专题02勾股定理的应用期中复习讲义(核心重点+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年北师大版八年级数学上册

专题02勾股定理的应用期中复习讲义 1.能够将实际生活场景抽象构造出直角三角形模型，熟练运用勾股定理求解线段长度，掌握常见基础模型：梯子滑动问题、折叠问题、航海方向问题、立体图形最短路径问题。 2.掌握立体图形求最短路径的解题思路：将立体图形（圆柱、长方体）的侧面展开为平面图形，利用 “两点之间线段最短”，结合勾股定理计算最短距离。 3.会结合勾股定理逆定理解决实际问题：通过计算三边平方关系，判断实际场景中是否存在直角，用于工程、测量类实际判定。 4.学会处理折叠类几何应用问题：抓住折叠前后对应边相等、对应角相等，设未知数，利用勾股定理列方程求解线段长，体会方程思想。 5.能够解决带有分类讨论的实际应用题，注意题目没有给出图形时，考虑多解情况，避免漏解。 6.规范应用题解题步骤：建模、确定直角三角形、列式计算、检验结果是否符合实际意义，最后作答。 7.易错点梳理： 立体图形展开时，区分不同展开方式，部分题目存在多种展开路径，需要对比求出最短路线； 分清直角边和斜边，不要直接套用公式，确认直角位置； 实际问题的结果要符合现实，舍去负数解。 题型 考察方向 难度 题型一 勾股定理与网格问题 ★★ 题型二 勾股定理与折叠问题 ★★★ 题型三 求梯子滑落高度 ★★ 题型四 求旗杆高度 ★★ 题型五 求小鸟飞行距离 ★★ 题型六 求大树折断前的高度 ★★ 题型七 解决水杯中筷子问题 ★★ 题型八 解决航海问题 ★★★ 题型九 求河宽 ★★ 题型十 求台阶上地毯长度 ★★ 题型十一 判断汽车是否超速 ★★★ 题型十二 判断是否受台风影响 ★★★ 题型十三 选址使到两地距离相等 ★★★ 题型十四 求最短路径 ★★★★ 题型十五 勾股定理逆定理的实际应用 ★★★ 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01:核心解题思想：数学建模 核心逻辑：把实际问题转化为直角三角形问题，用勾股定理求解未知边长。 步骤：读题→画示意图→找直角→标已知边→列勾股定理公式→计算→作答 关键词：垂直、水平、最短、折叠、高度、距离（这些词通常暗示直角存在） 知识点02:勾股定理公式及变形（必记） 在 Rt △ABC 中， ∠C = 90，三边为 a,b,c（c 为斜边） 求斜边：c= 求直角边:,b= 知识点03:四大经典应用模型｜考试全覆盖 依托墙面、地面、树木等垂直关系，天然形成直角。 常见题型：求旗杆高度、树高、楼台距离、斜坡长度。 解题思路：利用竖直方向与水平方向互相垂直，直接构成直角三角形，代入公式计算。 . 矩形、三角形折叠类题型，是几何高频考点。 核心规律：折叠前后对应边相等、对应角相等。 解题技巧：设未知线段长，利用折叠相等关系表示边长，结合勾股定理列方程求解。 矩形 ABCD 沿 BD 折叠，点 C 落在 C′ 处，满足： 对应线段相等：BC′=BC，C′D=CD，ED=ED 对应角相等：∠C′=∠C=90∘，∠C′BD=∠CBD 可构造直角三角形（如 △ABE 或 △DEC′），利用勾股定理列方程求解，与文字逻辑完全一致。 行走路线、航海路线、方位角问题。东西方向与南北方向互相垂直，天然构成直角，以此建立三角形模型，求解两点之间的直线距离。 知识点04:通用解题步骤（所有应用题通用） 步骤 详细操作 & 注意事项 1 审题建模 区分场景：竖直物体、梯子、方位、立体、折叠、测直角；找出天然直角（墙⊥地面、南北⊥东西） 2 画图标注 必画简图,标注直角符号;已知长度直接标数字,未知长度统一设为 x 3 判定边 锁定直角三角形：分清两条直角边、斜边（最长边），严禁乱代边 4 列关系式 纯计算直接套公式；有未知量一律列一元一次方程 5 计算验根 解出方程后，长度必须＞0，负数解直接舍去 6 规范作答 带单位，文字回答对应问题 知识点05:应用场景:核心公式+等量关系 分类 具体场景 核心等量关系（公式） 长度 距离 类 梯子滑落高度 梯子长（c）² =墙高(a)² +梯底距墙距离(b)²（梯子为斜边） . 小鸟飞行距离 飞行距离（c）²= 水平距离（a）² +垂直距离（b）² 河宽 河宽（a）²=对岸连线长（c）² -河岸横向距离（b）² 台阶地毯长度 地毯长（c）²= 台阶水平总长（a）² +台阶垂直总高（b）² 立体最短路径（展开） 最短路径（c）²=展开后水平边长（a）²+展开后竖直边长（b）² 高度 类 旗杆高度 旗杆高（a）² = 绳子长（c）² - 绳端距旗杆底距离（b）² 大树折断前高度 1.折断部分长（c）² =树桩高（a）² +折端距树根距离（b）² 2.总高 = 树桩高 + 折断部分长 实际 生活 类 水杯中筷子长度 杯内筷子最长（c）² = 水杯底面直径（a）² + 水杯高度（b）² 航海距离（航向垂直） 两船距离(c)²=船 1 航行距离（a）² + 船 2 航行距离（b）² 汽车超速判断 1.行驶距离（c）² = 水平路段长（a）² + 垂直路段长（b）² 2.速度 = 距离 ÷ 时间（与限速比较） 台风影响判断 观测点到台风路径的垂直距离（a） ≤ 台风影响半径（c）→ 受影响；反之不受影响 知识点06:解题规范与易错点汇总 1. 规范书写步骤 第一步：画示意图，标注已知边长和未知量 第二步：说明直角，明确哪条边是斜边 第三步：列公式，代入已知数据 第四步：计算，开方后化简根式 第五步：作答，带单位（如米、厘米） 2. 高频易错点 易错点 错误示例 正确做法 斜边与直角边混淆 把梯子底端离墙距离当作斜边 先找直角，直角对的边才是斜边（最长边） 忘记开方 算出 a2 + b2 = 25，直接写边长为 25 必须对平方和开算术平方根，得 c=5 建模错误 折叠问题中找不到新直角三角形 先还原折叠前图形，找出相等的边，再定位直角 单位遗漏 计算结果只写数字，不写单位 实际问题必须带单位，如 “5 米”“10cm” 场景混淆 用逆定理求长度，用勾股定理判直角 勾股定理：已知直角求边长；逆定理：已知边长判直角 题型一：勾股定理与网格问题 1．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点均在网格格点上，以点B为圆心，长为半径画弧交于点F，连接，则的长为______． 【答案】 【分析】先根据网格和作图可知，，，再利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：由网格可知，，， 由作图可知，， 则． 2．如图是边长为1的正方形网格，已知的三个顶点均在正方形格点上，则边上的高是（     ） A．2.5 B． C．5 D． 【答案】C 【分析】利用网格通过割补法求出的面积，再利用勾股定理求出的长，最后根据三角形面积公式求解． 【详解】解：由题意可知， 由勾股定理得， 设边上的高为， ， ， ． 3．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为．按要求完成下列作图． (1)在图中，画一条长度为的线段． (2)在图中，画一个面积为的正方形． (3)在图中，画一个（标明顶点，，）使得，， 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用数形结合的思想，结合勾股定理即可作图； （2）利用数形结合的思想，先根据网格特点作出,依次作出,即可求解； （3）利用数形结合的思想，根据勾股定理表示即可求解． 【详解】（1）解：根据勾股定理可知：，线段即为所求； （2）解：根据勾股定理可知：，依次可知, 正方形即为所求； （3）解：根据勾股定理可知,,, 三角形即为所求； ． 题型二：勾股定理与折叠问题 4．如图，在直角三角形纸片中，，折叠纸片使得点落在边上点处，折痕是．若，，则的长为___________． 【答案】 【分析】先由勾股定理求出，再结合折叠性质得出，，，，根据勾股定理求出，即可求出的长． 【详解】解：，， ， 折叠纸片使得点落在边上点处，折痕是， ，，，， ，， ， ，即， ， ∴． 5．如图，将一张长方形纸片折叠，使得点的对应点落在上，折痕与交于点．若，则的长为（　　） A．8 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 根据长方形的性质可得，根据折叠的性质可得，，再运用勾股定理可得，进而得到；设，则，根据勾股定理列方程可得，即，最后再运用勾股定理求的长即可． 【详解】解：∵长方形纸片， ∴， ∵将一张长方形纸片折叠，使得点的对应点落在上，折痕与交于点， ∴，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴，解得：，即， ∴． 故选C． 6．如图，把一张长方形纸片折叠起来，为折痕，使其对角顶点A与点重合，点与点重合．若长方形的长为8，宽为4． (1)求的长； (2)求的值； (3)求阴影部分的面积． 【答案】(1)3 (2)20 (3) 【分析】（1）由折叠可知，设，则，在中，根据，求出的长即可； （2）过点作于点，在 中，由勾股定理求出的长，即可得的长，在中，由勾股定理即可得出答案； （3）过点作于点，根据三角形面积不变性，，求出的长，根据三角形面积求出结果即可． 本题主要考查了折叠的性质、勾股定理以及三角形面积不变性，灵活运用折叠的性质、勾股定理等几何知识点来分析、判断、推理是解题的关键． 【详解】（1）解：由折叠可知 ，． 设，则，． 在中，， ∴， 解得， ∴． （2）解：如图，过点作于点，则． 在中， ∵， ∴由勾股定理，得， 即， ∴． ∵， ∴， ∴． （3）解：如图，过点作于点． 在中，，，． 由， 得， ∴． 题型三：求梯子滑落高度 7．如图，一根长为米的梯子斜靠在垂直于地面的墙上，这时梯子的底端与墙根之间的距离为米，如果梯子的底端向外（远离墙根方向）移动米至处，则梯子的顶端将沿墙向下移动______． 【答案】米 【分析】此题考查了勾股定理的应用，用移动前梯子顶端到地面的距离减去移动后梯子顶端到地面的距离即可得到答案． 【详解】解：梯子的顶端沿墙向下移动的距离为（米） 故答案为：米 8．如图，一架梯子AB长为5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙底端C的距离是3米，梯子下滑后停在DE的位置上，这时测得BE为1米，则梯子顶端A下滑了（    ）    A．1米 B．1.5米 C．2米 D．2.5米 【答案】A 【分析】在中，根据勾股定理可得米，由于梯子的长度不变，在中，根据勾股定理可得米，进而可得答案． 【详解】在中，米，米， 根据勾股定理可得（米）， 在中，米，米， 根据勾股定理可得（米）， 米， 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 9．如图，一座城墙高，墙外有一条护城河，在护城河外距离城墙根处架一架长为的云梯，该云梯能否抵达城墙的顶端？为什么？ 【答案】该云梯能抵达城墙的顶端 【分析】已知一条直角边为9，一条斜边为15，利用勾股定理可求得另一条直角边为12，，所以该云梯能抵达城墙的顶端． 【详解】解：， 答：该云梯能抵达城墙的顶端． 10．物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降． (1)如图1，物体C静止在直轨道上，滑块B与物体C的水平距离为．绳子的总长度为（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计）．求物体C到定滑轮A的垂直距离的长； (2)如图2，在图1的基础上滑块B向左滑动，若物体C升高（即），求滑块B向左滑动的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）识别直角三角形，利用绳子总长建立两条绳长的数量关系，设未知数，用勾股定理列方程求解竖直距离； （2）定滑轮离地高度恒定，结合物体上升高度求出滑轮与物体间绳段长度，得到滑块侧斜绳长，再次使用勾股定理求出新水平距离，作差得到滑块滑动距离． 【详解】（1）解：由题意可知，，即为直角三角形，． 已知滑块与物体的水平距离，绳子总长度为，因此斜段绳长满足． 设，则． 在中，由勾股定理可得： 代入数值： 解得：． ． （2）解：由题意得，点D是定滑轮A在地面轨道上的垂足， 由（1）可知定滑轮距离地面的竖直高度，该高度始终不变，， ∴定滑轮到物体的剩余绳长为：． 由于绳子总长度保持不变， ∴滑块一侧的斜段绳长． 在中，， ∴． ∵， ∴滑块向左滑动的距离：． 题型四：求旗杆高度 11．我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题目：“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”大意是：如图，木柱与地面互相垂直，绳索比木柱长3尺，将绳索拉直沿地面行走，当绳索刚好用完时，长为8尺，则绳索长_______尺． 【答案】 【分析】设绳索长为x尺，则木柱长为尺，在中根据勾股定理构造方程，求解即可． 【详解】解：设绳索长为x尺，则木柱长为尺， ∵， ∴在中，， ∴， 解得， 答：绳索长为尺． 12．某班数学小组到十四中平坦的操场上测量旗杆的高度，信息如下： ①如图：绳子一端系在旗杆顶端处，甲同学拉直绳子退至离旗杆3.5米（米）的点处，此时手上的绳子还剩0.5米； ②甲同学继续往后退1.5米（米）到达点，此时手上的绳子刚好用完； ③甲同学拉绳子的手到地的距离始终是1.6米； 则旗杆的高度为（     ） A．12米 B．12.6米 C．13米 D．13.6米 【答案】D 【分析】由题意可得米，米，米，则米，设绳子的长度为米，则米，米，再结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：由题意可得：米，米，米， ∴米， 设绳子的长度为米，则米，米， 由勾股定理得，， ∴， ∴， 解得， ∴米， ∴旗杆的高度为米． 13．如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面多出一段的长度为米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点处，到旗杆底部的距离为米． (1)求旗杆的高度； (2)小明在处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的3米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点处，问小明需要后退几米（即的长）？ 【答案】(1)旗杆的高度为； (2)小明需后退． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． （1）设旗杆的高度为，则，再由勾股定理计算即可得解； （2）过E作，垂足为M，证明四边形为长方形，得出，，由勾股定理得，即可得解． 【详解】（1）解：设旗杆的高度为，则， 在中，，由勾股定理得：， ∴， 解得， 答：旗杆的高度为； （2）解：过E作，垂足为M， 则， ∴四边形为矩形， ∴，， ， ，， 在中，， 由勾股定理得：， 答：小明需后退． 14．某学校八年级数学兴趣小组开展了测量学校旗杆（如图1）高度的实践活动，同学们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．如图2，线段的长表示旗杆高度，垂直地面于点N．将系在旗杆顶端的绳子垂直到地面，并多出了一段．用皮尺测出的长度为．如图3，小丽同学将绳子末端放置于头顶，向正东方向水平移动，直到绳子拉直为止，此时小丽同学直立于地面点B处．用皮尺测出点N与点B之间的距离为．已知小丽身高为．请根据所给信息，求学校旗杆的高． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，过点A作于C，根据平行线间距离相等可得 ，设，则，，利用勾股定理可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点A作于C， ∵， ∴， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 答：学校旗杆的高为． 题型五：求小鸟飞行距离 15．如图，在水平地面上，有一棵高的大树和一棵高的小树，两树之间的水平距离是．若一只小鸟从小树的顶端飞到大树的顶端，则小鸟至少飞行________m． 【答案】13 【分析】根据题意，画出示意图，其中表示大树，表示小树，过点作，垂足为，如图所示，则，求出的长，由勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示：表示大树，表示小树，过点作，垂足为， 则， ， ， 在中，， 由勾股定理得， 则小鸟至少飞行了． 16．如图，有一只喜鹊在一棵高的小树上觅食，它的巢筑在与该树水平距离（）为的一棵大树上，大树高，喜鹊的巢位于树顶下方的处，当它听到巢中幼鸟的叫声，立即飞过去，如果它飞行的速度为，那么它要飞回巢中所需的时间至少是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过作于，如图所示，由勾股定理求出最短路径长即可得到答案． 【详解】解：过作于，如图所示： 由题意可知，， ， 根据两点之间线段最短，则它要飞回巢中所飞的最短路径为，由勾股定理可得， ∴它要飞回巢中所需的时间至少是． 17．2024年12月4日，我国传统节日春节申遗成功．图图和涵涵在市集上买了一个年画风筝，在试飞风筝过程中，他们想利用数学知识测量风筝的垂直高度．以下是他们测量高度的过程：①测得水平距离的长为24米；②根据图图手中剩余线的长度计算出牵引线的长为30米；③图图牵线放风筝的手到地面的距离为米．请你帮助解决涵涵提出的问题．放风筝小队在野外放风筝，为了安全，风筝高度不得高于20米，根据测量的数据判断此时风筝的高度是否安全？ 【答案】是安全的 【分析】根据勾股定理可得米，然后问题可求解 【详解】解：∵， 由勾股定理得：米， 根据题意可得米， ∴， ∴此时风筝的高度是安全的． 18．如图1，有两棵树，一棵高10米（米），另一棵高2米（米），两树相距6米（米） (1)求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？ (2)如图2，台风过后，高10米的树在点M处折断，大树顶部落在点D处，则树折断处M距离地面多少米？ 【答案】(1)米； (2)米 【分析】（1）根据“两点之间，线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，飞行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出； （2）由勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】（1）解：两棵树的高度差为（米），两树相距米（米）， 根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离（米）， 答：至少飞了米； （2）解：由勾股定理得：， ， 解得：， 答：树折断处距离地面米． 题型六：求大树折断前的高度 19．“折竹抵地”问题源自《九章算术》：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是一根竹子原高1丈（1丈尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地、抵地处离竹子底部4尺远，则折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度是尺，则可以列方程为_____． 【答案】 【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为尺，利用勾股定理列方程即可． 【详解】解：设竹子折断处离地面的高度为尺，则斜边长为尺． 根据勾股定理，得． 20．如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖恰好碰到地面，经测量米，则树高为（     ） A．米 B．米 C．4米 D．米 【答案】D 【分析】根据勾股定理求出的长，进而求出的长，即可得出结果． 【详解】解：由题意，， ∴， ∴， 故树高为米. 21．台风过后，某校的旗杆在B处断裂，旗杆顶部A落在离旗杆底部C的远处．已知旗杆长，求旗杆的断裂处距离底部的高度． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，根据题意建立方程是解题的关键.设BC=x米，由题意得米，米，在中，利用勾股定理建立方程即可求解. 【详解】解：设米，由题意得米，米， 在中， ，即 解得 即旗杆的断裂处距离底部的高度为． 22．“风吹树折”问题又称为“折竹抵地”，源自《九章算术》，原文为：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？”意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子根部三尺远，则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈尺） 【模型】如图所示，折断后的两段竹子与地面形成一直角三角形，其中一直角边长3尺，其余两边长度之和为10尺．求折断后的竹子高度． 【答案】折断后竹子的高度是尺 【分析】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是正确理解题意，设出未知数，根据勾股定理列出关于未知数的方程． 已知三角形一条直角边的长度与其余两条边长度之和，即可设所求的一边长度为，通过勾股定理建立方程，求出答案． 【详解】解：设折断后的竹子高度为x尺，则被折断的竹子长度为尺． 由勾股定理得：， 解得：， 答：折断后竹子的高度是尺． 题型七：解决水杯中筷子问题 23．如图，一个圆桶底面直径为，高，则桶内所能容下的最长木棒为______． 【答案】15 【分析】根据题意画出示意图，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，为圆桶底面直径，为圆桶的高， ， ， ∴桶内所能容下的最长木棒为：． 24．如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面圆的直径是，内壁高是．这支铅笔长为，设这支铅笔在笔筒外面部分的长度为x，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据题意画出图形，利用勾股定理计算出的长度．然后求其差，即可得出结果． 【详解】解：当铅笔与笔筒底垂直时最大，最大． 当铅笔如图放置时最小． 在中，， ， ． 的取值范围：． 25．今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问：水深、葭长各几何？（选自《九章算术》） 题目大意：有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺（如图）．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面．这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？ 【答案】这个水池的深度和这根芦苇的长度各是12尺，13尺 【分析】设尺，则尺，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：设尺，则：尺， ∵水面是一个边长为1丈的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，1丈尺， ∴尺， 在中，， ∴， 解得， ∴尺，尺， 即这个水池的深度和这根芦苇的长度各是12尺，13尺． 26．寒冷的冬天，你需要一杯热热的咸奶茶．现用搪瓷缸制作咸奶茶，已知，圆柱形搪瓷缸的底面直径为，高为．老师遇到了这样一个问题：搅拌棒的长度太短了，不能搅拌到底部． (1)当搅拌棒接触到底部时，搅拌棒至少长出杯口才合适．请你告诉老师，如图1放置时，搅拌棒至少需要_____； (2)如图2，老师新买的一根长为的搅拌棒，如果设其露在杯子外面的长为，求出的取值范围． 【答案】(1)15 (2) 【分析】（1）图1中搅拌棒竖直放置，圆柱的高为，即杯内搅拌棒长度为，题目要求长出杯口，两者相加即可解答； （2）当搅拌棒斜放，从杯口边缘到杯底对角时，杯内长度最大，当搅拌棒竖直放置时，杯内长度最小，据此求解即可； 【详解】（1）解：根据题意可得搅拌棒至少需要； （2）解：当搅拌棒竖直放置时，露在杯子外的长； 由勾股定理得，搅拌棒在杯子里面的部分最长为， 露在杯子外面的长； ． 题型八：解决航海问题 27．已知A，B两艘船同时从港口O出发，船A以的速度向东航行，船B以的速度向北航行．它们离开港口后，两船相距________． 【答案】 【分析】根据题意，两船航行方向垂直，先求出2小时后两船距离港口O的路程，再用勾股定理计算两船相距的距离． 【详解】解：如图，设船A所在的点为A，船B所在的点为B， ∵船A向东航行，船B向北航行， ∴， ∵两船航行时间为， ∴，， 根据勾股定理可得：， 即两船相距． 28．如图，甲、乙两船同时从港口出发，甲船以海里时的速度沿北偏东方向航行，乙船沿南偏东方向航行，小时后，甲船到达岛，乙船到达岛，若，两岛相距海里，乙船的速度是 （    ） A．海里时 B．海里时 C．海里时 D．海里时 【答案】C 【分析】根据已知判定为直角，根据路程公式求得的长．再根据勾股定理求得的长，从而根据公式求得其速度． 【详解】解：如图， 甲的速度是海里时，时间是小时， 海里． ，， ． 海里， 海里． 乙船也用小时， 乙船的速度是40海里时． 29．如图，某港口位于东西方向的海岸线上．“惠州”号、“中山”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“惠州”号每小时航行10海里，“中山”号每小时航行7.5海里．它们离开港口后相距25海里．如果知道“惠州”号沿东北方向航行，能知道“中山”号沿哪个方向航行吗？ 【答案】“中山”号沿北偏西（或西北）方向航行 【分析】本题考查了勾股定理逆定理的应用，方向角，解题的重点主要是能够根据勾股定理的逆定理发现直角三角形，关键是从实际问题中抽象出直角三角形，难度不大． 求出，的长，利用勾股定理逆定理以及方向角即可得到“中山”号航行方向． 【详解】解：由题意可得：(海里)，(海里)，海里， ， ， “惠州”号沿东北方向航行，即沿北偏东方向航行， ， ∴． “中山”号沿北偏西（或西北）方向航行． 30．如图，一艘轮船先从A地出发行驶到B地，又从B地行驶到C地，B地在A地南偏西的方向，距离A地80海里，C地在B地北偏西的方向，距离B地100海里．    (1)表示出B地相对于C地的位置； (2)求A，C两地之间的距离． 【答案】(1)B地在C地南偏东的方向，距离C地100海里 (2)海里 【分析】本题考查了方向角，勾股定理等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）结合图形观察即可求解； （2）判断，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图，    ∵C地在B地北偏西的方向，距离B地100海里 ∴B地在C地南偏东的方向，距离C地100海里； （2）解：根据题意，得， ∴海里， 即A，C两地之间的距离海里． 题型九：求河宽 31．机械狗可以用于水质监测．如图，机械狗从A处出发，计划沿与河岸垂直的方向到达B处，由于水流的影响，实际上岸地点C与目的地B处相距9米，机械狗实际行走的路程为15米，则的长为_______ 米． 【答案】12 【分析】根据勾股定理计算即可． 本题考查的是勾股定理的应用，灵活运用勾股定理是解题的关键． 【详解】解：在中，米，米， 由勾股定理得： 米． 故答案为：12． 32．某公园有一个人工湖，湖的周围是笔直的甬道，珍珍想知道湖两岸，两点间的距离，但由于湖面阻隔无法直接测量，珍珍观察公园的游览图时得到如图所示的示意图，根据图中数据可得，两点间的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，延长、交于点，则为直角三角形，根据勾股定理即可求得，两点间的距离． 【详解】解：如图，延长、交于点， 则为直角三角形， 根据图中数据可得，，， 由勾股定理可得，． 33．机械狗可用于开展水质监测工作，如图，机械狗从A点出发，计划沿与河岸垂直的方向到达B处，由于受水流的影响，实际上岸地点C处与目的地B处相距9米，机械狗实际行走的路程为15米，求的长． 【答案】（米） 【详解】解：由题意，得米，米， 在中，由勾股定理，得（米）． 34．勾股定理被誉为数学界的璀璨明珠，在数学发展历程中占有举足轻重的地位．历史上有很多方法可以验证勾股定理． (1)如图1，在四边形中，，、、三点共线，，请利用图1验证勾股定理； (2)如图2，某桥洞的横截面由半圆和正方形构成，，近期雨水多，水位上涨至，水深米．一艘货船装满货物后，露出水面部分横截面为长方形，高米，宽为米，请判断这艘货船能否安全通过此桥洞，并说明理由． 【答案】(1) 证明：， ∵， ∴, ∴ ， ∴． (2) 可以安全通过， 理由：取中点，由题知：， 过点作交桥洞于点，连接，如下图所示： ∴， ∴在中，， ∴， ∴可以安全通过． 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练运用勾股定理是解题的关键． （1）根据面积公式计算，可证出勾股定理； （2）过点作交桥洞于点，连接，结合勾股定理求出的长度，计算其与水面的高度，进行比较即可． 【详解】（1）略 （2）略 题型十：求台阶上地毯长度 35．如图所示的一段楼梯，高是3米，斜边长是5米，现打算在楼梯上铺地毯，至少需要地毯的长度为（    ）    A．4米 B．5米 C．6米 D．7米 【答案】D 【分析】根据勾股定理计算米，根据题意，台阶的高的和为，宽的和为，求和计算即可． 【详解】∵高是3米，斜边长是5米， ∴米， 根据题意，台阶的高的和为，宽的和为， 米， 故选D． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握定理是解题的关键． 36．如图，在一个长为，宽为的长方形草地上放着一根长方体木块，已知该木块的较长边和场地宽平行，横截面是边长为的正方形，若点A处有一只蚂蚁，它从点A处爬过木块到达点C处去吃面包碎，则它需要走的最短路程是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平面展开最短路径问题，两点之间线段最短，有一定的难度，要注意培养空间想象能力，将木块展开，然后根据两点之间线段最短解答，解题的关键是能将侧面展开成长方形，从而用勾股定理求解． 【详解】解：由题意可知，将木块展开，相当于是个正方形的边长， ∴长为米；宽为米． 于是最短路径为：米． 故选：B．    37．某公司举行开业一周年庆典，准备在一个长，高的台阶上铺设地毯（如图所示），已知台阶的宽为． (1)请你算一算共需购买多大面积的地毯； (2)若地毯的价格为120 元，则购买地毯需花费多少元？ 【答案】(1)共需购买68平方米的地毯 (2)购买地毯需花费8160元 【分析】（1）求出台阶的水平宽，计算地毯长度，再计算地毯的面积即可； （2）用地毯的单价乘以面积求出购买地毯的费用． 【详解】（1）解：依题意图中直角三角形一直角边为，斜边为， 根据勾股定理另一直角边长，即台阶的水平宽为：， 则需购买地毯的长为， 因为地毯的宽则是台阶的宽4米， 所以面积是：． 故共需购买的地毯． （2）解：由地毯的价格为120 元， 则购买地毯的费用为：元， 故购买地毯需花费8160元． 38．综合与探究 定义：一般地，若直角三角形三边长、、都是正整数，那么称、、为勾股数．设、是两个正整数，且，直角三角形三边长、、都是正整数．下表中的，，（、均小于）可以组成一些有规律的勾股数． 2 1 3 4 5 3 1 8 6 10 3 2 5 12 13 4 1 15 8 ① 4 2 12 ② 20 4 3 ③ 24 25 … … … … … （1）请写出表中①，②，③上的数． （2）对表中的数据探究发现，，继续探究发现和也可以用含、的代数式表示．请你用含、的代数式分别表示：④，⑤． （3）某校计划在一块绿地上画出一个直角三角形（如图），该直角三角形三边长为米、米、米，且、、满足（2）中的规律．要求仅在该直角三角形边上种花，且每个顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为1米．如果最短边可种8株花，那么该直角三角形上一共可以种植⑥株花． 请将上述材料中横线上所缺内容补充完整． (1)①__________；②__________；③__________； (2)④__________；⑤__________； (3)⑥__________． 【答案】(1)①17，②16，③ (2)， (3)81 【分析】（1）观察表格可得三边满足，，，代入相应，即可求出空格． （2）用勾股定理和完全平方公式验证． （3）“最短边可种株花”说明最短边长为米；由于必为偶数，最短边只能是，从而列方程求出，，再按“封闭图形种花”模型求总株数． 【详解】（1）解：，，， 当，时，， ①； 当，时，， ②； 当，时，， ③． （2）解：，且， ， ， ， ， ，． （3）解：最短边可种株花，且两端都种， 最短边长为（米）， 为偶数，而为奇数， 最短边为，即， ， ， ，为正整数且， ，， 解得：，， ，， 三边长分别为米、24米、25米， 每边种花数为边长加， 三边合计（株）， 三个顶点各被重复计算一次， 总花数（株）． 题型十一：判断汽车是否超速 39．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为，则这辆小汽车的速度是_____．    【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，在中，根据题意，勾股定理求得，再根据路程除以时间等于速度，即可求解． 【详解】解：依题意，在中，，； 据勾股定理可得：， 故小汽车的速度为s． 故答案为：． 40．如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点160米处有一所学校A，当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心，100米为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．若已知重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为36千米/时，则对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离是___米；重型运输卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间是____秒． 【答案】 80 12 【分析】作于，求出的长即可解决问题，如图以为圆心m为半径画圆，交于、两点，求出的长，利用时间计算即可． 【详解】解：作于， ，m， m， 即对学校的噪声影响最大时卡车与学校的距离m． 如图以为圆心m为半径画圆，交于、两点， ， ， 在中，m， m， 重型运输卡车的速度为36千米时米秒， 重型运输卡车经过的时间（秒， 故卡车沿道路方向行驶一次给学校带来噪声影响的时间为12秒． 故答案为：80，12． 【点睛】本题考查勾股定理的应用、解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 41．在一次军事演习中，红方侦察员王叔叔在距离一条东西向公路处侦察，发现一辆蓝方汽车在这条公路上疾驶．他用红外测距仪测得汽车与他相距；过了，测得汽车与他相距．你能帮王叔叔计算蓝方汽车这的平均速度吗？（分析：你能根据题意画出图形吗？在你画的图形中存在一个怎样的三角形？） 【答案】 蓝方汽车这的平均速度为 【分析】过王叔叔的位置作公路的垂线段，结合两次测量的距离构造直角三角形，利用勾股定理求出汽车行驶的路程，进而计算平均速度． 【详解】解：设王叔叔的位置为点，东西向公路为直线， 过点作，垂足为点，设后汽车的位置为点，点，均在直线上， 由题意得，， ∵， ∴为直角三角形，， 在中，，， ∴（） ∴汽车内行驶的路程， ∴平均速度为（）， 答：蓝方汽车这的平均速度为． 42．如图，某康养基地内有一条东西向的景观公路，基地的监控中心到公路的垂直距离为1200米．一天，监控员发现一辆未登记的外来车辆在公路上匀速行驶．用红外线测距仪测得：此时车辆正在公路处，距处2000米；44秒后，车辆行驶到公路上的处，距处1300米． (1)求外来车辆的平均速度； (2)监控中心到景观公路只有一条长为1500米的小路．监控员发现外来车辆后，立即联系安保人员，当外来车辆到达处时，安保人员同时开车从出发，沿小路进行拦截，若安保人员车速为，能否成功在处拦截外来车辆？请通过计算进行说明． 【答案】(1)外来车辆的平均速度为 (2)能成功在处拦截外来车辆，理由如下： 由题意得， 在中，由勾股定理，得， 由（1）可知， ， 外来车辆到达处所需的时间为． 安保人员的速度为， 安保人员达处所需的时间为， 能成功在处拦截外来车辆． 【分析】（1）过点作于点，由题意得，，，利用勾股定理在中，可得，在中，可得，从而求得，即可得出外来车辆的平均速度； （2）先利用勾股定理在中，可得，结合（1）可得，从而可以算出外来车辆及安保人员达处所需的时间，通过比较即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，则，， 由题意得，， 在中，由勾股定理，得， 在中，由勾股定理，得， ， 速度为， 答：外来车辆的平均速度为； （2）略． 题型十二：判断是否受台风影响 43．如图，在笔直的公路旁有一个城市书房C，C到公路的距离为80米，为100米，为300米．一辆公交车以3米/秒的速度从A处向B处缓慢行驶，若公交车鸣笛声会使以公交车为中心170米范围内受到噪音影响，那么公交车至少______秒不鸣笛才能使在城市书房C看书的读者不受鸣笛声影响． 【答案】70 【分析】如图，设米，由勾股定理求出和的长，则可求出答案． 【详解】解：如图，设米， ∵，米， ∴（米）， ∵米，米， ∴（米）， ∴（米）， ∴公交车鸣笛声会受到噪音影响的时间为（秒）， 故答案为：70． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 44．如图，一艘船以40km/h的速度沿既定航线由西向东航行，途中接到台风警报，某台风中心正以20km/h的速度由南向北移动，距台风中心200km的圆形区域(包括边界)都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离BC=500km，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离BA=300km，如果这艘轮船会受到台风影响，那么从接到警报开始，经过(    )小时它就会进入台风影响区    A．10 B．7 C．6 D．12 【答案】B 【分析】首先根据题意结合题目条件画出图形，进而利用勾股定理得出等式计算即可． 【详解】解：由题意，作图如下：    设x小时后，就进入台风影响区，根据题意得出： CE=40x千米，BB′=20x千米， ∵BC=500km，AB=300km， ∴AC=400km， ∴AE=400-40x，AB′=300-20x， ∴AE2+AB′2=EB′2， 即（400-40x）2+（300-20x）2=2002， 解得：x1=，x2=（不符合题意，舍去）． 故答案为：B． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用以及勾股定理等知识，根据题意得出关于x的等式是解题关键． 45．如图，两条公路、交于点O，在公路旁有一学校A，与O点的距离为，点A（学校）到公路的距离为，一大货车从O点出发，行驶在公路上，货车周围范围内有噪音影响． (1)货车开过学校是否受噪音影响?为什么? (2)若货车速度为，则学校受噪音影响多少秒钟? 【答案】(1)货车开过学校受噪音影响，理由如下： ∵， ∴货车开过学校受噪音影响； (2)学校受噪音影响时间是6秒 【分析】（1）根据垂线段最短即可求解； （2）设，则路段是学校受噪音影响的路段，对运用勾股定理求解，即可求解，即可求解受影响的时间． 【详解】（1）略 （2）解：如图，设，则路段是学校受噪音影响的路段， ∵， ∴， 又，， ∴， 同理由勾股定理可得，， ∴， ∴影响时间（秒）． 答：学校受噪音影响时间是6秒． 46．如图，某沿海城市接到台风预警，在该市正南方向的处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市到的距离为． (1)求台风中心从点移到点的距离的长？ (2)如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风的影响，那么市受到台风影响的时间持续多少小时？ 【答案】(1)的长为 (2)市受到台风影响的时间持续小时 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，理解题意并正确计算是关键． （1）使用勾股定理直接计算即可； （2）以点为圆心，为半径作圆，交于点、，使用勾股定理求出，再除以台风的速度求出持续时间． 【详解】（1）解：由题意可得，， 在直角中，． 答：的长为． （2）解：如图，以点为圆心，为半径作圆，交于点、， 由题意可知，台风在段时，对市有影响． 在直角中，， 同理，， ∴， ∴影响持续的时间为． 答：市受到台风影响的时间持续小时． 题型十三：选址使到两地距离相等 47．为了解决 A、B 两个村的村民饮水难，计划在笔直的河边 修建一个水泵站，为节约经费，该水泵站与两村的水管线总长力求做到最短，已知 A 村到河边的距离为 1km，B 村到河边的距离为 2km，AB=4km，则水管线最短要_______km(结果保留根号）． 【答案】 【分析】作点A关于直线的对称点A′，连接BA′与直线交于点P，此时PA+PB最小，先在Rt△ABM中利用勾股定理求出线段AM的长，再在Rt△A′BN中利用勾股定理求出线段A′B即可． 【详解】如图， 作点A关于直线的对称点A′，连接BA′与直线交于点P，此时PA+PB最小． 作A′N∥，AM∥，BN⊥与AM、A′N分别交于点M、N， ∵A 村到河边的距离为 1km，B 村到河边的距离为 2km，AB=4km， ∴Rt△ABM中，BM=1km，AB=4km， ∴AM=(km)， 在Rt△A′BN中，∵A′N= AM=(km)，BN=1+2=3(km)， ∴A′B=(km)， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称-最短问题、勾股定理的应用等知识，利用对称找到点P的位置是解题的关键，属于中考常考题型． 48．如图，公路上A、B两点相距，C、D为两村庄，已知，，于点A，于点B，现要在上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则E站离A站的距离是（    ）． A． B．16 C．11 D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用． 设，则，由勾股定理得：，，再根据，得到，求出，即可求出E站离A站的距离． 【详解】解：设，则， 由勾股定理得：在中，， 在中，， 由题意可知：， ∴， 解得：， ∴的长是， ∴． 故选：D． 49．如图，在一条东西走向的街道l上有两个快递投放点B，C．，快递投放点C的正北方向有一小区A，小区A到快递投放点B的距离为． (1)求小区A到快递投放点C的距离． (2)在街道l上有另一个快递投放点D到小区A与快递投放点B的距离相等，求快递投放点B，D之间的距离． 【答案】(1)小区A到快递投放点C的距离为 (2)快递投放点B，D之间的距离为 【分析】（1）根据勾股定理求解即可； （2）设，则，根据勾股定理列方程求解即可； 【详解】（1）解：∵小区A在点C的正北方向， ∴， ∴，， ∴， ∴小区A到快递投放点C的距离为； （2）解：设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴快递投放点B，D之间的距离为． 50．【问题提出】勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”． 在我国最早对勾股定理进行证明的是汉代的数学家赵爽．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c）拼成，用它进行证明勾股定理； 图2为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，它用两个全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c）和直角边为c的等腰直角三角形拼成一个直角梯形，用它也可以验证勾股定理． (1)在直角三角形中，直角边分别为a，b，斜边为c，从上述两种方法中，任选一种方法证明勾股定理． (2)勾股定理的验证过程体现了一种重要的数学思想是_______； A．函数思想         B．整体思想         C．分类讨论思想         D．数形结合思想 【知识应用】 (3)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，现测得千米，千米，千米，为最大限度节省铺路的费用（保证质量的前提下），求新修路的长． 【答案】(1) 解：根据赵爽弦图进行证明： ∵， ∴， ∴； 根据“总统证法”进行证明： ∵， ∴， ∴， ∴； (2)D (3)新修路的长为0.8千米 【分析】（1）在图1中，大正方形的面积等于四个直角三角形的面积与中间小正方形的面积之和，列出式子后化简即可证明；在图2中，梯形的面积等于三个三角形的面积之和，列出式子后化简即可证明． （2）勾股定理的验证过程体现了数形结合思想，据此即可解答； （3）当时，最小，能最大限度节省铺路的费用．设千米，则（千米），根据勾股定理列出方程，求解即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：勾股定理的验证过程体现了一种重要的数学思想是数形结合思想． 故选：D； （3）解：当时，最小，能最大限度节省铺路的费用． 设千米，则（千米） ∵， ∴在中，， 在中，， ∴， 解得， ∴千米， ∴（千米）． 答：新修路的长为0.8千米． 题型十四：求最短路径 51．《九章算术》有一道古题：今有木长二丈，围之三尺．葛生其下，缠木七周，上与木齐．问葛长几何？ 题目大意：如图，有一棵树（将树看作一个圆柱）高2丈，底面周长是3尺，一条生长在树底下的藤从树底部开始均匀缠绕树7圈，上端刚好与树顶端齐平．这条藤的长度是______________________尺．（1丈尺） 【答案】 29 【分析】首先将圆柱体侧面展开其侧面图为长方形，再根据已知条件求出矩形的长和宽，再利用勾股定理即可求出这条藤的长度． 【详解】解：如图，将树看作一个圆柱并进行展开，其侧面展开图为长方形， ∵树高2丈， ∴尺， ∵树的底面周长是3尺，一条生长在树底下的藤从树底部开始均匀缠绕树7圈， ∴尺， ∴尺， 故这条藤的长度是29尺. 52．如图，有一个圆柱形玻璃杯，它的底面周长为，高为．在杯内壁离杯底的点处有一只蚂蚁，此时与蚂蚁相对的外壁离杯口的点处有一滴蜂蜜．若蚂蚁从点沿玻璃杯侧面爬到点，则蚂蚁爬行的最短路程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将圆柱侧面展开，作A关于的对称点，连接，则就是最短距离，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：圆柱侧面展开如下图所示，作A关于的对称点，连接，则就是最短距离，过B作于， 由题意可得：，，， 由勾股定理得：， ， 答：蚂蚁爬行的最短路程为． 53．如图是放在地面上的一个无盖的长方体形盒子，长、宽、高分别为，，，一只蚂蚁想从盒底的点沿盒的侧面爬到盒顶的点，你能帮蚂蚁设计一条最短的线路吗？蚂蚁要爬行的最短行程是多少？ 【答案】能，最短行程是． 【分析】此题考查了平面展开——最短路径问题，根据题意分两种情况利用勾股定理求解，然后比较即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图所示，连接即为所求路线， 根据题意：在中，根据勾股定理 ∵，， ∴， 如图所示，连接即为所求路线， 根据题意：在中，根据勾股定理 ∵，， ∴， ∵ ∴最短行程是． 54．“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答问题． （1）赵爽弦图：4个全等的直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形，其中，请你利用图形验证勾股定理． （2）求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点和重合（图2），这时，，问题就变成“点在线段的何处时，最短？”根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值． 【模型应用】 （1）代数式的最小值为_______________； （2）变式训练：利用图3，求代数式的最小值． 【答案】 （1）由图及题意可知： 大正方形的面积为，小正方形的面积为，四个直角三角形的面积为， ∴， 整理得：； 模型应用：（1）；（2） 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键； （1）根据等积法可进行求证； 模型应用：（1）根据题意及勾股定理可进行求解； （2）同理，根据题中的方法构造图形，进而根据勾股定理可求最小值． 【详解】解：（1）略 模型应用：（1）由题意得：线段即为的最小值， ∴由勾股定理可得：； 即的最小值为； 故答案为； （2）如图，由题意可构造如下三角形， ∴线段即为的最小值， ∴， 即的最小值为． 题型十五：勾股定理逆定理的实际应用 55．如图，在某一景观河的一侧有一个最佳观景点A，河边有两个入口B，C，通过道路BA，CA可前往观景点A．因景区改造，需要关闭通道，为方便游客观景，分散人流，决定新修道路（点D在上）．经测量：，，．则是否为从A到河边的最近道路______（请从“是”“否”“不确定”中选择一个填空）． 【答案】是 【分析】可证明，则可得到，再由垂线段最短可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， 由垂线段最短可知是从A到河边的最近道路． 56．如图，李伯伯家有一块四边形田地，其中，，，，，则这块地的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理和三角形的面积，勾股定理的逆定理，连接，运用勾股定理逆定理可证为直角三角形，可求出两直角三角形的面积，此块地的面积为两个直角三角形的面积和． 【详解】解：如图，连接， 在中，，，， 由勾股定理得：， ∴（负值已舍去）， 在中，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：A． 57．中秋假日，小明带着自己的小狗来到湿地公园玩耍．公园内有一块四边形草坪ABCD，草坪内有一条小路AC．经测量，，，，，． (1)求草坪拐角的度数． (2)小明来到草坪站在点B处，小狗从点A开始以的速度沿A—C的方向奔跑，跑到C点时停止奔跑，则小狗跑多少秒时与小明的距离最近？ 【答案】(1) (2)小狗跑8秒时与小明的距离最近 【分析】（1）由勾股定理求出的长，证明，可得； （2）设小狗的位置为点E，由垂线段最短可知当时，有最小值，由等面积法求出的长，进而求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，即； （2）解：设小狗的位置为点E， 由垂线段最短可知当时，有最小值， 此时有， ∴， ∴， ∴， ， 答：小狗跑8秒时与小明的距离最近． 58．如图，在一条东西方向铁路的北边有一鸟类巢穴C，铁路上有A、B两处观测点，观测点A距离鸟类巢穴，观测点B距离鸟类巢穴，两观测点A、B相距．火车行驶时会对周围范围造成噪声污染． (1)求点C到铁路的距离； (2)当一列长度为的火车以的速度经过铁路时，会对鸟类巢穴造成噪声污染吗？若不会造成噪声污染，请说明理由；若会造成噪声污染，求出火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长（火车长度不能忽略不计）． 【答案】(1)点C到铁路的距离为 (2)会，火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长为 【分析】（1）过点C作于点D，利用勾股定理逆定理推出，再利用三角形面积公式求解，即可解题． （2）以点C为圆心，以为半径画圆弧，分别交于点E、F，连接，则，利用勾股定理求出，进而求出，再根据时间路程速度，即可解题． 【详解】（1）解：过点C作于点D，如图． 由题意，得． ， ． 是直角三角形，， ， ． 答：点C到铁路的距离为． （2）解：， ∴会对鸟类巢穴造成噪声污染． 如图，以点C为圆心，以为半径画圆弧，分别交于点E、F，连接，则． ， ． 在中，由勾股定理，得， ， ∴火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长为． 答：火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长为． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02勾股定理的应用期中复习讲义 1.能够将实际生活场景抽象构造出直角三角形模型，熟练运用勾股定理求解线段长度，掌握常见基础模型：梯子滑动问题、折叠问题、航海方向问题、立体图形最短路径问题。 2.掌握立体图形求最短路径的解题思路：将立体图形（圆柱、长方体）的侧面展开为平面图形，利用 “两点之间线段最短”，结合勾股定理计算最短距离。 3.会结合勾股定理逆定理解决实际问题：通过计算三边平方关系，判断实际场景中是否存在直角，用于工程、测量类实际判定。 4.学会处理折叠类几何应用问题：抓住折叠前后对应边相等、对应角相等，设未知数，利用勾股定理列方程求解线段长，体会方程思想。 5.能够解决带有分类讨论的实际应用题，注意题目没有给出图形时，考虑多解情况，避免漏解。 6.规范应用题解题步骤：建模、确定直角三角形、列式计算、检验结果是否符合实际意义，最后作答。 7.易错点梳理： 立体图形展开时，区分不同展开方式，部分题目存在多种展开路径，需要对比求出最短路线； 分清直角边和斜边，不要直接套用公式，确认直角位置； 实际问题的结果要符合现实，舍去负数解。 题型 考察方向 难度 题型一 勾股定理与网格问题 ★★ 题型二 勾股定理与折叠问题 ★★★ 题型三 求梯子滑落高度 ★★ 题型四 求旗杆高度 ★★ 题型五 求小鸟飞行距离 ★★ 题型六 求大树折断前的高度 ★★ 题型七 解决水杯中筷子问题 ★★ 题型八 解决航海问题 ★★★ 题型九 求河宽 ★★ 题型十 求台阶上地毯长度 ★★ 题型十一 判断汽车是否超速 ★★★ 题型十二 判断是否受台风影响 ★★★ 题型十三 选址使到两地距离相等 ★★★ 题型十四 求最短路径 ★★★★ 题型十五 勾股定理逆定理的实际应用 ★★★ 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01:核心解题思想：数学建模 核心逻辑：把实际问题转化为直角三角形问题，用勾股定理求解未知边长。 步骤：读题→画示意图→找直角→标已知边→列勾股定理公式→计算→作答 关键词：垂直、水平、最短、折叠、高度、距离（这些词通常暗示直角存在） 知识点02:勾股定理公式及变形（必记） 在 Rt △ABC 中， ∠C = 90，三边为 a,b,c（c 为斜边） 求斜边：c= 求直角边:,b= 知识点03:四大经典应用模型｜考试全覆盖 依托墙面、地面、树木等垂直关系，天然形成直角。 常见题型：求旗杆高度、树高、楼台距离、斜坡长度。 解题思路：利用竖直方向与水平方向互相垂直，直接构成直角三角形，代入公式计算。 . 矩形、三角形折叠类题型，是几何高频考点。 核心规律：折叠前后对应边相等、对应角相等。 解题技巧：设未知线段长，利用折叠相等关系表示边长，结合勾股定理列方程求解。 矩形 ABCD 沿 BD 折叠，点 C 落在 C′ 处，满足： 对应线段相等：BC′=BC，C′D=CD，ED=ED 对应角相等：∠C′=∠C=90∘，∠C′BD=∠CBD 可构造直角三角形（如 △ABE 或 △DEC′），利用勾股定理列方程求解，与文字逻辑完全一致。 行走路线、航海路线、方位角问题。东西方向与南北方向互相垂直，天然构成直角，以此建立三角形模型，求解两点之间的直线距离。 知识点04:通用解题步骤（所有应用题通用） 步骤 详细操作 & 注意事项 1 审题建模 区分场景：竖直物体、梯子、方位、立体、折叠、测直角；找出天然直角（墙⊥地面、南北⊥东西） 2 画图标注 必画简图,标注直角符号;已知长度直接标数字,未知长度统一设为 x 3 判定边 锁定直角三角形：分清两条直角边、斜边（最长边），严禁乱代边 4 列关系式 纯计算直接套公式；有未知量一律列一元一次方程 5 计算验根 解出方程后，长度必须＞0，负数解直接舍去 6 规范作答 带单位，文字回答对应问题 知识点05:应用场景:核心公式+等量关系 分类 具体场景 核心等量关系（公式） 长度 距离 类 梯子滑落高度 梯子长（c）² =墙高(a)² +梯底距墙距离(b)²（梯子为斜边） . 小鸟飞行距离 飞行距离（c）²= 水平距离（a）² +垂直距离（b）² 河宽 河宽（a）²=对岸连线长（c）² -河岸横向距离（b）² 台阶地毯长度 地毯长（c）²= 台阶水平总长（a）² +台阶垂直总高（b）² 立体最短路径（展开） 最短路径（c）²=展开后水平边长（a）²+展开后竖直边长（b）² 高度 类 旗杆高度 旗杆高（a）² = 绳子长（c）² - 绳端距旗杆底距离（b）² 大树折断前高度 1.折断部分长（c）² =树桩高（a）² +折端距树根距离（b）² 2.总高 = 树桩高 + 折断部分长 实际 生活 类 水杯中筷子长度 杯内筷子最长（c）² = 水杯底面直径（a）² + 水杯高度（b）² 航海距离（航向垂直） 两船距离(c)²=船 1 航行距离（a）² + 船 2 航行距离（b）² 汽车超速判断 1.行驶距离（c）² = 水平路段长（a）² + 垂直路段长（b）² 2.速度 = 距离 ÷ 时间（与限速比较） 台风影响判断 观测点到台风路径的垂直距离（a） ≤ 台风影响半径（c）→ 受影响；反之不受影响 知识点06:解题规范与易错点汇总 1. 规范书写步骤 第一步：画示意图，标注已知边长和未知量 第二步：说明直角，明确哪条边是斜边 第三步：列公式，代入已知数据 第四步：计算，开方后化简根式 第五步：作答，带单位（如米、厘米） 2. 高频易错点 易错点 错误示例 正确做法 斜边与直角边混淆 把梯子底端离墙距离当作斜边 先找直角，直角对的边才是斜边（最长边） 忘记开方 算出 a2 + b2 = 25，直接写边长为 25 必须对平方和开算术平方根，得 c=5 建模错误 折叠问题中找不到新直角三角形 先还原折叠前图形，找出相等的边，再定位直角 单位遗漏 计算结果只写数字，不写单位 实际问题必须带单位，如 “5 米”“10cm” 场景混淆 用逆定理求长度，用勾股定理判直角 勾股定理：已知直角求边长；逆定理：已知边长判直角 题型一：勾股定理与网格问题 1．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点均在网格格点上，以点B为圆心，长为半径画弧交于点F，连接，则的长为______． 2．如图是边长为1的正方形网格，已知的三个顶点均在正方形格点上，则边上的高是（     ） A．2.5 B． C．5 D． 3．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为．按要求完成下列作图． (1)在图中，画一条长度为的线段． (2)在图中，画一个面积为的正方形． (3)在图中，画一个（标明顶点，，）使得，， 题型二：勾股定理与折叠问题 4．如图，在直角三角形纸片中，，折叠纸片使得点落在边上点处，折痕是．若，，则的长为___________． 5．如图，将一张长方形纸片折叠，使得点的对应点落在上，折痕与交于点．若，则的长为（　　） A．8 B． C． D． 6．如图，把一张长方形纸片折叠起来，为折痕，使其对角顶点A与点重合，点与点重合．若长方形的长为8，宽为4． (1)求的长； (2)求的值； (3)求阴影部分的面积． 题型三：求梯子滑落高度 7．如图，一根长为米的梯子斜靠在垂直于地面的墙上，这时梯子的底端与墙根之间的距离为米，如果梯子的底端向外（远离墙根方向）移动米至处，则梯子的顶端将沿墙向下移动______． 8．如图，一架梯子AB长为5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙底端C的距离是3米，梯子下滑后停在DE的位置上，这时测得BE为1米，则梯子顶端A下滑了（    ）    A．1米 B．1.5米 C．2米 D．2.5米 9．如图，一座城墙高，墙外有一条护城河，在护城河外距离城墙根处架一架长为的云梯，该云梯能否抵达城墙的顶端？为什么？ 10．物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降． (1)如图1，物体C静止在直轨道上，滑块B与物体C的水平距离为．绳子的总长度为（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计）．求物体C到定滑轮A的垂直距离的长； (2)如图2，在图1的基础上滑块B向左滑动，若物体C升高（即），求滑块B向左滑动的距离． 题型四：求旗杆高度 11．我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题目：“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”大意是：如图，木柱与地面互相垂直，绳索比木柱长3尺，将绳索拉直沿地面行走，当绳索刚好用完时，长为8尺，则绳索长_______尺． 12．某班数学小组到十四中平坦的操场上测量旗杆的高度，信息如下： ①如图：绳子一端系在旗杆顶端处，甲同学拉直绳子退至离旗杆3.5米（米）的点处，此时手上的绳子还剩0.5米； ②甲同学继续往后退1.5米（米）到达点，此时手上的绳子刚好用完； ③甲同学拉绳子的手到地的距离始终是1.6米； 则旗杆的高度为（     ） A．12米 B．12.6米 C．13米 D．13.6米 13．如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面多出一段的长度为米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点处，到旗杆底部的距离为米． (1)求旗杆的高度； (2)小明在处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的3米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点处，问小明需要后退几米（即的长）？ 14．某学校八年级数学兴趣小组开展了测量学校旗杆（如图1）高度的实践活动，同学们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．如图2，线段的长表示旗杆高度，垂直地面于点N．将系在旗杆顶端的绳子垂直到地面，并多出了一段．用皮尺测出的长度为．如图3，小丽同学将绳子末端放置于头顶，向正东方向水平移动，直到绳子拉直为止，此时小丽同学直立于地面点B处．用皮尺测出点N与点B之间的距离为．已知小丽身高为．请根据所给信息，求学校旗杆的高． 题型五：求小鸟飞行距离 15．如图，在水平地面上，有一棵高的大树和一棵高的小树，两树之间的水平距离是．若一只小鸟从小树的顶端飞到大树的顶端，则小鸟至少飞行________m． 16．如图，有一只喜鹊在一棵高的小树上觅食，它的巢筑在与该树水平距离（）为的一棵大树上，大树高，喜鹊的巢位于树顶下方的处，当它听到巢中幼鸟的叫声，立即飞过去，如果它飞行的速度为，那么它要飞回巢中所需的时间至少是（    ） A． B． C． D． 17．2024年12月4日，我国传统节日春节申遗成功．图图和涵涵在市集上买了一个年画风筝，在试飞风筝过程中，他们想利用数学知识测量风筝的垂直高度．以下是他们测量高度的过程：①测得水平距离的长为24米；②根据图图手中剩余线的长度计算出牵引线的长为30米；③图图牵线放风筝的手到地面的距离为米．请你帮助解决涵涵提出的问题．放风筝小队在野外放风筝，为了安全，风筝高度不得高于20米，根据测量的数据判断此时风筝的高度是否安全？ 18．如图1，有两棵树，一棵高10米（米），另一棵高2米（米），两树相距6米（米） (1)求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？ (2)如图2，台风过后，高10米的树在点M处折断，大树顶部落在点D处，则树折断处M距离地面多少米？ 题型六：求大树折断前的高度 19．“折竹抵地”问题源自《九章算术》：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是一根竹子原高1丈（1丈尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地、抵地处离竹子底部4尺远，则折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度是尺，则可以列方程为_____． 20．如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖恰好碰到地面，经测量米，则树高为（     ） A．米 B．米 C．4米 D．米 21．台风过后，某校的旗杆在B处断裂，旗杆顶部A落在离旗杆底部C的远处．已知旗杆长，求旗杆的断裂处距离底部的高度． 22．“风吹树折”问题又称为“折竹抵地”，源自《九章算术》，原文为：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？”意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子根部三尺远，则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈尺） 【模型】如图所示，折断后的两段竹子与地面形成一直角三角形，其中一直角边长3尺，其余两边长度之和为10尺．求折断后的竹子高度． 题型七：解决水杯中筷子问题 23．如图，一个圆桶底面直径为，高，则桶内所能容下的最长木棒为______． 24．如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面圆的直径是，内壁高是．这支铅笔长为，设这支铅笔在笔筒外面部分的长度为x，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 25．今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问：水深、葭长各几何？（选自《九章算术》） 题目大意：有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺（如图）．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面．这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？ 26．寒冷的冬天，你需要一杯热热的咸奶茶．现用搪瓷缸制作咸奶茶，已知，圆柱形搪瓷缸的底面直径为，高为．老师遇到了这样一个问题：搅拌棒的长度太短了，不能搅拌到底部． (1)当搅拌棒接触到底部时，搅拌棒至少长出杯口才合适．请你告诉老师，如图1放置时，搅拌棒至少需要_____； (2)如图2，老师新买的一根长为的搅拌棒，如果设其露在杯子外面的长为，求出的取值范围． 题型八：解决航海问题 27．已知A，B两艘船同时从港口O出发，船A以的速度向东航行，船B以的速度向北航行．它们离开港口后，两船相距________． 28．如图，甲、乙两船同时从港口出发，甲船以海里时的速度沿北偏东方向航行，乙船沿南偏东方向航行，小时后，甲船到达岛，乙船到达岛，若，两岛相距海里，乙船的速度是 （    ） A．海里时 B．海里时 C．海里时 D．海里时 29．如图，某港口位于东西方向的海岸线上．“惠州”号、“中山”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“惠州”号每小时航行10海里，“中山”号每小时航行7.5海里．它们离开港口后相距25海里．如果知道“惠州”号沿东北方向航行，能知道“中山”号沿哪个方向航行吗？ 30．如图，一艘轮船先从A地出发行驶到B地，又从B地行驶到C地，B地在A地南偏西的方向，距离A地80海里，C地在B地北偏西的方向，距离B地100海里．    (1)表示出B地相对于C地的位置； (2)求A，C两地之间的距离． 题型九：求河宽 31．机械狗可以用于水质监测．如图，机械狗从A处出发，计划沿与河岸垂直的方向到达B处，由于水流的影响，实际上岸地点C与目的地B处相距9米，机械狗实际行走的路程为15米，则的长为_______ 米． 32．某公园有一个人工湖，湖的周围是笔直的甬道，珍珍想知道湖两岸，两点间的距离，但由于湖面阻隔无法直接测量，珍珍观察公园的游览图时得到如图所示的示意图，根据图中数据可得，两点间的距离为（     ） A． B． C． D． 33．机械狗可用于开展水质监测工作，如图，机械狗从A点出发，计划沿与河岸垂直的方向到达B处，由于受水流的影响，实际上岸地点C处与目的地B处相距9米，机械狗实际行走的路程为15米，求的长． 34．勾股定理被誉为数学界的璀璨明珠，在数学发展历程中占有举足轻重的地位．历史上有很多方法可以验证勾股定理． (1)如图1，在四边形中，，、、三点共线，，请利用图1验证勾股定理； (2)如图2，某桥洞的横截面由半圆和正方形构成，，近期雨水多，水位上涨至，水深米．一艘货船装满货物后，露出水面部分横截面为长方形，高米，宽为米，请判断这艘货船能否安全通过此桥洞，并说明理由． 题型十：求台阶上地毯长度 35．如图所示的一段楼梯，高是3米，斜边长是5米，现打算在楼梯上铺地毯，至少需要地毯的长度为（    ）    A．4米 B．5米 C．6米 D．7米 36．如图，在一个长为，宽为的长方形草地上放着一根长方体木块，已知该木块的较长边和场地宽平行，横截面是边长为的正方形，若点A处有一只蚂蚁，它从点A处爬过木块到达点C处去吃面包碎，则它需要走的最短路程是（   ）    A． B． C． D． 37．某公司举行开业一周年庆典，准备在一个长，高的台阶上铺设地毯（如图所示），已知台阶的宽为． (1)请你算一算共需购买多大面积的地毯； (2)若地毯的价格为120 元，则购买地毯需花费多少元？ 38．综合与探究 定义：一般地，若直角三角形三边长、、都是正整数，那么称、、为勾股数．设、是两个正整数，且，直角三角形三边长、、都是正整数．下表中的，，（、均小于）可以组成一些有规律的勾股数． 2 1 3 4 5 3 1 8 6 10 3 2 5 12 13 4 1 15 8 ① 4 2 12 ② 20 4 3 ③ 24 25 … … … … … （1）请写出表中①，②，③上的数． （2）对表中的数据探究发现，，继续探究发现和也可以用含、的代数式表示．请你用含、的代数式分别表示：④，⑤． （3）某校计划在一块绿地上画出一个直角三角形（如图），该直角三角形三边长为米、米、米，且、、满足（2）中的规律．要求仅在该直角三角形边上种花，且每个顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为1米．如果最短边可种8株花，那么该直角三角形上一共可以种植⑥株花． 请将上述材料中横线上所缺内容补充完整． (1)①__________；②__________；③__________； (2)④__________；⑤__________； (3)⑥__________． 题型十一：判断汽车是否超速 39．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为，则这辆小汽车的速度是_____．    40．如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点160米处有一所学校A，当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心，100米为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．若已知重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为36千米/时，则对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离是___米；重型运输卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间是____秒． 41．在一次军事演习中，红方侦察员王叔叔在距离一条东西向公路处侦察，发现一辆蓝方汽车在这条公路上疾驶．他用红外测距仪测得汽车与他相距；过了，测得汽车与他相距．你能帮王叔叔计算蓝方汽车这的平均速度吗？（分析：你能根据题意画出图形吗？在你画的图形中存在一个怎样的三角形？） 42．如图，某康养基地内有一条东西向的景观公路，基地的监控中心到公路的垂直距离为1200米．一天，监控员发现一辆未登记的外来车辆在公路上匀速行驶．用红外线测距仪测得：此时车辆正在公路处，距处2000米；44秒后，车辆行驶到公路上的处，距处1300米． (1)求外来车辆的平均速度； (2)监控中心到景观公路只有一条长为1500米的小路．监控员发现外来车辆后，立即联系安保人员，当外来车辆到达处时，安保人员同时开车从出发，沿小路进行拦截，若安保人员车速为，能否成功在处拦截外来车辆？请通过计算进行说明． 题型十二：判断是否受台风影响 43．如图，在笔直的公路旁有一个城市书房C，C到公路的距离为80米，为100米，为300米．一辆公交车以3米/秒的速度从A处向B处缓慢行驶，若公交车鸣笛声会使以公交车为中心170米范围内受到噪音影响，那么公交车至少______秒不鸣笛才能使在城市书房C看书的读者不受鸣笛声影响． 44．如图，一艘船以40km/h的速度沿既定航线由西向东航行，途中接到台风警报，某台风中心正以20km/h的速度由南向北移动，距台风中心200km的圆形区域(包括边界)都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离BC=500km，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离BA=300km，如果这艘轮船会受到台风影响，那么从接到警报开始，经过(    )小时它就会进入台风影响区    A．10 B．7 C．6 D．12 45．如图，两条公路、交于点O，在公路旁有一学校A，与O点的距离为，点A（学校）到公路的距离为，一大货车从O点出发，行驶在公路上，货车周围范围内有噪音影响． (1)货车开过学校是否受噪音影响?为什么? (2)若货车速度为，则学校受噪音影响多少秒钟? 46．如图，某沿海城市接到台风预警，在该市正南方向的处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市到的距离为． (1)求台风中心从点移到点的距离的长？ (2)如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风的影响，那么市受到台风影响的时间持续多少小时？ 题型十三：选址使到两地距离相等 47．为了解决 A、B 两个村的村民饮水难，计划在笔直的河边 修建一个水泵站，为节约经费，该水泵站与两村的水管线总长力求做到最短，已知 A 村到河边的距离为 1km，B 村到河边的距离为 2km，AB=4km，则水管线最短要_______km(结果保留根号）． 48．如图，公路上A、B两点相距，C、D为两村庄，已知，，于点A，于点B，现要在上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则E站离A站的距离是（    ）． A． B．16 C．11 D． 49．如图，在一条东西走向的街道l上有两个快递投放点B，C．，快递投放点C的正北方向有一小区A，小区A到快递投放点B的距离为． (1)求小区A到快递投放点C的距离． (2)在街道l上有另一个快递投放点D到小区A与快递投放点B的距离相等，求快递投放点B，D之间的距离． 50．【问题提出】勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”． 在我国最早对勾股定理进行证明的是汉代的数学家赵爽．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c）拼成，用它进行证明勾股定理； 图2为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，它用两个全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c）和直角边为c的等腰直角三角形拼成一个直角梯形，用它也可以验证勾股定理． (1)在直角三角形中，直角边分别为a，b，斜边为c，从上述两种方法中，任选一种方法证明勾股定理． (2)勾股定理的验证过程体现了一种重要的数学思想是_______； A．函数思想         B．整体思想         C．分类讨论思想         D．数形结合思想 【知识应用】 (3)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，现测得千米，千米，千米，为最大限度节省铺路的费用（保证质量的前提下），求新修路的长． 题型十四：求最短路径 51．《九章算术》有一道古题：今有木长二丈，围之三尺．葛生其下，缠木七周，上与木齐．问葛长几何？ 题目大意：如图，有一棵树（将树看作一个圆柱）高2丈，底面周长是3尺，一条生长在树底下的藤从树底部开始均匀缠绕树7圈，上端刚好与树顶端齐平．这条藤的长度是______________________尺．（1丈尺） 52．如图，有一个圆柱形玻璃杯，它的底面周长为，高为．在杯内壁离杯底的点处有一只蚂蚁，此时与蚂蚁相对的外壁离杯口的点处有一滴蜂蜜．若蚂蚁从点沿玻璃杯侧面爬到点，则蚂蚁爬行的最短路程为（     ） A． B． C． D． 53．如图是放在地面上的一个无盖的长方体形盒子，长、宽、高分别为，，，一只蚂蚁想从盒底的点沿盒的侧面爬到盒顶的点，你能帮蚂蚁设计一条最短的线路吗？蚂蚁要爬行的最短行程是多少？ 54．“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答问题． （1）赵爽弦图：4个全等的直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形，其中，请你利用图形验证勾股定理． （2）求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点和重合（图2），这时，，问题就变成“点在线段的何处时，最短？”根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值． 【模型应用】 （1）代数式的最小值为_______________； （2）变式训练：利用图3，求代数式的最小值． 题型十五：勾股定理逆定理的实际应用 55．如图，在某一景观河的一侧有一个最佳观景点A，河边有两个入口B，C，通过道路BA，CA可前往观景点A．因景区改造，需要关闭通道，为方便游客观景，分散人流，决定新修道路（点D在上）．经测量：，，．则是否为从A到河边的最近道路______（请从“是”“否”“不确定”中选择一个填空）． 56．如图，李伯伯家有一块四边形田地，其中，，，，，则这块地的面积为（    ） A． B． C． D． 57．中秋假日，小明带着自己的小狗来到湿地公园玩耍．公园内有一块四边形草坪ABCD，草坪内有一条小路AC．经测量，，，，，． (1)求草坪拐角的度数． (2)小明来到草坪站在点B处，小狗从点A开始以的速度沿A—C的方向奔跑，跑到C点时停止奔跑，则小狗跑多少秒时与小明的距离最近？ 58．如图，在一条东西方向铁路的北边有一鸟类巢穴C，铁路上有A、B两处观测点，观测点A距离鸟类巢穴，观测点B距离鸟类巢穴，两观测点A、B相距．火车行驶时会对周围范围造成噪声污染． (1)求点C到铁路的距离； (2)当一列长度为的火车以的速度经过铁路时，会对鸟类巢穴造成噪声污染吗？若不会造成噪声污染，请说明理由；若会造成噪声污染，求出火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长（火车长度不能忽略不计）． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $