精品解析：上海市杨浦实验中学2025-2026学年上学期12月月考八年级数学试题

2025学年第一学期初二数学12月练习卷 满分120分，时间90分钟 2025－12 第一部分 基础卷 一、选择题（本大题共6题，每题3分，满分18分） 1. 将一元二次方程化成（、为常数）的形式，则、的值分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（ ） A. 与 B. 与（其中） C. 与 D. 与（其中，） 3. 下列命题正确的是（ ） A. 在中，，则 B. 在中，，则 C. 在中，，则 D. 在中，，则 4. 等腰三角形底边长为6厘米，一腰上的中线把三角形分成两部分，其周长的差为2厘米，则它的腰长为（ ） A. 4厘米 B. 8厘米 C. 4厘米或8厘米 D. 不确定 5. 下列命题中，正确的个数是（ ） ①两条边分别相等的两个直角三角形全等； ②斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等； ③斜边相等的两个等腰直角三角形全等． A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 6. 关于的方程，下列说法中正确的有（ ）个． ①若，则该方程没有实数根； ②若，则该方程的两个根互为相反数； ③若，则该方程一定有两个实数根； ④若，则一定是这个方程的实数根． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7. 的立方根为_________________． 8. 在全球范围内，我国北斗卫星导航系统的授时精度优于，用科学记数法表示0.00000002为___________． 9. ________． 10. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________． 11. 如图，在矩形中，，在上取一点E，使，则的度数为______． 12. 如图，在中，，是边上的中线，且，则的长为______． 13. 若关于的方程是一元二次方程，则_______． 14. 如图，在中，，则________． 15. 已知为等腰三角形，一边长为3，它的另两条边的长度分别是方程的两个根，那么m的值是__________． 16. 如图，已知在ABC中，∠C＝90°，MN是AB的中垂线，∠A＝30°，AM＝10cm，则CM＝___cm． 17. 点是数轴上的三个点，点所对应的数分别为、，点到点的距离是它到点B距离的2倍，则点C表示的数是_____． 18. 已知关于一元二次方程中，①若，那么方程有两个不相等的实数根；②若，则；③若方程两根为和，则；④若，那么方程一定无解．其中正确的是___________． 三、简答题（本大题共7题，第19题8分，第20题16分，第21～23题每题6分，第24题7分，第25题9分，满分58分） 19. （1）计算：． （2）化简：． 20. 选择适当的方法解方程． （1） （2） （3） （4） 21. 先化简，再求值：，其中，． 22. 某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ 23. 在中，高与高相交于点，且，求等于多少度？ 24. 如图，在中，于点，于点，是边的中点，连接、、． （1）求证：； （2）若是等边三角形，则应满足什么条件？ 25. 如图，在中，，，点是边上一动点，连接，将沿翻折得到． （1）直接写出与的位置关系：_____； （2）如图①，当时，求证：； （3）在点运动过程中，直线与直线相交于点，连接，当时，求线段长度． 第二部分 提高卷 四、拓展题（本大题共3题，第1～2题每题5分，第3题10分，满分20分） 26. 如果关于的一元二次方程有两个实数根、，且，那么称该方程的两个根的距离为1．如果关于的方程的两个根的距离为1，则代数式的值是_____． 27. 我们定义：如果一个数的平方等于，记作，那么这个就叫做虚数单位．虚数与我们学过的实数合在一起叫做复数．一个复数可以表示为（均为实数）的形式，其中叫做它的实部，叫做它的虚部．复数的加、减、乘的运算与我们学过的整式加、减、乘的运算类似． 例如计算：． 根据上述材料，将化为（，均为实数）的形式（即化为分母中不含的形式）_____． 28. 如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根、，小普发现对于这个方程的两根，有，．假设、在数轴上对应的点分别为、，点、之间的距离为2，的中点表示的数是p． （1）当时，_____________； （2）根据小普的结论，求m、n；（结果用含p的代数式表示） （3）如果n是一个正整数的平方，现保持的中点不变，、之间的距离变为8，对应的方程中也是一个正整数的平方，求的中点表示的数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期初二数学12月练习卷 满分120分，时间90分钟 2025－12 第一部分 基础卷 一、选择题（本大题共6题，每题3分，满分18分） 1. 将一元二次方程化成（、为常数）的形式，则、的值分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程． 通过配方法将方程左边化为完全平方式，比较系数确定a和b的值． 【详解】解：， ， ， ， 可得，， 故选：A． 2. 下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（ ） A. 与 B. 与（其中） C. 与 D. 与（其中，） 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查同类二次根式的定义，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 判断二次根式是否为同类，需将它们化为最简二次根式，比较被开方数是否相同，据此逐项判断即可． 【详解】解：同类二次根式需化简后被开方数相同， 选项A：与，被开方数分别为和7，不同，故不是同类二次根式； 选项B：与（其中），可化为，被开方数分别为和，不同，故不是同类二次根式； 选项C：，，两者最简形式被开方数均为6，故是同类二次根式； 选项D：，，其中，，被开方数分别为和，不同，故不是同类二次根式； 故选：C． 3. 下列命题正确的是（ ） A. 在中，，则 B. 在中，，则 C. 在中，，则 D. 在中，，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角的直角三角形的性质及其逆定理，熟练掌握知识点是解题的关键．在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半，逆定理为：在直角三角形中，一个锐角所对的直角边为斜边的一半，那么这个锐角为．据此分析即可． 【详解】解：A、不是斜边，故不能用角的直角三角形的逆定理判断，故不符合题意； B、不知哪个角为直角，故错误，不符合题意； C、在中，，则，符合角的直角三角形的逆定理，符合题意； D、应为，故错误，不符合题意， 故选：C． 4. 等腰三角形底边长为6厘米，一腰上的中线把三角形分成两部分，其周长的差为2厘米，则它的腰长为（ ） A. 4厘米 B. 8厘米 C. 4厘米或8厘米 D. 不确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，三角形中线的定义，构成三角形的条件，设等腰三角形的腰长为x厘米，腰上的中线长为a厘米，分别表示出分成的两个三角形的周长，根据周长之差为2厘米，从而得方程，即可求得x． 【详解】解：设等腰三角形的腰长为x厘米，腰上的中线长为a厘米，则中线所分成的两个三角形中，其中一个三角形的周长为：厘米，另一个三角形的周长为：厘米， 由题意得 即 ∴或 解得或， 当时，该三角形的三边长分别为8厘米，8厘米，6厘米， ∵， ∴此时能构成三角形； 当时，该三角形的三边长分别为4厘米，4厘米，6厘米， ∵， ∴此时能构成三角形； 综上所述，等腰三角形的腰长为4厘米或8厘米， 故选：C． 5. 下列命题中，正确的个数是（ ） ①两条边分别相等的两个直角三角形全等； ②斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等； ③斜边相等的两个等腰直角三角形全等． A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查直角三角形全等的判定条件，等边对等角，根据和可判断①；根据可判断②；根据等腰直角三角形的性质可得等腰直角三角形的两个锐角的度数都为，再由斜边相等可利用证明全等，则可判断③． 【详解】解：①两条边分别相等的两个直角三角形，若两条边均为直角边，则由可证全等；若一条边为直角边，一条边为斜边，若直角边是对应边，则可用证全等，若直角边不是对应边，则不能证明全等，故命题①错误． ②斜边和直角边对应相等的两个直角三角形，符合，故命题②正确． ③斜边相等的两个等腰直角三角形，由于等腰直角三角形的两个锐角的度数都为，则由可证全等，故命题③正确． 故选：B． 6. 关于的方程，下列说法中正确的有（ ）个． ①若，则该方程没有实数根； ②若，则该方程的两个根互为相反数； ③若，则该方程一定有两个实数根； ④若，则一定是这个方程的实数根． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式，解一元二次方程，一元二次方程的解的定义，根据判别式可判断①②；当时，方程变为，解方程即可判断③；把代入原方程，求出方程左边的值，看方程左右两边是否相等即可判断④． 【详解】解：①若，则该方程没有实数根，原说法正确； ②当时，则，若，则方程无实数根，原说法错误； ③当时，方程变为，即，解得或，原说法正确； ④当时，把代入原方程，方程左边，此时方程左右两边相等，故是原方程的解，原说法正确． 故选：C． 二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7. 的立方根为_________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的立方根，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据立方根的定义求解． 【详解】解：的立方根为， 故答案为：． 8. 在全球范围内，我国北斗卫星导航系统的授时精度优于，用科学记数法表示0.00000002为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较小的数，掌握形式为，其中是关键． 用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：， 故答案为：． 9. ________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，整式的化简，根据二次根式有意义的条件求出，然后在此条件下简化绝对值表达式和化简二次根式，再合并同类项即可得到答案． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 10. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程的定义和根的判别式，方程有两个不相等的实数根需满足二次项系数不为零且判别式大于零，据此列式求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 当时，则，解得且； 当时，则， ∵， ∴， 又∵， ∴恒成立， ∴此时； 综上所述，， 故答案为：． 11. 如图，在矩形中，，在上取一点E，使，则的度数为______． 【答案】##15度 【解析】 【分析】作于F，延长到，使得，先证明是等边三角形，从而得到，继而求出，再根据等腰三角形的底角相等求出，最后利用求出即可． 先求出∠ADE 【详解】∵四边形是矩形， ∴，，， 作于F，则， 延长到，使得， 则垂直平分，， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴是等边三角形，， ∴， 又∵ ∴， 又∵， ∴， ∴． 故答案为：15° 【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，等边对等角，矩形的性质等知识，正确作出辅助线求解是解题的关键． 12. 如图，在中，，是边上的中线，且，则的长为______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，掌握直角三角形的性质是解题的关键，根据直角三角形的性质可知，再根据已知条件即可解答． 【详解】解：∵在中，， ∴是直角三角形， ∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的长为， 故答案为：． 13. 若关于的方程是一元二次方程，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元一次方程的定义是解此题的关键，只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程． 根据一元二次方程的定义得出且，再求出k即可． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴且， ∴，， 因此， 故答案为：． 14. 如图，在中，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】设∠A=x°根据等腰三角形的性质及等边对等角性质进行分析得出∠ABC=∠C=∠BDC，，再利用三角形的内角和定理即可求得∠A的度数． 【详解】解：设∠A=x° ∵AB=AC，BD=BC ∴∠ABC=∠C=∠BDC ∵AD=DE=BE ∴∠A=∠AED=2∠EBD=2∠EDB ∴ ∵∠ABC=∠C ∴ ∴x=45 即∠A等于45°． 故答案为： 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，等边对等角，以及三角形的内角和定理的运用． 15. 已知为等腰三角形，一边长为3，它的另两条边的长度分别是方程的两个根，那么m的值是__________． 【答案】3或4 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数关系和三角形三边关系的应用，根据根与系数的关系，方程两根之和为4，两根之积为．分两种情况讨论：当3为底边时，两腰相等且为方程根，求；当3为腰时，另一腰为3，底边为方程另一根，求．并验证三角形三边存在条件． 【详解】解：设方程的两个根为和，则，． 由于是等腰三角形且一边长为3， ①若3为底边，则两腰和相等，即，此时，三边分别为2、2、3，满足三角形三边关系（两短边之和大于第三边）． ②若3为腰，则另一腰也为3，底边为方程的另一根，设，则，此时，三边分别为3、3、1，满足三角形三边关系． 故的值为3或4， 故答案为：3或4． 16. 如图，已知在ABC中，∠C＝90°，MN是AB的中垂线，∠A＝30°，AM＝10cm，则CM＝___cm． 【答案】5 【解析】 【分析】连接，根据垂直平分线的性质可得，进而根据含30度角的直角三角形的性质即可求得的长． 【详解】如图，连接 MN是AB的中垂线，∠A＝30°，AM＝10cm， ∠C＝90° 故答案为：5 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 17. 点是数轴上的三个点，点所对应的数分别为、，点到点的距离是它到点B距离的2倍，则点C表示的数是_____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴，一元一次方程，两点间的距离，分类讨论，根据点到点的距离是它到点距离的2倍，列出方程是解题关键． 分两种情况进行讨论，点C在点A，点B之间和点C在点B右侧时，分别根据点到点的距离是它到点距离的2倍，列出方程即可解答． 【详解】解：∵点C到点A的距离是它到点B距离的2倍， ∴点C不可能在点A左侧， 设C表示的数为a， 分两种情况：①当点C在点A和点B之间时， 则，， ∴， 解得：； ②当点C在点B右侧时， 则，， ∴， 解得： ． 综上，点C表示的数是或． 故答案为：或． 18. 已知关于一元二次方程中，①若，那么方程有两个不相等的实数根；②若，则；③若方程两根为和，则；④若，那么方程一定无解．其中正确的是___________． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的根的判别式．对于一元二次方程，若是方程的两个根，那么，， 当时，有两个不相等的实数根，当时，有两个相等的实数根；当时，没有实数根，由此逐项判断即可． 【详解】解：由已知得 ， ①由得， ， ， ， 方程有两个不相等的实数根；故①正确； ②若， 则，故②正确； ③若方程两根为和， 则，， ， ， ；故③正确； ④若，则， ， ， 方程一定无解．故④正确， 综上可知，正确的是①②③④． 故答案为：①②③④． 三、简答题（本大题共7题，第19题8分，第20题16分，第21～23题每题6分，第24题7分，第25题9分，满分58分） 19. （1）计算：． （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算，二次根式的混合运算，熟知二次根式的相关运算法则是解题的关键． （1）先利用平方差公式去括号和化简二次根式，再计算加减法即可； （2）先化简二次根式，再计算加减法即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 20. 选择适当的方法解方程． （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用直接开平方的方法解方程即可； （2）把方程左边利用十字相乘法分解因式，再解方程即可； （3）把当成一个整体，把方程左边利用十字相乘法分解因式，再解方程即可； （4）利用配方法解方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：∵ ∴， ∴或， 解得； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得； 【小问4详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得． 21. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化，利用二次根式混合运算的法则将所求式子化简，最后代入，计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ． 当，时，原式． 22. 某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ 【答案】元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 设每千克水果应涨价元，依题意列方程得：，解方程得，要使顾客得到实惠，应取，即可得到答案． 【详解】解：设每千克水果应涨价元， 依题意列方程得： 整理，得 解这个方程，得 要使顾客得到实惠，应取， 答：每千克应涨价元． 23. 在中，高与高相交于点，且，求等于多少度？ 【答案】的度数为 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，找出两个全等三角形是解题关键． 先证明，然后得到，再根据等腰三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：由题意得 在和中， 是等腰直角三角形 即的度数为． 24. 如图，在中，于点，于点，是边的中点，连接、、． （1）求证：； （2）若是等边三角形，则应满足什么条件？ 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∵是边的中点， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定，直角三角形的性质，等边对等角，三角形内角和定理和三角形外角的性质，熟知直角三角形的性质是解题的关键． （1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可证明结论； （2）可证明，则可推出，同理可得，进一步可证明，根据三角形内角和定理可得，即，再由等边三角形的判定定理即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中，，理由如下： 由（1）可得， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∵，且， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 若是等边三角形， 当时，， ∴． 25. 如图，在中，，，点是边上一动点，连接，将沿翻折得到． （1）直接写出与的位置关系：_____； （2）如图①，当时，求证：； （3）在点运动过程中，直线与直线相交于点，连接，当时，求线段长度． 【答案】（1） （2） 证明：由折叠的性质得，，， ∵，， ∴，，， ∴； （3）线段的长度为或． 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质得，，利用线段垂直平分线的判定定理即可得到； （2）求得，，利用即可证明结论成立； （3）分两种情况讨论，证明是等边三角形，利用直角三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：连接， 由折叠的性质得，， ∴点在线段的垂直平分线上，点在线段的垂直平分线上， ∴是线段的垂直平分线， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当直线与射线相交于点时， 由折叠的性质得， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当直线与线段相交于点时， 同理是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴在同一直线上， 由（1）得， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， 综上，线段的长度为或． 【点睛】本题考查了折叠的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质．第3问分类讨论是解题的关键． 第二部分 提高卷 四、拓展题（本大题共3题，第1～2题每题5分，第3题10分，满分20分） 26. 如果关于的一元二次方程有两个实数根、，且，那么称该方程的两个根的距离为1．如果关于的方程的两个根的距离为1，则代数式的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了新定义计算、一元二次方程的解、代数式求解和绝对值方程的求解，准确的计算是解决本题的关键． 由方程可得两根为和，根据根的距离为1，得，分两种情况求解的值，再计算代数式即可． 【详解】解：∵方程为， ∴其两根为和， 由题意得，， 设，则 或， 解得或， 代数式 ， 当时，， 故； 当时，， 故． 综上，代数式的值为． 故答案为：． 27. 我们定义：如果一个数的平方等于，记作，那么这个就叫做虚数单位．虚数与我们学过的实数合在一起叫做复数．一个复数可以表示为（均为实数）的形式，其中叫做它的实部，叫做它的虚部．复数的加、减、乘的运算与我们学过的整式加、减、乘的运算类似． 例如计算：． 根据上述材料，将化为（，均为实数）的形式（即化为分母中不含的形式）_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了新定义运算．分子分母同乘以后，把分母化为不含的数后计算． 【详解】解：． 故答案为：． 28. 如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根、，小普发现对于这个方程的两根，有，．假设、在数轴上对应的点分别为、，点、之间的距离为2，的中点表示的数是p． （1）当时，_____________； （2）根据小普的结论，求m、n；（结果用含p的代数式表示） （3）如果n是一个正整数的平方，现保持的中点不变，、之间的距离变为8，对应的方程中也是一个正整数的平方，求的中点表示的数． 【答案】（1） （2）， （3）或或或 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用完全平方公式变形求值，因式分解的应用，求一个数的平方根等知识点． （1）根据数轴上中点坐标公式求解； （2）根据，即可表示；由题意得，再由代入化简即可； （3）当时，（为正整数），则当时，（为正整数，且），则 ，即，再分类讨论求解． 【小问1详解】 解：∵的中点表示的数是p， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴； 由题意得， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：当时，（为正整数）， 当时，（为正整数，且）， ∴ 两式相减得， 即． ∴ 或 解得或， ∴或 ∴ ，，，， 即的中点表示的数是或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $