精品解析：上海市杨浦双语学校2024—2025学年上学期12月月考九年级数学试题

初三数学阶段性检测2024.12 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，如果BC=5，AB=13，那么sinA的值为（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，D、E分别是的边、上的点，下列各比例式不一定能推得的是（ ） A. B. C. D. 4. 如果一传送带和地面所成斜坡的坡度为，它把物体从传送带最低处送到离地面3米高的处，那么物体从到所经过的路程是（ ） A. 9米 B. 米 C. 米 D. 米 5. 如图，的两条中线、交于点，且，连接并延长与交于点，如果，，那么下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 宽与长的比是（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD、BC的中点E、F，连接EF：以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是（　　） A. 矩形ABFE B. 矩形EFCD C. 矩形EFGH D. 矩形DCGH 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 如果，那么______． 8. 已知两个相似三角形的相似比为2：5，其中较小的三角形面积是4，那么另一个三角形的面积为_______． 9. 如果二次函数的图像经过原点，那么的值是___________． 10. 如果抛物线经过点和点，那么这条抛物线的对称轴是直线___________． 11. 如图，平行四边形中，E是边上的点，交于点F，如果，那么__________． 12. 如图，，如果，，，那么__________． 13. 如图，在△ABC中，AD是中线，G是重心，，，那么向量关于、的分解式为_____________． 14. 中，，，的值=__________． 15. 如图，已知中，D、E分别在边AB、AC上，，平分，交于M，若，则__________． 16. 如图，在平地上种植树时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为．如果在坡度为的山坡上种植树，也要求株距为，那么相邻两树间的坡面距离为__________． 17. 如果一个四边形的某个顶点到其他三个顶点的距离相等，我们把这个四边形叫做等距四边形，这个顶点叫做这个四边形的等距点．如图，已知梯形ABCD是等距四边形，AB∥CD，点B是等距点．若BC=10，cosA=，则CD的长等于_____． 18. 如图，在，，，，是的中点，点在边上，将沿直线翻折，使得点落在同一平面内的点处，线段交边于点，联结，当是直角三角形时，的长为_______． 19. 计算：﹣3sin60°+2cos45°． 20. 已知抛物线如图所示，请结合图像中所给信息完成以下问题： （1）求抛物线的表达式： （2）若该抛物线经过一次平移后过原点，请写出一种平移方法，并写出平移后得到的新抛物线的表达式． 21. 如图，在中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，D是边AC的中点，CE⊥BD交AB于点E． （1）求tan∠ACE的值； （2）求AE∶EB． 22. 某数学小组在郊外的水平空地上对无人机进行测高实验，如图，两台测角仪分别放在A、B位置，且离地面高均为1米（即米），两台测角仪相距60米（即米），在某一时刻无人机位于点C（点C与点A、B在同一平面内），A处测得其仰角为，B处测得其仰角为． 【参考数据：，，，，】 （1）求该时刻无人机的离地高度；（单位：米，结果保留整数） （2）无人机沿水平方向向左飞行2秒后到达点F（点F与点A、B、C在同一平面内），此时A处测得无人机的仰角为，求无人机水平飞行的平均速度．（单位：米/秒，结果保留整数） 23. 已知：如图，在中，，D为边上一点，过点B作，垂足为点E，延长交边于点F． （1）当D为的中点时，求证：； （2）当F为中点时，连结，求证：． 24. 已知二次函数的大致图像如图所示，这个函数图像的顶点为点． （1）求该函数图像的开口方向、对称轴及点的坐标； （2）设该函数图像与y轴正半轴交于点，与x轴正半轴交于点B，图像的对称轴与x轴交于点A，如果 ，，求该二次函数的解析式； （3） 在（2）的条件下，设点M在第一象限该函数的图像上，且点M的横坐标为，如果的面积是，求点M的坐标． 25. 如图，在中，，，，过点A作射线，点D、E是射线上的两点（点E在点D右侧），连接分别交边于点F，G，． （1）当时，求的长； （2）设，，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； （3）连接并延长交边于点H，如果是等腰三角形，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三数学阶段性检测2024.12 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，如果BC=5，AB=13，那么sinA的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题可画出三角形，结合图形运用三角函数定义求解． 【详解】解：如图： 在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，AB=13， sinA==． 故选：A． 【点睛】本题考查了三角函数的定义．可借助图形分析，确保正确率． 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，化成顶点解析式是求抛物线的顶点坐标的一种方法，也可以直接代入顶点坐标公式． 利用配方法化成顶点式求解即可． 【详解】解：， ∴顶点坐标为， 故选：B． 3. 如图，D、E分别是的边、上的点，下列各比例式不一定能推得的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用两边成比例且夹角相等证明，即可判断A、B、D选项，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：A．∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选项正确，不符合题意； B．∵，， ∴， ∴， ∴； 故选项正确，不符合题意； C．无法推出， 故选项错误，符合题意； D．∵， ∴, ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 故选项正确，不符合题意， 故选：C． 4. 如果一传送带和地面所成斜坡的坡度为，它把物体从传送带最低处送到离地面3米高的处，那么物体从到所经过的路程是（ ） A. 9米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形的实际应用，勾股定理，解决问题的关键是正确作出辅助线构造直角三角形． 过点B作于点C，构造直角，利用坡度的定义求出，再根据勾股定理求出的长即可． 【详解】解：过点B作于点C， ∵传送带和地面所成斜坡的坡度为， ∴ ， ∴米， 在中，，由勾股定理得米 ， 故选：D． 5. 如图，的两条中线、交于点，且，连接并延长与交于点，如果，，那么下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中线和重心，勾股定理，直角三角形的性质，由三角形的重心可得，，，即可由勾股定理得，，得到，即可判断；由直角三角形的性质可得，进而得，即得，即可判断、，据此即可求解，掌握三角形的中线和重心的性质是解题的关键． 【详解】解：∵的两条中线交于点， ∴点是的重心， ∴，，， ∵， ∴，， ∴，故正确，不符合题意；错误，符合题意； ∵，是的中点， ∴， ∴， ∴，故、正确，不符合题意； 故选：． 6. 宽与长的比是（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD、BC的中点E、F，连接EF：以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是（　　） A. 矩形ABFE B. 矩形EFCD C. 矩形EFGH D. 矩形DCGH 【答案】D 【解析】 【分析】先根据正方形的性质以及勾股定理，求得DF的长，再根据DF=GF求得CG的长，最后根据CG与CD的比值为黄金比，判断矩形DCGH为黄金矩形． 【详解】解：设正方形的边长为2，则CD=2，CF=1 在直角三角形DCF中， ∴矩形DCGH为黄金矩形 故选：D． 【点睛】本题主要考查了黄金分割，解决问题的关键是掌握黄金矩形的概念．解题时注意，宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，图中的矩形ABGH也为黄金矩形． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 如果，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．由可得，再将变形为，代入即可求解． 【详解】解：， ， ． 故答案为：． 8. 已知两个相似三角形的相似比为2：5，其中较小的三角形面积是4，那么另一个三角形的面积为_______． 【答案】25 【解析】 【详解】解：∵两个相似三角形的相似比为2:5， ∴面积的比是4:25， ∵小三角形的面积为4， ∴大三角形的面积为25. 故答案为25． 9. 如果二次函数的图像经过原点，那么的值是___________． 【答案】3 【解析】 【分析】图象经过（0,0），则(0,0)符合表达式，即x=0,y=0,将其代入表达式，可求k值. 【详解】解：∵二次函数的图象经过原点， ∴0=k-3, ∴k=3. 故答案为：3 【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，理解图象上点坐标的意义是解答此题的关键. 10. 如果抛物线经过点和点，那么这条抛物线的对称轴是直线___________． 【答案】 【解析】 【分析】观察点和点两点坐标特征，纵坐标相等，可知A,B两点关于抛物线对称轴对称，对称轴为经过线段AB中点且平行于y轴的直线，求AB中点坐标即可得. 【详解】解：∵一条抛物线经过点（-1，0）、（5，0）， ∴这两点关于对称轴对称， ∴x= 即x=2． 故答案是：x=2． 【点睛】本题考查二次函数图象的对称性及对称轴的求法，常见确定对称轴的方法有，已知解析式则利用公式法确定对称轴，已知对称点利用对称性确定对称轴，根据条件确定合适的方法求对称轴是解答此题的关键. 11. 如图，平行四边形中，E是边上的点，交于点F，如果，那么__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定定理和性质等知识点，证得是解题的关键． 由平行四边形的性质可证，再根据相似三角形的性质得，进而求得即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 12. 如图，，如果，，，那么__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查平行线分线段的性质，熟练掌握平行线分线段成比例的性质并灵活应用是解题关键． 先根据平行线分线段成比例定理列出比例式求得，然后运用线段的和差求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即，解得：． 故答案为： 13. 如图，在△ABC中，AD是中线，G是重心，，，那么向量关于、的分解式为_____________． 【答案】； 【解析】 【详解】试题解析： 故答案为 14. 中，，，的值=__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用、勾股定理等知识点，熟练掌握解直角三角形成为解题的关键． 如图：过A作于D，设，由题意可得、，易得，；由勾股定理可得，则，，最后代入计算即可． 【详解】解：如图：过A作于D，设 ∵，， ∴，， ∴，，即，， ∵， ∴，解得：， ∴，， ∴． 故答案为：． 15. 如图，已知中，D、E分别在边AB、AC上，，平分，交于M，若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识点，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 由结合可证明得到，由于平分可得证得，再根据相似三角形的性质列比例式即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 16. 如图，在平地上种植树时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为．如果在坡度为的山坡上种植树，也要求株距为，那么相邻两树间的坡面距离为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度等于垂直距离与水平距离之比成为解题的关键． 根据垂直高度、水平距离和坡面距离正好构成直角三角形，然后利用坡度和勾股定理进行解答即可． 【详解】解：设离地面的高度为， 由题意得：，解得：， ∴相邻两树间的坡面距离． 故答案为：． 17. 如果一个四边形的某个顶点到其他三个顶点的距离相等，我们把这个四边形叫做等距四边形，这个顶点叫做这个四边形的等距点．如图，已知梯形ABCD是等距四边形，AB∥CD，点B是等距点．若BC=10，cosA=，则CD的长等于_____． 【答案】16 【解析】 【分析】如图作BM⊥AD于M，DE⊥AB于E，BF⊥CD于F．易知四边形BEDF是矩形，理由面积法求出DE，再利用等腰三角形的性质，求出DF即可解决问题． 【详解】连接BD，过点B分别作BM⊥AD于点M，BN⊥DC于点N， ∵梯形ABCD是等距四边形，点B是等距点， ∴AB=BD=BC=10， ∵= ， ∴AM=，∴BM==3， ∵BM⊥AD，∴AD=2AM=2， ∵AB//CD， ∴S△ABD=， ∴BN=6， ∵BN⊥DC，∴DN==8， ∴CD=2DN=16， 故答案为16. 18. 如图，在，，，，是的中点，点在边上，将沿直线翻折，使得点落在同一平面内的点处，线段交边于点，联结，当是直角三角形时，的长为_______． 【答案】2或 【解析】 【分析】分两种情况讨论， 当时，则，利用锐角三角函数先求解，，，设，再表示，再利用勾股定理求解即可得到答案；当时，如图，联结，过作于，先证明：，再证明 设，利用的锐角三角函数可得 利用勾股定理求解可得答案． 【详解】解： 是的中点， 当时，则， ， 设 则，， 即： 当时，如图，联结，过作于， 同理可得： ，， ， ， 设 由 ， 当，不合题意，舍去． 综上：的长为或． 故答案为：或 【点睛】本题考查的是折叠的性质，轴对称的性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，掌握以上知识是解题的关键，要注意分情况讨论． 19. 计算：﹣3sin60°+2cos45°． 【答案】 【解析】 【分析】先把锐角三角函数换为它们的三角函数值，再把第一项的分子、分母都乘以分母有理化，然后合并同类二次根式化简. 【详解】解：﹣3sin60°+2cos45° = = =． 20. 已知抛物线如图所示，请结合图像中所给信息完成以下问题： （1）求抛物线的表达式： （2）若该抛物线经过一次平移后过原点，请写出一种平移方法，并写出平移后得到的新抛物线的表达式． 【答案】（1） （2）将抛物线向下平移个单位， 【解析】 【分析】（1）由题意可设抛物线的解析式为，把代入上式，即可求解； （2）把抛物线表达式化为一般式，根据平移的性质即可求解． 【小问1详解】 解：由题意可得，抛物线过点 ∴设抛物线的解析式为：， 把代入，可得， 解得：， 抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 由（1）得， 将抛物线向下平移个单位，得， 得到该抛物线经过一次平移后过原点， 21. 如图，在中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，D是边AC的中点，CE⊥BD交AB于点E． （1）求tan∠ACE的值； （2）求AE∶EB． 【答案】（1）；（2）8∶9 【解析】 【分析】（1）根据同角的余角相等可证得：∠ACE=∠CBD，因为点D是AC的中点，所以CD=2，所以； (2) 过A作AC的垂线交CE的延长线于P，在△CAP中，CA=4，∠CAP=90°，所以，所以，又因为∠ACB=90°，∠CAP=90°，可证得，利用平行线的性质列出比例式即可求解． 【详解】（1）∵∠ACB=90°，CE⊥BD， ∴∠ACE=∠CBD， 在△BCD中， ∵BC=3，，∠BCD=90°， ∴， 即． （2）过A作AC的垂线交CE的延长线于P， 则在△CAP中， ∵，∠CAP=90°，， ∴， 又∵∠ACB=90°，∠CAP=90°， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解直角三角形，锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 22. 某数学小组在郊外的水平空地上对无人机进行测高实验，如图，两台测角仪分别放在A、B位置，且离地面高均为1米（即米），两台测角仪相距60米（即米），在某一时刻无人机位于点C（点C与点A、B在同一平面内），A处测得其仰角为，B处测得其仰角为． 【参考数据：，，，，】 （1）求该时刻无人机的离地高度；（单位：米，结果保留整数） （2）无人机沿水平方向向左飞行2秒后到达点F（点F与点A、B、C在同一平面内），此时A处测得无人机的仰角为，求无人机水平飞行的平均速度．（单位：米/秒，结果保留整数） 【答案】（1）23米 （2）6米/秒 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题， （1）连接，过点C作，垂足为G，根据题意可得：，设米，则米，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答； （2）过点F作，垂足为H，根据题意可得： 米，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再利用（1）的结论求出的长，从而利用线段的和差关系求出米，最后进行计算即可解答． 【小问1详解】 解：连接，过点C作，垂足为G， 由题意得：， 设米， ∵米， ∴米， 在中，， ∴（米）， 在中，， ∴米， ∴， 解得：， ∴米， ∵米， ∴（米）， ∴该时刻无人机的离地高度约为23米； 【小问2详解】 过点F作，垂足为H， 由题意得：米，， 在中，， ∴（米）， ∵米，米， ∴米， ∴（米）， ∴（米/秒）， ∴无人机水平飞行的平均速度为6米/秒． 23. 已知：如图，在中，，D为边上一点，过点B作，垂足为点E，延长交边于点F． （1）当D为的中点时，求证：； （2）当F为中点时，连结，求证：． 【答案】（1） 证明：如图， ∵，D为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2） 证明：∵， ∴， ∵F为中点时， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线． （1 ）先根据斜边上的中线性质得到，则，再证明，利用相似三角形的性质得到，接着证明，根据相似三角形的性质得到，则利用等量代换得到，然后根据比例的性质得到结论； （2 ）先由得到，用代换得到，接着证明，根据相似三角形的性质得到，然后利用比例的性质和得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 已知二次函数的大致图像如图所示，这个函数图像的顶点为点． （1）求该函数图像的开口方向、对称轴及点的坐标； （2）设该函数图像与y轴正半轴交于点，与x轴正半轴交于点B，图像的对称轴与x轴交于点A，如果 ，，求该二次函数的解析式； （3） 在（2）的条件下，设点M在第一象限该函数的图像上，且点M的横坐标为，如果的面积是，求点M的坐标． 【答案】（1）抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点；（2）；（3）点M的坐标为 【解析】 【分析】（1）根据二次函数图象与系数之间的关系即可判断开口方向，对称轴以及顶点坐标； （2）过点D作DE⊥y轴，即可判断出△CDE∽△BCO，然后结合，可推出，从而通过相似三角形的性质列式求解a，即可得出解析式； （3）首先根据M的坐标求出直线CM的解析式，从而得到直线CM与对称轴的交点P的坐标，进而利用割补法建立关于△ACM面积的等式，求解出t的值即可． 【详解】解：（1）∵， ∴抛物线开口向下， 根据对称轴公式可得：， 当时，，则顶点， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点； （2）如图所示，作DE⊥y轴， 由（1）可知顶点，则OA=ED=1， ∵DC⊥BC， ∴∠DCE+∠BCO=90°， 又∵∠DCE+∠CDE=90°， ∴∠CDE=∠BCO， ∴△CDE∽△BCO， ∴， ∵， ∴ 当时，，即点C的坐标为 ∴，则：， 解得：， 经检验a=-1是方程的解， ∴抛物线的解析式为：； （3）在（2）的条件下，如图所示，连接MC，M的坐标为， 此时设直线CM的解析式为：， 将C，M的坐标代入得：，解得：， 即：直线CM的解析式为：， 设直线CM与对称轴交于P点，则P的坐标为，， ∴， 解得：， 将代入抛物线解析式得：， ∴点M的坐标为． 【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，相似三角形的判定与性质，正切函数的定义等，熟悉二次函数的性质，灵活构造相似三角形并运用其性质是解题关键． 25. 如图，在中，，，，过点A作射线，点D、E是射线上的两点（点E在点D右侧），连接分别交边于点F，G，． （1）当时，求的长； （2）设，，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； （3）连接并延长交边于点H，如果是等腰三角形，请直接写出的长． 【答案】（1） （2）， （3）或或 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、平行线分线段定理、勾股定理、等腰三角形的性质和判定、解高次方程等知识点，灵活利用分类讨论的思想是解题的关键． （1）利用勾股定理计算和的长，再证明，根据相似三角形的性质列比例式求解即可； （2）如图1，先证明得，再证明，得，再分别表示和的长，然后代入比例式计算即可；根据无限接近时，的值接近4，当点E在直线上时，可求得x的取值； （3）分、、三种情况时，分别根据平行线分线段成比例定理或相似三角形的判定与性质列比例式，并结合方程可解答． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴，解得：． 【小问2详解】 解：如图1：∵，，，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理得： ∵， ∴，整理得：． 如图2，当点E在直线上时，， ∵， ∴， ∴， ∴x的取值范围是． 【小问3详解】 解：①当时，如图3，过点D作于P， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即 ∴，解得：， ∴ ∴，解得：（舍）， ∴； ②如图4：当时， 由勾股定理得：， 由（2）同理得：， ∵， ∴， ∴，即， ∴，解得：； ∴； ③当时，如图5，过点D作于K，则， 设， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，整理得：， ∴， ∴． 综上，的长是或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $