专题16.1 幂的运算（讲义：考点整理+题型归纳+探究式学习+课后检测）2026-2027学年人教版八年级数学上册

本讲义聚焦初中数学“幂的运算”核心知识点，先明确幂的定义（底数、指数及乘方结果），再系统梳理7条运算规则（含零次方、负指数幂、同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方等），通过7类题型（如同底数幂相乘及逆用、幂的乘方及逆用等）搭建从基础到应用的学习支架。 资料亮点在于“探究式学习”引导学生从比较幂的大小等实例中抽象规律，培养抽象能力与创新意识。题型设计注重正逆运算结合（如积的乘方逆用解决位数问题），发展推理意识与运算能力。课后检测与复盘笔记助力学生巩固，课中辅助分层教学，课后帮助查漏补缺，提升应用意识。

简一数理 初中专题讲义 专题16.1 幂的运算 （新教材人教版） 知识点一、幂运算的定义 2 知识点二、幂运算的运算规则 2 【题型1 同底数幂相乘】 2 【题型2 同底数幂乘法的逆运算】 3 【题型3 幂的乘方运算】 3 【题型4 幂的乘方的逆用】 4 【题型5 积的乘方运算】 4 【题型6 积的乘方的逆用】 5 【题型7 幂的混合运算】 5 【探究式学习】 6 【课后检测】 8 【复盘笔记】 11 知识点一、幂运算的定义 幂运算：幂是乘方运算的结果，表示m个a相乘，其中a叫做幂的底数，m叫做幂的指数． 知识点二、幂运算的运算规则 （1）任何一个非零数的零次方都是1：． （2）任何一个非零数的负数次幂等于它的正数次幂的倒数：． （3）同底数的幂相乘，底数不变，指数相加：． （4）同底数的幂相除，底数不变，指数相减：． （5）幂的乘方，底数不变，指数相乘：． （6）积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘：． （7）同指数的幂相除，指数不变，底数相除：． 【题型1 同底数幂相乘】 【例1】若，是正整数，且满足，则下列和的关系正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】若，是正整数，且满足，则下列关系式正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】若，则的值为（   ） A．8 B． C．6 D．-6 【变式1-3】定义关于的新运算：，其中为正整数．例如，已知，则．若，则的结果为（    ） A． B． C． D． 【题型2 同底数幂乘法的逆运算】 【例2】计算所得的结果是（　　） A． B．2 C． D． 【变式2-1】已知，，则的值是（   ） A．8 B．9 C．6 D．7 【变式2-2】如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球个、个、个，先从甲袋中取出个球放入乙袋，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后再从丙袋中取出个球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则的值等于（ ） A． B． C． D． 【变式2-3】已知、为实数，且+4＝4b，则的值是（　　） A． B． C．2 D．﹣2 【题型3 幂的乘方运算】 【例3】下面是一位同学做的四道题目：①；②；③；④，做对的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式3-1】若，是正整数，且满足9个相加等于4个相乘，则与的关系正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式3-2】实数满足等式，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】已知，，则的值是（     ） A． B． C． D． 【题型4 幂的乘方的逆用】 【例4】已知，则的值为（     ） A．16 B．24 C．32 D．8 【变式4-1】我们知道下面的结论：若（，且），则．设，，，下列关于，，三者之间的关系正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式4-2】已知，，其中m，n为正整数，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】已知，，，则满足的关系式是（     ）． A． B． C． D． 【题型5 积的乘方运算】 【例5】下列算式中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式5-1】下列各式中，计算过程正确的是（） A． B． C． D． 【变式5-2】下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式5-3】若，则k的值为（    ） A． B． C．5 D．8 【题型6 积的乘方的逆用】 【例6】已知数，则数的位数是（   ） A．10 B．11 C．12 D．13 【变式6-1】计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【变式6-2】已知，那么与的关系是（    ） A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．无法确定 【变式6-3】计算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型7 幂的混合运算】 【例7】，，，则的值为．（　　　） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【变式7-1】可以表示为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】定义：如果（，为正数），那么我们把叫做的D数，记作．例如：因为，所以；因为，所以，D数有如下运算性质： ，其中．下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【探究式学习】 1．阅读下面的材料：我们知道一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．例如，“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为：，，如下列探究： 探究一：比较与的大小． 解：因为，， 又因为，所以，所以． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小， 探究二：比较和的大小． 解：因为，且，所以，即， 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． 解决下列问题： (1)比较，的大小； (2)比较，，，的大小； (3)比较与的大小． 2．在学习第一章有理数时，类比小学两个正数的运算法则学习了有理数的加减法、有理数的乘除法，在第二章整式的加减时，类比第一章有理数的学习过程学习了整式的加减，那么整式的乘法是否可以类比有理数的乘法进行学习呢?我们从特殊情况入手对两个同底数幂相乘进行探究． （1）探究 根据乘方的意义填空，观察计算结果，你能发现什么规律? ①， ②， ③， （2）规律 （都是正整数）． 即______．（文字表达） （3）应用 ①计算； ②把看成一个整体，计算． 【课后检测】 1．已知，则的结果为（     ） A． B． C．0 D．8 2．若，是正整数，且满足，则下列与的关系正确的是（     ）． A． B． C． D． 3．若，则（     ） A．， B．， C．， D．， 4．已知，，，则a，b，c的大小关系是（     ） A． B． C． D． 5．若，，，那么、、的大小关系为（     ） A． B． C． D． 6．当为偶数时，与的关系是（   ） A．相等 B．互为相反数 C．大于 D．无法确定 7．已知，，若用含的代数式表示，则下列表示正确的为（     ） A． B． C． D． 8．若是正整数，且满足，则与的关系正确的是（     ） A． B． C． D． 9．已知，则这四个数从小到大排列顺序是（     ） A． B． C． D． 10．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 11．若． 则________． 12．若是大于1的正整数，且，则的值是___________． 13．已知，则的值为________． 14．我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中为正整数），类似地我们规定关于任意正整数的一种新运算：；比如，则，若，则（其中为正整数）的结果是_____． 15．规定．若，则x的值为______． 16．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 17．填空并解答： 规定：，，（n个a） (1) ， ，你发现的值与的值 ． (2) ， ，你发现的值与的值 ．由此，我们可以猜想： ， ，… ． 18．定义一种关于幂的新运算：．例：，请利用这种运算规则解决下列问题： (1)求的值； (2)，，，求的值．（结果用含n的式子表示） 19．规定，两数之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：∵，∴． (1)根据上述规定，填空：__________，__________； (2)若，则__________； (3)已知，，且，求的值． 20．根据幂的运算，完成下列问题． (1)已知，，求． (2)已知，求的值． 【复盘笔记】 化繁为简，一通百通 第 2 页 共 25 页 第 1 页 共 25 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 初中专题讲义 专题16.1 幂的运算 （新教材人教版） 知识点一、幂运算的定义 2 知识点二、幂运算的运算规则 2 【题型1 同底数幂相乘】 2 【题型2 同底数幂乘法的逆运算】 4 【题型3 幂的乘方运算】 6 【题型4 幂的乘方的逆用】 7 【题型5 积的乘方运算】 9 【题型6 积的乘方的逆用】 10 【题型7 幂的混合运算】 12 【探究式学习】 14 【课后检测】 16 【复盘笔记】 25 知识点一、幂运算的定义 幂运算：幂是乘方运算的结果，表示m个a相乘，其中a叫做幂的底数，m叫做幂的指数． 知识点二、幂运算的运算规则 （1）任何一个非零数的零次方都是1：． （2）任何一个非零数的负数次幂等于它的正数次幂的倒数：． （3）同底数的幂相乘，底数不变，指数相加：． （4）同底数的幂相除，底数不变，指数相减：． （5）幂的乘方，底数不变，指数相乘：． （6）积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘：． （7）同指数的幂相除，指数不变，底数相除：． 【题型1 同底数幂相乘】 【例1】若，是正整数，且满足，则下列和的关系正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用合并同类项和同底数幂的乘法法则化简等式，再根据同底数幂相等则指数相等推导与的关系． 【详解】解：∵， ， ∵等式左右两边同底数幂相等， ∴对应指数相等， ∴． 【变式1-1】若，是正整数，且满足，则下列关系式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先化简等式左右两边，再根据同底数幂相等则指数相等推导和的关系式. 【详解】解：∵ 左边 ， 又∵ 右边 ， ∵ ， ∴ . 【变式1-2】若，则的值为（   ） A．8 B． C．6 D．-6 【答案】A 【分析】由可得，即，然后代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式1-3】定义关于的新运算：，其中为正整数．例如，已知，则．若，则的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给出的运算规则，将所求式子拆分为多个的乘积，再结合幂的运算性质计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 【题型2 同底数幂乘法的逆运算】 【例2】计算所得的结果是（　　） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆用、有理数的乘方的意义、因式分解等知识点，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 先逆用同底数幂的乘法，再根据有理数的乘方运算，然后提取公因式即可解答． 【详解】解： ． 故选D． 【变式2-1】已知，，则的值是（   ） A．8 B．9 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂乘法的法则的逆向运用是解题的关键．根据同底数幂的乘法法则，将化简为，再代入计算即可． 【详解】解：当，时， ． 故选：C． 【变式2-2】如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球个、个、个，先从甲袋中取出个球放入乙袋，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后再从丙袋中取出个球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则的值等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查同底数幂乘法，理解题意并列得正确的算式是解题的关键．根据题意易得，，将其整理后易得，，将代入中解得的值，继而求得的值，将其代入中计算即可． 【详解】解：由题意得，， 整理得：，， 则，， 那么， 因此， 整理得：， 则， 那么， 则， ， 故选：． 【变式2-3】已知、为实数，且+4＝4b，则的值是（　　） A． B． C．2 D．﹣2 【答案】C 【分析】已知等式整理后，利用非负数的性质求出与的值，利用同底数幂的乘法及积的乘方运算法则变形后，代入计算即可求出值． 【详解】已知等式整理得：＝0， ∴a，b＝2， 即ab＝1， 则原式＝ ＝2， 故选：C． 【点睛】本题考查了实数的非负性，同底数幂的乘法，积的乘方，活用实数的非负性，确定字母的值，逆用同底数幂的乘法，积的乘方，进行巧妙的算式变形，是解题的关键． 【题型3 幂的乘方运算】 【例3】下面是一位同学做的四道题目：①；②；③；④，做对的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】利用积的乘方法则，合并同类项法则，同底数幂乘法法则进行判断即可． 【详解】解：与不是同类项，无法合并，则错误， ，则错误， 与不是同类项，无法合并，则错误， ，则正确， 综上，做对的个数是个． 【变式3-1】若，是正整数，且满足9个相加等于4个相乘，则与的关系正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得，再根据，结合同底数幂乘法和幂的乘方运算法则求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， ∴． 【变式3-2】实数满足等式，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用幂的运算法则化简所求式子，再将已知两等式相加消去，得到的值，代入化简后的式子计算即可得到结果． 【详解】解：， ∵实数满足等式，， ∴， 将得：， 整理得， 即， ∴． 【变式3-3】已知，，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查幂的运算性质，利用同底数幂乘法法则和幂的乘方法则对所求式子变形，再代入已知条件计算即可． 【详解】根据幂的运算法则对原式变形： ∵ ， 已知 ，， ∴ 代入得原式 ． 【题型4 幂的乘方的逆用】 【例4】已知，则的值为（     ） A．16 B．24 C．32 D．8 【答案】C 【分析】将待求式中的、化为以2为底的幂，使指数出现，整体代入已知条件求值． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∵， ∴原式． 【变式4-1】我们知道下面的结论：若（，且），则．设，，，下列关于，，三者之间的关系正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用的数值关系，结合幂的运算规则推导指数间的等式． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵且， ∴． 【变式4-2】已知，，其中m，n为正整数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用幂的乘方法则和同底数幂的乘法法则，将所求式子变形后代入已知条件即可求解． 【详解】解：，， ． 【变式4-3】已知，，，则满足的关系式是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则，通过计算幂值，根据同底数幂值相等则指数相等，推导的关系式． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【题型5 积的乘方运算】 【例5】下列算式中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：对于选项A：，故A错误； 对于选项B：与不是同类项，不能合并，故B错误； 对于选项C：，故C错误； 对于选项D：，故D正确． 【变式5-1】下列各式中，计算过程正确的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对应运算法则逐一判断各选项的计算过程即可． 【详解】解：∵A选项中，是合并同类项，正确结果为，选项错误将合并同类项当作同底数幂乘法计算，过程错误； ∵B选项中，是同底数幂乘法，正确计算为，选项中间步骤错误合并系数得到，过程错误； ∵C选项中，，正确计算为，选项错误将的指数记为，过程错误； ∵D选项，正确计算过程为，计算过程正确． 【变式5-2】下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据合并同类项法则、同底数幂乘法法则、积的乘方法则逐一计算各选项，即可判断出正确结果． 【详解】选项A：∵合并同类项时，系数相加，字母和字母的指数不变，∴，A错误； 选项B：∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加，∴，B错误； 选项C：∵积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，∴，C错误； 选项D：∵逆用积的乘方法则可得 ，∴，D正确． 【变式5-3】若，则k的值为（    ） A． B． C．5 D．8 【答案】C 【分析】根据可得为奇数，由此即可得出． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 【题型6 积的乘方的逆用】 【例6】已知数，则数的位数是（   ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】A 【分析】将原式转化为含的幂的形式，便于判断位数． 【详解】解：． ∵是1后面带9个0的正整数，共10位． ∴的位数为10． 【变式6-1】计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题利用积的乘方逆运算简化计算，先将小数化为分数，拆分高次幂后逐步计算即可 【详解】解： ． 【变式6-2】已知，那么与的关系是（    ） A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．无法确定 【答案】A 【分析】将，变化为指数相同的形式，再根据积的乘方法则计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， ∴，即， ∴． 【变式6-3】计算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、积的乘方，逆用同底数幂的乘法和积的乘方运算法则是解题的关键．将化为分数形式，再逆用同底数幂的乘法和积的乘方运算法则简便计算即可． 【详解】解： ， 故选：A． 【题型7 幂的混合运算】 【例7】，，，则的值为．（　　　） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【答案】B 【分析】根据幂的运算的逆运算，把所求变成同底数幂相乘和除法即可． 【详解】解：， = =1.5 故选：B． 【点睛】本题考查了幂的运算，解题关键是熟练运用幂的运算的逆运算，把所求式子变形． 【变式7-1】可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：、，不符合题意； 、，不符合题意； 、，符合题意； 、，不符合题意． 故选C． 【变式7-2】下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同底数幂的乘除法、合并同类项、幂的乘方逐项判断即可． 【详解】A、，此项符合题意； B、，此项不符合题意； C、， 此项不符合题意； D、，此项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查同底数幂的乘除法、合并同类项、幂的乘方，熟练掌握各运算法则是解题关键． 【变式7-3】定义：如果（，为正数），那么我们把叫做的D数，记作．例如：因为，所以；因为，所以，D数有如下运算性质： ，其中．下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了幂的运算性质，本题是新定义型，正确理解新定义的规定并熟练运用是解题的关键．利用新定义的规定对每个选项进行逐一判断即可得出结论． 【详解】解：， ． 选项的结论正确，不符合题意； 若， ， ， ， 选项的结论正确，不符合题意； ， 选项的结论不正确，符合题意； ，， 则， 选项的结论正确，不符合题意． 故选：B 【探究式学习】 1．阅读下面的材料：我们知道一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．例如，“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为：，，如下列探究： 探究一：比较与的大小． 解：因为，， 又因为，所以，所以． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小， 探究二：比较和的大小． 解：因为，且，所以，即， 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． 解决下列问题： (1)比较，的大小； (2)比较，，，的大小； (3)比较与的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂乘法的逆运算，积的乘方的逆运算，正确理解题意是解题的关键． （1）根据幂的乘方的逆运算法则可求出，，据此可得答案； （2）根据幂的乘方的逆运算法则可求出，，， ，据此可得答案； （3）根据同底数幂乘法的逆运算法则和积的乘方的逆运算法则可得，，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，，， ，且， ∴， ∴； （3）解：，， 又∵， ∴． 2．在学习第一章有理数时，类比小学两个正数的运算法则学习了有理数的加减法、有理数的乘除法，在第二章整式的加减时，类比第一章有理数的学习过程学习了整式的加减，那么整式的乘法是否可以类比有理数的乘法进行学习呢?我们从特殊情况入手对两个同底数幂相乘进行探究． （1）探究 根据乘方的意义填空，观察计算结果，你能发现什么规律? ①， ②， ③， （2）规律 （都是正整数）． 即______．（文字表达） （3）应用 ①计算； ②把看成一个整体，计算． 【答案】（1）①8；②6；③（2）同底数幂相乘，底数不变，指数相加（3）①；② 【分析】本题考查了同底数幂的乘法公式的推导和应用.掌握同底数幂的乘法公式的计算公式是关键； （1）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加解答即可； （2）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加解答即可； （3）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加解答即可； 【详解】（1）①， ②， ③， 故答案为： （2）， 即同底数幂相乘，底数不变，指数相加； 故答案为：同底数幂相乘，底数不变，指数相加； （3）①； ② 【课后检测】 1．已知，则的结果为（     ） A． B． C．0 D．8 【答案】A 【详解】解：∵， ∴． 2．若，是正整数，且满足，则下列与的关系正确的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用幂的乘方法则和同底数幂乘法法则化简等式，再根据同底数幂相等则指数相等推导和的关系即可． 【详解】根据幂的乘方法则：， 先化简等式左边：， 根据同底数幂的乘法法则：， 化简等式右边： ， 等式两边底数都是，且，因此等式成立则指数相等，可得：， 两边同除以，得． 3．若，则（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】利用幂的乘方和同底数幂相乘的运算法则，得到关于和的方程，解方程即可得到结果. 【详解】解：，且， ， 解得， ，且， ， 解得， ∴，. 4．已知，，，则a，b，c的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察三个数的指数，、、均为111的倍数，可利用幂的乘方运算法则，将三个数变形为指数相同的形式，再通过比较底数大小得到原数的大小关系． 【详解】解：； ； ． 又， ， 即． 5．若，，，那么、、的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用幂的乘方的逆运算，将三个数的指数统一，再通过比较底数大小得到三个数的大小关系，用到初中幂的乘方性质：，正指数相同的情况下，底数越大幂越大. 【详解】解：∵ ，，， 又∵ 指数都是正整数，且， ∴ ， 即 . 6．当为偶数时，与的关系是（   ） A．相等 B．互为相反数 C．大于 D．无法确定 【答案】D 【分析】根据同底数幂的乘法求出，再根据的奇偶性进行判断即可． 【详解】解：由为偶数时，， 为偶数时， 为奇数时， 即当为偶数时，与的关系无法确定． 7．已知，，若用含的代数式表示，则下列表示正确的为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用幂的乘方运算法则，将和都化为关于的表达式，再代入消去，即可用含的代数式表示． 【详解】解： 又 将代入得：． 8．若是正整数，且满足，则与的关系正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将等式左右两侧分别化简为同底数幂的形式，再根据同底数幂相等则指数相等，推导得到与的关系式即可． 【详解】解：∵左边为个相加， ∴左边， ∵右边为个相乘， ∴右边， ， ，即． 9．已知，则这四个数从小到大排列顺序是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用幂的乘方性质，将四个数转化为指数相同的幂，先判断各数的正负，再分别在正数和负数范围内比较大小，即可得到排序结果． 【详解】解：， ， ， ， ， 比较负数部分：， ，即， 比较正数部分：， ，即， 综上可得 ． 10．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式的相关运算法则，需要根据合并同类项法则、单项式乘法法则、积的乘方法则逐一判断选项的计算是否正确． 【详解】选项A，与不是同类项，不能合并， A计算错误，不符合题意； 选项B，， B计算错误，不符合题意； 选项C，， C计算错误，不符合题意； 选项D，，计算符合运算法则， D计算正确． 11．若． 则________． 【答案】 【分析】先由已知等式得到，将变形为以为底的幂，利用同底数幂乘法法则化简后代入计算． 【详解】解：， ，， ． 12．若是大于1的正整数，且，则的值是___________． 【答案】7 【分析】先将左边个的和转化为乘法，再利用同底数幂的乘法法则化简，对比两边指数即可求解. 【详解】解：由已知得：， 即， ， . 13．已知，则的值为________． 【答案】 【分析】先利用幂的运算法则化简所求代数式，再根据已知等式得到的值，代入计算即可． 【详解】解：． ∵， ∴， ∴原式． 14．我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中为正整数），类似地我们规定关于任意正整数的一种新运算：；比如，则，若，则（其中为正整数）的结果是_____． 【答案】 【分析】根据新运算规则，将和拆分为多个的乘积，再结合同底数幂乘法法则计算结果． 【详解】解：∵， ∴ ∵ ∴ 15．规定．若，则x的值为______． 【答案】1 【详解】解：由定义，可知， ∴， ∴． 16．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】幂的乘方运算法则：底数不变，指数相乘，利用幂的乘方法则计算即可. 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：. 17．填空并解答： 规定：，，（n个a） (1) ， ，你发现的值与的值 ． (2) ， ，你发现的值与的值 ．由此，我们可以猜想： ， ，… ． 【答案】(1)，，相等； (2)，，相等，，， 【分析】（1）根据题干给出的乘方定义计算各算式的结果，进而比较结果的大小即可求解； （2）根据题干给出的乘方定义计算各算式的结果，通过比较结果的大小猜想积的乘方的运算规律． 【详解】（1）解：由题意得，，， ∴与的值相等； （2）解：由题意得，，， ∴与的值相等； 由此猜想可得：；；． 18．定义一种关于幂的新运算：．例：，请利用这种运算规则解决下列问题： (1)求的值； (2)，，，求的值．（结果用含n的式子表示） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）仿照新运算的规则计算即可； （2）仿照新运算的规则计算，可得：原式，再逆用幂的乘方的法则和同底数幂的乘法法则进行计算． 【详解】（1）解： ； （2）解：当，，时， ． 19．规定，两数之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：∵，∴． (1)根据上述规定，填空：__________，__________； (2)若，则__________； (3)已知，，且，求的值． 【答案】(1)2，3 (2)或 (3) 【分析】（1）根据定义，计算求解即可； （2）根据题意，得，求平方根解答即可； （3）根据题意，得，，利用逆用幂的乘方，同底数幂的乘法法则，求解即可． 【详解】（1）解：∵，∴． ∵，∴． （2）解：∵， ∴， 解得或； （3）解：， ，， ， ， 20．根据幂的运算，完成下列问题． (1)已知，，求． (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）逆用幂的乘方运算法则，进行计算即可； （2）根据幂的乘方运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ． （2）解：∵， ∴ ． 【复盘笔记】 化繁为简，一通百通 第 2 页 共 25 页 第 1 页 共 25 页 学科网（北京）股份有限公司 $