精品解析：辽宁葫芦岛市某校2026-2027学年九年级上学期作业质量集中调研数学试卷

2026—2027学年第一学期作业质量集中调研 九年级数学试卷 （本试卷共23小题 试卷满分120分 考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效． 第一部分选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先化简各选项方程，再结合一元二次方程的特征判断，注意二次项系数不能为0． 【详解】解：对A选项，∵化简得，∴不是一元二次方程． 对B选项，∵分母有未知数，∴不是一元二次方程． 对C选项，∵整理得，∴是一元二次方程． 对D选项，∵未说明，当时方程不是二次方程，∴不符合要求． 2. 已知m是方程的一个根，则代数式的值等于（ ） A. 4 B. 1 C. 0 D. 【答案】C 【解析】 【分析】观察到所求代数式与方程左边的形式一致，利用方程的根的定义代入即可直接求解． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴将代入方程，得． 3. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ 　 ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴，即， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得． ∴的取值范围是且． 4. 若是二次函数，则a的值为（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由二次函数的定义可得：，从而可得答案． 【详解】解：∵是二次函数， ∴ 由①得： 由②得： ． 故选B． 【点睛】本题考查的是二次函数的定义，掌握二次函数的定义是解题的关键． 5. 将二次函数的图象向右平移1个单位，则平移后的二次函数解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：将二次函数的图象向右平移1个单位，则平移后的二次函数解析式为． 6. 一元二次方程配方后化为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：， 移项得， 两边加得， 即． 7. 点P1（﹣1，），P2（3，），P3（5，）均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】∵， ∴对称轴为x=1，P2（3，），P3（5，）在对称轴的右侧，y随x的增大而减小， ∵3＜5， ∴， 根据二次函数图象的对称性可知，P1（﹣1，）与（3，）关于对称轴对称， 故， 故选：D． 8. 某品牌网上专卖店1月份的营业额为60万元，已知第一季度的总营业额共360万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（ ） A. 60(1+x)2＝360 B. 60+60(1+x)+60(1+x)2＝360 C. 60(1+2x)＝360 D. 60+60(1+x)+60(1+2x)＝360 【答案】B 【解析】 【分析】先得到2月份和3月份的营业额，等量关系为：1月份的营业额+2月份的营业额+3月份的营业额=360万元，把相关数值代入即可． 【详解】解：∵1月份的营业额为60万元，平均每月增长率为x， ∴2月份的营业额为60（1+x）， ∴3月份的营业额为， ∴可列方程为， 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 9. 函数和（a是常数，且）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、由直线知，由抛物线知，矛盾； B、由直线知，由抛物线知，矛盾； C、由直线知，抛物线开口向上，对称轴，与轴交于正半轴，符合； D、由直线知，抛物线开口向下，对称轴为直线，图象中对称轴在轴右侧，矛盾． 10. 如图，抛物线与x轴交于点，对称轴为直线．以下结论：①；②；③关于x的方程一定有两个不相等的实数根；④当时，．其中结论正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】根据开口方向，对称轴公式和与y轴的交点位置可判断①；根据抛物线与x轴交于点，得到当时，，据此可判断②；根据抛物线与x轴有两个交点可判断③；根据对称性求出抛物线与x轴的另一个交点，据此可判断④． 【详解】解：∵函数图象开口向上， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∵抛物线与y轴交于负半轴， ∴， ∴； ∵抛物线与x轴交于点， ∴当时，， ∴， ∴， ∴，故②正确； 由函数图象可知，抛物线与x轴有两个交点， ∴关于x的方程一定有两个不相等的实数根，故③正确； 由对称性可知，抛物线与x轴的另一个交点， ∴由函数图象可知，当时，，故④正确； 综上所述，正确的有①②③④，共4个． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 二次函数的顶点坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数顶点式的顶点坐标为求解即可． 【详解】解：由题意得，该二次函数的顶点坐标为． 12. 方程的解是_________． 【答案】， 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 解得，． 13. 已知是方程的两根，则代数式的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出和的值，代入所求代数式计算即可得到结果． 【详解】解：在中，，，， ∴，， ∴． 14. 某校九年级组织了篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排了45场比赛，设共有x个队参赛，依题意列方程，化成一般式为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，每一个球队和其它球队可打场比赛，又赛制为单循环形式，则可列出方程求解． 【详解】解：设共有x个队参赛， 依题意，得， 化为一般式为， 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，准确找到关键语句，从而根据等量关系准确列出方程是解答的关键． 15. 在矩形ABCD中，AB=8cm，BC=3cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向终点B移动，同时，点Q从点C出发沿CD以3cm/s的速度向终点D移动，其中一个点到达终点，另一个点也停止运动． 经过_________秒P、Q两点之间的距离是5cm． 【答案】或 【解析】 【分析】设经过x秒P、Q两点之间的距离是5cm，如图，过P点作，垂足为M点，得到DQ的长，并根据四边形ABCD为矩形推出PM和QM的长，利用勾股定理列式解答即可． 【详解】解：设经过x秒P、Q两点之间的距离是5cm， 如图，过P点作，垂足为M点， ， ， 四边形ABCD为矩形， 在直角三角形PQM中， 经过或秒P、Q两点之间的距离是5cm． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查矩形的动点问题，涉及勾股定理和解一元二次方程，有一定难度，根据题意做出合适的辅助线，利用勾股定理解答是关键． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解方程 （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：， 移项得， 配方得， 整理得， 开方得或， 解得，； 【小问2详解】 解：， 因式分解得， 可得或， 解得，． 17. 现在生活中，许多青少年都有自己的手账本，现在需要绘制一个手账图片，要求四边留边的宽度相等，并且绘制的内容面积是整个平面面积的，且绘制内容的长为，宽为．求出这个手账本的长和宽． 【答案】手账本的长为，宽为 【解析】 【分析】设四边留边的宽度为，根据“绘制内容面积是整个平面面积的”列方程并求解即可． 【详解】解：设四边留边的宽度为， ∵四边留边宽度相等， ∴手账本的长为，宽为， 由题意得， 解得（舍去）， ∴手账本的长为：， 手账本的宽为：． 18. 如图所示，直线交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线的顶点为A，且经过点B． （1）求该抛物线所对应的二次函数的表达式． （2）若点在该抛物线上，求m的值． （3）直接写出，x的取值范围． 【答案】（1） （2）， （3）或 【解析】 【分析】（1）先利用一次函数解析式确定A、B点的坐标，然后设顶点式，利用待定系数法求抛物线解析式； （2）把C点坐标代入抛物线解析式得到关于m的一元二次方程，然后解方程可确定m的值； （3）观察函数图象，写出一次函数图象在二次函数图象上方所对应的自变量的范围即可． 【小问1详解】 解：当时， 解得， ∴， 当时，， ∴， 由题意得，设抛物线解析式为， 把代入得 解得， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：把点代入中， 得 解得，； 【小问3详解】 解：由图可得，当或时，一次函数图象在二次函数图象上方． 19. 某地为有力推进乡村全面振兴，拓宽农产品的销售渠道，利用互联网技术，通过电商平台，让农产品直接面向消费者，提高农产品销售效率．其中，销售一批成本为30元的农产品，按销售单价不低于成本价，且不高于50元销售，经调查发现，该商品每天的销售量与销售单价x（元）之间的关系如图所示，设每天的销售利润为w元． （1）请求出y与x的函数解析式； （2）销售单价定为多少元时，才能使销售该商品每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）销售单价定为50元时，每天获得的利润最大，最大利润是1200元 【解析】 【分析】（1）依据题意，运用待定系数法求解即可； （2）依据题意，根据w与x的函数解析式为，将其写成顶点式，根据二次函数的性质及自变量的取值范围可得答案． 【小问1详解】 解：设该商品每天的销售量y与销售单价x之间的关系为， 由图可得，， 解得， 该商品每天的销售量y与销售单价x之间的关系为； 【小问2详解】 解：销售单价不低于成本价，且不高于50元销售， ， 每天的销售利润为 ， ，， 当时，每天获得的利润最大，最大利润是元， 答：销售单价定为50元时，每天获得的利润最大，最大利润是1200元． 20. 某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求设计出了两个设计方案，现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示： 方案一，抛物线型拱门的跨度，拱高其中，点在轴上，． 方案二，抛物线型拱门的跨度，拱高其中，点在轴上，． 要在拱门中设置高为的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计），方案一中，矩形框架的面积记为，点、在抛物线上，边在上；方案二中，矩形框架的面积记为，点在抛物线上，边在上，现知，小华已正确求出方案二中，当时，，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题： （1）求方案一中抛物线的函数表达式； （2）在方案一中，当时，求矩形框架的面积并比较的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，拱桥问题(实际问题与二次函数)，解题的关键是读懂题意，求出函数关系式． （1）由题意知抛物线的顶点，设顶点式用待定系数法可得方案一中抛物线的函数表达式； （2）令可得或，故，；再比较、的大小即可． 【小问1详解】 解：由题意知，，， 方案一中抛物线的顶点， 设抛物线的函数表达式为， 把代入，得，， 解得：， ， 方案一中抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 在中， 令得：； 解得或， ， ， ， ． 21. 掷实心球是辽宁省初级中学招生体育考试的选考项目．如图1是一名学生投掷实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示，抛出时起点处高度为．当水平距离为时，实心球行进至最高点处． （1）求y关于x的函数表达式； （2）根据初中阶段学校招生体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于，此项考试得分为满分1分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由． （3）如果这个女同学想得满分，那么这个女同学的出手高度至少为几米？ 【答案】（1） （2）该女生在此项考试中不能得满分，理由如下： 由题意得，当时， 解得（舍去）， ， 该女生在此项考试中不能得满分； （3）出手高度至少约为 【解析】 【分析】（1）根据题意设出y关于x的函数表达式，再用待定系数法求函数解析式即可； （2）根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令，解方程即可求解； （3）设出手高度为h米，根据题意可得，重新投掷的情况下新抛物线为，将代入求解即可． 【小问1详解】 解：当水平距离为时，实心球行进至最高点处， 设， 经过点， 解得， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由于投掷的力度和角度不变，抛物线的形状与对称轴保持不变， ∴设出手高度为h米，则抛物线解析式为， 当时，， 代入得 ∴， ∴解析式为， ∵要使水平距离大于等于， ∴临界情况为时（刚好落地）， 代入得 解得， ∴出手高度至少约为． 22. 如图，抛物线与x轴交于点、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点，顶点为D． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是直线上方抛物线上的一个动点，使，求此时点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）点P的坐标为或 【解析】 【分析】（1）根据点A、C的坐标，利用待定系数法即可求出该抛物线的解析式； （2）假设存在，过点P作轴交直线于点E，设出点P的坐标即可得出点E的坐标及的长度，利用三角形的面积公式可得出关于t的函数关系式，再列方程即可． 【小问1详解】 解：将点、代入中， 得， 解得， 该抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：过点P作轴交直线于点E，如图： 当时， 解得， ∵点A的坐标为， ∴点B的坐标为， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 设点P的坐标为，则点E的坐标为， ， ， ∵， ∴ 解得，， 当时，， 当时，， ∴点P的坐标为或． 23. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．已知点A的坐标是，抛物线的对称轴是直线． （1）直接写出点B的坐标； （2）在对称轴上找一点P，使的值最小．求点P的坐标和的最小值； （3）第四象限内的抛物线上有一动点M，过点M作轴，垂足为N，连接交于点Q．依题意补全图形，当的值最大时，求点M的横坐标． 【答案】（1） （2）；的最小值为 （3）点的横坐标为，补全图形如下： 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的对称性，进行求解即可； （2）根据抛物线的对称性，得到，得到当P，B，C三点共线时，的值最小，为的长，求出直线的解析式，解析式与对称轴的交点即为点P的坐标，两点间的距离公式求出的长，即为的最小值； （3）根据题意，补全图形，设，得到，，将的最大值转化为二次函数求最值，即可得解． 【小问1详解】 解：点关于对称轴的对称点为点B，对称轴为直线， 点B为； 【小问2详解】 解：当时，， ， 连接，交对称轴于点P，连接，如图： ， ， 点A关于对称轴的对称点为点B， ， 当P，B，C三点共线时，的值最小，为的长， 设直线的解析式为， 将和代入解析式中， 得， 解得， ， 点P在抛物线的对称轴上， ∴将代入直线解析式得，， ； ∴的最小值为； 【小问3详解】 解：过点M作轴，垂足为N，连接交于点Q，如图： ， 设抛物线的解析式为， ， 解得， ， 设，则， 由（2）知，直线为， ， ， ， ∴， ， 当时，有最大值， ∴点的横坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年第一学期作业质量集中调研 九年级数学试卷 （本试卷共23小题 试卷满分120分 考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效． 第一部分选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知m是方程的一个根，则代数式的值等于（ ） A. 4 B. 1 C. 0 D. 3. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ 　 ） A. B. 且 C. D. 且 4. 若是二次函数，则a的值为（ ） A. B. 4 C. D. 5. 将二次函数的图象向右平移1个单位，则平移后的二次函数解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 一元二次方程配方后化为（ ） A. B. C. D. 7. 点P1（﹣1，），P2（3，），P3（5，）均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 某品牌网上专卖店1月份的营业额为60万元，已知第一季度的总营业额共360万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（ ） A. 60(1+x)2＝360 B. 60+60(1+x)+60(1+x)2＝360 C. 60(1+2x)＝360 D. 60+60(1+x)+60(1+2x)＝360 9. 函数和（a是常数，且）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，抛物线与x轴交于点，对称轴为直线．以下结论：①；②；③关于x的方程一定有两个不相等的实数根；④当时，．其中结论正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 二次函数的顶点坐标是________． 12. 方程的解是_________． 13. 已知是方程的两根，则代数式的值为________． 14. 某校九年级组织了篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排了45场比赛，设共有x个队参赛，依题意列方程，化成一般式为_____． 15. 在矩形ABCD中，AB=8cm，BC=3cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向终点B移动，同时，点Q从点C出发沿CD以3cm/s的速度向终点D移动，其中一个点到达终点，另一个点也停止运动． 经过_________秒P、Q两点之间的距离是5cm． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解方程 （1） （2） 17. 现在生活中，许多青少年都有自己的手账本，现在需要绘制一个手账图片，要求四边留边的宽度相等，并且绘制的内容面积是整个平面面积的，且绘制内容的长为，宽为．求出这个手账本的长和宽． 18. 如图所示，直线交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线的顶点为A，且经过点B． （1）求该抛物线所对应的二次函数的表达式． （2）若点在该抛物线上，求m的值． （3）直接写出，x的取值范围． 19. 某地为有力推进乡村全面振兴，拓宽农产品的销售渠道，利用互联网技术，通过电商平台，让农产品直接面向消费者，提高农产品销售效率．其中，销售一批成本为30元的农产品，按销售单价不低于成本价，且不高于50元销售，经调查发现，该商品每天的销售量与销售单价x（元）之间的关系如图所示，设每天的销售利润为w元． （1）请求出y与x的函数解析式； （2）销售单价定为多少元时，才能使销售该商品每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 20. 某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求设计出了两个设计方案，现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示： 方案一，抛物线型拱门的跨度，拱高其中，点在轴上，． 方案二，抛物线型拱门的跨度，拱高其中，点在轴上，． 要在拱门中设置高为的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计），方案一中，矩形框架的面积记为，点、在抛物线上，边在上；方案二中，矩形框架的面积记为，点在抛物线上，边在上，现知，小华已正确求出方案二中，当时，，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题： （1）求方案一中抛物线的函数表达式； （2）在方案一中，当时，求矩形框架的面积并比较的大小． 21. 掷实心球是辽宁省初级中学招生体育考试的选考项目．如图1是一名学生投掷实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示，抛出时起点处高度为．当水平距离为时，实心球行进至最高点处． （1）求y关于x的函数表达式； （2）根据初中阶段学校招生体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于，此项考试得分为满分1分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由． （3）如果这个女同学想得满分，那么这个女同学的出手高度至少为几米？ 22. 如图，抛物线与x轴交于点、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点，顶点为D． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是直线上方抛物线上的一个动点，使，求此时点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 23. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．已知点A的坐标是，抛物线的对称轴是直线． （1）直接写出点B的坐标； （2）在对称轴上找一点P，使的值最小．求点P的坐标和的最小值； （3）第四象限内的抛物线上有一动点M，过点M作轴，垂足为N，连接交于点Q．依题意补全图形，当的值最大时，求点M的横坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $