精品解析：江苏省苏州中学校伟长班2026-2027学年九年级上学期数学10月学情测

2026-2027学年苏州中学伟长班初三数学10月月考数学试卷 一．选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1. 在下列关系式中，是的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】形如（，为常数）的函数是二次函数，需满足等式可变形为用的整式表示，且的最高次数为2，最高次项系数不为0，根据定义一一判断各选项即可． 【详解】解：选项A的关系式可变形为，的次数为2，的最高次数为1，不符合题意；选项B的关系式可变形为，符合题意；选项C的关系式可变形为，右边为分式，不符合题意；选项D的关系式可变形为，的次数为2，不符合题意． 2. 已知二次函数的图象如图所示，若点 ，是图象上的两点，则 与的大小关系是（　　） A. B. C. D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】由图象可知：抛物线开口朝下，根据图象上的点离对称轴的距离越远，函数值越小，进行判断即可． 【详解】解：由图象得：抛物线开口朝下，对称轴为直线， 当图象上的点离对称轴越远时，函数值越小， 点离对称轴近，点离对称轴远， ∴， 故选A． 【点睛】本题考查比较函数值的大小关系．解题的关键是熟记二次函数的性质． 3. 将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：将抛物线向左平移2个单位长度，得，再向下平移3个单位长度，得． 4. 已知为锐角，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵为锐角， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． 5. 如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A，B，P，Q四点均在正方形网格的格点上，线段AB，PQ相交于点M，则图中∠QMB的正切值是（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【详解】如图，连接AP，QB，可得∠PAB=∠QBA=90°， 又∵∠AMP=∠BMQ， ∴△PAM∽△QBM， ∴=， ∵AP=3，BQ=，AB=2， ∴=，解得：AM=， ∴tan∠QMB=tan∠PMA==． 故答案选D． 6. 已知为锐角，下列等式一定不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：α为锐角，∴含α的直角三角形中，设对边为，邻边为，斜边为，则，，，，． 对选项A：当时，，，等式成立． 对选项B：∵， ∴，即， ∴一定不成立． 对选项C：∵锐角α增大时，逐渐减小，逐渐增大， 当时，，，，即； 当时，，，即， ∴存在满足条件的锐角α，等式成立． 对选项D：当时，，等式成立． 故答案为B． 7. 已知实数满足，则代数式有（ ） A. 最大值为，最小值为 B. 最大值为，没有最小值 C. 没有最大值，最小值为 D. 以上说法都不对 【答案】A 【解析】 【分析】先利用平方差公式化简所求代数式，再结合已知条件通过完全平方的非负性确定的取值范围，进而得到代数式的最值． 【详解】解：． ∵， ∴． ∵， ∴，即． ∵， ∴． ∵， ∴，即． ∴， ∴， ∴， 即代数式最大值为，最小值为． 8. 若关于的方程在上有解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】换元令，将原方程转化为关于的一元二次方程，结合的范围分析的取值． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴原方程化为， 当时，∵， ∴，， ∴，方程无解； 当时，， ∴方程有两个不相等的实根， ∵两根之积为， ∴方程有一正一负两个实根， ∴正根为， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，符合条件． 综上所述，． 二．填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 9. 抛物线的顶点坐标是___． 【答案】（） 【解析】 【分析】利用二次函数的顶点式是：y=a（x-h）2+k（a≠0，且a，h，k是常数），顶点坐标是（h，k）进行解答． 【详解】解：∵， ∴抛物线的顶点坐标是：（）； 故答案为：（）. 【点睛】本题考查了抛物线的顶点坐标，解题的关键是熟记二次函数的顶点式. 10. 若是锐角且，则的度数是________． 【答案】##30度 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据特殊角的三角函数值即可得出答案． 【详解】解：是锐角且， ， 故答案为：． 11. 在中，，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形的内角和定理求出的度数，再利用直角三角形的性质结合勾股定理计算的长度． 【详解】解：∵，， ∴， 设，在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半， ∴， ∵是直角三角形，由勾股定理得， 代入得 整理得，即， ∵三角形边长为正数， ∴，即． 12. 已知二次函数的最小值为，图象的顶点在直线上，并且图象经过点，则此二次函数的解析式是________． 【答案】 【解析】 【分析】设二次函数解析式为，根据二次函数最小值得到顶点纵坐标，代入直线方程求出顶点横坐标，代入已知点求出二次项系数即可． 【详解】解：设二次函数解析式为， ∵二次函数的最小值为， ∴， ∵图象顶点在直线上， ∴把代入，得，解得， ∴二次函数顶点坐标为， ∴解析式可写为， 把点代入解析式得 ， 计算得，解得， ∴二次函数的解析式为． 13. 如图，长4 m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，则调整后楼梯AC长为______m． 【答案】2 【解析】 【分析】先在Rt△ABD中利用正弦的定义计算出AD，然后在Rt△ACD中利用正弦的定义计算AC即可． 【详解】在Rt△ABD中， ∵sin∠ABD=， ∴AD=4sin60°=2（m）， 在Rt△ACD中， ∵sin∠ACD=， ∴AC= =2（m）． 故答案是：2． 【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用中的坡度坡角问题，难度不大，注意细心运算即可． 14. 如图，在等腰中，，，垂足为，且．点、是的三等分点，则________． 【答案】 【解析】 【分析】利用等腰三角形的性质证明，，进一步证明，可得，证明，，进一步可得，从而可得答案． 【详解】解：∵在等腰中，，， ∴，，， ∴， ∴， ∵点、是的三等分点， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 同理：， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理：， ∴ ， ∴． 15. 如图，在中，，分别为斜边上的高和中线，，，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】设，则，，可得，求解，进一步可得答案． 【详解】解：∵在中，，分别为斜边上的高和中线， ∴，， ∵， 设，则，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． 16. 已知两点、均在抛物线上，点是抛物线的顶点，若，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】由顶点纵坐标最大可判断抛物线开口向下，根据开口向下的二次函数性质：点离对称轴越远，函数值越小，结合得到两点到对称轴的距离关系，解不等式得到的范围． 【详解】解：∵，是抛物线的顶点， ∴抛物线开口向下，顶点纵坐标是函数的最大值；开口向下时，点到对称轴的距离越大，对应的函数值越小， ∵， ∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， 即， 两边同时平方，得， 展开整理，得， 解得． 17. 先将抛物线所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把所得到的抛物线沿轴向右平移个单位长度，得到抛物线，则原抛物线为________． 【答案】 【解析】 【分析】从最终得到的抛物线出发，进行逆变换即可推导原抛物线，逆变换顺序为：先沿轴向左平移2个单位，再将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变． 【详解】解：将沿轴向左平移2个单位，根据平移规则“左加右减”，将原式中替换为， 计算得：， 将所得抛物线横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，将式子中的替换为， 计算得：， 经验证，该抛物线经过题目要求的变换后可得到，因此原抛物线为． 18. 下列关于的四个说法：①若是等腰三角形，则；②若是锐角三角形，则；③若，则是直角三角形；④若是直角三角形，，则，其中说法正确的序号是________（选填序号）． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】逐个判断四个说法，利用三角形内角性质、勾股定理及其逆定理和三角函数定义逐一验证即可． 【详解】解：逐个判断四个说法： ① 若是等腰三角形，不一定有，例如，，此时，，，故①错误； ②∵是锐角三角形， ∴，得， ∵，正弦在随角度增大而增大， ∴，故②正确. ③如图，在中，，过点C作于点D， ∴， 故， ∴，是直角三角形，故③正确. ④∵，设角的对边分别为， ∴，，得， 由勾股定理得， ∵，且， ∴， ∵，展开得， ∴， 即， ∴， 因此，故④正确． 三．解答题：本大题共7小题，共54分． 19. 计算题： （1）计算：； （2）已知、是锐角，请化简：． 【答案】（1）3 （2）1 【解析】 【分析】（1）把、对应的特殊角三角函数值代入原式，再按照有理数混合运算顺序计算． （2）先分组提取公因式，再利用同角三角函数平方关系逐步化简求值． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 在中，，，． （1）求边的长； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）过点作，垂足为，由，设，，利用勾股定理求出，，由，求出，最后由即可求出的长； （2）过点作，垂足为，由，求出，再由即可求出结果． 【小问1详解】 解：如图所示，过点作，垂足为， ，， 设，， ∴，解得：（负值舍去）， ∴，， ， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：如图所示，过点作，垂足为， ， ∴， ， ∴． 21. 已知抛物线与轴交于，，与轴交于点． （1）求点的坐标； （2）当，判断的形状，并说明理由； （3）若为等腰三角形，求实数的值． 【答案】（1） （2）为直角三角形，理由如下： 当时，抛物线 则点、、的坐标为，， 此时，， ， 为直角三角形． （3）的值为，，， 【解析】 【分析】（1）根据轴上的点横坐标为，然后把代入抛物线解析式，再计算对应的值，最后得到点坐标； （2）根据写出抛物线解析式，然后求出A，B，C三点坐标，再算出三条线段长度，最后利用勾股定理逆定理判定三角形形状； （3）根据抛物线解析式写出，，，然后分三种情况：，，，再利用两点间距离公式列方程求解，最后得到的全部取值． 【小问1详解】 解：当时， ， 点的坐标为． 【小问2详解】 为直角三角形，理由：略 【小问3详解】 解：由题意，，． ． ①： ， 解得． ②： ， 解得，． ③： ， 解得， 时，点B与点A重合，无法构成三角形，故舍去； ∴； 综上，的值为，，，． 22. 已知关于的方程的两根为和，为锐角．求： （1）的值； （2）的值； （3）方程的两根及此时的的值； 【答案】（1） （2） （3），，此时或 【解析】 【分析】（1）先对原式进行化简，再结合三角函数关系求解． （2）先对进行展开，再结合韦达定理求出的值． （3）先将的值代入原方程，再求解方程的两根，最后根据三角函数值求出的值． 【小问1详解】 ． 【小问2详解】 ， ， ． 【小问3详解】 ， ，解得，， ①当，时，， ②当，时，． 23. 已知：抛物线与轴交于、两点，是抛物线的顶点． （1）点的坐标_________（用含的代数式表示）； （2），求该抛物线的解析式； （3）若为等边三角形，则的值为_________． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）配方法化成顶点式，解答即可； （2）设抛物线与轴交于、两点，且两点的横坐标分别为，则是方程的两个实数根，利用根与系数关系定理，完全平方公式的变形，解答即可； （3）根据（2），结合等边三角形的性质，得，解答即可． 【小问1详解】 解：， ∴顶点的坐标为． 【小问2详解】 解：设抛物线与轴交于、两点，且两点的横坐标分别为，则是方程的两个实数根， ， ， ， ， 解得， 当时，抛物线的解析式为． 【小问3详解】 解：设抛物线与轴交于、两点，且两点的横坐标分别为，则是方程的两个实数根， ， ， ， ， 是等边三角形，， ， ， 根据题意，抛物线与轴交于、两点，是抛物线的顶点， 故， ， 解得． 24. 如图，在中，是上的高，． （1）求证：； （2）若，，求的长； （3）若，求的值． 【答案】（1）证明：是上的高， ， ，． 在和中， ，， 又， ， ． （2）8 （3） 【解析】 【分析】（1）利用高得到直角，结合正切、余弦的定义，根据已知等量关系推导出线段相等． （2）利用正弦值设参数表示直角三角形三边，结合（1）的结论，根据列方程求出参数，再计算． （3）设线段参数，利用勾股定理建立等式，求出线段的比值，再结合余弦定义计算． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵在中，， ∴可设，， ∵， ． ，又， ． ∵， ， ， ． 【小问3详解】 解：设，，， ∵， ∴， ． ， 则， ， ∴， ∴， 解得， ． 25. 和角公式的提出：小明同学在九下数学教材第八章学习了锐角三角函数，根据其定义又得、等特殊角的三角函数值，如，，，．聪明的小明同学思考：，的角也是比较特殊的角，它们可以通过，角的和差得到，那么，角的三角函数值是否可以用，角的三角函数值而得到呢？小明同学探究发现，是可以的，如．小明同学继续探索，可否将两角和的正弦一般化呢？就是说如何得到两角和的正弦公式？小明探索了如下三个问题，请你帮助其完成． 和角公式的探索：如图①，是锐角三角形． （1）若，，，求的面积； （2）设，都为锐角且，请在中，用初中的知识证明小明提出的和角正弦公式：； （3）如图②，点是边上的一点，若，，，，则的面积为________． 【答案】（1） （2） 证明：如图所示，过点作，垂足为，不妨设， ． 两边同时除以得， ， ，， ． （3）16 【解析】 【分析】（1）根据三角形面积公式，然后代入已知两边及其夹角正弦值直接计算； （2）根据图形分割思想，把大三角形拆成两个小三角形，利用面积相等，再结合余弦定义，，再等量代换推导出两角和正弦公式； （3）根据与，求出，再利用勾股定理求出高，最后用三角形面积公式算出面积． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 证明：略 【小问3详解】 解：过点作，垂足为． ， ． 设，． 在中， ，，． ，． ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年苏州中学伟长班初三数学10月月考数学试卷 一．选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1. 在下列关系式中，是的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知二次函数的图象如图所示，若点 ，是图象上的两点，则 与的大小关系是（　　） A. B. C. D. 不能确定 3. 将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 4. 已知为锐角，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A，B，P，Q四点均在正方形网格的格点上，线段AB，PQ相交于点M，则图中∠QMB的正切值是（ ） A. B. 1 C. D. 2 6. 已知为锐角，下列等式一定不成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知实数满足，则代数式有（ ） A. 最大值为，最小值为 B. 最大值为，没有最小值 C. 没有最大值，最小值为 D. 以上说法都不对 8. 若关于的方程在上有解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 9. 抛物线的顶点坐标是___． 10. 若是锐角且，则的度数是________． 11. 在中，，，，则________． 12. 已知二次函数的最小值为，图象的顶点在直线上，并且图象经过点，则此二次函数的解析式是________． 13. 如图，长4 m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，则调整后楼梯AC长为______m． 14. 如图，在等腰中，，，垂足为，且．点、是的三等分点，则________． 15. 如图，在中，，分别为斜边上的高和中线，，，若，则________． 16. 已知两点、均在抛物线上，点是抛物线的顶点，若，则的取值范围是________． 17. 先将抛物线所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把所得到的抛物线沿轴向右平移个单位长度，得到抛物线，则原抛物线为________． 18. 下列关于的四个说法：①若是等腰三角形，则；②若是锐角三角形，则；③若，则是直角三角形；④若是直角三角形，，则，其中说法正确的序号是________（选填序号）． 三．解答题：本大题共7小题，共54分． 19. 计算题： （1）计算：； （2）已知、是锐角，请化简：． 20. 在中，，，． （1）求边的长； （2）求的值． 21. 已知抛物线与轴交于，，与轴交于点． （1）求点的坐标； （2）当，判断的形状，并说明理由； （3）若为等腰三角形，求实数的值． 22. 已知关于的方程的两根为和，为锐角．求： （1）的值； （2）的值； （3）方程的两根及此时的的值； 23. 已知：抛物线与轴交于、两点，是抛物线的顶点． （1）点的坐标_________（用含的代数式表示）； （2），求该抛物线的解析式； （3）若为等边三角形，则的值为_________． 24. 如图，在中，是上的高，． （1）求证：； （2）若，，求的长； （3）若，求的值． 25. 和角公式的提出：小明同学在九下数学教材第八章学习了锐角三角函数，根据其定义又得、等特殊角的三角函数值，如，，，．聪明的小明同学思考：，的角也是比较特殊的角，它们可以通过，角的和差得到，那么，角的三角函数值是否可以用，角的三角函数值而得到呢？小明同学探究发现，是可以的，如．小明同学继续探索，可否将两角和的正弦一般化呢？就是说如何得到两角和的正弦公式？小明探索了如下三个问题，请你帮助其完成． 和角公式的探索：如图①，是锐角三角形． （1）若，，，求的面积； （2）设，都为锐角且，请在中，用初中的知识证明小明提出的和角正弦公式：； （3）如图②，点是边上的一点，若，，，，则的面积为________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $