精品解析：吉林省长春市第八十七中学2026-2027学年上学期九年级数学10月学情自测试题(1—13班)

九年数学学科（1-13班） 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列各组数中，互为相反数的一组是（ ） A. 和2 B. 和 C. 和 D. 2和 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查相反数的定义，熟练掌握“互为相反数的两数绝对值相等、符号相反”是解题的关键．根据相反数的定义：绝对值相等，符号相反的两个数互为相反数，逐一分析选项． 【详解】解：A．和2是互为相反数，故符合题意； B．和不是互为相反数，故不符合题意； C．和不是互为相反数，故不符合题意； D．2和不是互为相反数，故不符合题意； 故选：A． 2. 人体中红细胞的直径约为，用科学记数法表示数的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数． 【详解】解：． 故选：D 【点睛】本题考查科学记数法，熟练掌握原数的绝对值的数的科学记数法的表示方法是解题的关键． 3. 不等式的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出不等式的解集，根据解集在数轴上的表示方法判断即可． 【详解】解：，  ，  ∴，  在数轴上表示为， ． 4. 如图，平行于主光轴的光线和经过凸透镜折射后，折射光线，交于主光轴上一点．若，，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的性质得出，，根据角的和差关系，结合对顶角相等即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 5. 如图，长春市组织的冰雪活动中，中学生小旺沿着倾斜角为的斜坡练习滑雪，从点滑行到点．若米，则小旺下降的高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦定义可知，两边同时乘以可得米，所以小旺下降的高度为米． 【详解】解：如下图所示， 在中，，，米， ， ， 米， 小旺下降的高度为米． 6. 一次函数的图象经过点，且的值随值的增大而增大，则点的坐标可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的图像与性质，由随增大而增大，得，将各点坐标代入解析式，求值，仅当时符合条件. 【详解】解：A选项：把代入得：，解得：，一次函数的图像随的增大而增大，故不符合题意； B选项：把代入得：，解得：，一次函数的图像随的增大而增大，故符合题意； C选项：把代入得：，解得：，一次函数的图像随的增大而增大，故不符合题意； D选项：把代入得：，解得：，一次函数中，故不符合题意． 故选：B． 7. 如图，中，若，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理，角平分线和线段垂直平分线的尺规作图，含30度角的直角三角形的性质．由作图方法可知垂直平分，平分，则由角平分线的定义可得，即可判断A；利用三角形内角和定理得到，即可判断B；利用三角形内角和定理得到，即可判断C；利用三角形内角和定理和对顶角线段得到，即可判断D． 【详解】解：由作图方法可知垂直平分，平分， ∴，故A结论正确，不符合题意； ∴， ∴， ∴，故C结论错误，符合题意； ∵，， ∴，故B结论正确，不符合题意； ∵， ∴，故D结论正确，不符合题意； 故选：C． 8. 如图，已知反比例函数（，）的图像与线段有公共点，其中点B在y轴上，轴，点A是x轴上一点，连接、，若的面积为3，则k的值可能为（ ） A. 8 B. 7 C. 6.5 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】设（，），根据轴，和的面积为3，得出，再根据反比例函数与线段有交点即可解答； 【详解】解：设（，）， ∵轴， 则点， 则线段长度为， 在中，，整理得：， 设反比例函数与线段交于点， 则，， ∵x最大是a，所以k最大是，也就是， ∴四个选项里只有D选项5满足， ∴k的值可能为5． 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 计算：___________． 【答案】 【解析】 【分析】先化简非最简二次根式，再合并同类二次根式即可得到结果． 【详解】解： 10. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查提公因式法分解因式，找准公因式是解题的关键． 直接利用提公因式法求解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 11. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______． 【答案】#### 【解析】 【分析】本题考查的知识点是一元二次方程的判别式，解题关键是熟练掌握一元二次方程的判别式． 根据有两个不相等的实数根，列出不等式，解不等式即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 即． 故答案为：． 12. 一组数据的方差计算如下：，则这组数据的总和等于______． 【答案】16 【解析】 【分析】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的计算公式及平均数的定义． 由方差的计算算式知，这组数据共有8个，且这组数据的平均数为2，再根据平均数的概念可得答案． 【详解】解：由方差的计算算式知，这组数据共有8个，且这组数据的平均数为2， ∴这组数据的和为， 故答案为：16． 13. 如图，、、是正十二边形的三条边，四边形是正方形，则的度数为________． 【答案】##120度 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的内角和公式，正方形的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 由正方形的性质得，由正多边形的内角和公式得，最后根据，即可求解． 【详解】解：四边形是正方形， ， 正十二边形的内角， ， 故答案为：． 14. 如图，在中，，，在上取一点，连结，使．点是上一动点，连结，将绕着点顺时针旋转得到，连结交于点．给出下面四个结论： ①； ②当时，； ③； ④在点的运动过程中，的最小值是． 上述结论中，正确结论的序号是________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据正切函数的定义求出的长，进而求出的长即可判断①；当时，利用旋转的性质和等腰三角形的性质求出相关角的度数，利用两角对应相等证明三角形相似即可判断②；根据旋转的性质和勾股定理表示出和，结合点的运动状态判断③；根据垂线段最短求出的最小值，进而得到的最小值即可判断④． 【详解】解：①在中， ，故①正确； ②当时，为等腰三角形 由旋转的性质可知 为等腰直角三角形 在中， ，故②正确； ③由旋转的性质可知 在中， 是上一动点，的长度不确定 不一定成立，故③错误； ④由旋转的性质可知当时，最短，即最短在中， 的最小值是， 故正确故答案为①②④ 三、解答题 15. 先化简，再求值，其中． 【答案】，7． 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，实数的运算，先根据完全平方公式和单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 16. 甲、乙两辆汽车分别从A、B两城同时沿高速公路驶向C城．已知A、C两城的路程为500千米，B、C两城的路程为450千米，甲车比乙车的速度快10千米／时，结果两辆车同时到达C城，求两车的速度． 【答案】甲车的速度为100千米/时，乙车的速度为90千米/时. 【解析】 【详解】试题分析：设甲的速度是x千米/时，那么乙的速度是（x-10）千米/时，路程知道，且同时到达，可以时间做为等量关系列方程求解． 试题解析：设乙车的速度为x千米/时，则甲车的速度为（x+10）千米/时. 根据题意，得. 解得x=90. 经检验，x=90是原方程的解，且符合题意. 当x=90时，x+10=100. 答：甲车的速度为100千米/时，乙车的速度为90千米/时. 17. 已知二次函数图象的顶点坐标是，且经过点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）当时，函数值的取值范围是___________． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）已知二次函数顶点坐标，设顶点式代入已知点计算系数，即可得到函数表达式； （2）根据二次函数的开口方向与对称轴，结合给定的的取值范围，确定函数的最值，进而得到的取值范围． 【小问1详解】 解：二次函数图象的顶点坐标是， 设该二次函数的表达式为（）． 将点代入表达式，得 ， 解得． 该二次函数的表达式为， 即； 【小问2详解】 解：， 二次函数图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， ，且在的范围内， 当时，取得最小值，最小值为， 当时，， 当时，， ， 当时，取得最大值，最大值为43， 综上所述，当时，函数值的取值范围是． 18. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫作格点，线段的端点均在格点上．要求仅用无刻度的直尺作图，所画图形的顶点都在格点上，并保留作图痕迹． （1）在图①中以为边画一个面积为8的； （2）在图②中以为边画一个面积为4的菱形； （3）在图③中以为边画一个面积最大的矩形． 【答案】（1） 如图①中，平行四边形即为所求； （2） 如图②中，菱形即为所求； （3） 如图③中，矩形即为所求． 【解析】 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，平行四边形的判定，菱形的判定，矩形的判定，解题的关键是理解题意，正确作出图形． （1）作一个底为4，高为2的平行四边形即可； （2）作一个对角线分别为的菱形即可； （3）作一个邻边分别为的矩形即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 如图，在中，，点在的延长线上，且． 求证：四边形是矩形． 【答案】 证明：在中，有， ∵，， ∴， ∴四边形DEFC是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． 【解析】 【分析】由平行四边形的性质，得到，结合，，即可得到结论成立． 【详解】略 【点睛】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定和性质，解题的关键是掌握平行四边形的判定和性质进行证明． 20. 2025年4月15日是第十个全民国家安全教育日．树立国家安全意识，自觉关心、维护国家安全，是每个公民的基本义务．为了增强学生国家安全意识，某中学组织七、八年级各200名学生举行了国家安全法知识竞赛，现分别从七、八两个年级参赛学生中各随机抽取10名学生，统计这部分学生的竞赛成绩，相关数据统计、整理如下： 【收集数据】 七年级10名同学测试成绩统计如下：72，84，72，91，79，69，78，85，75，95 八年级10名同学测试成绩统计如下：85，72，92，84，80，74，75，80，76，82 【整理数据】两组数据各分·数段，如表所示： 成绩 七年级 1 5 2 a 八年级 0 4 5 1 【分析数据】两组数据的平均数、中位数、众数方差如表： 年级统计量 平均数 中位数 众数 方差 七年级 80 b 72 66.6 八年级 80 80 c 33 【问题解决】根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______；______； （2）小明同学说自己的成绩能在本年级排到前，小强说“你的成绩在我们年级进不了前”，则小明是______（填“七”或“八”）年级的学生； （3）按照比赛规定90分及其以上算优秀，请估计这两个年级竞赛成绩达到优秀学生的人数共有多少人？ 【答案】（1）2；78.5；80 （2）七 （3）60人 【解析】 【分析】本题考查了频数分布表，求众数、中位数及方差，用样本估计总体的数量，用方差判断稳定性等知识，熟练掌握相关统计知识是解题的关键． （1）观察七年级10名同学测试成绩在范围内的数据可确定a的值，将七年级抽样成绩按大小排列后，中间两个数的平均数是中位数，可确定b；根据八年级成绩中出现次数最多的可求得c； （2）利用七年级数据的中位数低于八年级数据的中位数，再结合题意即可解答； （3）根据样本估计总体的方法，分别计算两个年级大约达到优秀的人数，再相加即可； 【小问1详解】 解：由数据可得，七年级10名同学测试成绩在范围内有2个， ∴； 将七年级10名同学测试成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数的平均数为，即中位数为， ∴； 八年级10名同学测试成绩的众数为80， ∴； 故答案为：2；78.5；80． 【小问2详解】 解：∵， ∴七年级数据的中位数低于八年级数据的中位数， 结合小明和小强同学的说法可得：小明是七年级的学生． 故答案为：七． 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计这两个年级竞赛成绩达到优秀学生的人数共有60人． 21. 周末，小轩和家人们去爬张家山锻炼身体，刚开始小轩精力充沛，爬山的速度比较快，爬了30分钟后，开始体力不支，于是减速爬到山顶．他距山脚出发地的路程s（米）与登山时间（分钟）之间的函数关系如图所示． （1）小轩减速前的速度为___________米/分钟； （2）求小轩减速后与之间的函数关系式； （3）当小轩爬了1小时时，他距离山脚出发地的路程是多少米？ 【答案】（1）20 （2） （3）当小轩爬了1小时时，他距离山脚出发地的路程是840米 【解析】 【分析】本题主要考查了函数图象、求一次函数解析式、一次函数的应用等知识点，求得一次函数解析式成为解题的关键． （1）根据图象以及速度、路程、时间的关系求解即可； （2）运用待定系数法求出函数解析式即可； （3）将代入（2）所得函数解析式即可解答． 【小问1详解】 解：由图象可知：小轩减速前爬山600米，用时30分钟，则小轩减速前的速度为米/分钟． 故答案为：20． 【小问2详解】 解：设小轩减速后与之间的函数表达式为， 将和代入得： ，解得：． 小轩减速后与之间的函数表达式为． 【小问3详解】 解：1小时分钟， 当时，， 答：当小轩爬了1小时时，他距离山脚出发地的路程是840米． 22. 【问题背景】小明有一天看到这样一道数学题：如图1，在矩形中，，，点是边上的动点，点是射线上的动点，且，连接，，求的最小值． 【问题探究】小明发现，可利用构造全等三角形的方法将线段的位置进行转移，使得动点和动点合并，进而将双动点的问题转化为单动点的问题，再根据“两点之间线段最短”解决问题．具体做法如下： 证明：如图2，延长至点，使得，连接． 证明过程缺失 ∴ ∴ （1）请你帮小明补全上述证明过程． （2）【问题解决】的最小值为______________________． （3）【拓展提升】小刚同学又发现，当点，在矩形的对角线上时，我们依旧可以用类似的方法解决类似的问题：如图3，点在对角线上，，请直接写出的最小值___________． 【答案】（1） 证明：如图2，延长至点，使得，连接． ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质可得，求出，再利用“”即可证明，从而得证； （2）连接，由矩形的性质可得，，，结合勾股定理求出，根据，得出当点、、在同一直线上时，取得最小值，从而即可得出结果； （3）延长至点，使得，连接、，证明，由相似三角形的性质可得，由，得出当点、、三点共线时，取得最小值为，最后由勾股定理计算即可得出结果． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴当点、、在同一直线上时，取得最小值，为； 【小问3详解】 解：如图，延长至点，使得，连接、， ∵， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点、、三点共线时，取得最小值为， 由勾股定理可得， ∴的最小值为． 23. 如图，在中，，，，点为边的中点，点为边上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转并延长到点，使线段，以线段、为邻边作矩形． （1）线段的长为___________； （2）当点为边的中点时，求矩形的面积： （3）当时，求点到直线的距离； （4）当时，直接写出的长． 【答案】（1） （2） （3） （4）或 【解析】 【分析】（1）根据正弦的定义计算即可得出结果； （2）由勾股定理可得，证明为的中位线，得出，由题意可得，再结合矩形的面积公式计算即可得出结果； （3）求出，过点作于点，过点作于点，由等腰三角形的性质可得，，由正弦的定义可得，结合勾股定理求出，从而可得，证明出，从而可得，求出，最后由勾股定理计算得出，即可得出结果； （4）取的中点，连接，则为的中位线，由中位线的性质可得，，由勾股定理可得，再分两种情况：当点在之间时；当点在之间时，分别计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵在中，，，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵在中，，，， ∴， ∵点为边的中点，点为边的中点 ∴为的中位线， ∴， ∵将线段绕点顺时针旋转并延长到点，使线段， ∴， ∵以线段、为邻边作矩形， ∴矩形的面积为； 【小问3详解】 解：∵点为边的中点， ∴， 由（2）可得， ∴， 如图，过点作于点，过点作于点， ∵， ∴，， ∵， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点到直线的距离为； 【小问4详解】 解：如图，取的中点，连接，则， ∵点为边的中点， ∴为的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∴， 如图，当点在之间时，过点作于点，过点作的延长线于点，连接，令交于点， 则， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴点和点重合， ∴； 如图，当点在之间时，过点作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴点到的水平距离为，即点在的延长线上， ∴； 综上所述，的长为或． 24. 如图，二次函数的图象与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，作直线，点是直线上一点，其横坐标为，连接． （1）点的坐标___________，点的坐标___________，点C的坐标___________． （2）当点落在抛物线的对称轴上时，求点的坐标； （3）以为邻边构造， ①当抛物线的对称轴将的面积分为两部分时，直接写出的值； ②当内的抛物线所对应的函数值随增大而增大时，直接写出的取值范围． 【答案】（1），， （2） （3）①或；②或 【解析】 【分析】（1）在抛物线解析式中，令可求得点的坐标，令则可求得、的坐标； （2）由、的坐标可求得直线的解析式为，根据抛物线对称轴为，可求得点坐标． （3）①对称轴是竖直线，把平行四边形截出的小三角形以上的截段为竖直底、（）到的水平距离为高，面积比即小三角形=整个平行四边形的，避免求交点坐标后用复杂面积公式． ②先确定夹住图形的两条平行线与之间的抛物线只有两段左段（递增）与右段（递减）．问题即“递减弧不得进入平行四边形”，用两个临界位置（M与B重合、N落在抛物线上）卡出范围，与分类讨论． 【小问1详解】 解：对于，令，则， ∴， 令，则， 解得：，， ∴，， ∴点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为； 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点， 设的解析式为，过点和， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 当点落在抛物线的对称轴上时，即时，代入得， ∴点． 【小问3详解】 ①解：∵点是直线上一点，其横坐标为， ∴， ∴直线解析式为， ∵，， ∴以为邻边构造， ∴． ∴， 当（需，否则图形最右端不到），如图：直线与（即直线）交于，与交于． ∴竖直底， M到直线的水平距离， ∴， 当抛物线的对称轴将的面积分为两部分时，即： ， 解得：，（，不合题意舍去） 当（需），平行四边形的最右端是，如图： 直线解析式为，直线解析式为， 直线与交于，与交于． 竖直底， N到直线的水平距离， ∴， 当抛物线的对称轴将的面积分为1：7两部分时，即： ， 解得：，（，不合题意舍去） ∴综上所述：或． ②抛物线在时y随x增大而增大． 夹住平行四边形上下两边的两条平行线是和直线，抛物线夹在这两线之间的部分只有两段： 当时， 临界一（右端）：M与B重合，．当时，B右侧那段"递减"的弧进入平行四边形，不合要求；所以必须． 临界二（左端）：恰好落在抛物线上．把代入抛物线：，即， 解得：，（不合题意）． ∴． 当时：N在第四象限、M在第二象限，左侧递增弧始终在平行四边形内，在抛物线内部， ∴m的取值范围：． 综上所述：的取值范围或． 【点睛】1．待定系数法求解析式时，含参点要先代点再定形，注意系数分子分母的符号． 2．竖直（水平）线段作底、水平（竖直）距离作高，是处理“直线截图形面积比”的最优建式方式． 3．含参动点问题：面积类按参数正负分类；单调性类抓“临界位置”定边界，最后回扣端点开闭是否使图形退化． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年数学学科（1-13班） 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列各组数中，互为相反数的一组是（ ） A. 和2 B. 和 C. 和 D. 2和 2. 人体中红细胞的直径约为，用科学记数法表示数的结果是（ ） A. B. C. D. 3. 不等式的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，平行于主光轴的光线和经过凸透镜折射后，折射光线，交于主光轴上一点．若，，则的大小是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，长春市组织的冰雪活动中，中学生小旺沿着倾斜角为的斜坡练习滑雪，从点滑行到点．若米，则小旺下降的高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 6. 一次函数的图象经过点，且的值随值的增大而增大，则点的坐标可以为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，中，若，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论错误的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知反比例函数（，）的图像与线段有公共点，其中点B在y轴上，轴，点A是x轴上一点，连接、，若的面积为3，则k的值可能为（ ） A. 8 B. 7 C. 6.5 D. 5 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 计算：___________． 10. 因式分解：__________． 11. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______． 12. 一组数据的方差计算如下：，则这组数据的总和等于______． 13. 如图，、、是正十二边形的三条边，四边形是正方形，则的度数为________． 14. 如图，在中，，，在上取一点，连结，使．点是上一动点，连结，将绕着点顺时针旋转得到，连结交于点．给出下面四个结论： ①； ②当时，； ③； ④在点的运动过程中，的最小值是． 上述结论中，正确结论的序号是________． 三、解答题 15. 先化简，再求值，其中． 16. 甲、乙两辆汽车分别从A、B两城同时沿高速公路驶向C城．已知A、C两城的路程为500千米，B、C两城的路程为450千米，甲车比乙车的速度快10千米／时，结果两辆车同时到达C城，求两车的速度． 17. 已知二次函数图象的顶点坐标是，且经过点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）当时，函数值的取值范围是___________． 18. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫作格点，线段的端点均在格点上．要求仅用无刻度的直尺作图，所画图形的顶点都在格点上，并保留作图痕迹． （1）在图①中以为边画一个面积为8的； （2）在图②中以为边画一个面积为4的菱形； （3）在图③中以为边画一个面积最大的矩形． 19. 如图，在中，，点在的延长线上，且． 求证：四边形是矩形． 20. 2025年4月15日是第十个全民国家安全教育日．树立国家安全意识，自觉关心、维护国家安全，是每个公民的基本义务．为了增强学生国家安全意识，某中学组织七、八年级各200名学生举行了国家安全法知识竞赛，现分别从七、八两个年级参赛学生中各随机抽取10名学生，统计这部分学生的竞赛成绩，相关数据统计、整理如下： 【收集数据】 七年级10名同学测试成绩统计如下：72，84，72，91，79，69，78，85，75，95 八年级10名同学测试成绩统计如下：85，72，92，84，80，74，75，80，76，82 【整理数据】两组数据各分·数段，如表所示： 成绩 七年级 1 5 2 a 八年级 0 4 5 1 【分析数据】两组数据的平均数、中位数、众数方差如表： 年级统计量 平均数 中位数 众数 方差 七年级 80 b 72 66.6 八年级 80 80 c 33 【问题解决】根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______；______； （2）小明同学说自己的成绩能在本年级排到前，小强说“你的成绩在我们年级进不了前”，则小明是______（填“七”或“八”）年级的学生； （3）按照比赛规定90分及其以上算优秀，请估计这两个年级竞赛成绩达到优秀学生的人数共有多少人？ 21. 周末，小轩和家人们去爬张家山锻炼身体，刚开始小轩精力充沛，爬山的速度比较快，爬了30分钟后，开始体力不支，于是减速爬到山顶．他距山脚出发地的路程s（米）与登山时间（分钟）之间的函数关系如图所示． （1）小轩减速前的速度为___________米/分钟； （2）求小轩减速后与之间的函数关系式； （3）当小轩爬了1小时时，他距离山脚出发地的路程是多少米？ 22. 【问题背景】小明有一天看到这样一道数学题：如图1，在矩形中，，，点是边上的动点，点是射线上的动点，且，连接，，求的最小值． 【问题探究】小明发现，可利用构造全等三角形的方法将线段的位置进行转移，使得动点和动点合并，进而将双动点的问题转化为单动点的问题，再根据“两点之间线段最短”解决问题．具体做法如下： 证明：如图2，延长至点，使得，连接． 证明过程缺失 ∴ ∴ （1）请你帮小明补全上述证明过程． （2）【问题解决】的最小值为______________________． （3）【拓展提升】小刚同学又发现，当点，在矩形的对角线上时，我们依旧可以用类似的方法解决类似的问题：如图3，点在对角线上，，请直接写出的最小值___________． 23. 如图，在中，，，，点为边的中点，点为边上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转并延长到点，使线段，以线段、为邻边作矩形． （1）线段的长为___________； （2）当点为边的中点时，求矩形的面积： （3）当时，求点到直线的距离； （4）当时，直接写出的长． 24. 如图，二次函数的图象与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，作直线，点是直线上一点，其横坐标为，连接． （1）点的坐标___________，点的坐标___________，点C的坐标___________． （2）当点落在抛物线的对称轴上时，求点的坐标； （3）以为邻边构造， ①当抛物线的对称轴将的面积分为两部分时，直接写出的值； ②当内的抛物线所对应的函数值随增大而增大时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $