精品解析：陕西西安市交通大学附属中学分校2026-2027学年九年级上学期第一次学情自测数学试题

初三年级数学练习（一） 注意事项： 本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共4页，总分120分．考试时间120分钟． 一．选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 若a，b，b，c是成比例的线段，其中，，则线段b的长为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】根据线段成比例，可以列出方程，代入数值求解即可． 【详解】解：∵a，b，b，c是成比例线段， ∴， ∵，， ∴， 解得． 故选：C． 【点睛】本题考查线段成比例的问题．关键是根据线段成比例的性质，列方程求解． 2. 图①是巴黎奥运会颁奖现场，图②是领奖台的示意图，则此领奖台的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据俯视图是从上面看到的图形进行求解即可． 【详解】解：从上面看看到的图形是一个长方形，靠近左右两侧分别有一条竖线，靠近中间左右两侧分别有两条竖线，即看到的图形如下： 故选项C符合题意． 3. 在一个不透明的袋子中有除颜色外完全相同的个白球和若干个黑球，通过多次摸球后发现，摸到黑球的概率是，则袋子中有（ ）黑球． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】A 【解析】 【分析】设袋子中有x个黑球，然后依据概率计算公式列出方程求解即可． 【详解】解：设袋子中有x个黑球， 可得， 解得， 经检验，是原方程的解， 则袋子中有个黑球． 4. 如图，阳光通过窗口照到室内，在地面上留下的亮区宽，已知亮区一边到窗下的墙脚距离，窗高，那么窗口底边离地面的高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， 设，则， ∵太阳光线是平行的， ∴， ∴， ∴，即， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴． 5. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查一元二次方程根的判别式，根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以得到关于的不等式，解得即可，同时还应注意二次项系数不能为0．解题的关键是熟知根的判别式的运用． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， 即：， 解得：， ∵关于x的一元二次方程中， 则k的取值范围是且． 故选：D． 6. 如图，，，三点共线，与交于点，，若，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，由证明，，然后由相似三角形的性质即可求解，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 7. 如图，边长为的正方形的中心与坐标原点重合，轴，将正方形绕原点顺时针每次旋转，则旋转次后顶点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先确定，再求，然后根据旋转的性质求解即可． 【详解】解：如图：连接 ∵边长为2的正方形的中心与坐标原点重合， ∴, ∴， ∵轴，将正方形绕原点顺时针旋转，每次旋转， ∴． 8. 如图，在矩形纸片中，点在边上，连接，点在线段上，且，折叠矩形纸片使点恰好落在点处，折痕为，若，则折痕的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过构造辅助线充分利用的条件，再结合利用相似三角形列方程． 【详解】 过点F作，交、于点M、N， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由可得四边形为矩形， ∴， ∴，， 由折叠的性质可得， 在中，由勾股定理得，即， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即，解得， ∴在中，由勾股定理得，即． 二．填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 已知，那么_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质，先求出，再把代入所求式子中计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为： 10. 黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“远”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边，上，且，“远”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，即若，则的长为______ ． 【答案】 ## 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割的定义，根据黄金分割的定义可得，据此求解即可，熟记黄金比是解题的关键． 【详解】∵“远”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，即且观察图中， ， ∵， ∴， 故答案为：． 11. 如图，两张全等的菱形纸片叠放在一起，若重叠部分的形状是正八边形，则菱形的较小内角的度数为________． 【答案】45 【解析】 【分析】先根据正多边形每个内角度数，求得正八边形的内角度数，再根据菱形的性质求出较小内角即可． 【详解】解：如图， ∵重叠部分的形状是正八边形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴菱形的较小内角的度数为． 12. 若，是方程的两个根，则________． 【答案】 【解析】 【分析】先由根与系数的关系求解，，再对所求代数式提公因式进行变形，然后再整体代入计算即可． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴，， ∴． 13. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，，在轴上，，为中点，在轴上，，连接，若为轴正半轴上的点，且与相似，则点的坐标为________． 【答案】或 【解析】 【详解】解：由与相似，可得或， 当时，点即如图点， ∵四边形为平行四边形， ∴， 此时有，即， ∴． 当时，即如图点， 由有，解得， ∴， 综上点E的坐标为或． 14. 如图，在中，，，，为中点，连接，过上一点作于点．设点到直线的距离为，若，则四边形的面积为________． 【答案】## 【解析】 【分析】先求解，如图，过作于，过作于，交于，求解，，，，过作于，再进一步求解即可. 【详解】解：在中，， ，为中点，， ∴，，，，， ∴，， ∴， 如图，过作于，过作直线于，交于， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，，，， ∴，， 同理可得：， 过作于， 同理可得：，， ∴， ∴， 解得：， ∴，， ∴， ∴四边形的面积为. 三．解答题（共11小题，计78分，解答应写出过程） 15. 化简：． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查化简分式方程，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式 且． 16. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【详解】解：， 由①，得； 由②，得； ∴不等式组的解集为. 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）先移项，再用因式分解法求解即可； （2）先将方程化为一般形式，再利用公式法求解即可． 【小问1详解】 解：原方程可化为， 即， ， 或， ，； 【小问2详解】 解：原方程可化为， ， ， ，． 18. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E是AD上一点，且BE＝BD；求证：△ABE∽△ACD． 【答案】 证明：∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵BE＝BD， ∴∠BED＝∠BDE， ∴∠AEB＝∠ADC， ∴△ABE∽△ACD． 【解析】 【分析】根据角平分线的定义可得∠BAD＝∠CAD，根据BE＝BD，由等边对等角可得∠BED＝∠BDE，根据邻补角可得∠AEB＝∠ADC，即可证明△ABE∽△ACD． 【详解】略 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 19. 在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为，，，与是关于点为位似中心的位似图形． （1）在图中标出位似中心的位置并直接写出点的坐标为______． （2）以原点为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的位似比为； （3）的内部一点M的坐标为，直接写出点M在中的对应点的坐标为______． 【答案】（1） 如图，点为所作， （2）如图，即为所作； （3） 【解析】 【分析】本题考查位似图形及位似变换； （1）分别延长、、，它们的交点为点，再写出点坐标； （2）把、点的横纵坐标都乘以得到、点的坐标，然后描点并连线即可； （3）利用（2）中对应点的坐标变换规律求解即可． 【小问1详解】 解：分别延长、、，它们的交点为点， ∵与是关于点为位似中心的位似图形， 则点为所作，点坐标为； 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图，，， 把、点的横纵坐标都乘以得：、， 连接、，， 则即为所作； 【小问3详解】 解：∵的内部一点M的坐标为， 由（2）知：与是关于原点为位似中心的位似图形，且位似比为， ∴点在中的对应点的坐标为． 故答案为：． 20. 小明设计了一个“随机旋律生成器”，包含音名、音符两个转盘．如图，音名转盘被平均分成2个扇形区域，分别标有他喜欢的音名A，B；音符转盘被平均分成3个扇形区域，分别标有他喜欢的三个音符：（四分音符），（八分音符），（十六分音符）． （1）小明任意转动音名转盘1次，当转盘停止转动时，指针落在标有音名A区域的概率为__________． （2）小明任意转动音名转盘、音符转盘各1次，当转盘停止转动时，用列表或画树状图的方法，求音名转盘指针落在标有音名B区域且音符转盘指针落在标有音符区域的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）等可能事件概率，所求区域份数÷总份数． （2）用列表列出全部等可能情况，数出符合条件的情况，然后根据概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：因为音名转盘平均分成2份，A占1份， 所以指针落在A区域的概率：． 【小问2详解】 解：用列表法： 音符 音名 A B 所有等可能结果共6种， 满足B且的结果只有1种． 答：音名转盘指针落在B区域且音符转盘指针落在区域的概率为． 21. 某服装店以每件元的价格购进一批T恤，如果以每件元出售，那么一个月内能售出件，根据以往销售经验，销售单价每提高元，销售量就会减少件． （1）当该服装店将销售单价定为元时，那么销售量为________件； （2）若服装店希望一个月内销售该种T恤能获得利润元，并且尽可能减少库存，问T恤的销售单价应定为多少元？ 【答案】（1） （2）T恤的销售单价应定为元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是利用“利润=单件利润×销售量”，列出一元二次方程． （1）销售数量等于计划售出数量与销售减少量的差，列式计算即可； （2）设销售单价提高元，根据题意由总利润每件利润销量，列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：（件）； 【小问2详解】 解：设T恤的销售单价提高元，依题意得 ， 整理得， 解之得，， ∵要尽量减少库存， ． 恤的销售单价应为元． 答：T恤的销售单价应定为元． 22. 如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．若，两点同时出发，当点运动到点时，，两点同时停止运动．求： （1）几秒后，的长度等于？ （2）的面积能否等于？说明理由． 【答案】（1）秒后，的长度等于； （2）的面积不能等于，理由如下： 依题意得， 整理得， ， ∴该方程没有实数根， 的面积不能等于 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，，利用勾股定理列方程即可解答； （2）根据三角形面积公式列方程即可解答． 【小问1详解】 解：， 当运动时间为时，，， 在中，，由勾股定理得 即 整理得， 解得，（不符合题意，舍去） 答：秒后，的长度等于； 【小问2详解】 略 23. 如图，菱形的对角线，相交于点，是的中点，点，在上，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵四边形是菱形， ． 是的中点， 是的中位线， ． ， ∴四边形是平行四边形． ， ， ∴四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】（1）利用菱形的性质可得，从而得是的中位线，推出，又由平行四边形的定义可得四边形是平行四边形，利用一个角是直角证明矩形． （2）证明，即可由对应线段成比例求出的长，进而得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是菱形， ，即，， 由（1）知四边形是矩形， ． ， ， ． 即， 解得， ． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、三角形的中位线定理、相似三角形的判定和性质、勾股定理．熟练掌握菱形的性质和三角形中位线定理，证明四边形为矩形是解题的关键． 24. 松柏斗寒傲雪、四季常青，黄帝手植柏，又名轩辕柏，位于延安市黄帝陵内，相传为人文初祖轩辕黄帝亲手所植，迄今已有五千余年树龄，享有“世界柏树之父”的美誉，属国家一级保护古树名木．某校九年级“创新实践小组”赴黄帝陵开展研学实践活动，计划运用所学数学知识测量该柏树的高度．由于柏树底部设有古迹保护设施，观测者既无法靠近树根底部，也无法直接测得观测点到树根底部的水平距离，小组经讨论决定采用镜面反射法进行测量，观测数据见“轩辕手植柏高度测量报告”． 轩辕柏高度测量报告 课题 利用镜面反射法测量黄帝陵轩辕手植柏高度 测量小组 创新实践小组 测量原理 光的反射定律（反射角入射角），借助镜面构造相似三角形（借鉴《海岛算经》的重测法思想） 测量记录 1．两次观测时，观测者眼睛到地面的高度均为； 2．第一次观测：观测者站在点处，将镜子放置于点处，当观测者眼睛从镜中恰好看到柏树顶端时，测得； 3．第二次观测：观测者沿大树方向向前走到达点处（即），将镜子放置于点处，当观测者眼睛从镜中恰好看到柏树顶端时，测得； 4．点位说明：点、、、、在同一条水平直线上；（镜子的厚度和大小忽略不计） 测量图示 请根据测量报告中的相关数据，求轩辕手植柏的高度． 【答案】大树的高度为米 【解析】 【分析】设米，则米．通过和的性质求得x的值，然后可求得大树的高． 【详解】解：由题意得，，，，则 ． 设米，则米． 由题意，得，， ， ． 同理，， ． ， ，即． 解得， 经检验是原方程的解， 即， ， ． 解得． 经检验是原方程的解． 答：大树的高度为米 25. 解答以下问题 （1）如图①，若，，且、、三点共线，连接，则________； （2）如图②，已知，，，点在边上，以为腰在其右侧作等腰直角，且，连接，若，求的长． （3）如图③，在等腰梯形中，，且，，在梯形对角线上取一点，使得，将绕点旋转，得到，连接，．请问：在旋转过程中，是否存在最大值，若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3）存在，最大值为 【解析】 【分析】（）由相似三角形的性质得，，，即得，，，再证明即可求解； （）过点作的垂线，垂足为，可证，得到，即得，再分点在线段的延长线上和点在线段上两种情况解答即可； （）连接，，过，作的垂线，垂足分别为，，可证，得到，再由四边形为平行四边形得到，即得，，进而得，得到，过点作于，则，可得，再分别由和得，，得到，即可求解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：过点作的垂线，垂足为， ，， ，， ∵， ∴，， 为等腰直角三角形，且， ，． ∵等腰直角， ，， ，，， ， ， ， ， ， ∴， 当点在线段的延长线上时，如图，； 当点在线段上时，如图，； 综上，或； 【小问3详解】 解：连接，，过，作的垂线，垂足分别为，， ∵四边形是等腰梯形，， ，， ， ， ∴， ，， ∴四边形为平行四边形， ， ， ∴， ， 在中，， ， ∴， 为等腰三角形，且， ∴， ， ， 过点作于，则， ， ∴， 同理得， 由旋转得，，，， ． ， ， ，即， ，，， ， ，即， ， ∴，，三点共线时，的最大，最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三年级数学练习（一） 注意事项： 本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共4页，总分120分．考试时间120分钟． 一．选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 若a，b，b，c是成比例的线段，其中，，则线段b的长为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 15 2. 图①是巴黎奥运会颁奖现场，图②是领奖台的示意图，则此领奖台的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 在一个不透明的袋子中有除颜色外完全相同的个白球和若干个黑球，通过多次摸球后发现，摸到黑球的概率是，则袋子中有（ ）黑球． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 4. 如图，阳光通过窗口照到室内，在地面上留下的亮区宽，已知亮区一边到窗下的墙脚距离，窗高，那么窗口底边离地面的高度是（ ） A. B. C. D. 5. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 6. 如图，，，三点共线，与交于点，，若，则的值为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，边长为的正方形的中心与坐标原点重合，轴，将正方形绕原点顺时针每次旋转，则旋转次后顶点的坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形纸片中，点在边上，连接，点在线段上，且，折叠矩形纸片使点恰好落在点处，折痕为，若，则折痕的长为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 已知，那么_______． 10. 黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“远”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边，上，且，“远”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，即若，则的长为______ ． 11. 如图，两张全等的菱形纸片叠放在一起，若重叠部分的形状是正八边形，则菱形的较小内角的度数为________． 12. 若，是方程的两个根，则________． 13. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，，在轴上，，为中点，在轴上，，连接，若为轴正半轴上的点，且与相似，则点的坐标为________． 14. 如图，在中，，，，为中点，连接，过上一点作于点．设点到直线的距离为，若，则四边形的面积为________． 三．解答题（共11小题，计78分，解答应写出过程） 15. 化简：． 16. 解不等式组：． 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E是AD上一点，且BE＝BD；求证：△ABE∽△ACD． 19. 在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为，，，与是关于点为位似中心的位似图形． （1）在图中标出位似中心的位置并直接写出点的坐标为______． （2）以原点为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的位似比为； （3）的内部一点M的坐标为，直接写出点M在中的对应点的坐标为______． 20. 小明设计了一个“随机旋律生成器”，包含音名、音符两个转盘．如图，音名转盘被平均分成2个扇形区域，分别标有他喜欢的音名A，B；音符转盘被平均分成3个扇形区域，分别标有他喜欢的三个音符：（四分音符），（八分音符），（十六分音符）． （1）小明任意转动音名转盘1次，当转盘停止转动时，指针落在标有音名A区域的概率为__________． （2）小明任意转动音名转盘、音符转盘各1次，当转盘停止转动时，用列表或画树状图的方法，求音名转盘指针落在标有音名B区域且音符转盘指针落在标有音符区域的概率． 21. 某服装店以每件元的价格购进一批T恤，如果以每件元出售，那么一个月内能售出件，根据以往销售经验，销售单价每提高元，销售量就会减少件． （1）当该服装店将销售单价定为元时，那么销售量为________件； （2）若服装店希望一个月内销售该种T恤能获得利润元，并且尽可能减少库存，问T恤的销售单价应定为多少元？ 22. 如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．若，两点同时出发，当点运动到点时，，两点同时停止运动．求： （1）几秒后，的长度等于？ （2）的面积能否等于？说明理由． 23. 如图，菱形的对角线，相交于点，是的中点，点，在上，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 24. 松柏斗寒傲雪、四季常青，黄帝手植柏，又名轩辕柏，位于延安市黄帝陵内，相传为人文初祖轩辕黄帝亲手所植，迄今已有五千余年树龄，享有“世界柏树之父”的美誉，属国家一级保护古树名木．某校九年级“创新实践小组”赴黄帝陵开展研学实践活动，计划运用所学数学知识测量该柏树的高度．由于柏树底部设有古迹保护设施，观测者既无法靠近树根底部，也无法直接测得观测点到树根底部的水平距离，小组经讨论决定采用镜面反射法进行测量，观测数据见“轩辕手植柏高度测量报告”． 轩辕柏高度测量报告 课题 利用镜面反射法测量黄帝陵轩辕手植柏高度 测量小组 创新实践小组 测量原理 光的反射定律（反射角入射角），借助镜面构造相似三角形（借鉴《海岛算经》的重测法思想） 测量记录 1．两次观测时，观测者眼睛到地面的高度均为； 2．第一次观测：观测者站在点处，将镜子放置于点处，当观测者眼睛从镜中恰好看到柏树顶端时，测得； 3．第二次观测：观测者沿大树方向向前走到达点处（即），将镜子放置于点处，当观测者眼睛从镜中恰好看到柏树顶端时，测得； 4．点位说明：点、、、、在同一条水平直线上；（镜子的厚度和大小忽略不计） 测量图示 请根据测量报告中的相关数据，求轩辕手植柏的高度． 25. 解答以下问题 （1）如图①，若，，且、、三点共线，连接，则________； （2）如图②，已知，，，点在边上，以为腰在其右侧作等腰直角，且，连接，若，求的长． （3）如图③，在等腰梯形中，，且，，在梯形对角线上取一点，使得，将绕点旋转，得到，连接，．请问：在旋转过程中，是否存在最大值，若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $