北京市海淀区北京十一晋元中学2026-2027学年上学期九年级10月学情自测数学试题

初三数学十月诊断 一、选择题（共8小题，每题2分） 1. 数学世界奇妙无穷，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，为直径，，为圆上的点，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 5. 杆秤是人类发明的各种衡器中历史最悠久的一种，是利用杠杆原理来测定物体质量的简易衡器．如图1所示是兴趣小组自制的一个无刻度简易杆秤，其使用原理：将待测物挂于秤钩A处，提起提纽B，在秤杆上移动金属秤锤C（质量为），当秤杆水平时，金属秤锤C所在的位置对应的刻度就是待测物的质量（量程范围内）．为了给秤杆标上刻度，兴趣小组做了如下试验，用m（单位：）表示待测物的质量，l（单位：）表示秤杆水平时秤锤C与提纽B之间的水平距离，则水平距离l与待测物质量m之间的关系如图2所示．根据以上信息，下列说法正确的是（ ） A. 待测物的质量越大（量程范围内），秤杆水平时秤锤C与提纽B之间的水平距离越小 B. 当待测物的质量为时，测得的距离l为 C. 若秤锤C在水平距离l为的位置，则秤杆在此处的刻度应为 D. 若秤杆长为，则杆秤的最大称重质量为 6. 某超市销售一种文创产品，每个进货价为15元．调查发现，当销售价为20元时，平均每天能售出50个；而当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出5个．超市要想使这种文创产品的销售利润平均每天达到220元，设每个文创产品降价x元，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 8. 如图1是变量y与变量x的函数关系的图象，图2是变量z与变量y的函数关系的图象，则z与x的函数关系的图象可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共8小题，每题2分） 9. 函数的自变量x的取值范围是______． 10. 在平面直角坐标系xOy中，点在双曲线上，则______（填“＞”或“＜”）． 11. 如图，已知直线y＝mx与双曲线y＝一个交点坐标为（3，4），则它们的另一个交点坐标是_____． 12. 如图：分别以A、C为圆心，以大于的长为半径作弧，两条弧分别相交于点B、D，依次连接A，B，C，D和．若，，则四边形的面积为______． 13. 二次函数的与的部分对应值如下表： … 0 1 2 3 4 … … 2 7 … 则关于的一元二次方程的解是___________． 14. 点，在二次函数的图象上，若，．则与的大小关系是______．（填“＞”、“＜”或“＝”） 15. 如图，矩形的顶点，分别在轴，轴上，对角线与反比例函数的图像相交于点，若点为的中点，则矩形的面积为_____． 16. 下表是某市本年度前十强的区县排行榜，变化情况表示该区县相对于上一年度名次变化的情况，“↑”表示上升，“↓”表示下降，“一”则表示名次没有变化．已知每个区县的名次变化都不超过两位，上一年度排名第1的区县是___________，上一年度排在第6，7，8名的区县依次是___________．(写出一种符合条件的排序) 名次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 区县 A B C D E F G H I J 变化情况 ↑ 一 ↓ 一 ↑ ↓ ↑ ↓ ↓ 一 三．解答题（17题4分，18-23题每题5分，24题7分，25-26题6分，27题7分，28题8分） 17. 解方程： （1）． （2）． 18. 已知是方程的一个根，求代数式的值． 19. 如图，是的直径，弦于点E．若，，求的半径． 20. 已知抛物线与轴的交点为，抛物线的对称轴为直线． （1）求抛物线的表达式； （2）直接写出抛物线的顶点坐标，并在平面直角坐标系中画出抛物线； （3）当时，直接写出的取值范围． 21. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论为何值方程总有两个实数根； （2）若这个方程的一个实根大于1，另一个实根小于0，求的取值范围． 22. 如图，在中，为边上一点，连接为中点，过点C作，交的延长线于点F，连接交于点G． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，，．求的长． 23. 如图，已知一次函数与反比例函数的图像在第一、三象限分别交于，两点，连接． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）直接写出时x的取值范围． 24. 投壶 投壶，源于射礼，是中国古代宴饮时做的一种投掷游戏．投壶的规则：由游戏者轮流站在离壶一定距离的地方，用手把箭投向壶中并计算得分．箭在空中飞行的轨迹可以近似看成抛物线．同学们受游戏启发，将箭抽象为一个动点，并建立了如图所示的平面直角坐标系（单位长度为）．某同学将箭从处抛出，箭的飞行轨迹为抛物线的一部分，且当箭的最大高度为时，距离投出点的水平距离为．把壶近似看作矩形，已知壶口的宽度，壶的高度． （1）求抛物线的表达式． （2）若箭刚好由点处擦边投入壶中，求人离壶的距离． （3）在（2）的条件下，该同学再次投掷，仅调整了将箭抛出时的高度，其他条件不变，要使得箭再次投入壶中，请直接写出的取值范围． 25. 小明妈妈早晨骑电动车将小明送到幼儿园后再去单位上班．已知小明家到幼儿园的路程为，幼儿园到小明妈妈单位的路程为，小明妈妈骑电动车带小明行驶是载重行驶，下表记录了电池中剩余电量占电池容量的百分比（简称剩余电量占比）P与小明妈妈独自行驶和载重行驶状态下可行驶的路程（单位：）和（单位：）的部分数据： P 0 3 7 15 23 31 39 0 2 4 9 15 22 30 （1）通过分析数据，发现可以用函数刻画与与P之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，补全这两个函数的图象； （2）根据上述数据和函数图象，解决下列问题： ①当该电动车剩余电量占比为时，小明妈妈独自行驶比载重行驶多行驶________（结果精确到）； ②若在电量耗尽前小明妈妈能到达单位，则当天早晨出门时该电动车剩余电量占比至少为________（精确到）． 26. 在平面直角坐标系中，，是抛物线上不重合的两点． （1）当时，比较和的大小，并说明理由； （2）记抛物线在点，之间的部分（含点，）为图形，过抛物线上一点作直线垂直于轴．若直线与图形有且只有一个公共点，求的取值范围． 27. 如图，在中，，，点在边上（不与点重合），作点关于直线的对称点，连接，交边于点，连接，取线段的中点，在边上取点，使得，连接． （1）求证：； （2）直接写出的大小，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，对于图形和直线，给出如下定义：将图形绕点顺时针旋转得到图形，再将图形关于直线对称，得到图形，则称图形为图形的“变换图形” （1）已知点，，图形为线段． ①当直线为轴时，图形的“变换图形”为，则以下说法正确的是___________； A．图形与图形关于原点中心对称 B．图形与图形关于轴对称 C．图形与图形关于直线对称 D．图形与图形关于直线对称 ②当直线为时，若图形的“变换图形”与轴负半轴有公共点，直接写出的取值范围； （2）已知正方形的顶点坐标分别为，长为的线段（点在点左侧）在直线上，且点的横坐标为，直线由直线绕点逆时针旋转得到．若线段的“变换图形”与正方形有公共点，直接写出的取值范围． 初三数学十月诊断 一、选择题（共8小题，每题2分） 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】C 二、填空题（共8小题，每题2分） 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】> 【11题答案】 【答案】（﹣3，﹣4） 【12题答案】 【答案】24 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 < 【15题答案】 【答案】 【16题答案】 【答案】 ①. C ②. E、H、I或H、E、I． (二者之一即可) 三．解答题（17题4分，18-23题每题5分，24题7分，25-26题6分，27题7分，28题8分） 【17题答案】 【答案】（1）， （2） 【18题答案】 【答案】7 【19题答案】 【答案】 【20题答案】 【答案】（1）； （2）它的顶点坐标为； 图象如图所示： ； （3）． 【21题答案】 【答案】（1） 证明：∵ ， ∴无论为何值，方程总有两个实数根． （2） 【22题答案】 【答案】（1） 解：四边形是平行四边形，理由如下： 为中点， ， ， ，， 在和中， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． （2）2 【23题答案】 【答案】（1）反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为 （2） （3）或 【24题答案】 【答案】（1） （2）米 （3） 【25题答案】 【答案】（1）如图， （2）①；② 【26题答案】 【答案】（1），理由如下： 当时，抛物线为， ∵，是抛物线上的点， ∴，， ∴； （2）或或 【27题答案】 【答案】（1） 解：如图，连接， ∵点关于直线的对称点为，连接， ∴垂直平分， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴． （2），证明： 解：如图，取中点，连接、，， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵为中点， ∴，， ∴， ∴垂直平分， ∵， ∴点在直线上，即点共线，， ∴， ∵作点关于直线的对称点， ∴， ∵取线段的中点， ∴， ∴，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【28题答案】 【答案】（1）①D；② （2）或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $