精品解析：江苏南京市第一中学江北新区分校2026～2027 学年第一学期 体阶段性质量检测 九年级数学(10月月考练习卷)

2026～2027学年第一学期南京联合体阶段性质量检测 九年级数学（10月月考练习卷） 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A选项．是一元一次方程，不符合题意． B选项．是分式方程，不是一元二次方程，不符合题意． C选项．是二元一次方程，不符合题意． D选项．是一元二次方程，符合题意． 2. 已知的半径为，圆心O到直线l的距离为，则l与的交点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了圆与直线的位置关系，圆与直线的位置关系有相离，相交，相切，熟悉三种位置关系对应的公共点的个数是解本题的关键．圆的半径为r 圆心到直线的距离为d，当时，圆与直线相离，直线与圆没有交点，当时，圆与直线相切，直线与圆有一个交点，当时，圆与直线相交，直线与圆有两个交点，根据原理可得答案． 【详解】解：∵的半径为，圆心O到直线l的距离d，为， ∴， ∴圆与直线l相交，直线l与圆有两个交点， 故选：C． 3. 若关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，先把原方程化为一般式，再利用判别式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵关于x的方程有实数根， ∴， 解得， 故选：B． 4. 如图，是的外接圆，若的长等于半径，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、圆周角定理，根据等边三角形的性质及等腰三角形的性质得，再利用圆周角定理即可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键． 【详解】解：连接、、，如图： ， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 故选B． 5. 如图，在中，弦．点在上移动，连接，过点作，交于点，则长的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由勾股定理得，为定值，最小时最大，根据垂线段最短，当时最小，最后求出最大值． 【详解】解：如图，连接， ， ， 为定值，则当取得最小值时，取得最大值， 当时，取得最小值， 此时点与点重合， ， ． 6. 如图，在扇形中，点在上，点在上，．若，则的半径为（ ） A. 8 B. 9.6 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作，垂足分别为E、F，连接．先证明，得到．设，则，，根据勾股定理得到，进而得到，在中，根据勾股定理得到，求出，即可求出． 【详解】解：如图，作，垂足分别为E、F，连接． ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 即． ∵ ∴， ∴． 设，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， ∵在中， ， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质与判定，圆的半径都相等，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟知相关知识，根据题意填写辅助线构造矩形和相似三角形得到线段的关系是解题关键． 二、填空题（每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上） 7. 方程的根为________． 【答案】， 【解析】 【分析】对方程左边提取公因式因式分解，即可求出方程的根． 【详解】解：已知， 则， 则或， 解得，． 8. 设是方程 的两个根，且－＝1,则m=_______. 【答案】3 【解析】 【详解】试题分析：首先根据韦达定理可得：=4，=m，则4-m=1，解得：m=3. 9. 如图，的半径为，圆心到的距离，则_____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，先根据勾股定理求得，再根据垂径定理求解即可． 【详解】解：∵的半径为，圆心到的距离， ∴，，， ∴， ∴， 故答案为：6． 10. 某公司今年销售一种产品，一月份获得利润20万元，由于产品畅销，利润逐月增加，三月份的利润比二月份利润增加万元．设该产品平均每月利润的增长率为，则可列方程______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，设该产品平均每月利润的增长率为，则二月份的利润为万元，三月份的利润为万元，再根据三月份的利润比二月份利润增加万元列出方程即可． 【详解】解：设该产品平均每月利润的增长率为， 由题意得，， 故答案为：． 11. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，写出的外接圆的圆心坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查三角形外接圆的相关知识点，熟练掌握三角形的外心是解题的关键；因此此题可分别作出线段的垂直平分线，然后问题可求解． 【详解】解：分别作线段的垂直平分线，如图所示： ∴由坐标系可知：的外接圆的圆心坐标为； 故答案为． 12. 在⊙O中，圆心角∠AOB=100°，则弦AB所对的圆周角=_____． 【答案】50°或130° 【解析】 【详解】根据圆周角定理，得 弦AB所对的圆周角=100°÷2=50°或180°﹣50°=130°． 故答案为50°或130°. 13. 如图，四边形是半圆的内接四边形，是圆的直径，．若，则的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，用圆内接四边形对角互补求，等弧所对的圆周角相等，直径所对圆周角为直角，直角三角形中两个锐角互余求． 【详解】解：如图，连接． ∵四边形是半圆的内接四边形， ． ， ． 是圆的直径， ， ． 14. 如图，在中，弦、相交于点，若的度数为，，则的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆周角定理与三角形内角和定理分步推导求解即可． 【详解】解：如图，连接、、、、， 根据题意可知，， 则， ， ， ， ， 的度数为． 15. 对于一元二次方程（a，b，c为常数，且），下列条件：①；②；③；④；若只添加一个条件就可以判定方程有实数根，则所有正确条件的序号是________． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】根据一元二次方程有实数根的条件，只需判断每个条件能否推出判别式，逐个验证即可． 【详解】解：一元二次方程（）有实数根的条件是判别式． ① 若，则，又， ，方程有实数根，①符合要求． ② 若，举反例：取 ，，，满足， 此时，方程无实数根，②不符合要求． ③若，则．代入判别式得， ，方程有实数根，③符合要求． ④若，则．代入判别式得． ，，又， ，方程有实数根，④符合要求． 综上，正确条件的序号是①③④． 【点睛】判断一元二次方程是否有实数根，关键是看判别式的符号；当条件能直接推出时，方程有实数根；不能推出的条件可举反例排除． 16. 如图，点A，B，C，E在上，且．若，，则四边形的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】取中点D，连接，连接交于点H，并延长交于点F，求出，，设半径为，则，列方程求出，进而求出，，即可求出面积． 【详解】解：取中点D，连接，连接交于点H，并延长交于点F， ∵， ∴，， ∴， ∴， 在中，， 设半径为，则， 在中，， ， 解得：， ，， ∴四边形的面积． 三、解答题（本大题共8小题，共64分．请在答题卷指定区域作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）对方程因式分解，令每个因式等于，求出方程两根； （2）移项后变形，提取公因式因式分解，再令各因式为求解． 【小问1详解】 解：， 可得， 则或， 解得，． 【小问2详解】 解：， 可得， 则，即， 则或， 解得，． 18. 如图，AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,OD是半径,且OD∥AC，求证：=. 【答案】 证明：连接OC， ∵OD∥AC， ∴∠BOD=∠A，∠COD=∠C， ∵OA=OC， ∴∠A=∠C， ∴∠COD=∠BOD， ∴=. 【解析】 【分析】首先连接OC，由OD∥AC，易得∠BOD=∠A，∠COD=∠C，继而证得∠COD=∠BOD，则可得=. 【详解】略 【点睛】此题考查圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，解题关键在于作辅助线. 19. 某种服装，平均每天可以销售20件，每件盈利44元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果每天要盈利1600元，每件应降价多少元? 【答案】每件降价4元 【解析】 【详解】试题分析：设每件降价元，则可多售出5件，根据题意可得： 化简整理得 解得： 经检验都是方程的解，但是题目要求x≤10 ∴x=36不符合题意，舍去 即x=4 答：每件降价4元． 考点: 一元二次方程的应用 20. 已知：如图，在中，是弦，是直径，点是的中点．求证：垂直平分，且． 【答案】证明：∵是的直径，且点是的中点， ，且平分， ∴垂直平分， ∵是直径，且， ． 【解析】 【分析】直径平分弧，则直径垂直平分弧所对的弦，再由垂直于弦的直径平分弦所对的弧，证得两弧相等． 【详解】略 21. 如图，若准备利用一处墙角和长度为的篱笆围建一个矩形花圃，花圃的一边由墙和篱笆构成，另一边由墙和篱笆构成，其他两边由剩下的篱笆围成．若，，矩形花车圃的面积为，求花圃边的长度． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程解应用题，准确将线段用代数式表示出来是解题的关键．设边的长度为，则，由此可表示出，利用面积建立方程即可求解． 【详解】解：设边的长度为， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵矩形周长为， ∴； 由题意知：， 整理，得：， 解得：； 当时，，无意义， ∴， 答：花圃边的长度为． 22. 如图，用直尺和圆规作出圆的圆心．（要求：保留作图的痕迹，写出必要的文字说明） 【答案】 解：如图，点O即为所求作： 【解析】 【分析】本题考查尺规作图-确定圆心，先任意画一条弦，作垂直这条弦的直径，再作这条直径的垂直平分线与直径的交点即为圆心，此题还涉及垂径定理的推论． 【详解】解：作图：任意画一条弦，作的垂直平分线得到直径，再作直径的垂直平分线交于O，则点O为直径的中点，即为此圆的圆心． 23. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）若，求k的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，以及根与系数的关系． （1）根据根的判别式大于零列式求解即可； （2）根据根与系数的关系求解即可． 【小问1详解】 ∵有两个不相等的实数根 ∴ ∴ 【小问2详解】 ∵是方程两个实数根 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 24. 如图，在中，，过点A，C的与，分别交于点D，E，连接． （1）求证； （2）延长，相交于点P，若，则的度数为 °． 【答案】（1） 证明：， ， 又四边形为的内接四边形， ， ， , , ． （2）38 【解析】 【分析】此题考查了圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质，熟记圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质是解题的关键． （1）根据圆内接四边形的性质得出，根据等腰三角形的性质得出，求出即可； （2）根据对顶角相等及三角形内角和定理得出，结合等腰三角形性质及邻补角定义得出，则，根据三角形内角和定理求解即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 如图， ， ， ， ，，， ， ， ， 故答案为：38． 25. 定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，其中一个根比另一个根大，则称这样的方程为“邻根方程”． （1）下列方程中，是“邻根方程”的是_________（填序号） ①；②；③． （2）若是“邻根方程”，求的值． （3）若一元二次方程（，均为常数）为“邻根方程”，直接写出，满足的数量关系． 【答案】（1）①③ （2）的值为或 （3） 【解析】 【分析】（1）解每个方程求出两根，计算两根之差，判断是否相差； （2）先写出方程两个根，根据两根差为，分两种情况列方程求； （3）利用韦达定理，结合变形，推出，满足的数量关系． 【小问1详解】 解：， 则， 则或， 解得，， ， ①是“邻根方程”； ， 则， 则， 解得，两根相等， ②不是“邻根方程”； ， 则， 则或， 解得，， ， ③是“邻根方程”， 综上，①③是“邻根方程”． 【小问2详解】 解：，且是“邻根方程”， 则或， 解得，， 当时：，解得， 当时：，解得， 故的值为或． 【小问3详解】 解：已知一元二次方程（，均为常数）为“邻根方程”， 设方程的两个根为，， 可得，，， 则， 则， 可得． 26. 如图，内接于，为的中点，在上，连接． （1）如图，若，垂足为，直线分别交，于点，． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求证：； （2）如图，若与不垂直，过点作，垂足为，连接，写出，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） （Ⅰ）证明：连接、， ∵为优弧的中点， ∴， ∴， 又， ∴、都在的垂直平分线上， ∴是垂直平分线，即； （Ⅱ）证明：如图，连接， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又， ∴； （2） ，理由， 在上截取，连接、． ∵ ，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（）（）连接、， 利用圆的有关性质, 线段垂直平分线的判定与性质解答即可； （）连接，利用圆周角定理，直角三角形的性质，等腰三角形的三线合一的性质解答即可； （）在上截取，连接、，利用等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质解答即可． 【小问1详解】 （Ⅰ）略； （）略； 【小问2详解】 解：略． 【点睛】此题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，线段垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是添加的辅助线，熟练掌握以上知识的应用． 27. 如图，在中，劣弧的度数为，点是优弧上的动点，且不与点、点重合，弦的垂直平分线分别交射线，弦于点、． （1）求证：是等边三角形； （2）能否为等腰三角形？如果能，求此时的度数；如果不能，请说明理由； （3）若的半径为，则面积的最大值是_________． 【答案】（1）证明：如图，连接，， 劣弧的度数为， ， ， 是的垂直平分线， ， 是等边三角形． （2）能为等腰三角形，的度数为或或 （3）面积的最大值为 【解析】 【分析】（1）由垂直平分线得，利用弧的度数求出圆周角，证出有一个角的等腰三角形是等边三角形； （2）分、、三种情况讨论，结合等边三角形性质、角度推理，舍去不存在的情况，求出对应； （3）先由证出，将求面积的最大值转化为求面积的最大值，确定动点轨迹为以点为圆心，长为半径的圆，找到到的最大值，代入三角形面积公式求最大值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①当时，如图， 是的半径， 此时也是的半径， 点在上，易知点与点重合， 由（1）可知是等边三角形， ， ； ②当时，有两种情况： 当点靠近点时，如图， 是的垂直平分线， 点在直线上，即，，三点共线， 据（1）可知是等边三角形， ， ． ， ； 当点靠近点时，如图， ， ， ， ； ③当时， 为等边三角形， ， ， 为等边三角形， ． ， ， 即此时点在的延长线上，易知此时点与点重合， 以，，为顶点不构成三角形， 故此情况不存在， 综上所述，能为等腰三角形，的度数为或或． 【小问3详解】 解：如图，取的中点， 连接，，，，，， 是的垂直平分线， 点在直线上，， 在和中， ， 由为等边三角形，可得， 在圆内接四边形中，， 据（1）可知是等边三角形， ， 点，，在以点为圆心，长为半径的上， ， 和中， ， ， 又， 为等边三角形， ， 点在上， 过点作于点， 当点，，三次共线时，的长最大，最大，即最大， 此时，， ， ， ， 面积的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026～2027学年第一学期南京联合体阶段性质量检测 九年级数学（10月月考练习卷） 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（） A. B. C. D. 2. 已知的半径为，圆心O到直线l的距离为，则l与的交点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 若关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，是的外接圆，若的长等于半径，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，弦．点在上移动，连接，过点作，交于点，则长的最大值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在扇形中，点在上，点在上，．若，则的半径为（ ） A. 8 B. 9.6 C. D. 二、填空题（每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上） 7. 方程的根为________． 8. 设是方程 的两个根，且－＝1,则m=_______. 9. 如图，的半径为，圆心到的距离，则_____． 10. 某公司今年销售一种产品，一月份获得利润20万元，由于产品畅销，利润逐月增加，三月份的利润比二月份利润增加万元．设该产品平均每月利润的增长率为，则可列方程______． 11. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，写出的外接圆的圆心坐标为___________． 12. 在⊙O中，圆心角∠AOB=100°，则弦AB所对的圆周角=_____． 13. 如图，四边形是半圆的内接四边形，是圆的直径，．若，则的度数为________． 14. 如图，在中，弦、相交于点，若的度数为，，则的度数为________． 15. 对于一元二次方程（a，b，c为常数，且），下列条件：①；②；③；④；若只添加一个条件就可以判定方程有实数根，则所有正确条件的序号是________． 16. 如图，点A，B，C，E在上，且．若，，则四边形的面积为________． 三、解答题（本大题共8小题，共64分．请在答题卷指定区域作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 如图，AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,OD是半径,且OD∥AC，求证：=. 19. 某种服装，平均每天可以销售20件，每件盈利44元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果每天要盈利1600元，每件应降价多少元? 20. 已知：如图，在中，是弦，是直径，点是的中点．求证：垂直平分，且． 21. 如图，若准备利用一处墙角和长度为的篱笆围建一个矩形花圃，花圃的一边由墙和篱笆构成，另一边由墙和篱笆构成，其他两边由剩下的篱笆围成．若，，矩形花车圃的面积为，求花圃边的长度． 22. 如图，用直尺和圆规作出圆的圆心．（要求：保留作图的痕迹，写出必要的文字说明） 23. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）若，求k的值． 24. 如图，在中，，过点A，C的与，分别交于点D，E，连接． （1）求证； （2）延长，相交于点P，若，则的度数为 °． 25. 定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，其中一个根比另一个根大，则称这样的方程为“邻根方程”． （1）下列方程中，是“邻根方程”的是_________（填序号） ①；②；③． （2）若是“邻根方程”，求的值． （3）若一元二次方程（，均为常数）为“邻根方程”，直接写出，满足的数量关系． 26. 如图，内接于，为的中点，在上，连接． （1）如图，若，垂足为，直线分别交，于点，． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求证：； （2）如图，若与不垂直，过点作，垂足为，连接，写出，，之间的数量关系，并说明理由． 27. 如图，在中，劣弧的度数为，点是优弧上的动点，且不与点、点重合，弦的垂直平分线分别交射线，弦于点、． （1）求证：是等边三角形； （2）能否为等腰三角形？如果能，求此时的度数；如果不能，请说明理由； （3）若的半径为，则面积的最大值是_________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $