精品解析：北京市第十三中分校诚毅校区 2026-2027学年九年级上学期10月阶段学情自测

2026—2027学年度第一学期学科练习初三数学试卷 2026.10 考生须知 1．本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，第Ⅰ卷共1页，第Ⅱ卷共5页． 2．本试卷满分100分，考试时间120分钟． 3．在试卷（包括第Ⅰ卷和第Ⅱ卷）密封线内准确填写学校、班级、姓名、学号． 4．考试结束，将试卷及答题纸一并交回监考老师． 第Ⅰ卷 一．选择题：（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1. 下列方程中一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 将二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法解方程，方程应变形为（ ） A. B. C. D. 4. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A.  对称轴是直线 B.  顶点坐标为 C.  当时，随的增大而增大 D.  图象与轴交点的坐标是 5. 某科技公司在2024年投入研发资金为300万元，2026年投入研发资金363万元，若这两年投入研发资金的年平均增长率相同，设年平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，是方程的两个实数根，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 设二次函数（，，是常数，），如表列出了、的部分对应值． … 1 2 3 … … 0 … 则不等式的解集是（ ） A. B. C. 或 D. 8. 若二次函数的图像与x轴有两个交点，坐标分别为，且，图像上有一点在x轴下方，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二．填空题（本大题共8个小题，每题2分，共16分） 9. 请写出一个一元二次方程，要求满足下列两个条件：①有两个不相等实数根；②其中有一个根为，这个方程是________ 10. 二次函数的图象如图所示，则点在第________象限． 11. 如果函数是关于的二次函数，则________． 12. 二次函数的图象经过点和，则方程的解为________ 13. 点，，都在函数的图象上，则，，的大小关系为________ 14. 已知二次函数（），当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则t的取值范围是________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴只有一个交点M，与平行于x轴的直线l交于A、B两点．若，则点M到直线l的距离为________． 16. 已知二次函数（，，为常数，）图像的顶点坐标是，且经过，两点，．有下列结论： ①关于的一元二次方程（）有两个不相等的实数根； ②当时，的值随值的增大而增大； ③； ④； ⑤对于任意实数，总有． 其中所有正确结论的序号是______． 三．解答题（本大题共11个小题，17题10分，18—21题每题5分，22—25每题6分，26—27题7分，共计68分） 17. 解方程 （1） （2） 18. 已知是关于x的方程的一个根，求代数式的值． 19. 已知关于x的一元二次方程x2﹣6x﹣k2＝0（k为常数）． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）设x1，x2为方程的两个实数根，且x1＋2x2＝14，试求出方程的两个实数根和k的值． 20. 新学期伊始，小明在宣纸上写了一幅书法作品——厚德载物，作品宽，高，写好后进行了装裱，装裱时左右边衬宽度相等，上下边衬宽度相等，左右边衬与上下边衬宽度之比为，若装裱后作品的面积是原宣纸作品面积的2倍，应如何设计四周边衬的宽度？ 21. 已知二次函数． （1）补全表格，用五点法画出这个二次函数的图象： … … … … （2）结合图象指出，当时，的取值范围________； （3）当时，结合图象直接写出函数的取值范围________； （4）求函数图象与两坐标轴的交点所围成的三角形的面积． 22. 如图①，桥拱截面可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽，桥拱顶点B到水面的距离是． （1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式； （2）一只宽为的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O点时，桥下水位刚好在处，有一名身高的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）． 23. 小瑞学习一次函数，二次函数后，决定将函数所学知识、方法迁移应用到其他函数问题解决上，他选择函数（其中是自变量）进行研究，请你帮助小瑞完成如下学习过程： （1）函数自变量的取值范围是________； （2）当，，时，部分与的对应值数据如下： -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 时的值 6 1.875 0 -0.375 0 0.375 0 -1.875 -6 时的值 8 3.375 1 0.125 0 -0.125 -3.375 -8 时的值 10 4.875 2 0.625 0 -0.625 -2 -4.875 -10 ①表格中m的值为________； ②根据表格数据所反映的规律，若点和都在函数的图象上，则__________； （3）当时，小瑞在平面直角坐标系中画出了函数在时的图象，请你参考以上函数相关问题研究的过程，画出该函数在时的图象； （4）当_________时，关于的方程恰好有2个实数根． 24. 2025年世界人形机器人运动会在北京举行，其中“篮球投篮人机挑战赛”成为热门项目，篮球飞行的轨迹可近似看作抛物线．以机器人站立点为原点建立平面直角坐标系，篮球飞行的竖直高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）满足二次函数关系． 机器人某次投篮，篮球飞行的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离x（米） 0 1 2 3 4 5 竖直高度y（米） 挑战者在同样地点投篮，篮球飞行的竖直高度y与水平距离x近似满足二次函数关系． （1）根据上述数据，直接写出机器人投篮时，篮球飞行的竖直高度的最大值为_____________米，满足的函数关系是_____________； （2）若篮球在水平距离5米处的竖直高度y满足，视为有效投篮，则机器人投篮_____________（填“有效”或“无效”），挑战者投篮_____________（填“有效”或“无效”）． 25. 在平面直角坐标系中，点 在抛物线 上．设抛物线的对称轴为直线x=t． （1）若 ，求t的值； （2）若当 时，都有 求t的取值范围． 26. 如图，在中，，，点在边上（不与点重合），作点关于直线的对称点，连接，交边于点，连接，取线段的中点，在边上取点，使得，连接． （1）求证：； （2）直接写出的大小，并证明． 27. 对于平面直角坐标系中的点和图形，给出如下定义：若在图形上存在一点，使得，两点间的距离小于或等于1，则称为图形的关联点． （1）如图，点，，， ①在点，，中，四边形的关联点是_____； ②点在直线上，若为四边形的关联点，求点的横坐标的取值范围； （2）正方形的对角线交点在轴上且边均与坐标轴垂直，边长为2，直线与轴、轴分别交与点，．若线段上的所有点都是正方形的关联点，直接写出正方形对角线交点横坐标的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $6学科网命组卷网 2026一2027学年度第一学期学科练习初三数学试卷 2026.10 考生须知 1.本试卷分为第I卷和第Ⅱ卷，第I卷共1页，第Ⅱ卷共5页. 2.本试卷满分100分，考试时间120分钟. 3,在试卷（包括第卷和第卷)密封线内准确填写学校、班级、姓名、学号. 4.考试结束，将试卷及答题纸一并交回监考老师， 第卷 一.选择题：（本大题共8小题，每小题2分，共16分) 1.下列方程中一定是一元二次方程的是() A.x2-4y=0 B.x3-4x=5 C.x2+6=12x 个)2一5=0 【答案】C 【解析】 【分析】一元二次方程是指只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程，据此逐项判断即可. 【详解】解：A、方程含有x,y两个未知数，故不是一元二次方程： B、方程未知数最高次数为3，故不是一元二次方程： C、方程是一元二次方程； D、方程中分母含未知数，故不是一元二次方程. 2将二次函数少=2x2 的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是( A.y=2(x+2)2+3 B.y=2(x+2)}2-3 第1页/共35页 6学科网6组卷网 c.y=2(x-2)2-3 D.y=2(x-22+3 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，根据平移的规律“左加右减，上加下减”进行求解即可得 答案。 【详解】解：将二次函数y=2 的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表 达式是y=2(0x-2)2-3 故选：C 3.用配方法解方程x-6x+4=0 方程应变形为() A.(x+3)}=13 B.(x-3)2=5 c.(x+6)2=32 D.(x+3)2=5 【答案】B 【解析】 【详解】解：r-6x+4=0 x2-6x=-4 x2-6x+9=-4+9 (x-32=5 4对于二次函数y=4(+3-5的图象，下列说法正确的是《) A.对称轴是直线x=3 B顶点坐标为（-35) 第2页/共35页 学科网命组卷网 C.当x<-3时，y随x的增大而增大 D. 图象与'轴交点的坐标是(0,5) 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的顶点式，确定对称轴、顶点坐标、开口方向及增减性，并计算与y轴的交点即可 解答 【详解】解：“二次函数为y=-4(x+3)-5 二对称轴为直线=-3，顶点坐标为3,5) 选项A:对称轴应为直线x=-3,不是x=3,故A说法错误，不符合题意； 选项B:顶点坐标应为一3，-5)，不是(-3,5)，故B说法错误，不符合题意： 选项C:.a=-4<0」 ∴抛物线开口向下，当x<-3时，y随x的增大而增大，故C说法正确，符合题意； 选项D:当x=0时，y=-4×(0+3)-5=-36-5=-41 :与y轴交点坐标为(0,4)，不是(0,5)，故D说法错误，不符合腰意」 5.某科技公司在2024年投入研发资金为300万元，2026年投入研发资金363万元，若这两年投入研发资 金的年平均增长率相同，设年平均增长率为x,则下列方程正确的是() A.300(1+x)2=363 B.300(1+x2)=363 c.300+300(1+x)2=363 D.300(1+2x)=363 【答案】A 【解析】 【分析】根据平均增长率的增长规律，推导两年后研发资金的表达式，即可列出正确方程 第3页/共35页 学科网命组卷网 【详解】解：，设年平均增长率为x,2024年投入研发资金为300万元， ∴.2025年投入研发资金 300(1+x)万元， :.2026年投入研发资金为300(1+x1+x)=300(1+万元。 又，2026年投入研发资金为363万元， “列方程得300(1+x)}=363 6,已知无，五是方程x2-:+k-3=0的两个实数根，且+为=5，则k的值为（) A.2 B.-2 C.1 D.-1 【答案】C 【解析】 【分析】将+变形为含两根和与两根积的形式，结合根与系数的关系列方程求解，再检验判别式。 【详解】解：由根与系数的关系，得+名=k,=k-3 :+号=5，且+号=(x+为广-2xx, k2-2(k-3)=5 2-2k+1=0 整理得 解得无=名1 :△=(-k}-4(k-3)=k2-4k+12=(k-2+8>0恒成立， 原方程总有两个实数根， ·k=1符合条件. Z.设二次函数y=ar+br+C(a,b,c是常数，a≠0)，如表列出了x、y的部分对应值. 第4页/共35页 6学科网6组卷网 ax+bx+c<m 则不等式 的解集是() A.t<-3 B.>-3 cx<-3x>-1 或 D.-3<x<- 【答案】D 【解析】 【分析】利用二次函数的对称性求对称轴，找到=m对应的两个横坐标，结合开口方向确定不等式解集 【详解】解：：抛物线过点（-5，-2.79)，（么，-2.79） -5+1=-2 ,抛物线对称轴为直线2 ,x=-3时函数值为m, “x=-3关于直线x=-2的对称点横坐标为 2×(-2)-(-3)=-1 即x=-1时函数值为m, ,当x>-2时，x从1增大到2，y从-2.79增大到0，y随x的增大而增大， ∴抛物线开口向上， :不等式+hr+C<m的解集为3<x<-l 8若二次函数y=r+br+a≠0)的图像与x轴有两个交点，坐标分别为：，(：，0，且<，图 像上有一点M(,)在x轴下方，则下列判断正确的是《) A.a>0 B.(x-)(-)<0 C.x<x<x2 D.a(-x)(x-x2)<0 第5页/共35页 6学科网列组卷网 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的图象性质，一元二次方程根的判别式及 数形结合思想.根据每个选项的结论逐一分析判断即可得到结果 【详解】解：A项：二次函数y=r+hr+c(a≠0)与x轴有两个交点，无法判断a的正负情况，不符合 题意； B项：若a>0,则有<<五，即-七>0，-<0」 (-x-)<0 若a<0,则有<<或<<而，即-方与-同号， :(化，-xx-名)>0，不符合题意： C项：若a>0,则有<6<，若a<0,则有。<x<或<<，由于a的正负不能确定， 不符合题意： D项：若a>0,由B项知，(-x)x-)<0 .a(x-x)(x-x2)<0 若a<0,由B项知，(：-x)(x,-)>0 :a(6-),-)<0,符合思意 第Ⅱ卷 二.填空题（本大题共8个小题，每题2分，共16分） 9.请写出一个一元二次方程，要求满足下列两个条件：①有两个不相等实数根：②其中有一个根为x=3, 这个方程是 【答案】 第6页/共35页 6学科网 6组卷网 x2-9=0 (答案不唯一) 【解析】 【分析】本题为开放性试题，只需确定一个不等于3的实数根，整理得到方程后验证判别式大于0即可， 结果不唯一 【详解】解：要求一元二次方程有一个根为x=3,且有两个不相等的实数根， 3 另一个根取任意不等于的实数即可， 取另一个根为x=-3, 可得方程为x-3(x+3)=0 展开整理得x2-9=0 b, l0.二次函数y=a2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则点(a在第 象限. 【答案】三 【解析】 【分析】由开口方向判断a的符号；利用对称轴公式推出b与a的关系，从而确定b的符号；由抛物线与 y轴交点位置判断C的符号：再由a、C同号异号判断a的正负，最后根据点的横、纵坐标符号判断所在 象限 第7页/共35页 6学科网6组卷网 【详解】解：由抛物线开口向下，得a<0. 对称轴为直线x=-1,由对称轴公式： X=一 b1 2a b1 . b=2a 又a<0,.b=2a<0. 抛物线与'轴交于正半轴，当X=0时)=C>0】 时 c∠0 由a<0、c>0,得a. 固。的质坐标b<0,纵坐标。0，质：纵坚为通 该点在第三象限， 11如果函数y=(k-3列x7+2x-1是关于x的二次函数，则k= 【答案】 -3 【解析】 k-3≠0 【分析】根据二次函数的定义可以得到k2-7=2,根据k2-7=2可得：k=3或k=-3,根据 k-3≠0k≠3 k 可得，从而确定的值. 【详解】解：函数少=(k-3列-7+2x-1是关于x的二次函数 k-3≠0 :满足条件1k2-7=2, 第8页/共35页 命学科网命组卷网 2-7=2 解方程 k2=9 可得： 解得：k=3或k=-3」 ,k-3≠0 k≠3 ∴.k=-3 12二次函数y=a2+hx+c的图象经过点(2,0)和（l,0）,则方程a2+bx+c=0的解为. 【答案】=2七=-1 【解析】 【分析】二次函数'=+bx+C的图象与销交点的横坐标就是一元二次方程a+bx+c=0的解， 已知二次函数图象过两个x轴上的点，直接可得方程的解 【详解】解：”=次函数y=+br+c的图象经过点(2,0)和(-l,0） ·这两个点是二次函数图象与x轴的交点， “方程r+br+c=0的解为：=2，为=-1 13.点A(4）,B(L),C(-3,y)都在函数y=-X+6x+c的图象上，则片，为，乃的大小关系 为 【答案】 y>y2>y3 【解析】 【分析】先确定二次函数的开口方向和对称轴，开口向下的抛物线上的点离对称轴越近，函数值越大，只 需比较三个点到对称轴的距离即可判断大小， 第9页/共35页 学科网命组卷网 【详解】解： 将函数配方得 y=-x2+6x+c=-(x-3)2+9+c ,二次项系数-1<0 ∴，抛物线开口向下，抛物线上的点到对称轴的距离越近，对应的函数值越大 该抛物线的对称轴为直线x=3 分别计算三个点横坐标到对称轴x=3的距离： 点A的距离： 4-3=1 点B的距离： 1-3=2 点C的距离： 3-3到=6 1<2<6 片>为>为 14.已知二次函 女=-2x(1≤x≤1)，当X=-小时，函数取得最大值：当=时，函数取得最小 值，则t的取值范围是 【答案】1≤t≤3 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的性质，进行求解即可. 【详解】解：y=x2-2x=（x-1)2-1 ∴，对称轴为直线x=1,对称轴上的点离对称轴越远，函数值越大， :-1≤x≤t,且x=-1时，函数取得最大值；当x=1时，函数取得最小值， 第10页/共35页 命学科网命组卷网 [t≥1 -1+t1: 2 .1≤t<3, 故答案为：1≤t≤3， 15.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=(x-)与轴只有一个交点M与平行于x轴的直线1交于 A、B两点.若AB=4,则点M到直线I的距离为一 M 【答案】4 【解析】 【分析】由题意 M(h,0）,对称轴为直线x=h,A,B两点的纵坐标相同，设为a,有a=(x-h妒， 点A的横坐标是h-同)，点B的横坐标是h+v回，由B=4,可蜘知h+回)--回)=4，计算求解 即可. 【详解】解：y=(x-与x销只有-个交点M, :M(伍，0)，对称轴为直线x=h, ,抛物线与平行于x轴的直线交于A,B两点， ·A,B两点的纵坐标相同，设为a(a>0）, 则a=-时，x-h=士a. 解得：x=h土Va 第11页/共35页 学科网命组卷网 ∴点4的横坐标是h-同，点B的横坐标是(+)， AB=4, :(h+va-(h-a)=4, 解得：a=4 即点M到直线1的距离为4. 16已知二次函数y=心+bx+c(a,b,c为常数，a≠0)图像的顶点坐标是(Lm,且经过(L,0）, (0,m）两点，3<m<4.有下列结论： ①关于无的一元二次方程r+bx+c-n+1=0,a≠0、 )有两个不相等的实数根： ②当x>-1时，y的值随x值的增大而增大； 4 ③3a<-1 ④4a-2b+c<0: ⑤对于任意实数'，总有+(at-a+b)s0 其中所有正确结论的序号是 【答案】①③⑤ 【解析】 【分析】先根据顶点坐标得到对称轴，结合已知交点利用对称性得到抛物线与x轴的另一个交点，判断开 口方向，再逐一验证各结论即可. 【详解】解：：二次函数y=+hr+c(a≠0)的顶点坐标为-l,m） x=-1 抛物线对称轴为直线 抛物线经过点么0)，根据二次函数的对称性，可得抛物线与拍的分一个交点为(3.0) 第12页/共35页 6学科网6组卷网 又：抛物线经过(0，m）,且3<m<4,即点(0，m)在x轴上方，可得抛物线开口向下，即a<0, 0美1产的方程+c+C-+1=0可变形为m2+低+c=n- ,抛物线开口向下，最大值为顶点纵坐标n, n-l<n,直线 =n-l 与抛物线有两个不同的交点， ·方程有两个不相等的实数根，故①正确： ②，抛物线开口向下，对称轴为x=-1, .x>-1 y 时，的值随值的增大而减小，故②错误： ®设抛物线的交点式为'=(x-1x+3),展开得： y=a(x2+2x-3=ax2+2a-3a 当=0时，y=-3=m, 即m=-3a, .3<m<4, .3<-3a<4 4 <a<-1 解得：3 ,故③正确： ④4a-2b+c是x=-2时的函数值， :-3<-2<1,抛物线开口向下，且x=-3和x=1处函数值为0， 当3<x<1时y>0 时， ∴.x=-2时，y=4a-2b+c>0,故④错误； 第13页/共35页 6学科网 组卷网 ⑤由对称轴公式x=一2 b=-1,可得b=2a 将b=2a代入式子左边： (t+1)(at-a+b) =(t+1)(at-a+2a =(t+1)(at+a) =a(t+1)2 :a<0.(+1)2≥0 :a(+l≤0，即对任意实数4，总有+l(aM-a+b)≤0，故⑤正确： 综上，正确结论的序号是①③⑤， 三.解答题（本大题共11个小题，17题10分，18一21题每题5分，22一25每题6分，26一 27题7分，共计68分) 17.解方程 1)r2-4x-7=0 (2)x(x-2)+x-2=0 【答案】(1)￥=2+V1,x,=2- (2)=-1,x2=2 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程. (1)先将常数项移到等号右边，再根据完全平方公式进行配方，最后开方，即可解答： 第14页/供35页 命学科网命组卷网 (2)将x-2当做一个整体，将等号左边进行因式分解，用因式分解法即可解答. 【小问1详解】 解：x2-4x-7=0 x2-4x+4=11 (x-2)2=11 x-2=t11 x=2+V1,为2=2-V 【小问2详解】 解：x(x-2)+x-2=0 (x+1(x-2)=0 x+1=0,x-2=0 x1=-1,x2=2 18已知x=-l是关于x的方程2+2ax+a2-3的一个根，求代数式a(a-)+a+50的值. 【答案】4 【解析】 【分析】先将×=l代入方程t+2ar+=3得到2a+a=2,再由 a(a-l)+d2+5a=2ad2+4a=2(d2+2a）, 用整体代入法进行计算即可得到答案。 【详解】解：a(a-)+a2+5a =a2-a+a2+5a 第15页/供35页 6学科网组卷网 =2a2+4a x=l是关于x的方程+2+a=3的一个根， :1+2a+ad=3 0+2a=2 “原式=2(d2+2a)=4 【点睛】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是掌握整体代入法进行求解. 19.已知关于x的一元二次方程x2-6x-2=0(k为常数)· (1)求证：方程有两个不相等的实数根： (2)设1，x2为方程的两个实数根，且x1十2x=14,试求出方程的两个实数根和k的值， 【答案】(1)证明：：-4ac=(-6-4x1x(-k3)=36+42>0 因此方程有两个不相等的实数根. (2)=-2,名=8k=4 【解析】 【分析】(1)要证明方程有两个不相等的实数根，只要证明判别式△=b2-4ac的值大于0即可； (2)根据一元二次方程的根与系数的关系可以得到两根的和是6，结合+2x=14 即可求得方程的两个 实根，进而可求k的值. 【详解】(1)略 (2)解：x+5=6-6=6 a 1 x1+2x2=14 又 x1+x2=6 解方程组x+2x2=14解得：x=-2,为=8 第16页/供35页 6学科网命组卷网 将2 代入原方程得： （-2)2-6×(-2)-k2=0 解得k=±4 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系的应用，根据一元二次方程的根与系数的 关系，与+2x=14 联立即可把求方程的解的问题转化为解方程组的问题. 20.新学期伊始，小明在宣纸上写了一幅书法作品一厚德载物，作品宽60cm,高20Cm,写好后进行 了装裱，装裱时左右边衬宽度相等，上下边衬宽度相等，左右边衬与上下边衬宽度之比为21，若装裱后 作品的面积是原宣纸作品面积的2倍，应如何设计四周边衬的宽度？ 物载德厚 【答案】左右边衬各为l0cm,上下边衬各为5cm 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；设左右边衬各为xCm,上下边衬各为Cm,由题意可知 x:y=2:1 因此可设七=2ky=k 根据题意列出一元二次方程，解方程，进而求得四周边衬的宽度 ycm 【详解】解：设左右边衬各为cm,上下边衬各为心m,由腿意可知 :y=2: ,可设=2k.y=大 装裱后成品的总宽为60+2x=60+4k, 20+2y=20+2k 总高为 60×20=1200cm2 原作品面积为 装裱后面积应是它的2倍，即 2400cm2 因此有(60+4k)(20+2K)=2400 化简得2+25k-150=0 第17页/共35页 6学科网 组卷网 解得k=5(或-30，舍负取正)， :x=2k=10y=k=5 答：左右边衬各为l0cm,上下边衬各为5cm. 21.已知二次函数y=-x+2x+3 y 5 4 3 2 5-4-3-2-11 Q12.345x 9 +3 4 -5 (1)补全表格，用五点法画出这个二次函数的图象： … y (2)结合图象指出，当<0时 0时，x的取值范围 (3)当-1<x<4时，结合图象直接写出函数y的取值范围 (4)求函数图象与两坐标轴的交点所围成的三角形的面积. 【答案】(1)填表如下： … -1 0 1 2 3 y “ 0 3 4 3 0 二次函数图象，如图所示： 第18页/供35页 6学科网命组卷网 45x (2) 或 3 4 x<-1x>3 -5<y≤4 (3) (4)6 【解析】 【分析】(1)完成表格，用描点法画出函数图象即可： (2)结合函数图象，即可获得答案： (3)根据函数图象，结合二次函数性质，即可得出答案： (4)根据函数图象先得出函数图象与x轴的交点坐标为仁1,0)，(3,0），与y轴的交点坐标为(0,3)，然 后根据三角形面积公式求出三角形的面积即可. 【小问1详解】 解：当x=-1时，y=-(-1+2×(-1)+3=0 时，少=3 当七=0 当x=1时，y=-+2+3=4 当x=2时，y=-2+4+3=3 当x=3时，y=-32+2×3+3=0 填表略，画图略 【小问2详解】 解：面西爱周泉可知，当<0时，的取佰范国是<1安>3 【小问3详解】 第19页/供35页 学科网命组卷网 解：根据函数图象可知：当x=1时，y取最大值4， 当x=-1时，y=-(-1+2×(-1)+3=0 当x=4时，y=-4+2×4+3=-5 当1<x<4 5<y≤4 ，函数的取值范围为 【小问4详解】 解：根据函数图象可得：抛物线与x轴的交点坐标为(-1,0），(3,0），与y轴的交点坐标为0,3) ∴.函数图象与两坐标轴的交点所围成的三角形的面积为： 2*3-叨x3 =2x3+1)x3 1 -×4×3 =6 22.如图①，桥拱截面OBA可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽OA=8m,桥拱顶点 B到水面的距离是4m A衣 ① ② (1)按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式； (2)一只宽为1.2m的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距0点0.4m时，桥下水位刚好在OA 处，有一名身高1.68m的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由 第20页/供35页 命学科网命组卷网 (假设船底与水面齐平)· 【答案】1)少=- x2+2x(0≤x≤8) 4 (2) 解：工人的头顶不会触碰到桥拱，理由如下： .0.4m 打捞船宽为 2m,距0点 ,工人站立在打捞船正中间， 1 ∴工人距O点的距离为：2 ×1.2+0.4=1(m) x=1y=x2+2xay=一a×1+2×1=1.75 4 4 .1.75>1.68 ∴工人的头顶不会触碰到桥拱. 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，根据实际问题抽象出数学模型是解题的关键. （1)根据顶点坐标设出顶点式，再将O(0,0)代入求解； (2)先计算出工人距O点的距离，进而求出对应的函数值，与工人的身高比较大小即可. 【小问1详解】 解：，OA=8m,桥拱顶点B到水面的距离是4m, 六顶点B的坐标为(44) 设y=a(x-4)}2+4 将0(0,0)代入，得：a(0-4)+4=0, 第21页/供35页 命学科网命组卷网 少=4x-4+4=-+2 ·桥拱部分抛物线的函数表达式少三一x+2x(0≤x≤8 4 【小问2详解】 略 23.小瑞学习一次函数，二次函数后，决定将函数所学知识、方法迁移应用到其他函数问题解决上，他选 择函数'=-+（其中是自变量）进行研究，请你帮助小瑞完成如下学习过程： 3 01 （)函数y=-r+x自变量x的取值范围是 (2)当a=1,a=0,a=-1时，部分x与y的对应值数据如下： … -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 a=1时 6 1.875 0 -0.375 0 0.375 0 -1.875 -6 y的值 a=0 时 8 3.375 0.125 0 -0.125 m -3.375 -8 …… y的值 a=-1 10 4.875 2 0.625 0 -0.625 -2 -4.875 -10 时'的 第22页/共35页 命学科网命组卷网 值 ①表格中的值为 ②根据表格数据所反映的规律，若点(9片)和（←乃)都在函数y=-x+心的图象上，则片+为= (3)当Q=3时，小瑞在平面直角坐标系0y中画出了函数y=-r+在x之0时的图象，请你参考以 上函数相关问题研究的过程，画出该函数在x<O时的图象； (4)当n= 时，关于的方程+3x=”恰好有2个实数根 【答案】(1)任意实数 (2)①-1；②0 (3)函数图象如下： YA 3 (4) 3 +2 【解析】 【分析】本题主要考查了定义新函数，通过列表中的数据正确得出结论是解题的关键， (1)由函数解析式是整式即可得自变量x的取值范围； (2)①根据表格中的数据特点可知函数图象关于原点对称，即可得的值；②由函数图象关于原点对称， 即可得片+⅓=0 (3)根据函数图象关于原点对称即可画出函数在x<O时的图象： 第23页/供35页 6学科网 命组卷网 (4)由（③）中西数y=-+3江图象，可得n=士2时，关于的方程+3x=恰好有2个实数根. 【小问1详解】 解：函数y=-x3+ar 的解析式是整式， ∴.自变量x的取值范围是任意实数. 故答案为：任意实数。 【小问2详解】 解：①由表格中的数据特点可知，函数'=-T+心的图象关于原点对称。 :a=0 时，当x=-时，y=1 “当x=1时，y=1 即ms-1 故答案为：-1. ②：函数y=-术+心的图象关于原点对称，点(o）和（6乃)都在函数y=-x+a心的图象上， 乃+h=0 故答案为：0. 【小问3详解】 解：列表如下： 女 -0.5 -1 -1.5 -2 y=-x3+3x -1.375 -2 -1.125 2 描点、连线即可画出函数y=-T+3x在<0时的图家 【小问4详解】 解：由(3)中函数y=-t+3x的图象可知， 当”=士2时，关于×的方程T+3x=m恰好有2个实数根。 第24页/供35页 命学科网命组卷网 故答案为：±2 24.2025年世界人形机器人运动会在北京举行，其中“篮球投篮人机挑战赛”成为热门项目，篮球飞行的 轨迹可近似看作抛物线.以机器人站立点为原点建立平面直角坐标系，篮球飞行的竖直高度y(单位： 米)与水平距离x(单位：米)满足二次函数关系y=a(x-h)}+k(a<0) 机器人某次投篮，篮球飞行的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离x 0 3 4 5 (米) 竖直高度y 2.0 2.7 3.2 3.5 3.6 3.5 (米) 挑战者在同样地点投篮，篮球飞行的竖直高度y与水平距离x近似满足二次函数关系 y=-0.08(x-4.32)2+3.8 (1)根据上述数据，直接写出机器人投篮时，篮球飞行的竖直高度的最大值为 米，满足的 函数关系y=a(-h+k(a<0)是 3.2≤y≤3.5 (2)若篮球在水平距离5米处的竖直高度y满足 视为有效投篮，则机器人投篮 (填“有效”或“无效”)，挑战者投篮 (填“有效”或“无效”) 【答案】(1)3.6，y=0.1(x-4)2+3.6 (2)有效，无效. 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、求二次函数解析式、二次函数的应用等知识点，求得函数解析 第25页/供35页 6学科网列组卷网 式是解题的关键。 (1)根据表格信息即可确定篮球飞行的竖直高度的最大值为3.6米，再在表格中选择一组数据代入 y=a(x-4)+3.6(a<0)求得a的值即可： (2)分别求出x=5 3.2≤y≤3.5 的函数值，若在 范围内，则投篮有效：否则无效. 【小问1详解】 解：根据上述数据，篮球飞行的竖直高度的最大值为3.6米， 由表格数据可知，当x=4时，y=3.6,故最大值为3.6 由顶点式可知顶点为(4,3.6)，即h=4,k=3.6, 代入表格中x=0,y=2.0,得2.0=a(0-4+3.6,解得：a=0.1, 所以函数为y=0.1(x-4)2+3.6 故答案为：3.6，y=0.1(x-4)}+3.6 【小问2详解】 解，由表格数据.X=5时，少=35，满足3.2≤3.5≤35 满足要求，故机器人投篮有效。 代入x=5到函数y=0.08(x-4.32)2+3.8 计算得：y=0.08×5-4,32+3.8≈-0.08x0.46+3.8≈3.76>3.5，不满足要求，故挑战者投篮无 效. 故答案为：有效，无效 25.在平面直角坐标系x0y中，点1(-2小B(2,)C(m,）在抛物线y=am2+bx+3(a>0)上， 设抛物线的对称轴为直线x=其. 第26页/供35页 6学科网命组卷网 (1)若 =3 求t的值： (2)若当t+1<m<t+2时，都有>y>2,求t的取值范围. 【答案】(1)-1 (2)1≤t≤3 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的 关键. (1)把A点的坐标代入解析式求得b=2a,然后利用对称轴公式即可求得； (2)由题意可知点 A(-2,1) 在对称轴的左侧，Cm,y》在对称轴的右侧，点 (-2，)关于直线x=(的 2t+2)B(2,y2) 关于直线=（的对称点为 2t-2) 对称点为 ,分两种情况讨论，得到关于的不等式组， 解不等式组从而求得的取值范围. 【小问1详解】 解，“点1(-2,3引在抛物线y=a+c+3a>0)上， .3=4a-2b+3. ..b=2a b .t= =-1 2a 【小问2详解】 解：a>0, “抛物线'=ar+c+3a>0)开口向上， 当x>t时，y随x的增大而增大， “当+1<m<1+2时，都有片>为>乃 第27页/供35页 6学科网6组卷网 4-2，）在对称轴的左侧，Cm,少》在对称轴的右侧， …点 点4-2，月，B2,2),Cm)在抛物线'=+r+3a>0)上， 点4-2)关于直线x=1的对称点为2+2)，B2,)关于直级x=1的对称点为②1-2) [2t+2>t+2 当≥2时，则21-2≤1+1，解得0<t≤3： .2≤t≤3 当1≤-2时，片<片，不符合题意； 2t+2>t+2 当-2<t<2时，则2≤1+1 ,解得t≥1： .1≤t<2: 综上所述，t的取值范围为1≤t≤3」 26.如图，在△ABC中，AB=AC,∠CAB=90°，点D在边BC上（不与点B重合），作点D关于直 线AB的对称点E,连接DE,交边AB于点F,连接CE,取线段CE的中点G,在边AB上取点H, 使得AH=BF,连接HG,DG. H D (1)求证：AH=EF: (2)直接写出∠DGH的大小，并证明. 【答案】(1) 第28页/共35页 6学科网6组卷网 解：如图，连接BE, B D ,点D关于直线AB的对称点为E,连接DE, .AB垂直平分DE, .BE=BD,∠BFD=∠BFE=90°， .∠BDE=∠BED. .AB=AC,∠CAB=90° .∠ABC=∠ACB=45°， :.∠BED=∠BDE=45°， :.△DBE是等腰直角三角形， .BF=EF, AH=BF, .AH=EF (2)∠DGH=90°，证明： 解：如图，取BC中点M,连接GM、AG,GF, G B D M ,△DBE是等腰直角三角形， .∠DBE=90°， 第29页/供35页 学科网丽组卷网 :G为CE中点， :GM=号BE 2 .GMBE. .∠EBC=∠BMG=90°， .GM垂直平分BC, AB=AC. :点A在直线GM上，即点 A,G,M 共线，AML BC .∠BAM=∠CAM=45°」 ,作点D关于直线AB的对称点E, .EF =DF, :取线段CE的中点G, GFBC .∠AGF=∠BMA=90°，∠AFG=∠ABC=45°，∠DFG=∠BDF=45°， △AFG 是等腰直角三角形， .AG=FG. .∠ABC=∠BDE=45°， .BF =DF, AH=BF, .AH=DF, 第30页/供35页 学科网命组卷网 DF=AH 在 和 中， ∠DFG=∠HAG=45° △DFG△HAG FG=AG △DFG≌△HAG(SAS) ∴.∠DGF=∠HGA. ∴.∠HGA+∠HGF=∠DGF+∠HGF=90°， .∠DGH=90° 【解析】 【分析】(I)连接BE,根据轴对称的性质得出BE=BD,根据等腰直角三角形的性质得出△DBE是等 腰直角三角形，即可得出BF=EF,根据AH=BF即可得AH=EF: (2)取BC中点M,连接GM、AG,GF, GMI‖BE 根据三角形中位线的性质得出 即可证明GM 垂直平分BC 、GM ，可证明点A在直线G GFI‖BC “上，根据中位线性质得出 ,根据平行线的性质结合等腰 △AFG 直角三角形的性质得出 是等膜直角三角形，得出1G=FRG,利用SAS正明△DG≌aAG,。 ，可 得∠DGF=∠HGA,利用角的和差关系即可求出∠DGH=90°. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查轴对称的性质、三角形中位线的性质、等腰直角三角形的性质全等三角形的判定与性质、 平行线的性质及垂直平分线的判定与性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键 27.对于平面直角坐标系x0中的点和图形M,给出如下定义：若在图形M上存在一点”，使得P, xOy 两点间的距离小于或等于1，则称为图形“的关联点. 第31页/共35页 6学科网 命组卷网 -2-10123453 -2 ()如图，点4)，B(3,),C3,3).D1,3) 中， 四边形ABCD的关联点是一： ②点P在直线y=x上，若P为四边形ABCD的关联点，求点P的横坐标的取值范围： ABCD (2)正方形 的对角线交点在”轴上且边均与坐标轴垂直，边长为2，直线'=一x+与轴、'镇 分别交与点M,N.若线段MN上的所有点都是正方形ABCD的关联点，直接写出正方形ABCD对角 线交点横坐标的取值范围. 【房11⑩，5：@1-2 2 xs3+2 (2)-1≤x≤2 【解析】 【分析】本题考查了新定义题，正方形的性质，圆的基本性质，勾股定理求两点之间的距离，一次函数与 坐标轴交点： (1)①油题意得，P只需在闭合图形内即可，观察图形可知月、乃为⊙0 关联点； ②同①可得P的位置，进而求得临界点的坐标，即可求解： M,N ABCD (3)先求得 的坐标，根据新定义画出图形，进而确定临界值，即可得出正方形 对角线交点 横坐标的取值范围. 【小问1详解】 第32页/供35页 6学科网 命组卷网 解：如图，依题意，四边形ABCD的关联点在图中闭合区域内，包括边界， :B,B是四边形4BCD 关联点， B在图形外，不是四边形ABCD的关联点： , 故答案为： ②如图，设少=x。 ABCD E,F 与正方形 的关联点的边界交于点 B :AE=CF=1 设E(m,m A(1,1).C(3,3) .(m-12+(m-1}=12 解得：m1、 2或m=1+ 2(舍去)， 同理设F(%n) 第33页/共35页 6学科网命组卷网 :(n-3}2+(n-3)}2=12 2或n=32 n-3+ 2(舍去)， 点P的横坐标的取值范围为人 2 ≤xs3+2 : 【小问2详解】 设正方形ABCD的关联点的所构成的图形为W,正方形ABCD对角线交点为G, .y=-x+1 与轴、'轴的交点分别为M,N 两点， 0 得：-x+1=0 解得x=1 令七=0， y=1 得， :M(0）.N(o,) ,正方形ABCD的对角线交点在x轴上且边均与坐标轴垂直，边长为2， ∴G到W的边界与x轴的交点的距离为2， 如图，当W的右侧过点M时，GO=1, 点G坐标为，G(-1,0) G OM B 如图2，当W的左侧过V重合时，此时GM=l,则G(2,), 第34页/供35页 6学科网组卷网 ∴.G -1≤x≤2 点的横坐标的取值范围为： 第35页/共35页