精品解析：上海市国和中学2026-2027学年八年级上学期10月练习数学试卷

2026学年第一学期初二年级数学练习 （时长：90分钟） 一、单选题（每题2分） 1. 一个不等式组的解集在数轴上表示如图，则该不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法中，正确的是（ ） A. 两个等边三角形一定全等 B. 两个全等三角形的周长相等 C. 面积相等的两个三角形一定全等 D. 三个角对应相等的两个三角形全等 3. 下列各组长度的线段，首尾顺次连接可以围成三角形的是（ ） A. 15，6，7 B. 15，6，9 C. 15，6，12 D. 15，6，22 4. 估计的值在（ ） A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 5. 如图，直线，则，，，一定满足（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点A和点C是边上的点，点D是内的一点，连接，，和，和相交于点O，下列说法不正确的是（ ） A. 如果，，那么 B. 如果，，那么 C. 如果，，那么 D. 如果，，那么 二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7. 计算：______________． 8. 已知的倍与8的和小于等于，用不等式表示这种关系为________． 9. 不等式的解集是________________． 10. 已知等腰三角形的底边和腰长分别为和，那么这个三角形的周长为________ ． 11. 如果，那么，这个命题是___________命题（填“真”或“假”）． 12. 等腰三角形的两边a、b满足，则该等腰三角形的周长是________． 13. 如图，在中，平分，为线段上一点，过点作，若，，则______°． 14. 如图，在中，，是等边三角形，则___________度． 15. 关于的不等式组有3个整数解，则实数的取值范围是__________． 16. 公元3世纪，我国古代数学家就能利用近似公式得到无理数的近似值，例如：化为，再由近似公式得到，若利用此公式计算的近似值时，取正整数，且取尽可能大的正整数，则___________． 17. 如图，在数轴上竖直摆放一个直径为2个单位长度的半圆，该半圆沿数轴从原点O开始向右无滑动地滚动，半圆直径的一个端点从原点O到达点（如图），则点对应的数是______．（结果保留） 18. 如图，在中，，，是上的动点，连接，将沿折叠，得到，且点在直线的下方，平分，交于点，连接．若是等腰三角形，则的度数可以是______________． 三、解答题（19、20题5分、21/（1）5分、21/（2）5分、22（1）4分、22（2）6分、23（1）5分、23（2）5分、24（1）6分、24（2）6分、25（1）3分、25（2）3分、25（3）3分、25（4）3分） 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 解不等式组：，并写出满足不等式组的所有整数解． 21. 为丰富我校学生的文化生活，打造书香校园，学校计划购买一批图书．若同时购进甲种图书7本和乙种图书4本，共需290元；若同时购进甲种图书3本和乙种图书6本，共需210元． （1）求甲、乙两种图书的单价各是多少元？ （2）若学校计划购买这两种图书共60本，要求每种都要购买，且甲种图书的数量不少于乙种图书的数量，又根据学校预算，购买总金额不能超过1520元，请问学校共有哪几种购买方案？ 22. 阅读下面的文字，解答问题： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，因为的整数部分是1，于是用来表示的小数部分．又例如：∵，即，∴的整数部分是2，小数部分为． （1）的整数部分是______，小数部分是______； （2）若m，n分别是的整数部分和小数部分，求的值． 23. 如图，为等边三角形，点D为延长线上一动点，连接，将线段绕点A顺时针旋转120°得到，直线与交于点F．过点E作交的延长线于点G． （1）若，求的度数； （2）求证：． 24. 数学课上，老师让同学们利用三角形纸片进行操作活动，探究有关线段之间的关系 问题情境： 如图1，三角形纸片中，，.将点C放在直线上，点A，B位于直线的同侧，过点A作于点D 初步探究： （1）在图1的直线上取点E，使，得到图2，猜想线段与的数量关系，并说明理由； （2）小颖又拿了一张三角形纸片继续进行拼图操作，其中，.小颖在图1的基础上，将三角形纸片的顶点P放在直线上，点M与点B重合，过点N作于点H.如图3，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由 25. 如图，在中，∠=，，，，将绕斜边中点旋转得到，再将沿翻折得到．动点从出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向点运动，动点从出发，沿以每秒个单位长度的速度向点运动，再沿以每秒个单位长度的速度向点运动．，两点同时出发，当点到达点时，，两点同时停止运动．设点的运动时间为秒()． （1）直接写出线段的长为 ；用含的式子表示：当点在边上运动时，的长为 ，当点在边上运动时，的长为 ； （2）当点在边上运动时， 是否存在值，使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等？若存在，求出符合条件的值，若不存在，请说明理由； （3）连接，当直线平分四边形的面积时，求的值； （4）当满足 条件时，是以为底或以为底的等腰三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年第一学期初二年级数学练习 （时长：90分钟） 一、单选题（每题2分） 1. 一个不等式组的解集在数轴上表示如图，则该不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元一次不等式的解集在数轴上的表示方法以及包含用实心点，不包含用空心点解答即可． 【详解】解：由数轴图可知，该不等式组的解集是． 2. 下列说法中，正确的是（ ） A. 两个等边三角形一定全等 B. 两个全等三角形的周长相等 C. 面积相等的两个三角形一定全等 D. 三个角对应相等的两个三角形全等 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的定义和性质判断各选项的正确性． 【详解】解：∵全等三角形的对应边相等， ∴它们的周长相等，故B正确； A项两个等边三角形可能大小不同，不一定全等； C项面积相等的三角形形状可能不同，不一定全等； D项三个角对应相等的三角形相似，但不一定全等， 故选：B． 3. 下列各组长度的线段，首尾顺次连接可以围成三角形的是（ ） A. 15，6，7 B. 15，6，9 C. 15，6，12 D. 15，6，22 【答案】C 【解析】 【分析】判断三条线段能否围成三角形，只需验证两条较短边的和是否大于最长边即可，若满足则可以围成，反之则不能． 【详解】解：A选项，三条线段从小到大排列为，，不能围成三角形，故A不符合题意； B选项，三条线段从小到大排列为，，不满足两边之和大于第三边，不能围成三角形，故B不符合题意； C选项，三条线段从小到大排列为，，满足三角形三边关系，可以围成三角形，故C符合题意； D选项，三条线段从小到大排列为，，不能围成三角形，故D不符合题意． 4. 估计的值在（ ） A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴估计的值在6和7之间． 5. 如图，直线，则，，，一定满足（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：如图所示：作的平行线，， ， ， ， 又， ． 6. 如图，点A和点C是边上的点，点D是内的一点，连接，，和，和相交于点O，下列说法不正确的是（ ） A. 如果，，那么 B. 如果，，那么 C. 如果，，那么 D. 如果，，那么 【答案】D 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质（三线合一）以及线段垂直平分线的判定定理，对各个选项进行逐一分析判断即可． 【详解】解：A、，  是等腰三角形  ， 是底边上的中线 ，即，故A正确； B、， 点在线段的垂直平分线上  ， 点在线段的垂直平分线上 直线是线段的垂直平分线， ，故B正确； C 、， 是等腰三角形  ， 是顶角的平分线 ，即，故C正确； D、在和 中，已知 ，，， 这是“边边角”关系，无法判定，也就无法推出或， 因此无法得出，故D不正确． 二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7. 计算：______________． 【答案】 【解析】 【分析】先判断的正负，再根据绝对值的性质化简. 【详解】解：∵， ∴， ∴. 8. 已知的倍与8的和小于等于，用不等式表示这种关系为________． 【答案】 【解析】 【详解】解：的倍与8的和小于等于，用不等式表示为． 9. 不等式的解集是________________． 【答案】 【解析】 【分析】利用不等式的基本性质3，不等式两边同除以-2，可求得原不等式的解集． 【详解】解：系数化为1得，x＜-2， 故答案为：x＜-2． 【点睛】本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意性质3而出错．解不等式要依据不等式的基本性质： （1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变； （2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变； （3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变． 10. 已知等腰三角形的底边和腰长分别为和，那么这个三角形的周长为________ ． 【答案】 【解析】 【分析】利用等腰三角形两腰相等的性质，计算三边长度和即可得到周长． 【详解】解：等腰三角形底边长为，腰长为， 这个三角形的周长为 ． 11. 如果，那么，这个命题是___________命题（填“真”或“假”）． 【答案】假 【解析】 【分析】举反例说明其为假命题即可． 【详解】解：取，，符合， 此时， ∴如果，那么，这个命题是假命题． 12. 等腰三角形的两边a、b满足，则该等腰三角形的周长是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据非负数的性质求出a，b的值，分情况讨论等腰三角形的腰长，结合三角形三边关系判断能否构成三角形，进而计算周长． 【详解】解：，且，， ， 解得， 该三角形是等腰三角形， 三边长为或， ，不满足三角形三边关系，该情况不合题意，舍去， 等腰三角形的周长为． 13. 如图，在中，平分，为线段上一点，过点作，若，，则______°． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理得出，确定，得出，再由三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 14. 如图，在中，，是等边三角形，则___________度． 【答案】 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质可得，根据三角形的外角性质得到，，结合，推出，在中，根据三角形的内角和定理求出，即可求解． 【详解】解：是等边三角形， ， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 15. 关于的不等式组有3个整数解，则实数的取值范围是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】解不等式组，根据不等式组有3个整数解得出关于m的不等式组，进而可求得的取值范围． 【详解】解：解不等式组得：， ∵关于的不等式组有3个整数解， ∴这3个整数解为，，， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解，正确得出关于m的不等式组是解题的关键． 16. 公元3世纪，我国古代数学家就能利用近似公式得到无理数的近似值，例如：化为，再由近似公式得到，若利用此公式计算的近似值时，取正整数，且取尽可能大的正整数，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】将整理为的形式，根据要求确定和的值，代入给定近似公式计算即可． 【详解】解：∵，， ∴中，，． ∴． 17. 如图，在数轴上竖直摆放一个直径为2个单位长度的半圆，该半圆沿数轴从原点O开始向右无滑动地滚动，半圆直径的一个端点从原点O到达点（如图），则点对应的数是______．（结果保留） 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意得，点对应的数为该半圆的周长，即可． 【详解】解：点对应的数是半圆周长，为直径半圆弧长，即． 18. 如图，在中，，，是上的动点，连接，将沿折叠，得到，且点在直线的下方，平分，交于点，连接．若是等腰三角形，则的度数可以是______________． 【答案】或或 【解析】 【分析】先根据等腰△ABC的边长和角度条件，计算出底角和的度数，设的度数为x，利用折叠的性质得到对应边、对应角相等的关系，用x表示出、，进而表示出的度数，根据角平分线的性质，得到和的度数表达式，结合角度和差关系推导和的全等条件，得到的度数，用x表示出三个内角的度数，再分三种情况讨论等腰的腰的对应关系，分别列方程求解x． 【详解】∵，， ∴， ∵折叠， ∴，设， ∴，，， 又∵， ∴； 且平分， ∴， 结合， ∴， ∴， ∴， ， 当时， ∴，即， 解得， 当时， ∴，即， 解得， 当时， ∴，， 即， 解得， ∴的度数为、或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、折叠变换的性质、角平分线的定义、全等三角形的判定与性质以及分类讨论思想相关知识点，其中利用折叠性质和角平分线定义推导线段角的关系、证明三角形全等，再结合分类讨论思想分析等腰三角形的不同情况是解题的关键． 三、解答题（19、20题5分、21/（1）5分、21/（2）5分、22（1）4分、22（2）6分、23（1）5分、23（2）5分、24（1）6分、24（2）6分、25（1）3分、25（2）3分、25（3）3分、25（4）3分） 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】化简结果为，原式的值为 【解析】 【分析】根据分式的混合运算法则化简原式，再代值求解即可． 【详解】解： ， 将代入，得原式． 20. 解不等式组：，并写出满足不等式组的所有整数解． 【答案】；整数解为，，，， 【解析】 【分析】先分别求解两个不等式，再取公共部分得到不等式的解集，最后在解集中写出所有整数解即可. 【详解】 解不等式①，得 解得， 解不等式②，得 解得， 原不等式组的解集为 不等式组的所有整数解为，，，，． 21. 为丰富我校学生的文化生活，打造书香校园，学校计划购买一批图书．若同时购进甲种图书7本和乙种图书4本，共需290元；若同时购进甲种图书3本和乙种图书6本，共需210元． （1）求甲、乙两种图书的单价各是多少元？ （2）若学校计划购买这两种图书共60本，要求每种都要购买，且甲种图书的数量不少于乙种图书的数量，又根据学校预算，购买总金额不能超过1520元，请问学校共有哪几种购买方案？ 【答案】（1）甲种图书的单价是30元，乙种图书的单价是20元； （2）学校共有3种购买方案，分别是：方案一：购买甲种图书30本，乙种图书30本；方案二：购买甲种图书31本，乙种图书29本；方案三：购买甲种图书32本，乙种图书28本． 【解析】 【分析】（1）设甲、乙两种图书的单价为未知数，根据题干给出的两种购买总花费列出二元一次方程组，求解即可得到单价； （2）设购买甲种图书的数量，根据题目中的购买限制条件列出一元一次不等式组，取范围内的正整数即可得到所有购买方案． 【小问1详解】 解：设甲种图书的单价是元，乙种图书的单价是元． 根据题意得， 解得， 答：甲种图书的单价是30元，乙种图书的单价是20元； 【小问2详解】 解：设购买甲种图书本，则购买乙种图书本． 根据题意得， 解不等式，得； 解不等式，得； 解不等式得，； ∴不等式组的解集为． ∵为正整数， ∴的取值为． 答：学校共有3种购买方案，分别是：方案一：购买甲种图书30本，乙种图书30本．方案二：购买甲种图书31本，乙种图书29本．方案三：购买甲种图书32本，乙种图书28本． 22. 阅读下面的文字，解答问题： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，因为的整数部分是1，于是用来表示的小数部分．又例如：∵，即，∴的整数部分是2，小数部分为． （1）的整数部分是______，小数部分是______； （2）若m，n分别是的整数部分和小数部分，求的值． 【答案】（1）4， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了估算无理数的大小，解题关键是熟练掌握估算无理数大小． （1）先估算的大小，求出整数部分和小数部分即可； （2）先估算的大小，然后根据不等式的性质求出的大小，求出整数部分和小数部分，然后代入所求代数式进行计算即可． 【小问1详解】 解：，即， 的整数部分是4，小数部分是， 故答案为：4，； 【小问2详解】 解：，即， ， ， ， 的整数部分是3，小数部分是， ，， ． 23. 如图，为等边三角形，点D为延长线上一动点，连接，将线段绕点A顺时针旋转120°得到，直线与交于点F．过点E作交的延长线于点G． （1）若，求的度数； （2）求证：． 【答案】（1）45° （2） 证明：∵， ∴． 在和中， ∴． ∴，． ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∴． 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握等边三角形的性质是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质得到，然后根据，得到解题即可； （2）先根据证明，即可得到，然后证明即可得到结论． 【小问1详解】 证明：∵为等边三角形， ∴，． ∵， ∴． 又， ∴． 【小问2详解】 略 24. 数学课上，老师让同学们利用三角形纸片进行操作活动，探究有关线段之间的关系 问题情境： 如图1，三角形纸片中，，.将点C放在直线上，点A，B位于直线的同侧，过点A作于点D 初步探究： （1）在图1的直线上取点E，使，得到图2，猜想线段与的数量关系，并说明理由； （2）小颖又拿了一张三角形纸片继续进行拼图操作，其中，.小颖在图1的基础上，将三角形纸片的顶点P放在直线上，点M与点B重合，过点N作于点H.如图3，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的常见模型－垂直模型，熟记模型的构成以及结论是解题关键． （1）过点B作于点F，证得，根据“三线合一”可得，即可求解； （2）结合（1）的推理过程可得得，再证得即可求解． 【小问1详解】 解：，理由如下： 过点B作于点F，即， ， ，， . ， . . 在和中，， . . ，， . . 【小问2详解】 解：.理由如下： 过点B作于点F，∴， 由（1）可得：， . ， ，. ， . . 在和中，， . . 25. 如图，在中，∠=，，，，将绕斜边中点旋转得到，再将沿翻折得到．动点从出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向点运动，动点从出发，沿以每秒个单位长度的速度向点运动，再沿以每秒个单位长度的速度向点运动．，两点同时出发，当点到达点时，，两点同时停止运动．设点的运动时间为秒()． （1）直接写出线段的长为 ；用含的式子表示：当点在边上运动时，的长为 ，当点在边上运动时，的长为 ； （2）当点在边上运动时， 是否存在值，使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等？若存在，求出符合条件的值，若不存在，请说明理由； （3）连接，当直线平分四边形的面积时，求的值； （4）当满足 条件时，是以为底或以为底的等腰三角形． 【答案】（1），， （2）存在， （3）当运动时间为秒时直线平分四边形的面积 （4）或 【解析】 【分析】本题考查了旋转、轴对称的性质、全等三角形的判定、等腰三角形的定义等知识． （1）根据旋转、轴对称的性质求解即可； （2）已知，，要使点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等，只需，列出方程求解即可； （3）分点在上运动和点在边上运动两种情况讨论，用含的方程表示出左侧梯形的面积，解方程即可； （4）分点在上运动和点在边上运动两种情况讨论：当点在上运动时，是以为底的等腰三角形；当点在边上运动时，只可能是以为底的等腰三角形，列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵绕斜边的中点旋转得到， ∴， ∴，，． 又∵沿翻折得到， ∴，且共线， ∴． 当点在边上运动时， ∵，，∴. 当点在边上运动时，从点到点的运动时间为秒，速度为个单位长度/秒， ∴． 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：当在边上运动时，，，. ∵，， ∴要使点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等， 只需，即，解得； 【小问3详解】 解：如图，当点在上运动时，直线交于点,，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 易得四边形的面积为， ∴当直线平分四边形的面积时， 四边形的面积为，即，解得=； 如图，当点在边上运动时，，，， ∴， 四边形的面积为，即，解得=(不满足题意)． 综上，当运动时间为秒时直线平分四边形的面积； 【小问4详解】 解：由（3），当点在上运动时，，△是以为底的等腰三角形； 当点在边上运动时，∵，， ∴△只可能是以为底的等腰三角形，． 如图，连接，过点作，则，， 在和中，， ∴， ∴，即，解得． 综上，当满足或时，，是以为底或以为底的等腰三角形． 故答案为：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $