江苏省宿迁中学2025-2026学年高二第二学期第一次月考数学试卷

2025-2026学年度第二学期高二年级第一次学情调研 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.，，若，则     A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 2.已知直线的一个方向向量，直线的一个方向向量，若，且，则    A. 或1 B. 3或 C. D. 1 3.若，则    A. 5 B. 20 C. 60 D. 120 4.在空间直角坐标系中，已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为，，，则点D的坐标为 A. B. C. D. 5.如图：在平行六面体中，M为，的交点．若，，，则向量    A. B. C. D. 6.某图书馆有3本科普书和4本小说，要从中选出4本放在展示区，且必须同时包含科普书和小说，有选法. A. 30种 B. 34种 C. 60种 D. 35种 7.如图，在直三棱柱中，D为棱的中点，，，，则异面直线CD与所成角的余弦值为(    ) A. B. C. D. 8.某大学的2名男生和3名女生利用周末到社区进行志愿服务，当天活动结束后，这5名同学排成一排合影留念，则下列说法正确的是(    ) A. 若要求3名女生排在一起，则这5名同学共有48种排法 B. 若要求2名男生不相邻，则这5名同学共有36种排法 C. 若要求女生从左到右是从高到矮排列，则这5名同学共有20种排法 D. 若要求男生甲不站在最左边，女生乙不站最右边，则这5名同学共有72种方法 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的或不选不得分） 9.已知直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则 A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10.下列关于空间向量的命题中，正确的是 A. 若非零向量满足，则 B. 任意向量满足 C. 若为空间一基底，且，则四点共面. D. 已知向量，若，则为钝角. 11.现有4个小球和4个小盒子，下面的说法正确的是 A. 将4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，共有24种放法 B. 将4个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，恰有两个空盒的放法共有18种 C. 将4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，恰有一个空盒的放法共有144种 D. 将编号为1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，没有一个空盒但小球的编号和盒子的编号全不相同的放法共有9种 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.在正方体中，直线与BC所成角的余弦值为                    . 13.已知空间向量，则向量在向量上的投影向量的坐标是__________. 14.如图，在六个区域中种植4种不同植物，同一区域只种植1种植物，相邻两区域所种植物不同，则不同的种植方案种数为_____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.13分 如图，长方体的底面ABCD是正方形，，点E是棱的中点，请用空间向量知识解答下列问题： 证明：平面EBC； 求二面角的正弦值. 16.15分 用1，2， 3，4，5，6六个数字排成没有重复数字的6位数，分别求满足下列条件的6位数的个数． （1）1不在个位 （2）1与2相邻； （3）1与2之间恰有两个数； 17.15分 如图，在直三棱柱中，， 求证：； 求点B到平面的距离. 18.17分 四棱锥的底面是边长为2的菱形，，对角线AC与BD相交于点O，底面ABCD，PB与底面ABCD所成的角为，E是PB的中点. 求异面直线DE与PA所成角的余弦值； 证明：平面PAD，并求点E到平面PAD的距离. 19.17分 如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，，，E为AD的中点，且记PE的中点为N，若M在线段BC上异于B、C两点 若点M是BC中点，证明：面PCD； 若直线MN与平面PAB所成角的正弦值为，求线段BM的长． 数学试卷第4页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $ 答案和解析 【答案】 1. C  2. A  3. D  4. A  5. B  6. B  7. A  8. C  9. AD  10. AC  11. BCD  12.   13.   14. 120   15. 证明：以C为坐标原点，以CD所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，， ，， ， 又，BE，平面EBC， 平面 解：由易知平面EBC的一个法向量为，， 设平面的法向量， 则，即取， ， 二面角的正弦值为  16. (1) 1 不在个位 总排列数：减去 1 在个位的情况：1 固定个位，剩下 5 个数全排列 (2) 1 与 2 相邻（捆绑法） 把 1、2 捆绑看成一个整体，内部 1、2 可以互换（）一共 5 个元素全排列 (3) 1 与 2 之间恰有两个数 6 个位置编号：1,2,3,4,5,6 满足中间隔 2 个数的位置组合： · 1 在位 1，2 在位 4 · 1 在位 2，2 在位 5 · 1 在位 3，2 在位 6 反过来 2 在前、1 在后，所以位置选择共6种。 中间两个位置，从剩下 4 个数选 2 个排列：剩余 2 个位置，剩下 2 个数全排列：，那么 17. 解：证明：建立直角坐标系，其中C为坐标原点，如图示： 依题意得， 因为， 所以 设是平面的法向量， 由， 得，所以，令，则， 因为，所以B到平面的距离为：   18. 解：因为底面ABCD，， 所以， 又因为PB与底面ABCD所成的角为，所以为等边三角形， 因为E为PB的中点，所以， 因为四边形ABCD边长为2的菱形，，所以为等边三角形，即， 所以，，， 取AB的中点F，连接EF，DF，可得， 所以DE与EF所成的角即为DE与PA所成的角， 则，， 所以， 在中，， 即异面直线DE与PA所成角的余弦值为； 证明：连接OF， 由可得，，， 所以面面PAD， 因为面OEF， 所以面PAD； 所以O到面PAD的距离等于E到面PAD的距离，设h， 则， 而， ， 所以，解得， 即点E到平面PAD的距离为  19. 证明：取线段PD的中点G，连接NG、CG， 因为，，因为E为AD的中点，则且， 因为M为BC的中点，则且， 因为N、G分别为PE、PD的中点，所以，且， 所以，且， 所以，四边形CGNM为平行四边形，则， 因为平面PCD，平面PCD，所以，平面 解：连接 BE ， 因为  ，  ， E 为 AD 的中点， 则  且  ， 所以，四边形 BCDE 为平行四边形，所以，  ，且  ， 因为  ，则  ， 又因为  ，则  ， 因为  ， E 为 AD 的中点，则  ， 因为  ，  ，  ，所以， ≌ ， 所以，  ，则  ， 又因为  ， AD 、  平面 ABCD ，所以，  平面 ABCD ， 以点 E 为坐标原点， EA 、 EB 、EP所在直线分别为 x 、 y 、 z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，    则  、  、  、  ， 设  ，则  ，  ，  ， 设平面 PAB 的法向量为  ， 则  ，取  ，可得  ，  ，若直线 MN 与平面 PAB 所成角的正弦值为  ， 则 ⟨⟩ ，整理可得  ， 因为  ，解得  ，故  .   【解析】 1. 【分析】 本题考查空间向量平行共线的坐标表示，属于基础题. 根据给定条件，利用空间向量共线求出m，n的值作答. 【解答】 解：因为  ，  ，  ，则存在  ，使得  ， 即  ，于是  ，解得  ， 所以  . 故选： 2. 【分析】 本题考查空间向量的数量积与空间向量的垂直关系，属于基础题. 利用空间向量垂直与模的坐标表示即可． 【解答】 解：向量，，，且， ，， 解得，或，， 或 故选 3. 【分析】 本题主要考查了组合数公式，排列数公式，属于基础题. 由组合数公式得出，求出x的值代入计算即可. 【解答】 因为，由组合数的性质可得，解得，故故选 4. 【分析】 本题考查对称问题及空间中的中点坐标公式，属于基础题.根据平行四边形对角线的交点为中点可得答案. 【解答】 解：设， 因为AC与BD的中点相同，所以， 解得，所以 故选： 5. 【分析】 本题考查向量的求法，考查空间向量加法法则等基础知识，是基础题． 向量，由此能求出结果． 【解答】 解：在平行六面体中，M为，的交点， ，，， 向量 6. 解：图书馆有3本科普书和4本小说，要从中选出4本放在展示区，且必须同时包含科普书和小说， 则从7本中任选4本，除去选到4本全是小说的情况，共有种． 故选： 从7本中任选4本，去掉选取的4本全是小说的情况． 本题考查排列组合相关知识，属于中档题． 7. 略 8. 【分析】 本题考查排列的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题． 根据题意，由排列、组合数公式依次分析选项是否正确，综合可得答案． 【解答】解： 对于A，先将3名女生看成一个整体，与2名男生全排列即可，有种排法，错误； 对于B，若2名男生不相邻，可以先排女生，然后男生插空，有种排法，B错误； 对于C，女生从左到右是从高到矮排列，即女生定序，有种排法，C正确； 对于D，男生甲不站在最左边，女生乙不站最右边，有种排法，D错误． 故选：C 9. 【分析】 分别由两向量共线的坐标表示、以及两向量垂直的条件：数量积为0，解方程可得结论． 本题考查平面的法向量的运用和向量共线、垂直的条件，考查方程思想和运算能力，属于基础题． 【解答】 解：若，则，即有，即， 即有，故A正确，C错误； 若，则，即有， 可得，，， 解得，，， 则，故B错误，D正确． 故选： 10. 【分析】 根据向量共线定理判断A；根据数量积的运算律判断B；根据判断C；根据向量夹角公式求解判断 【解答】 解：对于A选项，因为，，是非零向量，且满足，，故存在实数使得，故，所以，故A选项正确； 对于B选项，因为，不一定共线且向量数量积为实数，故不一定成立，故B选项错误； 对于C选项，，，是空间的一组基底，故三点不共线，，即 所以，四点共面，故C选项正确； 对于D选项，当与共线且反向时，有，即  即 不是钝角，故D选项错误. 故选： 11. 若4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，共有种放法，故A错误；若4个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，且恰有两个空盒，则一个盒子放3个小球，另一个盒子放1个小球或两个盒子均放2个小球，共有种放法，故B正确；若4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，且恰有一个空盒，则两个盒子中各放1个小球，另一个盒子中放2个小球，共有种放法，故C正确；编号为1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，没有一个空盒但小球的编号和盒子的编号全不相同，若代表编号为1，2，3，4的盒子放入的小球编号分别为2，1，4，3，所有符合要求的情况为，，，，，，，，，共9种放法，故D正确． 12. 设正方体棱长为1，，，〈，〉。即直线与BC的夹角的余弦值为。 13. 【分析】 本题主要考查空间向量的数量积运算，投影向量的定义，属于基础题． 由向量在向量上的投影向量为，，计算即可求出答案． 【解答】 解：向量，， 则，，， 所以向量在向量上的投影向量为 ， ， 故答案为： ． 14. 解：【解析】 解：先分组，再种植， 共有 ，5种分组方式，同组种植一种植物，则不同的种植方案种数为. 15. 建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出，即可得证； 求出平面的法向量，利用空间向量求出夹角的余弦值，即可得解． 本题考查线面垂直的证明和二面角的求法，属于中档题． 16. 略 17. 建立如图所示的空间直角坐标系，求出的坐标后利用它们的数量积为零可证异面直线的垂直； 求出平面的法向量和的坐标后可求点面距． 本题考查线线垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用． 18. 取AB的中点F，连接EF，DF，可得，所以DE与EF所成的角即为DE与PA所成的角，由题意求出EF，DE，DF的值，由余弦定理可得两条直线所成角的余弦值． 由可证得面面PAD，进而可证得面PAD，进而可知E到平面PAD的距离等于O到平面PAD的距离，再由等体积法求出O到平面PAD的距离． 本题考查线面平行的证法及面面平行的性质的应用，等体积法求点到面的距离的应用，属于中档题． 19. 本题考查了线面平行的判定和直线与平面所成角的向量求法，是中档题. 取线段PD的中点G，连接NG、CG，证明四边形CGNM为平行四边形，可得出  ，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立； 连接 BE ，证明出  平面 ABCD ，  ，设  ，其中  ，以点 E 为坐标原点， EA 、 EB 、EP 所在直线分别为 x 、 y 、 z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可得出关于 a 的等式，结合  可求得 a 的值，即可得解. 第2页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $