江苏南京钟英中学2026-2027学年九年级上学期 第一次学情自测数学试卷

钟英九年级数学第一次月考(2026.10.16) 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符 合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上) ①下列方程中，是一元二次方程的是(） A.y-2x=0 B.x+1=0 C.x2-5x=0 D.2x3-2=0 2 下列函数中，当x>0时，变量y随变量x的增大而减小的是() Ay=月 B.y- C.y=-号(k≠0) x D.y=3x 3下列一元二次方程中，有一个根为0的方程是() A.x2-4=0 B.x2-4x=0 C.x2-4x+4=0 D.x2-4x-4=0 4对于反比例函数y=二 ,下列说法正确的是() A.图象经过点（3，-4) B.图象位于第二、四象限 C.图象关于原点对称 D.当x>0时，y随x的增大而增大 5 若关于x的一元二次方程kx2+2x-1=0有实数根，则k的取值范围是() A.k≥-1且k≠0 B.k≥-1 C.k>-1 D.k>-1且k≠0 6对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c为常数，且a≠0)，下列条件：①a+b+c=0: ②abc>0:③2a-b+c=0.若只添加一个条件就可以判定方程有实数根，则所有正确条件的序号是 () A.① B.①③ C.②③ D.①② 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题 卡相应位置上) ⑦方程x2=9的根是 8己知反比例函数的解析式为y=m二(m是常数)，如果在每一象限内函数值y随着x的增大而减 小，那么m的取值范围是」 9 已知关于x的一元二次方程x2+5x一m=0的一个根是-7则另一个根是 10已知反比例函数y=2的图象上有两点A(x1,y小B(x,y),如果名<x<0,那么y1一一▲ y3(填>”、=”或<). 11若m,n是方程x2-2x-5=0的两个实数根，则m+n-mn的值为. 第1页（共9页） 12 某旅游景点6月份共接待游客64万人次，暑假放假学生旅游人数猛增，且每月的增长率相同，8 月份共接待游客81万人次，如果每月的增长率都为x则可列方程为」 13 己知反比例函数y=当x>5时，y的取值范围是 4如图，在平面直角坐标系中，ABCD的顶点C,D在y轴上，A、B两点分别在反比例函数 y=-2(x<0)与y=(k>0,x<0)的图象上.若S4B00=5,则k的值为▲ 5如图，己知一次函数y=x+1与反比例函数y=的图象交于A,B两点.若点P为直线AB上 的动点，过点P作PQ∥y轴，与反比例函数的图象交于点Q.当△OPQ的面积为24时，所有满足条 件的点Q的坐标为▲ 0 16 已知3-√5是关于x的方程ax2+bx+c=0(a,b,c是有理数，a≠0则该方程的另一个根 是 三、解答题（本大题共11小题，共88分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明 过程或演算步骤) 1⑦(6分)解下列方程： 第2页（共9页） 初中数学·九年级数学练习卷 (1)x2-4x+1=0: (2)(x+3)2=2x+6. 18 (6分)解方程：x2+(a+2)x=-(a+1),其中a为常数. 19(8分)如图，学校准备修建一个面积为48m的矩形花园，它的一边靠墙，其余三边利用长20 的围栏，已知墙长9，问围成矩形的长和宽各是多少？ 第3页（共9页） 初中数学·九年级数学练习卷 20 (8分)某电脑公司在国庆期间搞活动时，规定每台电脑7000元，可分期付款，交首付后剩余的 钱数y(元)与时间t(月)的关系如图所示. (1)首付款为▲，y与t的函数关系式为▲： (2)如果每月支付的钱数不少于400元，那么至多几个月才能将所有的钱全部还清？ y/元 900 600 300 t/月 0 5 10 (第20题) 21(7分)某商店的一种服装，每件成本为60元.经市场调研，售价为80元时，可销售750件：售 价每提高5元，销售量将减少50件.己知商店销售这批服装获利22500元，这种服装每件售价是多少 元？ 第4页（共9页） 初中数学·九年级数学练习卷 22 (8分)如图，一次函数y=mx+n与反比例函数y=长的图象交于点A(4,1),B(1,b) 两点 (1)求一次函数和反比例函数的解析式： (第22题) (2)根据函数图象，直接写出不等式-mx+-n>0的解集； 23 (8分)关于x的一元二次方程x2+bx+c=0(b,c为常数)，x1,x2是该方程的两个根. (1)若x1=x2,直接写出b与c之间的联系：▲·（用含c的式子表示b) (2)若2b2=9c,且方程有一根为2，求另一个根 第5页（共9页） 初中数学·九年级数学练习卷 24(8分)甲，乙两架无人机均保持相同的飞行高度做匀速直线运动：甲无人机沿自南向北方向飞 行，速度为10s,下午14：00恰好经过A点的正上方：乙无人机沿自西向东方向飞行，速度为20s, 下午14：01恰好经过A点的正上方.何时两架无人机相距600m? 25 (9分)【探究与发现】 通过计算，不难发现： ①号>V4x9,②4>9×1：③15>Vi6x25,④=V5x5. 【猜想与证明】 (1)请你补全证明过程： .'a>0,b>0, ≥0， ..a-2Vab+b≥0， ∴.a+b≥2Vab, ∴≥va丽. 对于任意a>0,b>0,≥V而 【应用与拓展】 (2)若a>0,则当a=▲时，a+有最小值为一▲一： (3)问题解决：如图，己知点A在反比例函数y=(x>0)的图象上，过点A作AB1x轴于点 B,作AC⊥y轴于点C.四边形ACOB的周长是否存在最小值？若存在，求出其最小值，并写出此时点 A的坐标；若不存在，说明理由. 第6页（共9页） 初中数学·九年级数学练习卷 0 26 (9分)我们己经学习过反比例函数y=生的图象和性质，请你回顾研究它的过程，对函数y=向 的图象和性质进行探索，并解决下列问题： (1)该函数的图象大致是▲ 平大 (2)写出该函数两条不同类型的性质： ① ② (3)写出不等式寸-4>0的解集： x+1 第7页（共9页） 初中数学·九年级数学练习卷 27 (11分)池塘里，随风摇曳的芦苇，往往带给人们无限的美和遐想 如图1，在平面直角坐标系中，线段α绕点0顺时针旋转，与直线b相交于点P,旋转过程中， 保持动点P沿x轴正方向以每分钟1个单位长度的速度运动.运动过程中的每个瞬间，线段α在直线b 以上的部分可以想象为摆动过程中芦苇露出水面的部分，我们称为“水上部分”.当“水上部分”刚好露出 水面时，运动开始：当“水上部分”完全沉入水下时，运动停止， 水上部分 (图1) (图2) 如图2，第7分钟，木棒摆到0A位置；第21分钟，木棒摆到0B位置.经测量，水深12，“水上 部分”PA长为5，PB的长也为7，你对“水上部分”有何发现？ 下面是三位同学探究后展示的结论 甲：“水上部分”在第28分钟时沉入水下 乙：“水上部分”在第7分钟与第21分钟之间，有最大值 丙：“水上部分”的长度最多占木棒的一半 (1)分别判断三位同学的结论是否正确并解释， 第8页（共9页） 初中数学·九年级数学练习卷 (2)老师追问：随着时间t的变化，“水上部分”的长度1会怎样变化？猜想并画出1与t之间关 系的大致图象，写出必要的说明。 第9页（共9页）