精品解析：上海市延安初级中学2026-2027学年八年级上学期能力挑战1数学试卷（10.12）

初二年级第一学期数学能力挑战1（2026-10-12） 一、填空题．（每空2分，共46分） 1. 的算术平方根是____________；的平方根为____________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【详解】解：∵， ∴的算术平方根是； ∵， ∴的平方根是． 2. 实数a的立方根是3，那么________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是已知一个数的立方根，求原数，根据立方根的含义可得，从而可得答案． 【详解】解：∵实数a的立方根是3， ∴， 故答案为： 3. 用科学记数法表示：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，掌握其一般形式是解题的关键．用科学记数法可以表示绝对值小于1的数，一般形式为，其中，为正整数，与较大数的科学记数法不同的是其使用负指数幂，指数由原数左边第一个不为零的数字前面的的个数决定，据此即可得出答案． 【详解】解：数据可以用科学记数法表示为， 故答案为：． 4. （1）当x____________时，二次根式有意义； （2）当x____________时，式子有意义． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】二次根式有意义要求被开方数为非负数，若二次根式出现在分式分母中，还需要保证分母不等于0，据此列不等式求解即可． 【详解】解：（1）∵二次根式有意义， ∴， 解得． （2）中，二次根式在分母位置，因此被开方数需大于0，同时满足被开方数非负和分母不为0两个要求，得， 解得． 5. 化简：____________；____________；____________． 【答案】 ①. ②. ③. 【解析】 【详解】解：． ． ． 6. 已知，那么可化简为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简，掌握是解题的关键． 【详解】解：原式 ； 故答案为：． 7. 计算：____________． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 ． 8. 写出的一个有理化因式__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查分母有理化的方法，分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．根据二次根式的性质，求解即可． 【详解】解：∵， ∴的一个有理化因式为， 故答案为：（答案不唯一） 9. 分母有理化：___________． 【答案】## 【解析】 【分析】分子分母同时乘以，再化简即可． 【详解】解：， 故答案为： 【点睛】本题主要考查二次根式的分母有理化，正确计算是解题的关键． 10. 已知数轴上两点 A、B，对应的实数分别是和，则线段的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用数轴上两点之间的距离求法得出答案． 【详解】∵数轴上点A、B所对应的实数分别是和， ∴A、B两点间的距离为：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了实数与数轴，正确掌握数轴上两点距离的求法是解题关键． 11. 二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则a的值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】先化简，再根据同类二次根式的定义得到关于的方程，求解即可． 【详解】解：首先化简，可得， ∵是最简二次根式，且与是同类二次根式，同类二次根式化简后被开方数相等， ∴， 整理得， 解得． 12. 已知一个正数m的两个平方根是和，则m=_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据正数的平方根有两个，互为相反数进行计算即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查平方根的性质．熟练掌握正数的平方根有两个，互为相反数是解题的关键．同时考查了解一元一次方程． 13. 等式成立的条件是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数、分式的分母不为零求解即可． 【详解】解：由题意，等式成立的条件是， 解得， 故答案为：． 14. 对于，当是整数时，最小的正整数______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式，由即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴当是整数时，最小的正整数， 故答案为：． 15. 若关于的方程是一元二次方程，则______． 【答案】﹣2 【解析】 【分析】本题根据一元二次方程的定义求解，一元二次方程必须满足两个条件：未知数的最高次数是；二次项系数不为由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可． 【详解】解：由题意，得且， 解得， 故答案是：． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点． 16. 一元二次方程的根是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程．利用因式分解法解答，即可求解． 【详解】解：， ∴， 解得：． 故答案为： 17. 一个三角形的两边长分别为和，第三边是方程的一个根，则这个三角形的周长是___． 【答案】13 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，三角形三边的关系．解一元二次方程得到两个根，根据三角形三边关系判断哪个根符合条件，然后计算周长． 【详解】解：解方程， 因式分解得， 解得，． 当第三边为2时，，不满足三角形任意两边之和大于第三边的关系； 当第三边为4时，，，，且任意两边之差小于第三边，符合三角形三边关系． 因此周长为． 故答案为：13． 18. 若，则x的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】先对等式左边的二次根式因式分解化简，根据二次根式的性质和有意义的条件，列出不等式求解x的范围即可． 【详解】解：对等式左边化简得 原等式可化为 ∵二次根式中被开方数非负， ∴， 解得， ∵等式成立要求， ∴， ∴的取值范围是． 19. 若是方程的一个根，则代数式的值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】由是方程的根，可得，对三次代数式降次后整体代入计算即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴，即， ∴ ． 二、选择题（每题2分，共10分） 20. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义逐一判断即可求解． 【详解】解：A、当时，原方程化为：，则不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、，有两个未知数，则不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C、，不是整式方程，则不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D、，是一元二次方程，故本选项符合题意； 故选：D． 21. 下列说法正确的是（　　） A. 1的平方根与立方根相同 B. 实数与数轴上的点一一对应 C. 两个无理数的和还是无理数 D. 对于实数，若，则 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平方根、立方根、实数与数轴、无理数的定义、二次根式的性质，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．根据平方根、立方根、实数与数轴、无理数的定义、二次根式的性质，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、因为，所以1的平方根是，因为，所以1的立方根是1，由于1的平方根与立方根不相同，所以选项A错误； B、实数与数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，所以选项B正确； C、例如和都是无理数，它们的和为，而0是有理数，所以选项C错误； D、根据二次根式的性质，，当时，；当时，．已知，则，而不是，所以选项D错误． 故选：B． 22. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式，根据最简二次根式的概念判断即可． 【详解】解：A、，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、是最简二次根式，故C符合题意； D、，故D不符合题意． 故选： C． 23. 下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（　　） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式，掌握同类二次根式的定义是解题的关键．将各项先化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义逐项判断即可． 【详解】A、和被开方数相同，故是同类二次根式，符合题意； B、和被开方数不同，故不是同类二次根式，不符合题意； C、和被开方数不同，故不是同类二次根式，不符合题意； D、和被开方数不同，故不是同类二次根式，不符合题意； 故选：A． 24. 对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，．如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次，这时候结果为1．下列说法中，不正确的有（ ） A. B. 对100连续求根整数，3次之后结果为1 C. 若，则所有满足题意的x的整数值的和为5 D. 若对正整数a只需进行3次连续求根整数运算后结果变为1，则a的最大值为255． 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义运算以及不等式的应用，熟练掌握根整数的定义并结合不等式求解是解题的关键． 根据根整数的定义，分别对每个选项进行分析计算． 【详解】解：∵，，且， ∴， ∴，故选项A正确，不符合题意． 第一次：； 第二次：； 第三次：， ∴对100连续求根整数，3次之后结果为1，故选项B正确，不符合题意． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴满足题意的x的整数值为2、3、4，它们的和为，故选项C错误，符合题意． 设第3次运算的数为x，则， ∴，即； 第2次运算的数为y，则， ∴， ∵， ∴取，则； 第1次运算的数为a，则， ∴，取，则， ∴a的最大值为255，故选项D正确，不符合题意． 故选：C． 三、解答题（5分×4+6分+8分+10分分） 25. 计算： （1）； （2）； （3）； （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解： 原式 ； 【小问4详解】 解： 原式 ． 26. 解不等式：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ∴不等式的解集为． 27. 先化简再求值∶，其中， 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查二次根式的化简求值，分式的化简求值，熟练掌握二次根式的性质与分式的性质是解题的关键． 先化简得，则，再化简，然后把代入化简式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 当时，原式． 28. 配方法是中学数学的重要方法，用配方法可求最大（小）值．对于任意正实数a，b，可作如下变形（提示：）； ， 又， ，即． 当且仅当，即时等号成立． （1）若，代数式的最小值为_________，此时_________． （2）某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，一面利用墙体将该区域用篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，如图1所示，为了围成面积为的花圃，所用的篱笆至少为多少米？ （3）如图2，四边形的对角线、相交于点O，、的面积分别为9和4，求四边形面积的最小值． 【答案】（1）6；3 （2）所用的篱笆至少为36米 （3）四边形面积的最小值为25 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较、完全平方公式的运用，用配方法求最值，理解在（a、b均为正实数）中，当且仅当a、b满足时，有最小值是解题的关键． 本题主要考查了完全平方公式的变形在求最值中的应用，正确理解题意并举一反三是解题关键； （1）依据题意，设，则由，得，进而当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为6，故可得解； （2）设花圃的宽为x米，则长为米，所用的篱笆，据此即可求解； （3）设，由三角形的面积公式可知，若两三角形底边上的高相等，则其面积比等于底边之比，由此可将表示出来．写出四边形ABCD的面积的表达式，利用题中结论求其最小值即可． 【小问1详解】 解：由题意，设， 由，得， 当且仅当，即（负值舍去）时，代数式取到最小值，最小值为 故答案为：6；3； 【小问2详解】 解：由题意，设花圃的宽为x米，则长为米， 所用的篱笆， 又令，， 由， ． 当且仅当，即（负值舍去）时，代数式取到最小值，最小值为36， 答：所用的篱笆至少为36米． 【小问3详解】 解：由题意，设， 与底边上的高相等，与底边上的高相等， ， 又， ， 当时，即（负值舍去）时取等号． 四边形面积的最小值为25． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初二年级第一学期数学能力挑战1（2026-10-12） 一、填空题．（每空2分，共46分） 1. 的算术平方根是____________；的平方根为____________． 2. 实数a的立方根是3，那么________． 3. 用科学记数法表示：_____． 4. （1）当x____________时，二次根式有意义； （2）当x____________时，式子有意义． 5. 化简：____________；____________；____________． 6. 已知，那么可化简为________． 7. 计算：____________． 8. 写出的一个有理化因式__________． 9. 分母有理化：___________． 10. 已知数轴上两点 A、B，对应的实数分别是和，则线段的长为________． 11. 二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则a的值为____________． 12. 已知一个正数m的两个平方根是和，则m=_____． 13. 等式成立的条件是_______． 14. 对于，当是整数时，最小的正整数______． 15. 若关于的方程是一元二次方程，则______． 16. 一元二次方程的根是______． 17. 一个三角形的两边长分别为和，第三边是方程的一个根，则这个三角形的周长是___． 18. 若，则x的取值范围是____________． 19. 若是方程的一个根，则代数式的值为____________． 二、选择题（每题2分，共10分） 20. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 21. 下列说法正确的是（　　） A. 1的平方根与立方根相同 B. 实数与数轴上的点一一对应 C. 两个无理数的和还是无理数 D. 对于实数，若，则 22. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 23. 下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（　　） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 24. 对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，．如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次，这时候结果为1．下列说法中，不正确的有（ ） A. B. 对100连续求根整数，3次之后结果为1 C. 若，则所有满足题意的x的整数值的和为5 D. 若对正整数a只需进行3次连续求根整数运算后结果变为1，则a的最大值为255． 三、解答题（5分×4+6分+8分+10分分） 25. 计算： （1）； （2）； （3）； （4） 26. 解不等式：． 27. 先化简再求值∶，其中， 28. 配方法是中学数学的重要方法，用配方法可求最大（小）值．对于任意正实数a，b，可作如下变形（提示：）； ， 又， ，即． 当且仅当，即时等号成立． （1）若，代数式的最小值为_________，此时_________． （2）某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，一面利用墙体将该区域用篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，如图1所示，为了围成面积为的花圃，所用的篱笆至少为多少米？ （3）如图2，四边形的对角线、相交于点O，、的面积分别为9和4，求四边形面积的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $