第五讲 乘法公式应用 讲义 2026-2027学年人教版八年级数学上册

第五讲 乘法公式应用 模块一：平方差公式的应用 国知识梳理 1.平方差公式： (a+b)(a-b)=a2-b2 2.平方差公式的推论 o（+a--a-1,@*-1=(a+a- ☒例题精讲 【例1】平方差公式的进阶 a2-2+2+2+-(22+)+1 的个位数是() A.2 B.4 C.6 D.8 ®计第：（-1-)-) 回 四 (32025南沙区期末)若-y=4,日 x+y=7 x2-y2= ，且 ,则 (4)2%-1有可能被60到70之间的两个整数整除，试求出这两个数. (5)已知54-1可能被100至200之间的两个整数整除，求这两个整数. 【例2】复杂平方差公式 (2025越秀区期末)设4=(2mn+1-(2-12 (1)当n=1时，求A的值： (2)当n为整数时，求证：A是8的倍数 I3 模块二：完全平方公式的应用 国 知识梳理 1.完全平方公式 oa+by°=a+2ab+i,②a-by'=a2-2ab+ 2.完全平方公式的基本变形 D(a+b)-(a-b)+4xab:@(a-b)-2x(d+b)-(a+b) 2；④6-a+y-6-y ③产+6-a+by+a-} 4 已知a+b八、(a-b、。+、ab中的任意两个式子的值，即可推出剩余2个式子的值. 总结：知二推二 3.完全平方公式的重要变形 (1)基本形式 (a+b)+(b+c)+(a+c)-2d+2+2@+2ab+2be+2ac @(a-b)+(b-c)+(a-e)-2a+2b+2e-2ab-2bc-2ac (2)变形 Da+b+e+ab+be+ca-][(a+b)+(6b+c)+(c+a)] Qa+b+e-ab-be-ca-3[(a-6Y+(-eY+(c-a)] 4.配方 4 (1)配方的概念：指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个 完全平方式的和.例如 2x2+2y2+2xy+4y+4=x2+2y+y2+y2+4y+4=(x+y2+(x+2)月 配方口诀：常数先往一边放，二次系数化为一，一次系数一半方，多退少补值不变 ☒例题精讲 【例3】完全平方公式的基本变形 L)已知a+b=3,ab=-2,则a2+b2=, (a-b)2= (②X2024海珠区期末)已知x+2=10,(K-2=18,那么9的值为) A.-1 B.1 C.-2 D.2 (3)(2025海珠区期末)a=10-b,ab=16,则a2+b2=() A.36 B.68 C.84 D.100 1)2 (4)已知： a+1 a 5)已知a+ +a=7,则a2+ 1 等于() A.3 B.±3 C.-3 D.2 ⑥己知x+3y+(x-4=13,则（c+34-- 【例4】完全平方公式的重要变形 (1)若a=1990,b=1991,c=1992,则a2+b2+c2-ab-bc-ac= (2)设a、b、c是三角形△ABC的三边长，且a2+b+c2=ab+bc+ca,关于此三角形的形 状有以下判断：①是等腰三角形：②是等边三角形：③是锐角三角形：④是斜三角形. 其中正确的是 6 【例5】配方法的直接应用 (I)若4r-my+4)是完全平方式，则m= (2)若a、b为有理数，且2a2-2ab+b2+4a+4=0,则a+b=_ (3)化简求值： x2+2y2-2y+4y+4=0 ①若 ,求的值 ②已知a、b、c是△ABC的三边长，满足a2+b=10a+8b-41,且c是△ABC中最长的边， 求C的取值范围， 【例6】配方法与最值问题 求下列各式的最大值或最小值： (①)r+4r-3 (2)r+6r-15 8)2r+6r+5 7 巅峰突破 【突破1】若一个正整数能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“智慧数”（如 3=22-1216=52-32) 则3和16是智慧数.已知按从小到大顺序构成如下列：3,5,7， 8,9,11,12,13,15,16,17,19,20,21,23,24,25,….则第2020个“智慧数” 是 【突破2】已知：x-7x+1=0,求以下式子的值： 0x+:@r+:gr+:@+克：回×+ 【突破3】若a420,0 20x+19,c= =20x+21,求代数式a2++c-ab-bc-ca 的值. 8 课后自测 【练习1)计算：(2+2+2+-(25+1)+1 【练习2】完全平方公式的变形 ()已知a+b=4,ab=-5,求下列各式的值： r0:②a-ab+b 0a2+6 (a-b)2 ；③ (2)已知：“ 【练习3】配方 若a+2b+c=l12'月d+6+d=b+e+c 且 +b2+c3= ,则 9 目 【练习4】计算 4x2+ay+9y2 (1)若 是完全平方式，则“的值为一 (2)若a,b为有理数，且a2-2ab+2b+4b+4=0,则ab=一 【练习5】(1)x2-3x+1的最小值为 (2不论、'为任意实数，代数式 2+y2+2x-4y+7 的值() A.总不小于2B.总不小于7 C.可为任何实数D.可能为负数 答案版 模块一：平方差公式的应用 知识梳理 (a+b)(a-b)=a2-b 1.平方差公式： 2.平方差公式的推论 oa+a-=a-l②-1=a+a- ☒例题精讲 【例1】平方差公式的进阶 m2-2+2+2+(2++1的个位数是() A.2 B.4 C.6 D.8 e算：（)-（忘） (32025南沙区期末)若-y=4。 +y=7,则 2-y2= ,且 (4)26-1有可能被60到70之间的两个整数整除，试求出这两个数. (5)已知54-1可能被100至200之间的两个整数整除，求这两个整数. 【答案】a原式(2-2+2+2+1-2+1+1 12 =(2-1)(2+10(2+1)(22+)+1 =(2-1)(2+1)(22+1)+1 =(26-10(22+1)+1=24-1+1=2 观察2的幂次的个位数字规律： 2=2,个位为2： 22=4,个位为4： 2=8,个位为8； 24=16,个位为6： 2=32,个位为2： 周期为4， 64÷4=16,无余数，说明2“的个位数字和2个位数字相同，为6. 答案C e原武-+-凯+引-0+0 1x2x2x4x2xx…x9x 223344 1010 =1x111 21020· ③)原式-=(-c+0=4x7=28 ④2*-1=(2-02+)=(2-2+102+2+102+ -63×65×22+124+12+),这两个数是68和65； 55”-1=(5+05-)=(5+5+005+105-1）=(5+105+1x126×124 所求的两个 整数为126、124， 【例2】复杂平方差公式 3 (2025越秀区期末)设1=(2m+-(2- (1)当n=1时，求A的值： (2)当n为整数时，求证：A是8的倍数 【答案】()当n=1时，A=(2x1+-(2x1-1=32-P=9-1=8 2)4=(2n+-(2m-1) =[(2n+1)+(2n-1]×[(2n+1)-(2n-1] =4n×2 =8n ,n为整数， .8n是8的倍数， .A是8的倍数. 14 模块二：完全平方公式的应用 国 知识梳理 1.完全平方公式 oa+by°=a+2ab+i,②a-by'=a2-2ab+ 2.完全平方公式的基本变形 D(a+b)-(a-b)+4xab:@(a-b)-2x(d+b)-(a+b) 2；④6-a+y-6-y @产+=a++a-b} 4 已知a+b八、(a-b、。+、ab中的任意两个式子的值，即可推出剩余2个式子的值. 总结：知二推二 3.完全平方公式的重要变形 (1)基本形式 (a+b)+(b+c)+(a+c)-2d+2+2@+2ab+2be+2ac @(a-b)+(b-c)+(a-e)-2a+2b+2e-2ab-2bc-2ac (2)变形 Da+b+e+ab+be+ca-][(a+b)+(6b+c)+(c+a)] Qa+b+e-ab-be-ca-3[(a-6Y+(-eY+(c-a)] 4.配方 5 (1)配方的概念：指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个 完全平方式的和.例如 2x2+2y2+2xy+4y+4=x2+2y+y2+y2+4y+4=(x+y2+(x+2)2 配方口诀：常数先往一边放，二次系数化为一，一次系数一半方，多退少补值不变 ☒例题精讲 【例3】完全平方公式的基本变形 L)已知a+b=3,ab=-2,则a2+b2=, (a-b)2= (②X2024海珠区期末)已知x+2=10,（-2=18,郑么的值为) A.-1 B.1 C.-2 D.2 (3)(2025海珠区期末)a=10-b,ab=16,则a2+b2=() A.36 B.68 C.84 D.100 (4)已知： a-1-3 2m0中a2● 1 a )尼知a+ +=7,则a2+ 厅等于() A.3 B.±3 C.-3 D.2 O己知x+3y+(x-4=13,则+34-刘= 【答案】)已知a+b=3,ab=-2,则a2+b2=13,(a-b)=17 (a+b)2=a2+2ab+b2 16 a2+b2=(a+b2-2ab=32-2x(-2)=13.(a-bj=a2-2ab+b2=13-2x(-2）)=17 (2-(6x+2y=2+4g+4y2=10.(Gx-2y=x2-4+4=18 :(x+4+4y）-(2-4+42）=10-18 y=-1 答案选A. (3):a=10-b, .a+b=10 又，ab=16, :a'+bi=(atb)-2ab =102-2×16=100-32=68 故选B. -2-B +(e+新-2 a+=r-2=19 g +0+2 d,0守>0，敢+宁0， 1 1 a+=3 (6+3y°+x-4y=(x+3)2+(4-x2=[c+3)+(4-x-2x+34-对) =49-2(x+2)3-x)=13 (x+3)(4-x)=36(x+3)(4-x)=18 所以 ,即 【例4】完全平方公式的重要变形 (1)若a=1990,b=1991,c=1992,则a2+b2+c2-ab-bc-ac=_ (2)设a、b、c是三角形aABC的三边长，且a+b+c2=ab+bc+ca,关于此三角形的形 状有以下判断：①是等腰三角形；②是等边三角形；③是锐角三角形：④是斜三角形， 其中正确的是一 【答案】)a2+B+c2-ab-c-ac=[a-b+6-o}+(a-cf], 代入a=1990,b=1991,c=1992, 原式-+(+(-2]-×6=3， (2)..a2+b2+c2=ab+bc+ca, 两边乘以2得：2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca=0, 配方得：(a-b)+b-c+(a-c}=0 18 .a=b=C,△ABC为等边三角形， 等边三角形是特殊的等腰三角形，三个内角都是60，属于锐角三角形，也是斜三角形. 故①②③④都正确. 【例5】配方法的直接应用 1 ()若4-my+子少是完全平方式，则m= (2)若a、b为有理数，且2a2-2ab+b+4a+4=0,则a+b= (3)化简求值： 2+2y2-2xy+4y+4=0 ①若 y ,求的值. ②已知a、b、c是△ABC的三边长，满足a2+b=10a+8b-41,且c是△ABC中最长的边， 求c的取值范围. 【答案】(1)±2： (22n-2ab++4a+4=a2-2ab+bB2+a2+4a+4=(a-b°+a+2y=0 所以a=b=-2,则a+b=-4. x2+2y2-2xy+4y+4=0 (3)①. :(x-少+(0y+2}=0 (x-)°≥0.0y+2}≥0 、x-y=0,y+2=0,解得x=-2,y=-2, ”=(2x(-2)=4 ②.a2+b2=10a+8b-41. :(a-5y°+(6-4}2=0 9 (a-5y≥0.(b-4}≥0 .a=5,b=4, 由三角形三边关系：5-4<c<5+4,即1<c<9, c是最长边，.c≥5， ∴.C的取值范围是5≤c<9, 【例6】配方法与最值问题 求下列各式的最大值或最小值： )+4-3 (2)r+6r-15 2r+6r+5 【答案】)r+4r-3=(c+2}-7,(x+2≥0 当x=-2时，式子有最小值-7，无最大值. (2)-+6x-15=-(x-3-6-(x-3}≤0 .当x=3时，式子有最大值6，无最小值. 8265=f+,0 “当x=一2时，式子有最小值2，无最大值. 20 巅峰突破 【突破1】若一个正整数能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“智慧数”（如 3=22-1216=52-32) 则3和16是智慧数.已知按从小到大顺序构成如下列：3,5,7， 8,9,11,12,13,15,16,17,19,20,21,23,24,25,….则第2020个“智慧数” 是 【答案】m=-=(a+ba-),口、b为正整数.a>b, a+b与a-b同奇偶， ①若同为奇数，则m为大于1的奇数： ②若同为偶数，则m是4的倍数， .智慧数为：大于1的奇数，以及4的倍数；形如4k+2的偶数不是智慧数， 观察数列，从3开始，除第一组3,5,7外后面每3个智慧数为一组，每组第一个数都 是4的倍数：8,9,11,12,13,15,16,17,19…， 2020÷3=673…1, 说明第2020个智慧数是第674组的第1个数， (n≥2) 4n 第 组的第个智慧数为“， 代入n=674得：4×674=2696， ∴.第2020个智慧数是2696. 1 1 【突破2】已知：-7x+1=0,求以下式子的值：①x+:②r+京；@+：④ 2-7x+1=0 x+1=7 【答案】(1)：x2-7x+1=0,x≠0，.x ,即x 21 @+7，r++2=49,+ =47 e2气r+})- 倒：2+=47，++2=209，+=207 6+(r++)*-52 【突夜】若0-20,0动419.c-易+21，求代数成++e--m 的值. 【斧案】由0品420,60419，=动421，可a-b=0-=-2 。-a=1,。++e2-h-c-m=a-b+b-e+(e-ar]=x6=3. 22 课后自测 【练习1)计算：(2+2+2+-(2+1)+1 【答案】原式2-2+102+12+1)-(26+1+1 =(2-10(22+1)(2+1(26+1)+1 =(24-1)(2+1(2+1)(26+1)+1 =22-1+1=22 【练习2】完全平方公式的变形 (1)已知a+b=4,ab=-5,求下列各式的值： :②a2-b+b 0+6 (a-b)2 ;③ （1212 (2)已知： 【答案】I)D原式=(a+b-2ab =42-2×(-5)=16+10=26 ②原式=(a+b}-3ab =42-3×(-5)=16+15=31 ③原式=(a+b)}-4ab =42-4×(-5)=16+20=36 23 a+=ad+2a+ (2)①. + *2 原式=7+2=9： a a2 原式=7-2=5： 1 ∴.原式=72-2=49-2=47. 【练习3】配方 a+2b+3c=12,a2+b2+c2=ab+bc+ca 且 a+b2+c3= 则 【答案】：a2+b2+c2=ab+bc+ca, 两边乘以2：2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca=0, 配方得：(a-by+b-c+(a-c}=0 ,平方是非负数， .a-b=0,b-c=0,a-c=0,即a=b=c, 代入a+2b+3c=12:a+2a+3a=12,6a=12,解得a=b=c=2, .a+b2+c3=2+22+23=2+4+8=14. 【练习4】计算 4x2+ay+9y2 (1)若 是完全平方式，则“的值为一 (2)若a,b为有理数，且a2-2ab+2b2+4b+4=0,则ab= 24 【答案】)：4r+ay+9y2=(2x++(B} 完全平方式满足：ay=2·2x·3y=±12y, .a=±12 (2).a2-2ab+2b2+4b+4=0, 分组配方：（女-2ab+b)+(6+40+4)=0 (a-b)2+(b+2)2=0 a-b=0,b+2=0,解得b=-2,a=-2, 6=(-2k(-2)=4 【练习5】()x2-3x+1的最小值为—。 (②不论、’为任意实数，代数式 2+y2+2x-4y+7 的值() A.总不小于2 B.总不小于7 C.可为任何实数D.可能为负数 3 5 “当x=2时，式子取得最小值一4· (2++2x-4y+7=(x+2x++(y2-4y+4)+2=(+1+0-2+2 (6x+1≥0.0-2}≥0 :(+1+(0-2+222,代数式的值总不小于2，选A, 25