专题16.3 乘法公式（讲义：考点整理+题型归纳+探究式学习+课后检测）2026-2027学年人教版八年级数学上册

本讲义聚焦乘法公式核心知识点，系统梳理常用的平方差公式、完全平方公式及拓展的三元平方、立方和差等公式，通过7类题型（基础运算、几何结合、变形求值等）构建从公式理解到综合应用的递进学习支架。 资料特色在于探究式学习与数形结合，如通过图形中点的排列规律抽象数学等式，培养数学眼光中的几何直观与抽象能力。题型设计结合几何图形（如用正方形面积验证平方差公式）发展数学思维的推理意识，课后检测与复盘笔记助力巩固，体现数学语言的应用意识，课中辅助教学，课后帮助学生查漏补缺。

简一数理 初中专题讲义 专题16.3 乘法公式 （新教材人教版） 知识点一、常用公式 1 知识点二、拓展公式 2 【题型1 运用平方差公式进行运算】 2 【题型2 平方差公式与几何图形结合】 4 【题型3 运用完全平方公式进行运算】 6 【题型4 通过对完全平方公式进行变形求值】 8 【题型5 完全平方公式在几何图形中的应用】 10 【题型6 求完全平方公式中字母的系数】 12 【题型7 整式的混合运算】 14 【探究式学习】 16 【课后检测】 19 【复盘笔记】 31 知识点一、常用公式 1．平方差公式：； 语言描述：两数之和与两数之差的乘积，等于它们的平方差。 2．完全平方公式： 即：； 语言描述：两数之和（之差）的平方，等于它们的平方和加上（减去）它们乘积的2倍． 知识点二、拓展公式 1．三元平方公式：； 2．立方和公式：； 3．立方差公式：； 4．立方公式：． 【题型1 运用平方差公式进行运算】 【例1】若，则的值为（     ） A．－5 B．0 C．5 D．7 【答案】C 【分析】用平方差公式把所求式子化简为含的形式，再代入已知条件计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 【变式1-1】下列各式可以用平方差公式进行计算的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】平方差公式的结构为，判断两个相乘的二项式是否满足“一项完全相同，另一项互为相反数”，符合条件即可用平方差公式计算． 【详解】解：A选项：原式整理为，相同项为，相反项为和，符合平方差公式的结构，可以用平方差公式计算； B选项：原式整理为，无互为相反的不同项，不符合要求； C选项：原式中既无完全相同的项，也无互为相反数的项，不符合平方差公式结构，不能用平方差公式计算； D选项：原式整理为，无互为相反的不同项，不符合要求． 【变式1-2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【变式1-3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【题型2 平方差公式与几何图形结合】 【例2】将图（甲）中阴影部分的小长方形变换到图（乙）位置，根据两个图形的面积关系得到的数学公式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过题意，分别表示出图（甲）和图（乙）中阴影部分的面积即可得到答案． 【详解】解：图（甲）中边长为的正方形变换到图（乙）位置成为阴影部分的小长方形， 图（乙）中阴影部分的长方形长为、宽为，则面积为； 图（甲）中阴影部分的面积是边长为的大正方形面积减掉边长为的小正方形面积，则面积为； 由于两个阴影部分面积相等，则得． 【变式2-1】在“综合与实践”活动中，同学们利用相关图形中面积的等量关系得到了某些数学公式，借助图形面积探究乘法公式的几何意义，体会数形结合思想．观察如图所示的图形，依据图形面积的关系，可以验证的一个乘法公式是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别求出两个图中阴影部分的面积，根据题意建立等量关系即可． 【详解】解：第一个图阴影部分的面积为：， 第二个图阴影部分的面积为：， 根据题意，第一个图和第二个图阴影部分的面积相等， ∴． 【变式2-2】如图，将边长分别为和的两个正方形叠放在一起，它们除重叠部分外的阴影部分的面积分别记作和．若，，则的值为__________． 【答案】 16 【详解】解：由图可知，， ∴， ∵，， ∴. 【变式2-3】图1是将边长为的正方形纸片裁剪掉边长为的正方形后的剩余纸片，将纸片沿虚线剪开拼成图2的形式．由此可以得到的等式为_____． 【答案】 【分析】理解题意，由大正方形的面积小正方形的面积图2的图形的面积，进而可以证明平方差公式． 【详解】解：依题意，图1的图形的面积=大正方形的面积小正方形的面积， 图2的图形的面积， 故． 【题型3 运用完全平方公式进行运算】 【例3】下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据合并同类项，完全平方公式，同底数幂相除以及积的乘方等运算法则进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，计算错误，故本选项不符合题意． B、原式，计算错误，故本选项不符合题意． C、原式，计算错误，故本选项不符合题意． D、原式，计算正确，故本选项符合题意． 【变式3-1】下列计算错误的有（     ） ① ② ③ ④ ⑤ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题利用完全平方公式和平方差公式计算每个式子的正确结果，和题目给出的结果对比，统计错误的个数即可得到答案． 【详解】解：① ，①错误； ② ，②错误； ③ ，③错误； ④ ，④错误； ⑤ ，与题目结果一致，⑤正确． 综上，错误的式子共有4个． 【变式3-2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接套用完全平方公式展开化简； （2）先利用乘方的符号性质变形，再套用完全平方公式展开化简． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【变式3-3】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式. 【题型4 通过对完全平方公式进行变形求值】 【例4】已知，，则的值为（     ） A．70 B．80 C．88 D．90 【答案】B 【分析】利用完全平方公式变形，将用已知的与表示，代入计算即可 【详解】解：， ． 【变式4-1】关于代数式的说法正确的是（     ） A．当时，代数式有最大值 B．当时，代数式有最小值 C．当时，代数式有最大值 D．当时，代数式有最小值 【答案】C 【分析】先利用完全平方公式将代数式恒等变形，再根据非负数的性质和不等式性质进行解答即可． 【详解】解：∵ ， ， ，则， ∴当时，代数式有最大值． 【变式4-2】已知实数，满足，，则代数式的值为（     ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】利用完全平方公式求出的值，再展开所求代数式，整体代入已知条件计算即可得到结果． 【详解】解：∵ ，已知 ，， ∴ ，解得 ， ∴， 将 ， 代入得， 原式 ． 【变式4-3】如图所示，由四个长为a，宽为b的全等长方形拼成一个大正方形，其中，若，，则阴影部分的面积为________． 【答案】16 【分析】结合图形可知：大正方形的面积减去4个长方形的面积等于中间小正方形的面积，即，将，代入求出即可． 【详解】解：由图可知：大正方形的面积减去4个长方形的面积等于中间小正方形的面积， 即， ∵，， ∴． 【题型5 完全平方公式在几何图形中的应用】 【例5】如图，两个正方形的边长分别为，如果满足，则阴影部分的面积为（     ） A．14 B．12 C．9 D．6 【答案】B 【分析】根据推出，据此代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 【变式5-1】如图，将大正方形通过剪、割、拼后组成新的图形，利用等面积法可证明某些乘法公式，下面两幅图中，其中能够验证平方差公式的是（     ） A．甲乙均可以 B．甲乙均不可以 C．甲可以，乙不可以 D．甲不可以，乙可以 【答案】C 【分析】利用面积法，分别计算图形剪拼前后的面积表达式，判断其对应的乘法公式． 【详解】 解：甲图中，左图阴影部分面积为大正方形面积减去小正方形面积，即， 右图平行四边形底为，高为，面积为， ， 故甲可以验证平方差公式． 乙图中，大正方形边长为，面积为 ， 内部由边长为的正方形和四个长宽为、的长方形组成，面积和为， ， 故乙验证的是完全平方公式． 综上所述，甲可以，乙不可以． 【变式5-2】如图，以长方形的四条边为边向外作四个正方形，设计出“中”字图案，若四个正方形的周长之和为40，面积之和为26，则长方形的面积为（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】设，，根据题意可得，，利用完全平方公式即可求得． 【详解】解：设，， 根据题意可得，即， ，即， ， ∴长方形的面积为． 【变式5-3】“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”，这是我国著名数学家华罗庚对“数形结合思想”在研究数学问题中所发挥的重要价值与意义的高度概括，如下图所示，将甲图中阴影部分无重叠、无缝隙地拼成乙图，根据两个图中阴影部分的面积关系得到的等式是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：在图甲中，阴影部分的面积等于边长为的正方形的面积减去两个长为，宽为的长方形的面积，再加上一个边长为的正方形的面积， 在图乙中，阴影部分的面积等于边长为的正方形的面积， ∴等式为． 【题型6 求完全平方公式中字母的系数】 【例6】若是关于的完全平方式，则的值为(    ) A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】利用完全平方公式的结构特征，得到关于的方程，即可求解的值． 【详解】解：∵是关于的完全平方式，且， ∴根据完全平方公式的结构可得，两边同除以得， 当时，解得， 当时，解得， ∴的值为或． 【变式6-1】已知，则的值为（     ） A． B．6 C．9或 D．9 【答案】C 【分析】根据等式左边为完全平方式，可知右边二次三项式为完全平方式，结合二次项与常数项的平方形式，确定一次项系数的两种情况，进而求解． 【详解】解：∵，且， ∴，， ∴或， 当时，，则，解得， 当时，，则，解得； 综上所述，的值为9或． 【变式6-2】贝贝在学习完全平方公式时，发现是一个完全平方式，则m的值是（     ） A．5或 B．2或 C．5或 D．2或 【答案】C 【分析】根据完全平方式的结构，得到一次项系数满足的关系，列方程求解即可． 【详解】∵是完全平方式，符合的结构，其中，，即， ∴， 分两种情况计算： 当时，解得， 当时，解得， ∴m的值为5或． 【变式6-3】若是完全平方式，则的值是（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据完全平方式的形式列方程求解即可． 【详解】解：∵完全平方式的一般形式为 给定多项式为，其中常数项 ∴一次项系数满足 当时，解得， 当时，解得， ∴的值为或． 【题型7 整式的混合运算】 【例7】试说明：式子的值与的取值无关． 【答案】解： ， ∴该式子的值与的取值无关． 【分析】利用多项式乘以多项式法则、完全平方公式展开，然后合并同类项，最后根据多项式除以单项式、合并同类项的计算法则进行化简即可． 【详解】略． 【变式7-1】先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【详解】解： ， 当，时，原式． 【变式7-2】先化简再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】先利用完全平方公式和平方差公式展开，合并同类项化简后，代入已知数值计算. 【详解】解： 当，时，原式 【变式7-3】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用同底数幂的乘法法则，幂的乘方与积的乘方法则进行计算，再合并同类项即可得出答案； （2）利用平方差公式，单项式乘多项式法则进行计算，再合并同类项即可得出答案． 【详解】（1）解：原式 　　　　． （2）解：原式 　　　　． 【探究式学习】 1．综合与实践：探究图式之间的内在联系 观察下列图形，思考图形中点的排列规律，抽象出数学等式，探究点的总个数． 任务一：下列是两位同学采用了不同方法进行探究，请你完善他们的探究过程． (1)明明将这些点分为两类，一类是实心点构造的正方形点阵，一类是空心点构造的正方形点阵，这样图1点的总数可表示为，图2点的总数可表示为，图3点的总数可表示为，图4点的总数可表示为，…，图点的总数可表示为_________； (2)欣欣用虚线将这些点进行连接，图1的点可以表示为，图2的点可以表示为，图3的点可以表示为，图4的点可以表示为，欣欣思考这种连接方式下，图5中最长虚线上共有________个点，她结合明明的探究，猜想两种方法利用图建立的等式：__________________； 任务二： (3)由两位同学的探究结果，我们可以获得从1开始，连续个奇数的和，即______________________； 任务三： (4)应用任务二探究得到的结论，计算：． 【答案】(1) (2)；； (3) (4) 【分析】（1）根据图形得出规律即可； （2）根据图形得出规律即可； （3）由（2）可得，再由，计算即可得出结果； （4），再结合（3）中的规律计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵图1点的总数可表示为，图2点的总数可表示为，图3点的总数可表示为，图4点的总数可表示为，…， ∴图点的总数可表示为； （2）解：∵图1中最长虚线上共有个点，图2中最长虚线上共有个点，图3中最长虚线上共有个点，图4中最长虚线上共有个点，…， ∴图5中最长虚线上共有个点， ∵图1的点可以表示为，图2的点可以表示为，图3的点可以表示为，图4的点可以表示为，…， ∴利用图建立的等式为 （3）解：由（2）可得， ∴ ； （4）解：， ∵，， ∴原式=． 2．阅读理解：我们一起来探究代数式的值． 探究一：当时，代数式的值为4，当时，代数式的值为3，可见，代数式的值随x的值的变化而变化． 探究二：把代数式进行配方变形，如： ，可得：即当______时，代数式有最大值，最大值为________． 尝试探究： （1）请补充完成探究二，直接在答题卡填空； （2）当x取何值时，代数式有最大值，最大值为多少？ 拓展应用： （3）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个长方形花园ABCD（围墙MN足够长），现在已备足可以砌40m长的墙的材料，设AB为x米，请用含x的代数式表示围成的长方形花园ABCD的面积S，并探究当x为多少米时，面积S有最大值，最大面积是多少？ 【答案】（1）1，4；   （2）当时，代数式最大值为59；     （3）当时，面积S有最面积为200平方米； 【分析】本题主要考查了新定义题型，配方法等知识点，根据题目已有的模式按照此模式，得到答案，解决此题的关键是正确的配方． （1）根据一元一次方程的解法得到x的值，在根据一个数或者式子的平方为非负数得到整个代数式的最大值即可； （2）由题意先把代数式配成含完全平方形式的结果，得到答案即可； （3）根据题意列出关于S的等式，再根据前面的步骤得到S的最大值即可解决问题； 【详解】（1）当时，， ∵ ∴， 故答案为：1，4； （2）∵， ∴当时，代数式最大值为59； 故答案为：当时，代数式最大值为59； （3）由题意得： ∴当时，面积S有最大面积为200平方米. 【课后检测】 1．若，且，则（     ） A． B． C．5 D．15 【答案】B 【分析】利用完全平方公式的恒等变形，先求出的值，再计算后开方得到结果． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 2．已知，，则的值为（     ） A．436 B．216 C．217 D．218 【答案】D 【分析】本题利用完全平方公式求解，将已知两个等式展开后相加，可消去含的交叉项，整理即可得到的值． 【详解】解：∵ ，， ∴ ， ∴ ， 等式两边同时除以2，得 ． 3．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中，用三角形数表给出二项式展开式的系数规律，这个三角形数表称为杨辉三角（如图），例如：，展开式中所有系数的和为．根据杨辉三角，可得展开式中所有系数之和为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得出规律：当二项式的次数为时，系数和为，据此求解； 【详解】解：观察可得： 当时，系数和为， 当时，系数和为， 当时，系数和为， 当时，系数和为， 当时，系数和为， ⋯， 当二项式的次数为时，系数和为， ∴展开式的系数和是． 4．如图为整式间运算的流程图，约定运算规则：上方相邻两个整式之积等于这两个整式下方箭头共同指向的整式，且．下列两个结论：①整式的值为定值；②若，则整式的值为定值．其中判断正确的是（     ） A．①对，②错 B．①错，②对 C．①②都错 D．①②都对 【答案】D 【分析】根据流程图运算规则，先列出整式A的运算式，即上方相邻两个整式的乘积，化简后判断其是否为定值，验证结论①；再根据下方运算关系，，结合可变形得到B的表达式，结合的条件，判断化简后的B是否为定值，验证结论②． 【详解】解：根据题意得：、， ， ， 整理得：， ， ， ， 结论①：，则的值恒为2，是定值， 故①正确； 结论②：若、， 由完全平方公式得：， ， ， 即，是定值， 故②正确； 因此，①②都对． 5．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同底数幂乘法、合并同类项、平方差公式、积的乘方的法则，逐一判断选项的运算是否正确即可． 【详解】解： A、，故选项不符合题意； B、与不是同类项，不能合并，故选项不符合题意； C、，运算正确，故选项符合题意； D、，故选项不符合题意 6．，（其中），则，的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】先展开，再利用作差法求出，最后将差变形为完全平方式判断符号即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵ ， ∴ ， ∴， ∴ ． 7．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：对选项A，，错误； 对选项B，，错误； 对选项C，，错误； 对选项D，，正确． 8．化简的结果是（     ） A． B．0 C． D． 【答案】C 【分析】利用平方差公式逐步计算多项式乘积，再去括号合并同类项即可得到化简结果． 【详解】解： ． 9．若，．则的值为（     ） A． B．4 C． D．3 【答案】A 【分析】将两个等式相加，利用完全平方公式构造出的形式，再根据平方根的定义求出的值即可． 【详解】解：∵，， ∴， 整理得， 由完全平方公式得， 开平方得． 10．下列计算中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A：，A错误； B：，B错误； C：，C错误； D：，D正确． 11．填空： （1）__________；     （2）__________； （3）______；     （4）____． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式. 【详解】【小题1】解：, 故①填9，②填3. 【小题2】解： 故③填，④填5. 【小题3】解：, 故⑤填. 【小题4】解：, , 故⑥填使等式成立. 12．已知，则代数式___________． 【答案】2 【分析】先化简所求代数式，再利用已知条件整体代入计算即可． 【详解】解：先展开并化简所求代数式： ∵， ∴， 代入得，原式． 13．一个正方形的边长减少了，面积相应减少了，则这个正方形原来的边长为___________． 【答案】5 【分析】设原正方形边长为未知数，根据面积减少量列出方程，求解即可得到原边长； 【详解】解：设这个正方形原来的边长为， 根据题意，原面积减去边长减少后的面积等于，列方程得， 整理得， 解得， 即这个正方形原来的边长为． 14．若，，则的值是________． 【答案】1 【分析】先根据已知条件得出，再利用完全平方公式展开变形，最后代入平方和即可求解． 【详解】解：，， ，即， 将三个等式两边分别平方，得：，，， 展开后相加，得：， 整理，得：， 两边同除以，得：， 把代入，得：， ． 15．已知，则__________． 【答案】 1234320 【分析】利用换元后将所求代数式变形，再通过平方差公式转化为已知条件计算． 【详解】解：令， 由题意得，， ∴所求式子变形为． 16．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) . (2) . (3) . (4) . 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式. 17．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用多项式除以单项式法则直接计算； （2）利用多项式除以单项式法则直接计算； （3）先计算积的乘方，再利用多项式除以单项式法则计算； （4）先利用完全平方公式展开，再利用多项式除以单项式法则计算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 18．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【详解】（1）解： ； （2）解：； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 19．如图所示，某小区有一块长为，宽为的长方形地块，物业公司在此长方形地块内修建了一条平行四边形小路，小路的底边宽为．为了进一步美化小区环境，提高业主居住舒适度和幸福感，营造一个宜居、温馨、和谐的居住氛围，近期，物业公司计划将图中阴影部分进行绿化． (1)用含的代数式表示绿化的面积． (2)若满足，请帮助物业公司求出此时绿化的面积． 【答案】(1)； (2)． 【分析】用长方形面积减去小路的面积即可得到答案； 由非负数的性质得到，，据此代值计算即可． 【详解】（1）解：由题意，得 ； （2）解：∵，，， ∴，， ∴，， 当，时，， 答：此时绿化的面积为． 20．我们可以将进行变形，得到，等．请灵活利用这些变形解决下列问题： (1)已知，则_____； (2)若满足，求的值； (3)如图，四边形是梯形，，连接，若，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)9； (2)； (3)25． 【分析】（1）根据已知条件和完全平方公式进行计算即可； （2）设，根据已知条件求出和，然后利用完全平方公式进行解答即可； （3）设，图中阴影部分的面积可用梯形面积减去两个等腰直角三角形的面积来表示，再利用完全平方公式进行计算即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ． （2）解：令， 则， ． （3）解：设， ， ． 则图中阴影部分的面积为 ． 【复盘笔记】 化繁为简，一通百通 第 2 页 共 31 页 第 1 页 共 31 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 初中专题讲义 专题16.3 乘法公式 （新教材人教版） 知识点一、常用公式 1 知识点二、拓展公式 2 【题型1 运用平方差公式进行运算】 2 【题型2 平方差公式与几何图形结合】 3 【题型3 运用完全平方公式进行运算】 4 【题型4 通过对完全平方公式进行变形求值】 5 【题型5 完全平方公式在几何图形中的应用】 5 【题型6 求完全平方公式中字母的系数】 7 【题型7 整式的混合运算】 7 【探究式学习】 8 【课后检测】 10 【复盘笔记】 14 知识点一、常用公式 1．平方差公式：； 语言描述：两数之和与两数之差的乘积，等于它们的平方差。 2．完全平方公式： 即：； 语言描述：两数之和（之差）的平方，等于它们的平方和加上（减去）它们乘积的2倍． 知识点二、拓展公式 1．三元平方公式：； 2．立方和公式：； 3．立方差公式：； 4．立方公式：． 【题型1 运用平方差公式进行运算】 【例1】若，则的值为（     ） A．－5 B．0 C．5 D．7 【变式1-1】下列各式可以用平方差公式进行计算的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1-3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型2 平方差公式与几何图形结合】 【例2】将图（甲）中阴影部分的小长方形变换到图（乙）位置，根据两个图形的面积关系得到的数学公式是（     ） A． B． C． D． 【变式2-1】在“综合与实践”活动中，同学们利用相关图形中面积的等量关系得到了某些数学公式，借助图形面积探究乘法公式的几何意义，体会数形结合思想．观察如图所示的图形，依据图形面积的关系，可以验证的一个乘法公式是（     ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，将边长分别为和的两个正方形叠放在一起，它们除重叠部分外的阴影部分的面积分别记作和．若，，则的值为__________． 【变式2-3】图1是将边长为的正方形纸片裁剪掉边长为的正方形后的剩余纸片，将纸片沿虚线剪开拼成图2的形式．由此可以得到的等式为_____． 【题型3 运用完全平方公式进行运算】 【例3】下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式3-1】下列计算错误的有（     ） ① ② ③ ④ ⑤ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3-2】计算： (1)； (2)． 【变式3-3】计算： (1)； (2)； (3)． 【题型4 通过对完全平方公式进行变形求值】 【例4】已知，，则的值为（     ） A．70 B．80 C．88 D．90 【变式4-1】关于代数式的说法正确的是（     ） A．当时，代数式有最大值 B．当时，代数式有最小值 C．当时，代数式有最大值 D．当时，代数式有最小值 【变式4-2】已知实数，满足，，则代数式的值为（     ） A． B． C．1 D．2 【变式4-3】如图所示，由四个长为a，宽为b的全等长方形拼成一个大正方形，其中，若，，则阴影部分的面积为________． 【题型5 完全平方公式在几何图形中的应用】 【例5】如图，两个正方形的边长分别为，如果满足，则阴影部分的面积为（     ） A．14 B．12 C．9 D．6 【变式5-1】如图，将大正方形通过剪、割、拼后组成新的图形，利用等面积法可证明某些乘法公式，下面两幅图中，其中能够验证平方差公式的是（     ） A．甲乙均可以 B．甲乙均不可以 C．甲可以，乙不可以 D．甲不可以，乙可以 【变式5-2】如图，以长方形的四条边为边向外作四个正方形，设计出“中”字图案，若四个正方形的周长之和为40，面积之和为26，则长方形的面积为（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 【变式5-3】“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”，这是我国著名数学家华罗庚对“数形结合思想”在研究数学问题中所发挥的重要价值与意义的高度概括，如下图所示，将甲图中阴影部分无重叠、无缝隙地拼成乙图，根据两个图中阴影部分的面积关系得到的等式是（     ） A． B． C． D． 【题型6 求完全平方公式中字母的系数】 【例6】若是关于的完全平方式，则的值为(    ) A．或 B．或 C． D． 【变式6-1】已知，则的值为（     ） A． B．6 C．9或 D．9 【变式6-2】贝贝在学习完全平方公式时，发现是一个完全平方式，则m的值是（     ） A．5或 B．2或 C．5或 D．2或 【变式6-3】若是完全平方式，则的值是（     ） A． B． C．或 D．或 【题型7 整式的混合运算】 【例7】试说明：式子的值与的取值无关． 【变式7-1】先化简，再求值：，其中，． 【变式7-2】先化简再求值：，其中，． 【变式7-3】计算： (1)； (2)． 【探究式学习】 1．综合与实践：探究图式之间的内在联系 观察下列图形，思考图形中点的排列规律，抽象出数学等式，探究点的总个数． 任务一：下列是两位同学采用了不同方法进行探究，请你完善他们的探究过程． (1)明明将这些点分为两类，一类是实心点构造的正方形点阵，一类是空心点构造的正方形点阵，这样图1点的总数可表示为，图2点的总数可表示为，图3点的总数可表示为，图4点的总数可表示为，…，图点的总数可表示为_________； (2)欣欣用虚线将这些点进行连接，图1的点可以表示为，图2的点可以表示为，图3的点可以表示为，图4的点可以表示为，欣欣思考这种连接方式下，图5中最长虚线上共有________个点，她结合明明的探究，猜想两种方法利用图建立的等式：__________________； 任务二： (3)由两位同学的探究结果，我们可以获得从1开始，连续个奇数的和，即______________________； 任务三： (4)应用任务二探究得到的结论，计算：． 2．阅读理解：我们一起来探究代数式的值． 探究一：当时，代数式的值为4，当时，代数式的值为3，可见，代数式的值随x的值的变化而变化． 探究二：把代数式进行配方变形，如： ，可得：即当______时，代数式有最大值，最大值为________． 尝试探究： （1）请补充完成探究二，直接在答题卡填空； （2）当x取何值时，代数式有最大值，最大值为多少？ 拓展应用： （3）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个长方形花园ABCD（围墙MN足够长），现在已备足可以砌40m长的墙的材料，设AB为x米，请用含x的代数式表示围成的长方形花园ABCD的面积S，并探究当x为多少米时，面积S有最大值，最大面积是多少？ 【课后检测】 1．若，且，则（     ） A． B． C．5 D．15 2．已知，，则的值为（     ） A．436 B．216 C．217 D．218 3．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中，用三角形数表给出二项式展开式的系数规律，这个三角形数表称为杨辉三角（如图），例如：，展开式中所有系数的和为．根据杨辉三角，可得展开式中所有系数之和为（     ） A． B． C． D． 4．如图为整式间运算的流程图，约定运算规则：上方相邻两个整式之积等于这两个整式下方箭头共同指向的整式，且．下列两个结论：①整式的值为定值；②若，则整式的值为定值．其中判断正确的是（     ） A．①对，②错 B．①错，②对 C．①②都错 D．①②都对 5．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 6．，（其中），则，的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法确定 7．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 8．化简的结果是（     ） A． B．0 C． D． 9．若，．则的值为（     ） A． B．4 C． D．3 10．下列计算中正确的是（     ） A． B． C． D． 11．填空： （1）__________；     （2）__________； （3）______；     （4）____． 12．已知，则代数式___________． 13．一个正方形的边长减少了，面积相应减少了，则这个正方形原来的边长为___________． 14．若，，则的值是________． 15．已知，则__________． 16．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 17．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 18．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 19．如图所示，某小区有一块长为，宽为的长方形地块，物业公司在此长方形地块内修建了一条平行四边形小路，小路的底边宽为．为了进一步美化小区环境，提高业主居住舒适度和幸福感，营造一个宜居、温馨、和谐的居住氛围，近期，物业公司计划将图中阴影部分进行绿化． (1)用含的代数式表示绿化的面积． (2)若满足，请帮助物业公司求出此时绿化的面积． 20．我们可以将进行变形，得到，等．请灵活利用这些变形解决下列问题： (1)已知，则_____； (2)若满足，求的值； (3)如图，四边形是梯形，，连接，若，求图中阴影部分的面积． 【复盘笔记】 化繁为简，一通百通 第 2 页 共 31 页 第 1 页 共 31 页 学科网（北京）股份有限公司 $