平面向量专项训练-2027届高三数学一轮复习

平面向量测试 （测试时间120分钟，总分150分） 姓名：___________班级：___________ 一、单选题（每题5分，共40分） 1．非零单位向量，满足，则与夹角是（   ） A． B． C． D． 2．若，，，则实数（    ） A．1 B． C．4 D． 3．在中，点O在线段BC上，且，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．已知为单位向量，向量的夹角为，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 5．在正六边形中，点是内（包括边界）的一个动点，设，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知平面向量，则下列说法不正确的是（    ） A．与共线的单位向量的坐标为或 B．在方向上的投影向量为 C．若向量与向量垂直，则 D．与垂直的单位向量的坐标为或 7．设为的外心，若，则点是的（    ） A．重心 B．内心 C．垂心 D．外心 8．在平行四边形中，是边靠近的三等分点，与交于点，设，则（   ）． A． B． C． D． 二、多选题（每题6分，共18分） 9．给出下列命题，不正确的有（   ） A．若为非零向量，则与同向 B．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同 C．若，则 D．已知，为实数，若，则与共线 10．关于向量，，，下列说法正确的是（   ） A． B．若，则 C．若，则 D．已知P在所在平面内，满足，则点P是的垂心 11．下列说法中错误的是（   ） A．若为单位向量，则 B．若，则 C．两个非零向量，若，则 D．若，则 三、填空题（每题5分，共15分） 12．已知向量，则__________. 13．已知向量与的夹角为，且，，则在方向上的投影向量为______________ 14．在中，，，，分别为边 ，的中点.若，点为线段上的动点，则的最小值为_______________. 四、解答题（共77分） 15．（13分）已知平面向量满足，与的夹角为. (1)若，求实数的值； (2)求与的夹角的余弦值. 16．（15分）如图，在梯形中，，，． (1)用，表示； (2)若与交于点，用，表示． 17．（15分）已知平面向量，满足，，与的夹角为． (1)求； (2)若向量与相互垂直，求实数k的值． 18．（17分）如图1所示，在中，点在线段上，满足，点在线段上，满足，线段与线段交于点. (1)用和表示； (2)若，求实数； (3)如图2所示，过点的直线与边，分别交于点，，设，，，求的最大值； 19．（17分）如图，在平行四边形ABCD中，，，设，．注：本小题几何方法求解不得分．    (1)用，表示，； (2)用平面向量证明：E，F，C三点共线． 《平面向量测试》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D D B D D C A BCD ABD 题号 11 答案 ABD 1．A 【分析】由等式两边同时平方可得，同时计算出的值，设与夹角为，代入公式，计算可得答案. 【详解】由等式两边同时平方可得：， 化简可得：，又因为， 所以，设与夹角为， 则， 又，所以. 故选：A . 2．D 【分析】根据平面向量共线的坐标表示求解. 【详解】，，，则有， 所以. 3．D 【分析】利用平面向量的基本定理以及三点共线与向量的关系求解. 【详解】由B，O，C三点共线得, ， 又因为M，O，N三点共线，所以，则， 故选:D． 4．B 【详解】已知，为单位向量即，向量与的夹角 向量在向量上的投影向量为. 代入数值计算得. 5．D 【详解】因为为动点，所以不容易利用数量积来得到的关系，因为六边形为正六边形，所以建立坐标系各个点的坐标易于确定， 可得：，则，所以设，则由可得：，因为在内，且，所以所满足的可行域为，代入可得：，通过线性规划可得：. 6．D 【分析】借助共线、垂直、单位向量，投影向量等知识，对选项逐一判断即可. 【详解】对于A选项：与共线的单位向量为，因为所以所以与共线的单位向量的坐标为或，正确； 对于B选项：在方向上的投影向量为，正确； 对于C选项：由题： 即，正确； 对于D选项：设与垂直的单位向量为，则 ，解得：或，故不正确. 故选：D. 7．C 【分析】取BC的中点D，连接OD，AM，BM，CM，由，结合，得到，从而，再由为的外心，得到即可. 【详解】解：取BC的中点D，如图所示， 连接OD，AM，BM，CM． 因为， 所以， 又，则， 所以， 又由于为的外心， 所以， 因此有．同理可得，， 所以点是的垂心． 故选：C． 8．A 【分析】根据题设及向量对应线段的位置关系得、，结合即可得. 【详解】由，，所以， 由题意，则， 由. 故选：A 9．BCD 【分析】由共线向量可判断A，由相等向量的定义可判断B，由的方向是任意的和平行向量可判断C和D. 【详解】是与同方向的单位向量，故A正确； 两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等， 但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点，故B错误； 若，则不一定共线，故C错误； 当时，与可以为任意向量，满足， 但与不一定共线，故D错误. 故选：BCD. 10．ABD 【分析】由向量的三角不等式可判断选项，结合相等向量的条件可以判断选项；根据向量的定义判断C选项；由已知条件结合三角形的垂心的定义分析判断D选项. 【详解】对于A，，当且仅当，方向相同或，中至少有一个零向量时等号成立，A正确； 当时，，的模与方向均相同，B正确； 对于C，向量无法比较大小，C错误； 对于D，因为， 所以，所以， 同理可得，，所以是的垂心，D正确. 故选：ABD． 11．ABD 【分析】A项，单位向量的方向不一定相同；B项，向量性质判断； C项，两边平方展开化简可得；D项，特殊向量的数量积计算求解. 【详解】选项A，由为单位向量，即，而方向不一定相同，故A错误； 选项B，向量不能比较大小， 故B错误； 选项C，由，得， 即，整理得，又因为是两个非零向量，所以，故C正确； 选项D，当时，则不一定成立，故D正确； 故选：ABD. 12．5 【分析】根据向量模的坐标表示即可得到答案. 【详解】，则. 故答案为：5. 13． 【分析】根据题意利用投影向量的定义即可求得结果. 【详解】依题意可知，，； 由投影向量定义可得 在方向上的投影向量为； 故答案为： 14．/ 【分析】建立平面直角坐标系，设，，由坐标法求数量积，结合二次函数的性质计算可得. 【详解】以为原点，以为轴建立平面直角坐标系，如图： 则，，， 因为，分别为边 ，的中点，所以，，则. 又点为线段上的动点，可设， 则，所以. 故，， 则 这是开口向上的二次函数，对称轴为，因为， 所以当时，取得最小值，即. 故的最小值为. 15．(1)3 (2) 【分析】（1）根据求模公式及数量积公式，可得的值，由条件，可得，整理计算，即可得答案. （2）先求出，根据数量积的运算律，可得的值，代入夹角公式，即可得答案. 【详解】（1）因为，所以，则， 由，得， 所以，即，则，解得. （2），， 所以. 16．(1) (2) 【分析】（1）结合图形，运用向量的加法、减法和数乘运算即可； （2）方法一，利用三角形相似，将其用表示出来，再由（1）即可求得； 方法二，利用向量共线，将用两种形式表示出来，列出方程组，求解即得. 【详解】（1）由图，． （2）设，则 ． 设，则，则，解得， 所以． 方法二：            （方法一）延长，交的延长线于. 易证，则，得， 易证，则， 设，则，，得， 得， 所以. 17．(1) (2) 【详解】（1）因为，，， 则， 所以. （2）若向量与相互垂直，则， 即，解得． 18．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据三角形中平行线的等比关系计算； （2）由（1）得，，列出方程组求解即可； （3）由题意可得，，列出方程组，从而可得，利用基本不等式求解即可； 【详解】（1）因为，则，由，得 ， 故. （2）由（1）得，因为三点共线，所以存在实数使得，所以，所以， 由，得 ， 又因为，所以，解得，， 综上所述，. （3）根据题意． 同理可得：， 由（1）可知，， 所以， 因为三点共线， 所以存在实数，使得， 所以， 所以，，化简得， 所以， 当且仅当且， 即，，时等号成立． 故的最大值为. 19．(1)， (2) 因为，可得， 所以， 且，可得，所以三点共线. 【分析】（1）根据题意，结合和，即可求解； （2）根据题意，求得，，得到，即可得证. 【详解】（1）由题意知，向量可得， 又由，可得， 所以， （2）略 20．(1)或 (2) 【分析】（1）若，则，在中，根据余弦定理即可求出； （2）法一，由三点共线的推论，列出向量的等式，又由、、三点共线，得到的关系式，变形得，进而得到的表达式，再利用基本不等式，即可求出最大值； 法二，由三点共线的推论，列出向量的等式，又由、、三点共线，得到的关系式，变形可得，利用上式拼凑出的表达式，再利用基本不等式，即可求出最大值； 【详解】（1）因为，所以， 又因为，， 在中，由余弦定理可知， 即. 整理可得，解得或. （2）法一：因为，所以. 又因为，，所以. 因为、、三点共线，所以，变形得. 所以 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最大值为. 法二：因为，所以. 又因为，，所以. 因为、、三点共线，所以， 变形得. 因为，，所以， 所以. 当且仅当时等号成立， 所以的最大值为. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $