江苏张家港高级中学2026-2027学年高一上学期10月自主检测数学试卷

张家港高级中学 2026-2027 学年第一学期高一 10 月数学自主检测 参考答案与试题解析 一、单选题答案速查 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A B D D C C B 1．（5分）已知集合 ，，则 =（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】并集就是把两个区间的所有点合起来，注意端点能不能取到． 【解答】解：，， ． 故选：B． 2．（5分）已知 ，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先判断“ 能否推出 ”，再反过来验证． 【解答】解：若 ，则 ，充分性成立； 若 ，即 ，解得 或 ， 取 ，此时 但 不成立，必要性不成立． 是充分不必要条件． 故选：A． 3．（5分）若不等式 的解集为 ，则 的值为（　　） A． B．−5 C． D．−6 【答案】B 【分析】解集的两个端点就是对应方程的两根，用根与系数的关系求 ，． 【解答】解： 不等式 的解集为 ， ，且 ， 是方程 的两根， 由两根之积 得 ， 由两根之和 得 ，， ． 故选：B． 4．（5分）设 ，则 的最大值是（　　） A． B．−3 C．−2 D．−1 【答案】D 【分析】先把 换成负数的相反数，凑成“和为定值”再用基本不等式． 【解答】解：，，， ， ，当 ，即 时取等号， ，最大值为 ． 故选：D． 5．（5分）若命题 ：，，则 的准确表述是（　　） A． B． C． 或 D． 或 【答案】D 【分析】这是存在量词命题，否定时“量词变全称、结论变否定”，还要注意原式在 处无意义． 【解答】解：：，， 其否定为：对任意 ， 都不成立， 即 或 （ 时原式无意义，也要排除“小于 0”）， ：， 或 ． 故选：D． 6．（5分）已知 ，，则 ，，， 中最大的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】记住四个“平均数”的大小顺序：平方平均 ≥ 算术平均 ≥ 几何平均 ≥ 调和平均． 【解答】解：，，由基本不等式链知 ， 最大的是 ． 故选：C． 7．（5分）已知函数 ，则不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分段函数要分段解不等式，最后把两段结果并起来． 【解答】解：①当 时，，即 ， 令 ，则 ，解得 ，； ②当 时，，令 ，则 ，解得 ，． 综上，解集为 ． 故选：C． 8．（5分）已知关于 的不等式组 有且仅有一个整数解，则 的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先把两个不等式都解出来，再用数轴找“整数解恰好一个”的临界位置，注意端点是开还是闭． 【解答】解：由 得 ， 或 ； 又 ，两根为 与 ． ①当 （即 ）时，该不等式的解为 ， 与 或 取交集： 若 （），交集为 ，恰有一个整数 需 ，即 ， ； 若 （），交集为 ，恰含整数 ，符合； 若 （），还会多出 中的整数，要求 ，即 ，． ②当 （即 ）时，解为 ， 与 的交集为 ，恰含整数 需 且 ，即 ． 综上，． 故选：B． 二、多项选择题：共3小题，每小题6分，共18分 9．（6分）已知函数 是一次函数，满足 ，则 的解析式可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】设 ，代入 与 比较系数． 【解答】解：设 （），则 ， 由 比较系数得 ，， 或 ． 当 时 ，，； 当 时 ，，． 故选：AD． 10．（6分）下列命题为真命题的是（　　） A．若 ，则 B．若 ，则 C．如果 ，那么 D．，则 【答案】BCD 【分析】含分式的命题作差比较最可靠；注意 中 在 上是减函数，可用反例排除． 【解答】解：：取 ，，则 ，， ，故 错误； ：， ，，， 该差小于 ，正确； ：， ，，，， 该差大于 ，正确； ：， ，，， 该差不小于 ，正确． 故选：BCD． 11．（6分）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是西方数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有图形如图所示， 为线段 上的点，且 ，， 为 的中点，以 为直径作半圆，过点 作 的垂线交半圆于 ，连接 ，，，过点 作 的垂线，垂足为 ，则该图形可以完成的所有无字证明为（　　） A．（） B．（） C．（） D．（） 【答案】ABC 【分析】把图中各线段用 ， 表示出来：（半径），（射影定理）， 是 在 上的投影，再用“斜边大于直角边”“直角三角形内斜边最长”等比较大小． 【解答】解：， 为 中点，． 为直径，，又 ，由射影定理 ， ． ：在 中，斜边 （当 与 重合时取等号），即 ，正确； ：由 及 得 ， 展开即 ，正确； ： 是 在 上的投影，故 ，而 ， ，即 ，正确； ：取 ，则 ，，，错误． 故选：ABC． 三、填空题：共3小题，每小题5分，共15分 12．（5分）若 的定义域为 ，则函数 的定义域为 　　　　． 【答案】 【分析】先由 的定义域求出 的“自变量整体”范围，再让 落在这个范围内． 【解答】解：，，即 的定义域为 ． ，解得 ， 的定义域为 ． 故答案为：． 13．（5分）已知 ：， 为假命题，则实数 的取值范围是 　　　　． 【答案】 【分析】“ 使方程成立”为假，等价于“对任意 ，方程都不成立”，要对 单独讨论． 【解答】解： 为假命题， 对任意 ， 都不成立． ①当 时， 有解 ，不符合题意； ②当 时，需 ，． 综上，，即取值范围是 ． 故答案为：． 14．（5分）若正实数 ， 满足 ，则 的最小值是 　　　　． 【答案】 【分析】用 把条件改写成关于 与 的关系，再用 ． 【解答】解：设 ，，则 ，条件化为 ，即 ． ， 为正实数，， ，，． 当且仅当 时取等号， 的最小值为 ． 故答案为：． 四、解答题：共5小题，共77分 15．（15分）若正数 ， 满足 ，． （1）当 时，求 的最小值； （2）当 时，求 的取值范围． 【答案】（1）最小值为 ；（2） 【分析】把条件整理成“积等于常数”的形式： 可配方为 ，这是解题的突破口；再用基本不等式． 【解答】解：（1）当 时，，即 ， ，，，， ， ， 当且仅当 ，即 时取等号（此时 ）， 的最小值为 ． （2）当 时，，即 ． ，，即 ， ， ， 当且仅当 ，即 时取等号（此时 ）， 的取值范围是 ． 16．（15分）已知条件 ：，条件 ：． （1）若 ，求实数 的取值范围； （2）若 ，求实数 的取值范围； （3）若 ，且 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）先保证 非空，再让两区间有公共部分；（2） 就是 ；（3）把 转化为 ，即 （这是逆否命题等价）． 【解答】解：（1）， 非空且与 有公共部分， ， 解得 ，，，． （2），． 当 时，，即 ，此时 成立，不符合； 当 时，若 ，则需 且 ，即 ， 时 ， 的取值范围是 ． （3） 是 的充分不必要条件，，且 ， 由逆否命题的等价性知 ，即 ，且 ， ，解得 且 ，， 又 ，，即取值范围为 ． 17．（15分）二次函数 满足 ，且 ．． （1）求 的解析式； （2）对任意 ，都有 恒成立，求 取值范围； （3）对任意 ，存在 ，使得 成立，求 取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）待定系数法，比较同次项系数；（2）转化为“ 恒成立”，即 的最小值；（3）“任意”对应 的值域，“存在”对应 的值域，要求 的值域包含于 的值域． 【解答】解：（1）设 （），由 得 ． ， ，解得 ，， ． （2） 对任意 恒成立， ，即 恒成立， 设 ，， 在 上单调递减，最小值 ， ． （3） 在 上单调递增， 的值域为 ； 在 上单调递增， 的值域为 ． 由题意， 的每一个值都要被 取到，即 ， ，解得 ． 18．（17分）已知 ． （1）当 时，解关于 的不等式 ； （2）当 时，解关于 的不等式 ； （3）不等式 对任意 恒成立，求 的取值范围． 【答案】（1）；（2）见解答；（3） 【分析】分式不等式一律“移项、通分、化为一边为 0”，再由分子分母符号讨论；注意 ． 【解答】解：（1）当 时，， ，即 ， ，， 即解集为 ． （2），即 ，． ①当 时，，解集为 ； ②当 时，方程 的两根为 和 ， 若 ，则 ，解集为 ； 若 ，则 无解，解集为 ； 若 ，则 ，解集为 ； ③当 时，抛物线开口向下，两根为 ， 解集为 ． （3），， 由 得 ， 整理得 对任意 恒成立． 设 ，对称轴 ． ①当 ，即 时， 在 上递增， 只需 ，即 ， 均符合； ②当 ，即 时，最小值为 ， 即 ，，． 综上所述，． 19．（15分）高斯，著名的数学家、物理学家、天文学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称．函数 称为高斯函数，其中 表示不超过实数 的最大整数，如 ，． （1）求 的解集和 的解集； （2）求方程 的解集； （3）若 的解集为 ，求 的取值范围． 【答案】（1），；（2）；（3） 【分析】 是整数，所以“ 的不等式”先解出 的整数取值，再按 还原成 的范围；第（3）问注意解集 恰好对应 ． 【解答】解：（1） 为整数，由 得 ， ，即解集为 ； 由 得 ，即 ， 为整数，，，即解集为 ． （2）设 （），则 ，原方程化为 ，． ①当 时，，， 由 得 ，，； ②当 时，，， 由 得 ，矛盾，无解． 方程的解集为 ． （3）由 得 ，即 ， ． 解集为 ，而 对应 ， 整数 ，， 都满足该不等式，而 ， 不满足， ， 即 且 ，， 的取值范围是 ． 高一数学 参考答案与试题解析　第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 张家港高级中学 2026-2027 学年第一学期高一 10 月数学自主检测 班级______　　姓名______　　学号______ 出卷人：何军　　审核人：唐海燕 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5分）已知集合 ，，则 =（　　） A． B． C． D． 2．（5分）已知 ，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（5分）若不等式 的解集为 ，则 的值为（　　） A． B．−5 C． D．−6 4．（5分）设 ，则 的最大值是（　　） A． B．−3 C．−2 D．−1 5．（5分）若命题 ：，，则 的准确表述是（　　） A． B． C． 或 D． 或 6．（5分）已知 ，，则 ，，， 中最大的是（　　） A． B． C． D． 7．（5分）已知函数 ，则不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 8．（5分）已知关于 的不等式组 有且仅有一个整数解，则 的取值范围为（　　） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9．（6分）已知函数 是一次函数，满足 ，则 的解析式可能是（　　） A． B． C． D． 10．（6分）下列命题为真命题的是（　　） A．若 ，则 B．若 ，则 C．如果 ，那么 D．，则 11．（6分）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是西方数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有图形如图所示， 为线段 上的点，且 ，， 为 的中点，以 为直径作半圆，过点 作 的垂线交半圆于 ，连接 ，，，过点 作 的垂线，垂足为 ，则该图形可以完成的所有无字证明为（　　） A．（） B．（） C．（） D．（） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（5分）若 的定义域为 ，则函数 的定义域为 　　　　． 13．（5分）已知 ：， 为假命题，则实数 的取值范围是 　　　　． 14．（5分）若正实数 ， 满足 ，则 的最小值是 　　　　． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（15分）若正数 ， 满足 ，． （1）当 时，求 的最小值； （2）当 时，求 的取值范围． 16．（15分）已知条件 ：，条件 ：． （1）若 ，求实数 的取值范围； （2）若 ，求实数 的取值范围； （3）若 ，且 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围． 17．（15分）二次函数 满足 ，且 ．． （1）求 的解析式； （2）对任意 ，都有 恒成立，求 取值范围； （3）对任意 ，存在 ，使得 成立，求 取值范围． 18．（17分）已知 ． （1）当 时，解关于 的不等式 ； （2）当 时，解关于 的不等式 ； （3）不等式 对任意 恒成立，求 的取值范围． 19．（15分）高斯，著名的数学家、物理学家、天文学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称．函数 称为高斯函数，其中 表示不超过实数 的最大整数，如 ，． （1）求 的解集和 的解集； （2）求方程 的解集； （3）若 的解集为 ，求 的取值范围． 高一数学　第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $