.如图，在菱形ABCD中，B,F分别是AB,AC的中点如果EF=2,那么CD的长为() B A.4 B.8 C.12 D.16 5已蜘号=京则2的值为（) A-号 B.-19 c号 D.19 6.如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均在格点上，则下列选项中的阴影三角形（顶点均 在格点上)与△ABC相似的是() 班级： 姓名： 7.己知点P是线段AB的黄金分割点(AP>PB),若线段AB=1,则线段AP的长是() A B.3-√5 C.5-1 D.2-V5 8.如图，下列条件不能判定aADB一△ABC的是() A.∠ABD=∠ACB B.∠ADB=∠ABC C.AB2=AD·AC D,-能 9.某学校组织一次足球赛，采取单循环的比赛形式，即每两支球队之间都要比赛一场，计划组织x支球队参加， 安排36场比赛，则x为() A.6 B.7 c.8 D.9 10.对于实数a、b,定义运算“※”如下：a=a2-ab,例如：58=52-5×3=10.若(x+1)※3x-2)=3, 则x的值为() A.0 B.-0.5 C.0或-0.5 D.0或0.5 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.一元.一次方程x2-x+m=0的一个解为x=2,则m的值为一· 12己如号=号=月≠0，则2+的值是一 13.用配方法解一元二次方程x2-2x-5=0时，将它化为(x+a)2=b的形式，则2a+b的值为一 14.如图，AB士BD于点B,CD⊥BD于点D,AB=9,CD=1,BD=6,点E在BD上移动，当以B,C,D为顶点 的三角形与△ABE相似时，DE的长为一 15.已知：如图，矩形ABCD,AB=2,BC=4,对角线AC,BD相交于点O,点P在对角线BD上，并且A,O,P 组成以OP为腰的等腰三角形，那么OP的长等于一 1- 数学 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.(本小题12分) 用适当的方法解下列方程： (1)2x2+1=4x灯 (2)0-1)0+2)=2y(1-y): (3)2(x-1)2+x=1; (4)x2-2W3x+2=0. 17.(本小题8分) 在平行四边形ABCD中，过点D作DB⊥AB于点B,点F在CD上且DF=BE,连接AF,BF. (1)求证：四边形BFDE是矩形： (2)若CF=6,BF=8,AF平分∠DAB,求DF的长. 18.(本小题7分) 已知关于x的一元二次方程x2-2(m-1)x+m2-5=0. (1)当方程有两个实数根时，求m的取值范围： (2)当方程的两个根x1,x2满足x12+x22=x12+12时，求m的值. 19.(本小题8分) 如图，用一段77m长的篱笆围成三个一边靠墙、大小相同的矩形羊图，每个矩形都有一个1m宽的门（留门部分不 需要箭笆)，墙的最大可用长度为30m. C (1)当羊圈总面积为300m时，求AB的长 (2)羊圜的总面积能为500m2吗？请通过计算说明理由. -2- 数学 20.(本小题8分) 如图，在AABC中，点D,B分别在边AB,AC上，ACD=∠B,DB/IBC, B (1)求证：AADB一AABC: (2)若DB=6,BC=10,求线段CD的长. 21.(木小题8分) 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具， (1)菜品牌新能源汽车1月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增， 3月份的销售量达到5.07万辆求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率， (2)某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售该公司选择一款进价为15万元/辆的新能源汽车， 经销·段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆：每辆售价每降低0.5万元，平均每 周多售出1辆若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元，为了推广新能源汽车，此次销售尽量让利 于顾客，求下调后每辆汽车的售价。 班级： 姓名： 22.(本小题11分) 如图在平面直角坐标系中，已知直线AB:y=x+4交x轴于点A,交y轴于点B,直线CD:y=-x-2,与直线AB 5 相交于点M,交x轴于点C,交y轴于点D. (1)直接写出点M的坐标： (2)若点P是射线AB上的一个动点，设点P的横坐标是x,△PDC的面积是S,求S与x之间的函数关系式： (3)当S=54时，平面直角坐标系内是否存在点B,使以点B,B,P,D为顶点的四边形是平行四边形？若#在， 请直接写出所有符合条件点B的坐标：若不存在，说明理由. D 数学 23.(本小题13分) 如图1，在矩形ABCD中，AB=5,BC=4,B是BC边上一点，连接DB,将矩形ABCD沿DB折叠，顶点C恰好落在 AB边上点F处，延长DB交AB的延长线于点G. (1)求线段BR的长： (2)连接CG,求证：四边形CDFG是菱形： (3)如图2，P,Q分别是线段DG,CG上的动点（与端点不重合），且∠CPQ=∠CDP,是否存在这样的点P,使△CPQ 是等腰三角形？若存在，请直接写出DP的值，若不存在，请说明理由， c P E E A B G F B G 凤1 图2 答案九上月考数学试卷2026.10 1.【答案】D 2.【答案】C 3.【答案】C 4.【答案】A 5.【答案】A 6.【答案】A 7.【答案】A 8.【答案】D 9.【答案】D 10.【答案】D 11.【答案】-2 12.【答案】2 13.【答案】4 14.【答案】3或 15.【答案】V5或 16.【答案】【小题1】 名=2=2 【小题2】 y=1,2=-子 【小题3】 x=1,为=》 【小题4】 x1=V3+1,x2=V3-1. 第1页，共7页 17.【答案】(1)证明：~四边形ABCD是平行四边形， ·AB//DC, DF=BE, :四边形BFDE是平行四边形， :DE⊥AB, ∠DEB=90, :四边形BFDE是矩形； (2)解：四边形BFDE是矩形， ∠BFD=90°， ·∠BFC=90°， 在Rt△BCF中，CF=6,BF=8, BC=CF2 +BFZ=62+82=10, 'AF平分∠DAB, ·∠DAF=∠BAF, AB//DC, ·∠DFA=∠BAF, ∠DAF=∠DFA, :AD DF, AD=BC, ·DF=BC, ÷DF=10. 18.【答案】【小题1】 解：方程x2-2(m-1)x+m2-5=0有两个实数根， 4=b2-4ac=[-2(m-1)]2-4(m2-5)=-8m+24≥0， 解得m≤3，即m的取值范围是m≤3. 【小题2】 方程的两个根为x1,x2 x1+x2=2(m-1),x1x2=m2-5. 第2页，共7页 x12+x22-x1x2=(x1+x2)2-2x1x2-x1x2=[2(m-1)]2-3(m2-5)=m2-8m+19. 又：x好+x3=x1x2+12, m2-8m+19=12,即m2-8m+7=0, 解得m=1或m=7. 由(1)得m≤3，m=1.故m的值为1. 19.【答案】【小题1】 解：设AB的长为xm. 根据题意，得x(77+3-4x)=300. 解得x1=5,x2=15, 当x=5时，77+3-4x=60>30. 故x=5不合题意，舍去. 当x=15时，77+3-4x=20<30, 故x=15符合题意. 所以AB的长是15m. 【小题2】 羊圈的总面积不能为500m2理由： 设AB的长为ym, 根据题意，得y(77+3-4y)=500. 整理，得y2-20y+125=0. 因为4=(-20)2-4×1×125=-100<0， 所以原方程没有实数根， 故羊圈的总面积不能为500m2. 20.【答案】【小题1】 【证明】：DE/BC, ·∠ADE=∠B,∠AED=∠ACB. △ADE-△ABC」 【小题2】 【解】：DE/IBC, 第3页，共7页 .∠BCD=∠EDC. '∠B=∠DCE, ·ABCD∽ACDE. DE CD ·CD=BC “岛=0 :CD=2v15. 21.【答案】【小题1】 设从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为x, 根据题意，得3(1+x)2=5.07. 解得x1=0.3=30%,x2=-2.3(不合题意，舍去) 所以从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为30%. 【小题2】 设下调后每辆汽车的售价为y万元，则每辆汽车的销售利润为0y-15)万元，平均每周可售出8+25-之× 0.5 1=(58-2y)辆， 根据题意，得-15)(58-2y)=96. 整理，得y2-44y+483=0. 解得y1=21,y2=23, 因为要尽量让利于顾客，所以y=21. 所以下调后每辆汽车的售价为21万元. 22.【答案】解：(1)：直线y=x+4交x轴于点A,交y轴于点B. ∴点A(-号，0，点B(0,4) :直线y=-x-2交x轴于点C,交y轴于点D. ∴点C(-6,0),点D(0,-2) 第4页，共7页 直线CD:y=-x-2.与直线AB相交于点M, y=--2 5 y=3x+4 解得：{y1 ∴点M(-3,-1) (2)若点P在线段AB上，过点P作EG/x轴，交y轴于G,点D作DF//x轴，过点C作EF/|y轴，交EG于点 E,交DF于点F E G O 点P(x号x+4,(-号≤x≤0) 5 1 5 1 15 S=6×(3x+6)-2(x+6)(3x+4)-7×2×6+2x(3x+6)=18+6x 若点P在线段的延长线上，过点P作EP/x轴，PG/y轴，过点D作FG//x轴，交PG于点G,过点C作EF/∥ y轴，交EP于点E,交FG于点F. L E B D G 第5页，共7页 :点Pcx,3x+4,(a>0) 5 15 1 1, 5 S=(x+6(3x+6)-2x(3x+6)-2×6×2-2x+6)(3x+4)=18+6x 综上所述：S=18+6x (3)点E(6,8),(6,20),（-6,-12) 23.【答案】(1)解：如图1中， D E B G 图1 :四边形ABCD是矩形， ·AD=BC=4,AB=CD=5, ·∠A=∠ABC=90°， 由翻折可知：CD=DF=5,CE=EF,设BE=x,则CE=EF=4-x. 在Rt△ADF中，AF=VDF2-AD=√52-47=3， BF=AB-AF=5-3=2, 在Rt△EFB中，则有：(4-x)2=x2+22, x=2 BE=是 (2)证明：如图2中， 第6页，共7页 E B G 图2 :四边形ABCD是矩形， :CD//AG. ·∠CDG=∠DGA, :∠CDG=∠GDF, ·∠GDF=∠DGF, :DF FG, CD=DF, ÷CD=FG, CD//FG, :四边形DFGC是平行四边形， FD FG, :四边形DFGC是菱形： (3)PD的值为4W5-5或1E