陕西省西安高新第一中学2026-2027学年上学期九年级10月学情自测数学试题

九年级数学试题 一．选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是正确的） 1．如果，那么的值为（ ） A． B． C． D． 2．已知、、、为成比例线段，其中，，，则为（ ） A． B． C． D． 3．已知，和分别是它们的对应中线，若，，则与的对应角平分线的比是（ ） A． B． C． D． 4．如图，五边形与五边形是位似图形，为位似中心，，则为（ ） A． B． C． D． 5．如图，线段与相交于点，补充下列一个条件后，仍不能判定和相似的是（ ） A． B． C． D． 6．如图，一座正方形城池北边、西边正中，处各开一道门，从点往正北方向走步刚好有一棵树位于点处，从点往正西方向走步到达点处时正好看到此树，则正方形城池的边长为（ ） A．步 B．步 C．步 D．步 7．如图，已知，，，，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 8．在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下： 甲：将三角形按图方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距均为，则新三角形与原三角形相似． 乙：将矩形按图方式向外扩张，得到新矩形，它们的对应边间距均为，则新矩形与原矩形相似．对于两人的观点，下列说法正确的是（ ） A．甲对，乙错 B．甲错，乙对 C．甲乙都对 D．甲乙都错 二．填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9．已知，若，且，则________． 10．中国纸扇历史悠久，古代工匠凭审美与经验形成了稳定的“东方黄金律”，设计中多处暗合黄金分割．如扇面高度与扇柄长度之比就符合黄金比，此时重心适中，持握舒适．若，则________．（结果保留根号） 11．如图，在中，直尺的一边与重合，另一边分别交，于点，．其中点，，，处的读数分别为，，，，已知直尺的宽为，则中边上的高为________． 12．在平面直角坐标系中，顶点的坐标为．若以原点为位似中心，画的位似图形，使它与的相似比等于，则点的坐标为________． 13．如图，在中，，，点从点出发，沿方向以的速度向点运动；同时点从点出发，沿方向以的速度向点运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为，当相似时，的值为________． 14．如图，在中，点为上一点，且，连接并延长，交的延长线于点，连接，则________． 三．解答题（共9小题，计58分．解答应写出过程） 15．（6分）计算题： （1）计算：； （2）解不等式组：． 16．（4分）先化简，再求值：，其中． 17．（5分）已知：在正方形中，是边上一定点，连接．请用尺规作图法，在上求作一点，使． 18．（5分）在如图的方格纸中，与是关于点为位似中心的位似图形． （1）在图中标出位似中心的位置，则点的坐标为________； （2）以原点为位似中心，在第三象限内画出的一个位似，使它与的相似比为． 19．（6分）如图，某地四个乡镇，，，之间建有公路，已知千米，千米，千米，千米，千米，公路与平行吗？说出你的理由． 20．（8分）如图，直线，，分别交直线于点，，，交直线于点，，，且． （1）若，，．求的长； （2）点是直线与的交点，若，，求的长． 21．（8分）如图，在中，点在边上，．点在边上，．若，，，求的长． 22．（8分）【情境】在学习完《相似》内容后，甲同学和乙同学在数学活动实践课上，对测量校园内的旗杆高度提出了两种不同的方案． 【思考】两个同学的测量方案如下： 甲同学方案 乙同学方案 测量过程及数据 如图，在距离旗杆底点米远的处竖立一根高米的标杆，甲同学在处站立，他的眼睛所在位置、标杆的顶端和旗杆顶端三点在一条直线上．已知甲同学的眼睛到地面的距离米，米，，，，点、、在同一直线上． 如图，乙同学拿着一根长为厘米的木棒站在离旗杆米的地方（即点到的距离为米），他把手臂向前伸，木棒竖直，，当木棒两端恰好遮住旗杆（即点、、在一条直线上，点、、在一条直线上），已知点到木棒的距离为厘米． 示意图 选择一种正确的测量方案，求出旗杆的高度． 23．（8分）如图，在中，，点在上，连接，点在上，连接，，且． （1）求证：； （2）若点是的中点，求证：． 附加题： 24．（4分）如图，在菱形中，，．若、分别是边、上的动点，且，作，，垂足分别为、，则的值为________． 25．（4分）如图，，，，，点在线段上从点向点运动．设为线段的中点，在点的运动过程中，的最小值是________． 26．（12分）问题探究 （1）如图①，是的角平分线，若，则的值为________； （2）如图②，在中，，，点，在边上．若，求的度数； 问题解决 （3）为优化种植结构及水资源配置，某村计划在一块平整的农田内修建两条笔直的田间小路，使得两条小路将该农田分割为四个区域，以种植不同种类的农作物；为方便灌溉，还需在两条小路的交汇处修建一个蓄水池，在蓄水池和水源接入口之间铺设一段地下输水管道． 如图③所示，四边形区域为农田，，为小路，小路的出口，分别在农田边界，上，与相交于点，点为蓄水池，点为水源接入口，为地下输水管道．根据种植需求，区域与区域的面积之比为，为了节约成本，还需使地下输水管道最短． 已知，，，，，请你帮助该村计算在满足种植需求的情况下，当地下输水管道最短时，四边形区域的面积．（结果精确到．小路的宽，蓄水池的大小均忽略不计）． 学科网（北京）股份有限公司 $