第四章 一次函数（期中复习讲义）八年级数学上学期新教材北师大版

第四章 一次函数 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 函数 考点二 一次函数的表达式 考点三 一次函数的图象与性质 考点四 一次函数的实际应用 05 重难题型突破 题型一 函数概念的理解 题型二 一次函数的识别 题型三 一次函数的图象和性质 题型四 求一次函数的表达式 题型五 画一次函数的图象 题型六 一次函数的实际应用 题型七 一次函数与几何图形的综合 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 “一次函数”是期中考试的核心章节，分值占比高，常与后续内容综合命题。题型以选择、填空和解答题并重，解答题中应用题和综合题出现频率高。核心考点集中在：一次函数定义与参数条件、图象经过象限与增减性、待定系数法求解析式、图象平移以及实际应用（行程、方案选择等）。难度整体适中，基础题与中等题为主，但动点规律探索、与几何图形结合的最值问题等属于区分点，需重点突破。 识记 熟记一次函数定义（y=kx+b，k≠0），能识别k、b的符号与图象经过象限的对应关系，牢记增减性口诀。 理解 理解k、b的实际意义及图象平移规律，领会待定系数法的依据，能看懂图象交点与方程、不等式解集的内在联系。 应用 能根据图象信息解决行程、计费等实际问题，将几何图形中的动态问题转化为函数模型求解。 考点一 函数 一、常量与变量 定义：①常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量。②变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量。 二、函数的概念 1.定义：一般地，在一个变化过程中，有两个变量x与y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么x是自变量，y是x的函数。 2.函数值：当自变量x=a时，函数y的对应值b，称为x=a时的函数值，记作y=b。 3.自变量取值范围 使解析式有意义:① 分式：分母≠0 ;②二次根式：被开方数≥0；③整式：全体实数 - 符合实际意义（如时间、数量不能为负） 4. 函数判断（核心：唯一对应） ①关系式：y=±（x>0）→ 不是函数（一个x对应两个y） ②图像：作垂直x轴的直线，与图像只有一个交点→是函数 三、函数的表示方法 1.解析法（关系式法） 定义：用数学式子表示函数关系。优点：准确、完整，便于分析计算 2.列表法 定义：用表格列出自变量与函数的对应值。优点：直观、具体，可直接查值 3.图象法 定义：在平面直角坐标系中，以自变量x为横坐标，函数y为纵坐标，描出对应点(x,y)，所有点组成的图形就是函数图象。 步骤：列表→描点→连线（平滑曲线） 优点：形象、直观，能看到变化趋势 四、函数的图象 1.画法步骤 ①列表：选自变量值，算对应函数值; ②描点：在坐标系中标出(x,y); ③连线：按顺序用平滑曲线连接 2.图象与函数关系:①图象上的点满足函数解析式;②满足解析式的点在图象上 3.从图象获取信息;①看趋势（上升/下降）;②找特殊点（与坐标轴交点、最高点、最低点）; ③读对应值（x→y，y→x） ⚠️易混易错 　 混淆变量与常量，忽视自变量取值范围；误判函数关系，如y²=x中y不是x的函数；图像画法漏标单位与正方向；一次函数y=kx+b中k≠0易忘，b=0时仍为正比例函数. 考点二 一次函数的表达式 形如y = kx + b（k，b为常数，k≠0）的函数叫做一次函数。当b = 0时，y = kx（k≠0）叫做正比例函数。 ⚠️易混易错 　 混淆正比例函数与一次函数，忽略k≠0；待定系数法中设错表达式；由图象求k、b时看错交点或符号；实际问题中忽略自变量取值范围。 考点三 一次函数的图象与性质 一次函数y = kx + b的图象是一条直线，可通过两点法（如(0,b)和(- ,0)）画出。当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小。b决定直线与y轴的交点(0,b)。 ⚠️易混易错 　 混淆k、b符号与图象象限；k决定增减性，b决定与y轴交点；平移时“左加右减”只变x；求交点需联立方程；忽略k≠0条件；正比例函数是b=0的特殊情况。 考点四 一次函数的实际应用 利用一次函数解决实际问题，如行程问题、成本利润问题、方案选择问题等，需先建立函数模型，再结合图象或性质求解。 ⚠️易混易错 　 忽略自变量取值范围，如人数、时间取非负整数；分段函数易漏分段讨论；图象与实际意义对应不清，如横纵轴含义；求最值需结合增减性及端点。 题型一 函数概念的理解 典例1 （25-26八年级下·吉林·期中）已知球的体积公式为，其中V为球的体积，R为半径，则这个公式中的变量是（   ） A．V，，R B．和R C．V和R D．V和 【答案】C 【分析】在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量，数值保持不变的量称为常量，根据定义判断即可． 【详解】解：∵在公式中，是常数，是圆周率，均为固定不变的常量 ∴数值发生变化的量是体积和半径，即公式中的变量为和 因此答案选C． 💡破题要诀 抓住“唯一确定”：一个x对应唯一y。看图象作垂线，一垂一交才是函数。 迁移应用 1．（25-26八年级上·陕西西安·期中）下列选项中，y是x的函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的定义，自变量在允许的取值范围内取一个值，因变量有唯一确定的值与之对应，则y叫x的函数，即可得出答案． 【详解】解：对于选项C，给定一个允许的值x，都只有唯一的y值与之对应，故能表示y是x的函数． 对于选项A、B、D，给定一个允许的值x，会出现多个y的值与之对应，故不能表示y是x的函数． 2．（25-26八年级下·云南玉溪·期中）把个苹果随意放入两个篮子中，第一个篮子中放入个，第二个篮子中放入个．下列说法正确的是（     ） A．是常量 B．是常量 C．，是变量 D．苹果的总数是变量 【答案】C 【分析】先确定固定不变的苹果总数，再判断，的数值是否变化，即可区分常量与变量． 【详解】解：苹果总数为，是固定常量，故D错误． 苹果随意放入两个篮子，的数值可以变化， 的数值也随之变化，即，是变量， 、错误，正确． 3．（25-26八年级下·广东东莞·期中）下列图象中，表示y是x的函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的定义，结合图象利用“垂线法”进行判断即可． 【详解】解：∵函数的定义要求对于自变量 x 的每一个确定的值，函数值 y 都有唯一确定的值与其对应 ， ∴在图象上，作垂直于 x 轴的直线，若直线与图象最多只有一个交点，则该图象表示y是 x 的函数； A. 作垂直于 x 轴的直线，可能与图象有两个交点，故 y 不是 x 的函数，不符合题意； B. 作垂直于 x 轴的直线，可能与图象有两个交点，故 y 不是 x 的函数，不符合题意； C. 作垂直于 x 轴的直线，可能与图象有两个交点，故 y 不是 x 的函数，不符合题意； D. 对于每一个 x 的值，都有唯一的 y 值与之对应，故 y 是 x 的函数，符合题意． 题型二 一次函数的识别 典例2 （25-26八年级下·河南周口·期中）下列函数中，是一次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数的定义，对各选项函数形式逐一判断即可得到答案，形如（为常数，）的函数是一次函数． 【详解】解：∵选项A：，不符合一次函数形式． ∵选项B：中的最高次数为2，不符合一次函数定义． ∵选项C：符合形式，其中，，满足一次函数定义． ∵选项D：，不符合一次函数的形式． ∴只有选项C符合要求，故选C． 💡破题要诀 形如 y=kx+b，k≠0。看自变量次数为1，系数不为0；正比例函数是b=0的特例。 迁移应用 1．（25-26八年级下·上海青浦·期中）下列函数中，是一次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一次函数的形式为（，为常数，且），正比例函数是特殊的一次函数． 【详解】解：A、不符合一次函数定义，排除； B、中的次数为，不符合一次函数定义，排除； C、中，，，满足一次函数定义，是一次函数； D、未规定，若则不是一次函数，不符合要求，排除． 2．（25-26八年级下·广东江门·期中）下列函数中，不是一次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数的定义逐一判断选项即可得到答案，一次函数要求自变量为整式，且最高次数为1． 【详解】解：A、是正比例函数，属于一次函数，不符合题意； B、，是一次函数，不符合题意； C、，是一次函数，不符合题意； D、中，是分式，不符合一次函数的定义，不是一次函数，符合题意． 3．（25-26八年级下·河北唐山·期中）下列函数：①：②；③：④，其中是一次函数的是（    ） A．只有④ B．①② C．①④ D．②④ 【答案】D 【分析】根据一次函数的定义，逐一判断各函数是否符合要求，即可得到答案，一次函数定义为形如（，为常数，）的整式函数． 【详解】解：① 中，自变量的次数为，不符合一次函数定义，不是一次函数； ② 可整理为 ，其中 ，，符合一次函数定义，是一次函数； ③ ，分母含自变量，不是整式，不符合一次函数定义，不是一次函数； ④ 中，，，符合一次函数定义，是一次函数． 综上，一次函数为②④． 题型三 一次函数的图象和性质 典例3 （25-26八年级下·四川遂宁·期中）将直线向左平移2个单位长度后得到直线，则下列关于直线的说法正确的是（     ） A．经过第一、二、四象限 B．与x轴交于 C．与y轴交于 D．y随x的增大而减小 【答案】C 【分析】根据一次函数图象平移规律“左加右减，上加下减”求出平移后的直线解析式，再结合一次函数的性质逐一判断选项即可． 【详解】解：∵将直线向左平移2个单位长度后得到直线， ∴平移后直线解析式为，即，， ∴直线经过第一、二、三象限，故A错误． 对于，令，得， 解得， ∴ 直线与轴交于，B错误． 对于，令，得， ∴ 直线与轴交于，C正确． 选项D：∵ ， ∴ 随的增大而增大，D错误． 💡破题要诀 k定升降，b定截距；k>0上升，k<0下降；画图找两点，代入求解析式。 迁移应用 1．（25-26八年级下·广东珠海·期中）对于一次函数，下列结论错误的是（    ） A．直线与直线平行 B．当时， C．y随x的增大而增大 D．函数的图象不经过第三象限 【答案】C 【详解】解：A选项：直线与直线的相等，因此两直线平行，原结论正确，不符合题意； B选项：若，即，解得，原结论正确，不符合题意； C选项：，则随的增大而减小，原结论错误，符合题意； D选项：，，则一次函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，原结论正确，不符合题意． 2．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）对于一次函数，下列说法正确的是（   ） A．函数图象不经过第二象限 B．随的增大而减小 C．当时， D．函数图象与轴交点坐标为 【答案】A 【分析】根据一次函数的系数k，b判断图象位置与增减性，再计算交点坐标和函数取值范围，逐一判断选项即可． 【详解】解：一次函数为，可得，． 选项A：∵，，∴函数图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，故A正确； 选项B：∵，∴y随x的增大而增大，故B错误； 选项C：当时，， 又∵y随x的增大而增大， ∴当时，，故C错误； 选项D：令，得，∴函数图象与y轴交点坐标为，故D错误． 3．（25-26八年级下·海南海口·期中）直线向下平移2个单位后的解析式为，下列说法正确的是（   ） A．直线经过第一、二、三象限 B．与x轴交点 C．与y轴交点 D．y随x的增大而减小 【答案】C 【分析】先根据平移规则得到平移后的直线解析式，再逐一判断各选项即可． 【详解】解：∵将直线向下平移个单位， ∴平移后直线解析式为，即，， A、∵，，∴直线经过第一、三、四象限，故此选项错误，不符合题意； B、当时，，解得，故与轴交于，故此选项错误，不符合题意； C、当时，，∴与轴交于，故此选项正确，符合题意； D、∵，∴随的增大而增大，故此选项错误，不符合题意． 题型四 求一次函数的表达式 典例4 （25-26八年级下·吉林长春·期中）已知正比例函数的图象经过点． (1)求这个函数的表达式； (2)判断点是否在这个函数的图象上? 【答案】(1) (2)点B在，点C不在 【分析】（1）直接把点代入正比例函数，求出的值即可； （2）把点和点代入（1）中函数解析式进行检验即可． 【详解】（1）解：正比例函数的图象经过点，设， ，解得， 这个正比例函数的解析式为； （2）当时，， 点在该函数的图象上； 当时，， 点不在该函数的图象上． 💡破题要诀 设 y=kx+b，找两定点坐标代入，列方程组解 k、b，回代写表达式。 迁移应用 1．（25-26八年级上·安徽淮北·期中）已知y与成正比例，当时，． (1)求这个函数表达式； (2)求当时y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了正比例的定义、利用待定系数法求函数的解析式等知识点，掌握理解正比例的定义是解题关键． ①设，将时，代入求出k的值即可得； ②根据①的结论，将代入求值即可得． 【详解】（1）解：设， 由题意得：， 解得， 则这个函数的解析式是； （2）解：由（1）可知，， ∴当时，． 2.（25-26八年级上·全国·期中）已知一次函数的图象是由一次函数的图象向下平移2个单位长度后得到的． (1)求平移前一次函数的表达式． (2)求平移前一次函数的图象与坐标轴围成图形的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平移的变化规律，“左加右减，上加下减”求解即可． （2）根据勾股定理求解边长． 【详解】（1）解：平移前一次函数的表达式为． （2）解：设一次函数的图象与轴、轴分别交于点，则， ∴， ∴根据勾股定理可得， ∴的周长为， 即平移前一次函数的图象与坐标轴围成图形的周长为． 3．（25-26八年级上·江西吉安·期中）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象向下平移1个单位得到． (1)求这个一次函数的表达式； (2)直线上存在两点，求的面积； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据“左加右减，上加下减”下减原则即可得答案． （2）根据是直线上两点，确定两点的坐标，后计算的面积． 本题考查了一次函数的平移，一次函数图像上点的坐标特征，三角形面积，熟练掌握平移规律是解题的关键． 【详解】（1）解：一次函数的图象由函数的图象向下平移1个单位得到， ∴，， ∴一次函数的表达式． （2）∵是直线上两点， ∴，， 解得：， ∴， ． 题型五 画一次函数的图象 典例5 （25-26八年级下·北京·期中）有这样一个问题：探究函数的图象与性质．小彤根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小彤探究的过程，请补充完整： (1)函数的自变量的取值范围是_________； (2)表格是与的几组对应值： 则的值为_________； (3)请在下面的平面直角坐标系中，画出函数的图象； (4)观察图象，写出该函数的两条性质． 【答案】(1)全体实数 (2)2 (3)见解析 (4)当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小；当时，函数有最小值，最小值为． 【分析】（1）根据题意可知，自变量的取值范围为全体实数； （2）把代入中求出y的值即可得到答案； （3）先描点，再连线即可得到答案； （4）根据所画的函数图象写出其对应的性质即可． 【详解】（1）解：根据题意可知，自变量的取值范围为全体实数； （2）解：在中，当时，， ∴； （3）解：如图所示，即为所求； （4）解：由函数图象可知，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小；当时，函数有最小值，最小值为． 💡破题要诀 两点确定一条直线，取x=0得y轴截距，取y=0得x轴截距，连线即得。 迁移应用 1．（25-26八年级下·广西南宁·期中）已知一次函数的图象是一条直线． (1)如图，在平面直角坐标系中，画出函数的图象； ①列表，下表列出了部分对应值，则________，________； ②描点、连线，画出函数的图象． (2)若点，点分别在的图象上且，试比较和的大小并说明理由． 【答案】(1)①，； ②函数的图象如图 (2) 【分析】（1）①根据题意分别求得和的值，即可求解； ②根据描点，连线，画出函数的图象 （2）根据一次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：①列表，下表列出了部分对应值，则，； ②略 （2）解：∵中，一次项系数， ∴随着的增大而增大， ∵， ∴ 2．（25-26八年级下·福建福州·期中）已知一次函数，并完成下列问题 (1)画出这个函数的图象； (2)观察图象，当时，y的取值范围是 ． 【答案】(1) 画出函数图象如下： (2) 【分析】（1）求出直线与轴，轴的交点坐标，画出函数图象即可； （2）根据图象，写出y的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，，当时，， ∴直线与坐标轴的交点坐标为． （2）解：由图象可知，当时，y的取值范围是． 3．（25-26八年级下·河北秦皇岛·期中）为了画一次函数的图象，嘉嘉在列表过程中的两组对应值如下． x 3 y 2 (1)①将表格补充完整； ②在坐标系中描出以表格中x，y的值为坐标的两个点，并画出一次函数的图象； (2)若点，在一次函数的图象上，当时，______（填“＞”（”或“＝”）； (3)将一次函数的图象向上平移3个单位，再向左平移1个单位，请直接写出平移后直线的表达式． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2) (3) 【分析】（1）①把表格数据代入进行计算，即可作答． ②先结合表格数据，再描点，连线，即可画出一次函数的图象 （2）根据②的一次函数的图象，且结合进行分析，即可作答． （3）结合“上加下减，左加右减”得出平移后直线的表达式，即可作答． 【详解】（1）解：①当时，， 当时，即，则， 补全表格如下： x 1 3 y 2 ②描出表格中x，y的值为坐标的两个点，再连线，画出一次函数的图象，如图所示： （2）解： 由②的函数图像可知，y的值随着x的增大而减小， ∵点，在一次函数的图象上， ∴当时，． （3）解：∵将一次函数的图象向上平移3个单位，再向左平移1个单位， ∴ 即平移后直线的表达式为． 题型六 一次函数的实际应用 典例6 （25-26八年级下·辽宁盘锦·期中）一个小球在一个斜坡上由静止开始向下滚动，其速度每秒增加． (1)写出滚动的时间和小球的速度之间的函数关系式； (2)当小球滚动了时，其速度是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据题意列出函数关系式即可； （）把代入（）所得函数关系式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵小球由静止开始滚动，其速度每秒增加， ∴， 即； （2）解：当时，代入，得， 答：当小球滚动了时，其速度是． 💡破题要诀 审题找两变量，设解析式y=kx+b；代两点求k、b，结合实际定范围，用函数性质解最值。 迁移应用 1．（25-26八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）一辆汽车的油箱现有汽油，已知该车平均耗油量为，油箱中的存油量为y（单位：L），行驶里程为x（单位：），y随着x的变化而变化． (1)写出表示y与x的函数关系的式子； (2)求出自变量的取值范围； (3)汽车行驶时，油箱中还有多少L汽油？ 【答案】(1) (2) (3)油箱中还有汽油 【分析】（1）根据题意即可求解； （2）先求出跑完所有油的路程，即可求解自变量的取值范围； （3）把代入（1）中的函数解析式计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得，； （2）解：当时，， 解得：， ∴自变量的取值范围为； （3）解：把代入得， ， ∴油箱中还有汽油． 2．（25-26八年级下·甘肃白银·期中）暑假期间，两位家长计划带领若干名学生到白银旅游，探访黄河石林和火焰山矿山公园，并体验当地非遗文化．他们咨询了两家旅行社，报价均为每人500元（含景区门票及特色活动）． 甲旅行社：两位家长全额收费，学生享受七折优惠． 乙旅行社：全体成员（含家长）均享八折优惠． 请解答以下问题： (1)设学生数为人，甲旅行社收费为元，则函数关系式______； 设学生数为人，乙旅行社收费为元，则函数关系式______． (2)若家长希望学生深入了解白银的生态保护与非遗传承，应如何根据学生人数选择旅行社？通过计算说明理由． 【答案】(1)； (2)学生数人时，两家旅行社均可；学生数人时，选甲旅行社；学生数人时，选乙旅行社，理由如下： 分三种情况比较费用： 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得． 综上所述，学生数人时，两家旅行社均可；学生数人时，选甲旅行社；学生数人时，选乙旅行社． 【分析】（1）根据甲旅行社的收费两名家长的全额费用学生的七折费用，可得到与x的函数关系式；再根据乙旅行社的收费两名家长的八折费用学生的八折费用，可得到与x的函数关系式； （2）首先分三种情况讨论：①，②，③，针对每一种情况，分别求出对应的x的取值范围，然后比较哪种情况下选谁更合适，即可判断选择哪家旅行社． 【详解】（1）解：学生数为人，甲旅行社收费为元，则， 即； 学生数为人，乙旅行社收费为元，则，即． 故答案为：；； （2）略 3．（25-26八年级下·重庆·期中）某商场计划购进A，B两种新型节能台灯共100盏，这两种台灯的进价、售价如表所示： 类型  价格 进价（元/盏） 售价（元/盏） A型 50 75 B型 70 100 (1)若商场预计进货款为6200元，则这两种台灯各购进多少盏？ (2)若商场规定B型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的3倍，应怎样进货才能使商场在销售完这批台灯时获利最多？此时利润为多少元？ 【答案】(1) A型台灯购进40盏，B型台灯购进60盏 (2) 当购进A型台灯25盏，B型台灯75盏时，销售完获利最多，此时利润为2875元 【分析】（1）设型台灯购进盏，则B型台灯购进盏，结合题意列出方程，求解即可获得答案； （2）根据“B型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的3倍”，列不等式并求解可得，设总利润为元，由题意可得，由一次函数的性质即可获得答案． 【详解】（1）解：设A型台灯购进盏，则B型台灯购进盏， 由题意，得， 解得 ， 则B型台灯购进盏． 答：A型台灯购进40盏，则B型台灯购进60盏； （2）解：∵B型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的3倍， ∴， 解得 ， 设总利润为元，由题意，得 ， ∵， ∴随的增大而减小， ∵为整数， ∴， ∴元． ∴A型台灯购进25盏，B型台灯购进75盏时获利最多，此时利润为2875元． 题型七 一次函数与几何图形的综合 典例7 （25-26八年级上·安徽宿州·期中）如图，在平面直角坐标系中，的直角边在轴上，且，直线：交轴于点． (1)求的周长； (2)在直线上方的轴上是否存在一点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（）由已知可得，，进而得到，再利用勾股定理求出 即可求解； （）由一次函数解析式可得，设点，可得，即得，再根据列出方程即可求解； 本题考查了一次函数的几何应用，掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∵轴， ∴点的横坐标为， ∵点在直线上， ∴，即， 在中，由勾股定理得， ∴的周长为； （2）解：存在． 把代入，得， ∴， 设点， ∵点为直线上方的轴上一点， ∴， ， 由（）知， ∵， ∴， 解得， ∴点的坐标为． 💡破题要诀 先求函数解析式，再求交点坐标；用坐标表示线段长，结合勾股、面积列方程求解。 迁移应用 1．（25-26八年级上·广东广州·期中）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，，，且满足． (1)求点的坐标． (2)为轴上一动点，连接，过点在线段上方作，且 ①如图1，若点在轴正半轴上，点在第一象限，连接，过点作的平行线交轴于点，求点的坐标（用含的式子表示） ②如图2，连接，探究当取最小值时，直线与轴的夹角（锐角）是多少度？ 【答案】(1)点的坐标为 (2)①点的坐标为 ②直线与轴的夹角（锐角）为 【分析】本题考查了绝对值的性质、平面直角坐标系中点的坐标求解、全等三角形的判定与性质、平行线的性质及垂线段最短的应用，解题的关键是通过构造全等三角形转化线段与角度关系，结合坐标特征分析点的轨迹与线段最值． （1）利用绝对值的非负性求的值，得点坐标； （2）①作辅助线构造全等三角形，结合平行线的内错角性质推导点坐标； ②确定点的运动轨迹，利用垂线段最短分析最小值时直线与轴的夹角． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， ∴点的坐标为． （2）①解：过点作轴于点， ∵， ∴， ∴ 又∵， ∴ ∵，， ∴（）， ∴，， ∴， ∵，轴为截线， ∴（两直线平行，内错角相等）． 在和中： ∴（）， ∴． 又∵在轴负半轴， ∴点的坐标为． ②解：由①知，即点的纵坐标比横坐标大4， ∴点在直线上． 根据垂线段最短，的最小值为原点到直线的垂线段长度． 直线与轴交于，与轴交于， ∴该直线与轴、轴围成的三角形为等腰直角三角形，其与轴的夹角为． ∵垂直于直线， ∴直线与轴的夹角（锐角）为． 2．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于点，，点是线段上的一个动点（不与点，点重合），过点作轴的垂线交直线于点，在射线上取点，使，设点的横坐标为． (1)求，两点的坐标； (2)若的面积等于面积的一半，求的值． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）分别令、，求出对应的、，即可求解； （2）先确定，，得，然后分别求得，，然后建立关于的方程进行求解，继而得到关于的方程，可得答案． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象分别与轴、轴交于点，， 当时，；当时，， ∴，； （2）∵点是线段上的一个动点（不与点，点重合），过点作轴的垂线交直线于点，设点的横坐标为， ∴， ∵在射线上取点，使， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ， ∵的面积等于面积的一半，即， ∴， ∴， ∴， 当时，解得：； 当时，解得：； 综上所述，的值为或． 3．（25-26八年级上·山西运城·期中）如图1，在平面直角坐标系中，已知直线分别与轴、轴交于点A，B，点在线段的延长线上，且． (1)求线段的长． (2)求点的坐标． (3)如图2，连接，在轴上是否存在点，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点的坐标为或 【分析】（1）求出当时，，当时，，再利用勾股定理即可得到答案； （2）由中点坐标公式可得答案； （3）设，而，，可得，，，结合是以为腰的等腰三角形，可得或，进一步利用勾股定理建立方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，当时，，当时，， ∴； ∴． （2）解：∵，，设， ∴，， ∴，， ∴． （3）解：设，而，， ∴，，， ∵在轴上是否存在点，使得是以为腰的等腰三角形， ∴或， 当时， ∴， ∴， ∴或， 当时， ∴， 解得：或（舍去）， ∴． 综上所述，点D的坐标为或或． 基础固本练（限时：15分钟） 1．（25-26八年级下·贵州遵义·期中）下列各点中，在函数的图象上的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】判断点是否在函数图象上，只需将点的横坐标代入函数解析式，计算得到的y值若与点的纵坐标相等，则点在函数图象上，否则不在． 【详解】解：A、当时，，∴点不在函数图象上； B、当时，，∴点不在函数图象上； C、当时，，∴点不在函数图象上； D、当时，，∴点在函数图象上． 2．（25-26八年级上·广东深圳·期末）一次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，解题的关键是掌握数形结合的思想． 根据给出函数图象确定参数的取值，然后根据参数取值范围确定所求函数图象即可． 【详解】解：根据函数图象得， ∵随的增大而减小， ∴； ∴在一次函数的图象中， 由，得随的增大而减小； 由，得直线与轴交于正半轴； 故选：A． 3．（25-26八年级下·河北唐山·期中）下列关于直线的说法正确的是（    ） A．与y轴交于点 B．一定经过点 C．y随x的增大而减小 D．图象过一、二、三象限 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的基本性质是解题关键，根据性质逐项判断即可． 【详解】解：对于直线， A选项，∵求与轴交点时，令，得， ∴与轴交于点，A错误； B选项，∵当时， ， ∴直线一定经过点，B正确； C选项，∵， ∴随的增大而增大，C错误； D选项，∵，， ∴直线图象经过一、三、四象限，D错误． 4．（25-26八年级下·黑龙江大庆·期中）若函数是一次函数，则的值为_______． 【答案】 【分析】根据一次函数的定义得到，，进而可知的值． 【详解】解：∵函数是一次函数， ∴且， 解得：且， ∴． 5．（25-26八年级下·河南洛阳·期中）已知一次函数的图象经过第二、三、四象限，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】利用一次函数的性质求解即可． 【详解】解：一次函数的图象经过第二、三、四象限， 解得： 因此，的取值范围为． 6．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）若关于的方程的解是，则直线与x轴的交点坐标是________． 【答案】 【分析】先根据方程的解求出的值，再令直线解析式中，求解得到交点横坐标，即可得到交点坐标 【详解】解：关于的方程的解是， 将代入方程得， 解得 ， 则直线解析式为， 轴上点的纵坐标为，令得， 解得 ， 因此直线与轴的交点坐标是 7．（25-26八年级上·甘肃张掖·期中）已知一次函数． (1)在直角坐标系中画该一次函数的图象； (2)求该函数的图象与两坐标轴围成的三角形面积． 【答案】(1) 图象如下： (2)1 【分析】本题考查的是作一次函数图象及求一次函数的图象与两坐标轴围成的三角形面积， （1）先求出直线与坐标轴交点，进而作图即可； （2）根据三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：一次函数，当时，， 当时，， 解得：， ∴一次函数图象过点， （2）解：由（1）知，一次函数图象与y轴、x轴交点分别为， ∴该函数的图象与两坐标轴围成的三角形面积． 8．（25-26八年级上·吉林长春·期中）已知是的正比例函数，当时，． (1)求关于的函数表达式； (2)当，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，正比例函数的定义，掌握正比例函数的定义是解题的关键． （1）根据正比例函数的定义，设，待定系数法求解析式即可求解； （2）将代入中，即可求解． 【详解】（1）解：∵y与x成正比例， ∴设， 将，代入中，得 解得， ∴y关于x的函数表达式为； （2）将代入中，得：， 解得． 9．（25-26八年级下·河北唐山·期中）刹车距离是指车辆在行驶过程中从开始刹车到车辆完全停止所行驶的距离，主要取决于车速、摩擦系数、车重、路面状况等因素．为了测定某种型号新能源汽车的刹车性能（车速不超过），对这种型号的新能源汽车进行了测试，测得的数据如下表： 刹车时车速 0 10 20 30 40 50 刹车距离 0 16 (1)观察表格，根据数据规律可得：_______． (2)直接写出与之间的函数关系式：_______． (3)在不超速的情况下，该汽车的最大刹车距离是多少？ (4)若该型号新能源汽车以的速度行驶，且与前车保持直线距离，若遭遇紧急情况，司机紧急制动后是否会发生追尾事故？ 【答案】(1) (2) (3) (4)若遭遇紧急情况，司机紧急制动后会发生追尾事故 【分析】（1）由表格可知，刹车时的速度的数值每增加，刹车距离的数值就增加，据此可得答案； （2）根据（1）即可得到答案； （3）根据（2）可得s随v的增大而增大，据此求出时，s的值即可； （4）求出时，s的值即可得到结论． 【详解】（1）解：由表格可知，刹车时的速度的数值每增加，刹车距离的数值就增加， ∴； （2）解：由（1）得； （3）解：∵，， ∴s随v的增大而增大， 又∵， ∴当时，最大，最大值为， 答：在不超速的情况下，该汽车的最大刹车距离是； （4）解：在中，当时，， ∵， ∴若遭遇紧急情况，司机紧急制动后会发生追尾事故． 10．（25-26八年级上·山东青岛·期中）为加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市城镇居民用水实行阶梯收费．具体情况如表： 每月用水量 单价 不超过15立方米 每立方米2.4元 超过15立方米不超过30立方米部分 每立方米3.4元 超出30立方米部分 每立方米7.2元 (1)若设居民每月的用水量为立方米，每月所需的水费为元．请写出超过15立方米不超过30立方米部分、超出30立方米部分与的函数关系式； (2)若小丽家6月份水费70元，那么小丽家用水多少立方米？ 【答案】(1)超过15立方米不超过30立方米部分，；超出30立方米部分， (2)小丽家用水25立方米 【分析】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据题意可直接进行求解； （2）根据（1）可把代入进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得： 超过15立方米不超过30立方米部分：； 超出30立方米部分：； （2）解：由（1）可知： 把代入得：， 解得：； 答：小丽家用水25立方米． 综合进阶练（限时：15分钟） 1．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知点A、B为某图形边上的两个顶点，动点P从点A出发，沿此图形的边顺时针匀速运动到点B，设点P的运动时间为t，的面积为S（当点P与点A或B重合时，记），S与t的函数关系如图所示，则该图形可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：题干中函数特点：的面积随时间的变化分为三个阶段：S逐渐增大，S保持不变，S逐渐减小到0： 对于选项A：A、B是底边端点，动点P从A顺时针运动到B仅经过2条边，面积变化只有增大和减小两个阶段，没有面积不变的阶段，故该选项不符合； 选项B：A、B是下底两个相邻端点，P从A顺时针运动到B经过3条边，变化如下： 第一阶段：P从A到左上顶点，P到的距离逐渐增大，故面积逐渐增大，对应函数上升段； 第二阶段：P从左上到右上顶点，顶边平行于，P到的距离不变，因此面积不变，对应函数水平段； 第三阶段：P从右上顶点到B，P到的距离逐渐减小到0，所以面积逐渐减小到0，对应函数下降段，故该选项符合； 选项C：P从A顺时针到B会经过4条边，P到的距离不会出现一段保持不变的过程，故该选项不符合； 选项D：A、B是相邻顶点，P从A顺时针到B的过程中，P到的距离不会出现一段保持不变的过程，故该选项不符合； 故选：B． 2．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）已知，，为直线上的三个点，且，则以下判断正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的性质，由且，可得 ，再结合一次函数性质与有理数乘法法则分析，即可解题． 【详解】解：∵，， ∴随增大而减小， ∵， ∴， 若，，此时满足成立，但，则；故A选项不符合题意； 对于C选项，取，此时满足，但，则，故C选项不符合题意； 若，则且， 计算， ∵， ∴， ∴ ∴可取正数，0，负数， 可取正数，0，负数，即推不出，故B选项不符合题意； 若，则且（因). ∵， ∴， ∴， 计算，∵， ∴， ∴， ∴，故选项D正确，符合题意； 故选：D． 3．（25-26八年级上·宁夏银川·期中）已知是关于的一次函数，则的值是________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的定义，解题的关键是根据一次函数的定义列出关于的方程和不等式． 根据一次函数（、为常数，）的定义，可得且，解方程组和不等式即可求出的值． 【详解】解：函数是关于的一次函数， 的指数 ，且系数 ． 解方程 得 ， ． 又，即 ， ． 故答案为： 4．（25-26八年级下·北京·期中）已知一次函数（m，n是常数，且），如果，有下列说法： ①它的图象经过点； ②直线与轴的交点坐标为； ③若，则； ④方程的解是． 其中正确的是（写序号）_____． 【答案】 ①②④ 【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征判断①，根据x轴上点的坐标特征解方程判断②，利用换元后解不等式判断③，整理一元一次方程求解判断④. 【详解】解：已知一次函数，，且 ①当时， ，因此函数图象经过点，故①正确； ②当时， ，解得，因此直线与轴的交点坐标为 ，故②正确； ③由得 ，代入不等式得，即 ， 解得，故③错误； ④整理方程 得 ， 解得， 因此方程的解为，故④正确； 综上，正确的序号为①②④， 故答案为：①②④． 5．（25-26八年级下·山西晋中·期中）《晋中市中小学生课间活动设计指南》要求统筹衔接课间活动、各学段体育课程与课后体育项目，纳入日常综合体育活动体系，助力学生练就运动技能、养成长效锻炼习惯．某校积极响应《指南》号召，准备购置40副羽毛球拍和个羽毛球来丰富学生的课间生活．某品牌直营店标价，一副羽毛球拍36元，一个羽毛球3元，店内有两种促销活动：活动方案一：买一副羽毛球拍送两个羽毛球，超出的羽毛球按标价付款；活动方案二：羽毛球拍和羽毛球都打9折． (1)设采用活动一所需费用为元，采用活动二所需费用为元，请分别表示，与之间的函数关系式； (2)请帮学校选择最省钱的方案． 【答案】(1)， (2)当或，选择活动二划算；当时，两种活动费用相同；当，选择活动一划算 【分析】（1）根据两种活动方案分别表示出，与之间的函数关系式即可； （2）分两种情况：当时，当时，分别计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵活动方案一：买一副羽毛球拍送两个羽毛球，超出的羽毛球按标价付款； ∴购买副羽毛球拍的费用为：（元），赠送的羽毛球数量为（个）， 当时，， 当时，， ∴； ∵活动方案二：羽毛球拍和羽毛球都打9折， ∴； （2）解：当时，令，则， 解得：， 当，即（羽毛球数量通常为整数）时，，选择活动二划算，当时，，选择活动一划算； 当时，令，则， 解得：， 当时，，选择活动一划算；当时，两种活动费用相同；当时，，选择活动二划算； 综上所述，当或，选择活动二划算；当时，两种活动费用相同；当，选择活动一划算． 6．（25-26八年级下·河北秦皇岛·期中）一次函数，的图象如图1所示，其中一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，与一次函数的图象交于点C． (1)求点A、B的坐标． (2)求的面积． (3)已知一次函数． ①当时，函数有最大值5，求m的值． ②当时，一次函数的图象如图2所示．设y为，，中的最大值，请直接写出y的最小值． 【答案】(1)， (2) (3)①或；②y的最小值为 【分析】（1）在中，求出时的函数值和时的自变量的值即可得到答案； （2）联立直线，求出交点C的坐标，再由三角形面积公式求解面积即可； （3）①分类讨论，根据一次函数的性质求解即可；②先求出三条直线的交点坐标，再分类讨论，根据函数图象求解即可． 【详解】（1）解：在中，当时，， 当时，， ∴，； （2）解：当时，解得， 此时， ∴， ∴ （3）解：①当时，随的增大而增大， ∵， ∴当时，函数取得最大值，则，解得； 当时，随着的增大而减小， ∵， ∴当时，函数取得最大值，则，解得； 综上，或； ②当时，一次函数解析式为， 联立，得，， 解得， ∴直线，的交点为； 同理可求直线，的交点为；直线，的交点为； 如图： 当时，， ∴， ∵， ∴当时，的最小值为； 当时，最大， ∴， ∵ ∴当时，的最小值为； 当时， ∴， ∵， ∴当时，的最小值为； 综上：的最小值为． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 一次函数 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 函数 考点二 一次函数的表达式 考点三 一次函数的图象与性质 考点四 一次函数的实际应用 05 重难题型突破 题型一 函数概念的理解 题型二 一次函数的识别 题型三 一次函数的图象和性质 题型四 求一次函数的表达式 题型五 画一次函数的图象 题型六 一次函数的实际应用 题型七 一次函数与几何图形的综合 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 “一次函数”是期中考试的核心章节，分值占比高，常与后续内容综合命题。题型以选择、填空和解答题并重，解答题中应用题和综合题出现频率高。核心考点集中在：一次函数定义与参数条件、图象经过象限与增减性、待定系数法求解析式、图象平移以及实际应用（行程、方案选择等）。难度整体适中，基础题与中等题为主，但动点规律探索、与几何图形结合的最值问题等属于区分点，需重点突破。 识记 熟记一次函数定义（y=kx+b，k≠0），能识别k、b的符号与图象经过象限的对应关系，牢记增减性口诀。 理解 理解k、b的实际意义及图象平移规律，领会待定系数法的依据，能看懂图象交点与方程、不等式解集的内在联系。 应用 能根据图象信息解决行程、计费等实际问题，将几何图形中的动态问题转化为函数模型求解。 考点一 函数 一、常量与变量 定义：①常量：在一个变化过程中，数值 的量。②变量：在一个变化过程中， 的量。 二、函数的概念 1.定义：一般地，在一个变化过程中，有两个变量x与y，如果对于x的每一个确定的值，y都有 的值与其对应，那么x是 ，y是x的 。 2.函数值：当自变量x=a时，函数y的对应值b，称为x=a时的函数值，记作y=b。 3.自变量取值范围 使解析式有意义:① 分式：分母≠0 ;②二次根式：被开方数≥0；③整式：全体实数 - 符合实际意义（如时间、数量不能为负） 4. 函数判断（核心：唯一对应） ①关系式：y=±（x>0）→ 不是函数（一个x对应两个y） ②图像：作垂直x轴的直线，与图像只有一个交点→是函数 三、函数的表示方法 1.解析法（关系式法） 定义：用数学式子表示函数关系。优点：准确、完整，便于分析计算 2.列表法 定义：用表格列出自变量与函数的对应值。优点：直观、具体，可直接查值 3.图象法 定义：在平面直角坐标系中，以自变量x为横坐标，函数y为纵坐标，描出对应点(x,y)，所有点组成的图形就是函数图象。 步骤：列表→描点→连线（平滑曲线） 优点：形象、直观，能看到变化趋势 四、函数的图象 1.画法步骤 ①列表：选自变量值，算对应函数值; ②描点：在坐标系中标出(x,y); ③连线：按顺序用平滑曲线连接 2.图象与函数关系:①图象上的点满足函数解析式;②满足解析式的点在图象上 3.从图象获取信息;①看趋势（上升/下降）;②找特殊点（与坐标轴交点、最高点、最低点）; ③读对应值（x→y，y→x） ⚠️易混易错 　 混淆变量与常量，忽视自变量取值范围；误判函数关系，如y²=x中y不是x的函数；图像画法漏标单位与正方向；一次函数y=kx+b中k≠0易忘，b=0时仍为正比例函数. 考点二 一次函数的表达式 形如 （k，b为常数，k≠0）的函数叫做一次函数。当b = 0时，y = kx（k≠0）叫做正比例函数。 ⚠️易混易错 　 混淆正比例函数与一次函数，忽略k≠0；待定系数法中设错表达式；由图象求k、b时看错交点或符号；实际问题中忽略自变量取值范围。 考点三 一次函数的图象与性质 一次函数y = kx + b的图象是一条直线，可通过两点法（如(0,b)和(- ,0)）画出。当k>0时，y随x的增大而 ；当k<0时，y随x的增大而 。b决定直线与y轴的 。 ⚠️易混易错 　 混淆k、b符号与图象象限；k决定增减性，b决定与y轴交点；平移时“左加右减”只变x；求交点需联立方程；忽略k≠0条件；正比例函数是b=0的特殊情况。 考点四 一次函数的实际应用 利用一次函数解决实际问题，如行程问题、成本利润问题、方案选择问题等，需先建立函数模型，再结合图象或性质求解。 ⚠️易混易错 　 忽略自变量取值范围，如人数、时间取非负整数；分段函数易漏分段讨论；图象与实际意义对应不清，如横纵轴含义；求最值需结合增减性及端点。 题型一 函数概念的理解 典例1 （25-26八年级下·吉林·期中）已知球的体积公式为，其中V为球的体积，R为半径，则这个公式中的变量是（   ） A．V，，R B．和R C．V和R D．V和 💡破题要诀 抓住“唯一确定”：一个x对应唯一y。看图象作垂线，一垂一交才是函数。 迁移应用 1．（25-26八年级上·陕西西安·期中）下列选项中，y是x的函数的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·云南玉溪·期中）把个苹果随意放入两个篮子中，第一个篮子中放入个，第二个篮子中放入个．下列说法正确的是（     ） A．是常量 B．是常量 C．，是变量 D．苹果的总数是变量 3．（25-26八年级下·广东东莞·期中）下列图象中，表示y是x的函数的是（     ） A． B． C． D． 题型二 一次函数的识别 典例2 （25-26八年级下·河南周口·期中）下列函数中，是一次函数的是（     ） A． B． C． D． 💡破题要诀 形如 y=kx+b，k≠0。看自变量次数为1，系数不为0；正比例函数是b=0的特例。 迁移应用 1．（25-26八年级下·上海青浦·期中）下列函数中，是一次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·广东江门·期中）下列函数中，不是一次函数的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·河北唐山·期中）下列函数：①：②；③：④，其中是一次函数的是（    ） A．只有④ B．①② C．①④ D．②④ 题型三 一次函数的图象和性质 典例3 （25-26八年级下·四川遂宁·期中）将直线向左平移2个单位长度后得到直线，则下列关于直线的说法正确的是（     ） A．经过第一、二、四象限 B．与x轴交于 C．与y轴交于 D．y随x的增大而减小 💡破题要诀 k定升降，b定截距；k>0上升，k<0下降；画图找两点，代入求解析式。 迁移应用 1．（25-26八年级下·广东珠海·期中）对于一次函数，下列结论错误的是（    ） A．直线与直线平行 B．当时， C．y随x的增大而增大 D．函数的图象不经过第三象限 2．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）对于一次函数，下列说法正确的是（   ） A．函数图象不经过第二象限 B．随的增大而减小 C．当时， D．函数图象与轴交点坐标为 3．（25-26八年级下·海南海口·期中）直线向下平移2个单位后的解析式为，下列说法正确的是（   ） A．直线经过第一、二、三象限 B．与x轴交点 C．与y轴交点 D．y随x的增大而减小 题型四 求一次函数的表达式 典例4 （25-26八年级下·吉林长春·期中）已知正比例函数的图象经过点． (1)求这个函数的表达式； (2)判断点是否在这个函数的图象上? 💡破题要诀 设 y=kx+b，找两定点坐标代入，列方程组解 k、b，回代写表达式。 迁移应用 1．（25-26八年级上·安徽淮北·期中）已知y与成正比例，当时，． (1)求这个函数表达式； (2)求当时y的值． 2.（25-26八年级上·全国·期中）已知一次函数的图象是由一次函数的图象向下平移2个单位长度后得到的． (1)求平移前一次函数的表达式． (2)求平移前一次函数的图象与坐标轴围成图形的周长． 3．（25-26八年级上·江西吉安·期中）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象向下平移1个单位得到． (1)求这个一次函数的表达式； (2)直线上存在两点，求的面积； 题型五 画一次函数的图象 典例5 （25-26八年级下·北京·期中）有这样一个问题：探究函数的图象与性质．小彤根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小彤探究的过程，请补充完整： (1)函数的自变量的取值范围是_________； (2)表格是与的几组对应值： 则的值为_________； (3)请在下面的平面直角坐标系中，画出函数的图象； (4)观察图象，写出该函数的两条性质． 💡破题要诀 两点确定一条直线，取x=0得y轴截距，取y=0得x轴截距，连线即得。 迁移应用 1．（25-26八年级下·广西南宁·期中）已知一次函数的图象是一条直线． (1)如图，在平面直角坐标系中，画出函数的图象； ①列表，下表列出了部分对应值，则________，________； ②描点、连线，画出函数的图象． (2)若点，点分别在的图象上且，试比较和的大小并说明理由． 2．（25-26八年级下·福建福州·期中）已知一次函数，并完成下列问题 (1)画出这个函数的图象； (2)观察图象，当时，y的取值范围是 ． 3．（25-26八年级下·河北秦皇岛·期中）为了画一次函数的图象，嘉嘉在列表过程中的两组对应值如下． x 3 y 2 (1)①将表格补充完整； ②在坐标系中描出以表格中x，y的值为坐标的两个点，并画出一次函数的图象； (2)若点，在一次函数的图象上，当时，______（填“＞”（”或“＝”）； (3)将一次函数的图象向上平移3个单位，再向左平移1个单位，请直接写出平移后直线的表达式． x 1 3 y 2 题型六 一次函数的实际应用 典例6 （25-26八年级下·辽宁盘锦·期中）一个小球在一个斜坡上由静止开始向下滚动，其速度每秒增加． (1)写出滚动的时间和小球的速度之间的函数关系式； (2)当小球滚动了时，其速度是多少？ 💡破题要诀 审题找两变量，设解析式y=kx+b；代两点求k、b，结合实际定范围，用函数性质解最值。 迁移应用 1．（25-26八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）一辆汽车的油箱现有汽油，已知该车平均耗油量为，油箱中的存油量为y（单位：L），行驶里程为x（单位：），y随着x的变化而变化． (1)写出表示y与x的函数关系的式子； (2)求出自变量的取值范围； (3)汽车行驶时，油箱中还有多少L汽油？ 2．（25-26八年级下·甘肃白银·期中）暑假期间，两位家长计划带领若干名学生到白银旅游，探访黄河石林和火焰山矿山公园，并体验当地非遗文化．他们咨询了两家旅行社，报价均为每人500元（含景区门票及特色活动）． 甲旅行社：两位家长全额收费，学生享受七折优惠． 乙旅行社：全体成员（含家长）均享八折优惠． 请解答以下问题： (1)设学生数为人，甲旅行社收费为元，则函数关系式______； 设学生数为人，乙旅行社收费为元，则函数关系式______． (2)若家长希望学生深入了解白银的生态保护与非遗传承，应如何根据学生人数选择旅行社？通过计算说明理由． 3．（25-26八年级下·重庆·期中）某商场计划购进A，B两种新型节能台灯共100盏，这两种台灯的进价、售价如表所示： 类型  价格 进价（元/盏） 售价（元/盏） A型 50 75 B型 70 100 (1)若商场预计进货款为6200元，则这两种台灯各购进多少盏？ (2)若商场规定B型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的3倍，应怎样进货才能使商场在销售完这批台灯时获利最多？此时利润为多少元？ 题型七 一次函数与几何图形的综合 典例7 （25-26八年级上·安徽宿州·期中）如图，在平面直角坐标系中，的直角边在轴上，且，直线：交轴于点． (1)求的周长； (2)在直线上方的轴上是否存在一点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 💡破题要诀 先求函数解析式，再求交点坐标；用坐标表示线段长，结合勾股、面积列方程求解。 迁移应用 1．（25-26八年级上·广东广州·期中）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，，，且满足． (1)求点的坐标． (2)为轴上一动点，连接，过点在线段上方作，且 ①如图1，若点在轴正半轴上，点在第一象限，连接，过点作的平行线交轴于点，求点的坐标（用含的式子表示） ②如图2，连接，探究当取最小值时，直线与轴的夹角（锐角）是多少度？ 2．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于点，，点是线段上的一个动点（不与点，点重合），过点作轴的垂线交直线于点，在射线上取点，使，设点的横坐标为． (1)求，两点的坐标； (2)若的面积等于面积的一半，求的值． 3．（25-26八年级上·山西运城·期中）如图1，在平面直角坐标系中，已知直线分别与轴、轴交于点A，B，点在线段的延长线上，且． (1)求线段的长． (2)求点的坐标． (3)如图2，连接，在轴上是否存在点，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 基础固本练（限时：15分钟） 1．（25-26八年级下·贵州遵义·期中）下列各点中，在函数的图象上的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·广东深圳·期末）一次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·河北唐山·期中）下列关于直线的说法正确的是（    ） A．与y轴交于点 B．一定经过点 C．y随x的增大而减小 D．图象过一、二、三象限 4．（25-26八年级下·黑龙江大庆·期中）若函数是一次函数，则的值为_______． 5．（25-26八年级下·河南洛阳·期中）已知一次函数的图象经过第二、三、四象限，则的取值范围为______． 6．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）若关于的方程的解是，则直线与x轴的交点坐标是________． 7．（25-26八年级上·甘肃张掖·期中）已知一次函数． (1)在直角坐标系中画该一次函数的图象； (2)求该函数的图象与两坐标轴围成的三角形面积． 8．（25-26八年级上·吉林长春·期中）已知是的正比例函数，当时，． (1)求关于的函数表达式； (2)当，求的值． 9．（25-26八年级下·河北唐山·期中）刹车距离是指车辆在行驶过程中从开始刹车到车辆完全停止所行驶的距离，主要取决于车速、摩擦系数、车重、路面状况等因素．为了测定某种型号新能源汽车的刹车性能（车速不超过），对这种型号的新能源汽车进行了测试，测得的数据如下表： 刹车时车速 0 10 20 30 40 50 刹车距离 0 16 (1)观察表格，根据数据规律可得：_______． (2)直接写出与之间的函数关系式：_______． (3)在不超速的情况下，该汽车的最大刹车距离是多少？ (4)若该型号新能源汽车以的速度行驶，且与前车保持直线距离，若遭遇紧急情况，司机紧急制动后是否会发生追尾事故？ 10．（25-26八年级上·山东青岛·期中）为加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市城镇居民用水实行阶梯收费．具体情况如表： 每月用水量 单价 不超过15立方米 每立方米2.4元 超过15立方米不超过30立方米部分 每立方米3.4元 超出30立方米部分 每立方米7.2元 (1)若设居民每月的用水量为立方米，每月所需的水费为元．请写出超过15立方米不超过30立方米部分、超出30立方米部分与的函数关系式； (2)若小丽家6月份水费70元，那么小丽家用水多少立方米？ 综合进阶练（限时：15分钟） 1．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知点A、B为某图形边上的两个顶点，动点P从点A出发，沿此图形的边顺时针匀速运动到点B，设点P的运动时间为t，的面积为S（当点P与点A或B重合时，记），S与t的函数关系如图所示，则该图形可能是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）已知，，为直线上的三个点，且，则以下判断正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（25-26八年级上·宁夏银川·期中）已知是关于的一次函数，则的值是________． 4．（25-26八年级下·北京·期中）已知一次函数（m，n是常数，且），如果，有下列说法： ①它的图象经过点； ②直线与轴的交点坐标为； ③若，则； ④方程的解是． 其中正确的是（写序号）_____． 5．（25-26八年级下·山西晋中·期中）《晋中市中小学生课间活动设计指南》要求统筹衔接课间活动、各学段体育课程与课后体育项目，纳入日常综合体育活动体系，助力学生练就运动技能、养成长效锻炼习惯．某校积极响应《指南》号召，准备购置40副羽毛球拍和个羽毛球来丰富学生的课间生活．某品牌直营店标价，一副羽毛球拍36元，一个羽毛球3元，店内有两种促销活动：活动方案一：买一副羽毛球拍送两个羽毛球，超出的羽毛球按标价付款；活动方案二：羽毛球拍和羽毛球都打9折． (1)设采用活动一所需费用为元，采用活动二所需费用为元，请分别表示，与之间的函数关系式； (2)请帮学校选择最省钱的方案． 6．（25-26八年级下·河北秦皇岛·期中）一次函数，的图象如图1所示，其中一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，与一次函数的图象交于点C． (1)求点A、B的坐标． (2)求的面积． (3)已知一次函数． ①当时，函数有最大值5，求m的值． ②当时，一次函数的图象如图2所示．设y为，，中的最大值，请直接写出y的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $