平面向量及其应用专项训练-2027届高三数学一轮复习

高中数学人教A版必修二平面向量及其应用 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A C A C C C B ABD ACD 题号 11 答案 BD 1．A 【分析】根据余弦定理计算求解. 【详解】由余弦定理可得，因此，A选项正确 2．A 【分析】利用向量模的平方等于向量自身数量积的性质，先求出的值，再计算目标模长的平方后开方得到结果. 【详解】根据向量模的运算性质：对任意向量，均有. 求解两向量的数量积： 对两边同时平方，得： ， 代入、，即、，可得： 整理解得. 计算： 先计算目标模长的平方： ， 代入已知值与的计算结果： ， 由于向量模为非负实数，故. 3．C 【分析】本题考查角平分线性质与基本不等式求最值，核心思路是“用面积相等法推导出AB与AC的倒数关系，再用1的代换结合基本不等式求最小值”，注意验证等号成立条件. 【详解】由面积相等法：. 计算各三角形面积：. . . 代入面积等式：. 得，即. 设，，则约束条件为 ， 用“1的代换”：. 展开得：. 由基本不等式：， 当且仅当 即时取等号. 代入得最小值：. 验证等号条件：当 时，代入 ，得 ， 解得，，即，， 满足三角形条件. 【点睛】角平分线问题优先用面积相等法导出边的关系，再用“1的代换”结合基本不等式求最值，关键是凑出定值并验证等号成立条件. 4．A 【分析】先由题中条件，结合余弦定理求出，，再由是角平分线，利用求出，根据基本不等式求出最小值，再计算向量数量积即可. 【详解】，，，， 又，， 化简得， 即，当且仅当时等号成立， . 5．C 【分析】先根据平面向量共线的坐标运算求得的可能取值，再结合向量同向的性质即可求解. 【详解】因为向量与同向，故，解得或， 当时，，，此时，两向量方向相反， 当时，，，此时，两向量方向相同，故. 6．C 【分析】根据为的重心且，可得到；利用余弦定理得到，根据得到的关系；对，通过正余弦定理化简整理，代入的关系，可求解. 【详解】连接延长交于，如下图所示： 为的重心，为中点且， 又， ，， 由余弦定理得： ， ， ， ， ，即， . 7．C 【分析】先在水平面中利用内角和、正弦定理求出，再利用俯角的几何含义得到竖直距离，结合无人机离地高度算出黄鹤楼的高度. 【详解】无人机所在平面距地面高度为70米，在点测塔顶的俯角为，且垂直于无人机所在水平面， 因此是直角三角形，由俯角定义可得. 中：米，，，则. 根据正弦定理，代入数值得米. 由第一步得米，说明塔顶比无人机所在水平面低18米，因此黄鹤楼总高度为：米. 8．B 【分析】先由向量点积相等推出为等腰三角形，再对平方变形，将表示为关于的函数，结合的范围求最值即可. 【详解】由，得， 所以，所以， 由正弦定理得：，即， 又， 所以，所以， 又， 所以 ， 所以， 又， 所以， 所以， 所以， 又，所以， 所以，所以， 所以， 所以有最小值，无最大值. 9．ABD 【详解】对于A，由余弦定理得：，所以（负值舍掉），A正确； 对于B，，B正确； 对于C，由正弦定理得：，C错误； 对于D，由余弦定理得：，所以，D正确. 10．ACD 【详解】对于A，由，则，故A正确； 对于B，由，则，解得，故B错误； 对于C，由，则，解得，故C正确； 对于D，若，则，即，， 所以在方向上的投影向量为，故D正确. 11．BD 【分析】对于A，将用和表示，将用和表示，代入题干式子中即可求解；对于B，先假设直线过边的中点，利用向量共线关系得出矛盾，即可说明B选项正确；对于C，利用题干等式构造，使得点为的重心，得到，，面积相等，再利用三角形面积公式即可得到和的面积关系；对于D，将题干所给式子平方，再将题干式子两边同时点乘和，即可求解. 【详解】 对于A，已知， 因为，， 所以， 即， 即，故A错误. 对于B， 设的中点为， 假设直线过边的中点， 则与共线， 因为，， 所以与不共线，假设不成立， 所以直线不过边的中点，故B正确. 对于C， 如图，在延长线上取点，使得， 在延长线上取点，使得， 在延长线上取点，使得， 因为， 所以， 所以点是的重心， 所以， 因为，， 所以，， 因为，， 所以，， 所以，故C错误. 对于D，因为， ， 所以， 因为， 两边平方得：， 即， 即， 对式子两边同时点乘得： ， 对式子两边同时点乘得： ， 联立上述式子，解得，， 所以，故D正确. 12． 【分析】先根据余弦定理直接推导角的大小，再结合基本不等式求出的最大值，代入三角形面积公式得到面积最大值. 【详解】 由余弦定理，得， 又，所以 因为，故，所以. 又，所以. 将代入中， 得 ，即，当且仅当时取等号. 三角形面积为 . 因此面积的最大值为. 13． 16 【详解】 由题意得，，结合方位角可得， ， 在中，由正弦定理， ， 代入，，得 ， 处与处之间的距离为. 14． 【分析】先根据数量积公式求得是等边三角形，再利用共线以及平面向量基本定理进行向量转化运算，即可求得动点的位置，最后利用数量积公式运算求解. 【详解】，则，可得，又因为，所以是等边三角形， 设，， 代入运算可得：， 当时，取得最小值， ， 代入运算可得：. 15．(1) (2) 【分析】（1）先用正弦定理把边角混合的已知式化为只含角的等式，由约去，再用二倍角公式把与统一成的三角函数，转化为的方程，结合的范围确定角. （2）方法一：把（1）所求的角代入条件求出，用排除钝角情形确定角，再用"作高把分成两段"与"正弦定理求边"两条路径分别把三角形面积用表示，最后由面积条件解出.方法二：先求得，利用正弦定理、三角形的面积公式列方程求得. 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理，得． 因为，所以，所以． 又因为，，所以，所以． 所以，所以，所以． （2）由（1）得，所以． 因为，所以． 因为，所以，所以 方法一：如图，在中，过点作于点． 在中，因为，所以，． 在中，因为，所以． 所以的面积． 由题意得，解得（负值舍）． 方法二：因为， 由正弦定理，得． 所以的面积． 由题意得，解得（负值舍） 16．(1) (2) 【分析】（1）根据辅助角公式对条件进行化简处理即可求解； （2）先根据正弦定理边角互化算出，然后根据正弦定理算出，即可得到周长． 【详解】（1）由辅助角公式化简得 ，即 ， 因为 ，所以 ，因此 ，得 ． （2）由正弦定理， 可化为 ， 因为 ，，，因此 ，得 ， 由正弦定理 ，得： ， ， ， 因此周长为 ． 17．(1) (2) 【详解】（1）由两边平方，得. 代入，，得： 由正弦定理边化角： 整理得. 由，得. 在中，故，即. 又，因此. （2）由周长为19，，得. 由余弦定理： ， 代入，， 得： ； 是角平分线， 由面积关系： ， 代入，， 约分化简得， 因此. 18．(1) (2)， 【分析】（1）利用正弦定理和两角和差公式化简得，再利用辅助角公式以及正弦函数的性质可得； （2）利用正弦定理得出即可计算面积，再利用余弦定理得出，再利用公式求出内切圆半径. 【详解】（1）由正弦定理以及 得， 因为， 所以， 因为，所以，即，   又，则，故，即； （2）因为，， 所以，得， 则 ， 由余弦定理得， 则，得， 内切圆半径为. 19．(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理、三角恒等变换，结合三角形内角的取值范围、特殊角的三角函数值求解即可； （2）利用向量的线性运算、结合基本不等式、三角形面积公式即可求解. 【详解】（1）， 由正弦定理得， ，． ，，，． ，． （2），，， 又，，， ，当且仅当时，等号成立， 的面积， 即面积的最大值为． 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学人教A版必修二平面向量及其应用 一、单选题 1．在中，，，，则（     ） A． B． C． D． 2．已知向量，满足，，，则（     ） A． B． C． D． 3．在中，，D在BC边上，AD平分．若，则的最小值是（    ） A．16 B．17 C．18 D．19 4．设的内角，，的对边分别为，，，且，若角的内角平分线，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 5．若向量与同向，则（    ） A． B． C． D． 6．的内角，，的对边分别为，，，点为的重心且满足，则（     ） A． B． C． D． 7．享有“天下江山第一楼”美誉的黄鹤楼位于湖北武汉，地处蛇山之巅，濒临万里长江，更因历代诗人登楼作诗而名闻天下．某校数学实践小组为保护该遗产开展数学探究活动，用无人机进行航拍测量，估计黄鹤楼的高度．无人机在距水平地面70米的同一高度上先后悬停于，两点．记楼顶为，在点测塔顶的俯角为．已知，两点间的水平距离为米，且水平面上，（其中为楼顶在无人机所在水平面上的垂直投影点），则黄鹤楼的高度大概为（     ）米 A．45 B．51 C．52 D．55 8．在中，，，若，则（   ） A．有最小值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最大值 二、多选题 9．在中，角，，的对边分别是，，，已知，，，则下列结论正确的是（     ） A． B．的面积为 C． D． 10．在平面直角坐标系中，，下列结论正确的是（     ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则在方向上的投影向量为 11．已知点为所在平面内一点，且，则下列选项正确的有（     ） A． B．直线不过边的中点 C． D．若，则 三、填空题 12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则B＝______；若b＝4，则△ABC的面积的最大值为______. 13．一艘渔船从码头处出发，沿正南方向航行了后到达处进行捕捞作业，然后从处出发，沿北偏东的方向航行了一段距离后到达处进行捕捞作业，最后从处出发，沿北偏西的方向航行了一段距离回到处，则处与处之间的距离为________km.（参考数据：取，） 14．在中，已知，，在线段上运动时，当取得最小值时，________． 四、解答题 15．在中，内角，，所对的边分别为，，，且． (1)求角的值； (2)若，的面积为，求的值． 16．记的内角，，的对边分别为，，，已知． (1)求； (2)若，，求的周长． 17．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，且，点为边上一点． (1)求角的大小； (2)若是的角平分线，，的周长为19，求的长度； 18．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且． (1)求A； (2)若，且，求的面积以及内切圆的半径． 19．的内角，，的对边分别为，，，已知． (1)求； (2)若点在上，满足，，求面积的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $