精品解析：黑龙江哈尔滨市虹桥初级中学2026-2027学年上学期八年级10月16日数学学科作业

虹桥中学初三学年10月16日数学学科作业 一．选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列长度的三根小木棒能构成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 2. 下列各图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，点关于x轴的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度与右边滑梯的水平长度相等，那么判定与全等的依据是（ ） A. B. C. D. 5. 如图：AB=AD，AE平分∠BAD，则图中有（ ）对全等三角形． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 下列各命题都成立，判断它们的逆命题为真命题的是（ ） A. 如果两个实数都是正数，那么它们的积是正数 B. 全等三角形的对应角相等 C. 成轴对称的两个三角形全等 D. 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上 7. 如图，在中，，，交的延长线于点，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 如图，在中，以顶点为圆心，以适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，作于点，若，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，，点和点是对应顶点，点和点是对应顶点，若垂直平分，垂足为点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，边、的垂直平分线交于点，则下列结论不一定成立的是（ ） A. B. 点在的垂直平分线上 C. D. 二．填空题（每小题3分，共30分） 11. 等边三角形有______条对称轴． 12. 中，，则________度． 13. 若等腰三角形的顶角为，则一腰上的高与底边所成的角的度数是____度． 14. 如图，点是的重心，，则阴影部分的面积之和为__________． 15. 如图，，，，则的度数是________． 16. 如图，在中，，分别是边，的垂直平分线，，则的周长___________．     17. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于点D，且AD＝4，若点P在边AC上移动，则BP的最小值为____． 18. 如图，等边在数轴上的位置如下，点、对应的数分别为、，若绕顶点沿顺时针方向在数轴上连续翻转，第一次翻转后点所对应的数为，则翻转次后点对应的数为________． 19. 已知等腰三角形的两边长分别为和，则三角形的周长是________． 20. 如图，中，，的平分线与边的垂直平分线相交于D，交的延长线于E，于F；现有下列结论：①；②；③平分；④；其中正确的有______．（填写序号） 三．解答题（共60分） 21. 解下列方程组 （1） （2） 22. 解下列不等式 （1） （2） 23. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，． （1）以轴为对称轴对称，得到．请你在图中画出； （2）写出，，三点的对应点、、的坐标； （3）直接写出的面积． 24. 如图，在△ABC中，点D是边BC上一点，CD＝AB，点E在边AC上，且AD＝DE，∠BAD＝∠CDE． （1）如图1，求证：BD＝CE； （2）如图2，若DE平分∠ADC，在不添加辅助线的情况下，请直接写出图中所有与∠ADE相等的角（∠ADE除外）． 25. 【定义】如果两个角的差为，就称这两个角互为“伙伴角”，其中一个角叫做另一个角的“伙伴角”．例如：，，，则和互为“伙伴角”，即是的“伙伴角”，也是的“伙伴角”． （1）【理解】已知和互为“伙伴角”，且，，则的度数为________． （2）【运用】如图，在中，，且过点作的平行线，的平分线分别交、于、两点，和互为“伙伴角”，求的度数． 26. 如图，在中，已知，、分别为的角平分线，、交于点． （1）求的度数 （2）如图，若，，求的长； （3）如图，若，求的大小． 27. 中，，如图1，点分别在边上，且，垂足为， （1）求证：ED平分， （2）如图2，点为中点，过点作，交延长线于点，连接．求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，与相交于点，连接，若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 虹桥中学初三学年10月16日数学学科作业 一．选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列长度的三根小木棒能构成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】比较每组两短边长度和与最长边的大小，判断能否构成三角形． 【详解】解：，，， 、、选项均不能构成三角形． ， 选项能构成三角形． 2. 下列各图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的概念是解题的关键：如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴，常见的轴对称图形有：等腰三角形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形、圆、线段、相交直线等；常见的既是中心对称图形又是轴对称图形的有：矩形、菱形、正方形、圆、线段、相交直线等． 根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A、是轴对称图形，故选项不符合题意； B.、是轴对称图形，故选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故选项符合题意； D、是轴对称图形，故选项不符合题意； 故选：． 3. 在平面直角坐标系中，点关于x轴的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了关于轴的对称点坐标的特征．根据“横坐标不变，纵坐标互为相反数”即可得到答案． 【详解】解：点关于轴的对称点坐标是， 故选：D． 4. 如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度与右边滑梯的水平长度相等，那么判定与全等的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定及性质，直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形全等的判定方法是解题． 先根据，判断出． 【详解】解：滑梯、墙、地面正好构成直角三角形， 在和中， ， ， 故选：D 5. 如图：AB=AD，AE平分∠BAD，则图中有（ ）对全等三角形． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据AB=AD，AE平分∠BAD，再结合公共边AE、AC，即可证得△DAC≌△BAC，△DAE≌△BAE，再根据全等三角形的性质即可得到结果． 【详解】∵AB=AD，AE平分∠BAD，且AE、AC为公共边， ∴△DAC≌△BAC，△DAE≌△BAE（SAS）， ∴DE=BE，DC=BC，EC为公共边， ∴△DCE≌△BCE（SSS）． 所以共有3对三角形全等． 故选B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，解答本题的关键是熟练掌握判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、ASA和HL，做题时，要根据已知条件结合图形进行思考． 6. 下列各命题都成立，判断它们的逆命题为真命题的是（ ） A. 如果两个实数都是正数，那么它们的积是正数 B. 全等三角形的对应角相等 C. 成轴对称的两个三角形全等 D. 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上 【答案】D 【解析】 【分析】先写出各选项命题的逆命题，再根据知识判断逆命题的真假． 【详解】解：A.逆命题：如果两个实数的积是正数，那么这两个实数都是正数， ∵两个负数的积也为正数（如）， ∴逆命题为假命题， B.逆命题：对应角相等的三角形是全等三角形， ∵对应角相等的三角形不一定全等（如边长不同的等边三角形）， ∴逆命题为假命题， C.逆命题：两个全等三角形成轴对称， ∵两个全等三角形的位置不一定关于某条直线对称， ∴逆命题为假命题， D.逆命题：角平分线上的点到角的两边距离相等， ∵该命题是角平分线的性质，成立， ∴逆命题为真命题． 7. 如图，在中，，，交的延长线于点，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据得到，从而得到，根据含度角的直角三角形的性质，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 8. 如图，在中，以顶点为圆心，以适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，作于点，若，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点D作交的延长线于点F，由作图方法可知，平分，由角平分线的性质得到的长，再由三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图所示，过点D作交的延长线于点F， 由作图方法可知，平分， ∵，，， ∴， ∵， ∴． 9. 如图，，点和点是对应顶点，点和点是对应顶点，若垂直平分，垂足为点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，中垂线的性质，等边三角形的判定和性质．全等三角形的性质，得到，进而得到，连接，中垂线的性质，得到，进而得到为等边三角形，进而得到，即可．解题的关键是得到为等边三角形． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 连接， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴； 故选C． 10. 如图，在中，边、的垂直平分线交于点，则下列结论不一定成立的是（ ） A. B. 点在的垂直平分线上 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由线段垂直平分线的性质得到，则，据此可判断A、B，根据等边对等角和三角形内角和定理可判断C，根据现有条件无法得到，可判断D． 【详解】解：∵在中，边、的垂直平分线交于点， ∴， ∴，故A结论正确，不符合题意， ∴点在的垂直平分线上，故B结论正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴，故C结论正确，不符合题意； 根据现有条件无法得到，故D结论错误，符合题意． 二．填空题（每小题3分，共30分） 11. 等边三角形有______条对称轴． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，根据等边三角形的对称性即可求得答案． 【详解】解：等边三角形有3条对称轴， 故答案为：3． 12. 中，，则________度． 【答案】72 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，解题的关键是根据三角形内角和定理建立方程求解．利用三角形的内角和定理以及三个内角相互间的关系，列方程计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 解得：， 故答案为：72． 13. 若等腰三角形的顶角为，则一腰上的高与底边所成的角的度数是____度． 【答案】15 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求出等腰三角形的底角的度数，然后在一腰上的高与底边所构成的直角三角形中，可得出所求角的度数． 【详解】解：如图：中，，是边上的高． ∵，且， ∴， 在中， ，， ∴． 故答案为：15． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形两底角相等和三角形内角和定理是解题的关键． 14. 如图，点是的重心，，则阴影部分的面积之和为__________． 【答案】8 【解析】 【分析】根据三角形重心的定义可知是的中线，再利用三角形中线的性质即可求解． 【详解】解：∵点是的重心， ∴是的中线， ∴，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ∴，，， ∴阴影部分的面积之和． 15. 如图，，，，则的度数是________． 【答案】116 【解析】 【分析】利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：是的外角 是的外角， ． 16. 如图，在中，，分别是边，的垂直平分线，，则的周长___________．     【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质的应用，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质，可得，即可求解． 【详解】解：∵，分别是边，的垂直平分线， ∴， ∴的周长为， ∵， ∴的周长为8． 故答案为：8 17. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于点D，且AD＝4，若点P在边AC上移动，则BP的最小值为____． 【答案】 【解析】 【详解】根据“垂线段最短”，当BP⊥AC时，BP有最小值， 由△ABC的面积公式可知AD·BC＝BP·AC，解得BP＝， 故答案为. 18. 如图，等边在数轴上的位置如下，点、对应的数分别为、，若绕顶点沿顺时针方向在数轴上连续翻转，第一次翻转后点所对应的数为，则翻转次后点对应的数为________． 【答案】2021 【解析】 【分析】根据前几次翻转，找出点对应数的规律，利用此规律确定翻转次后点对应的数． 【详解】解：由图可知，第一次翻转后点不在数轴上，第二次翻转后点对应的数字为，第三次翻转点不动，点对应的数字还是，第四次翻转，点不在数轴上，第五次翻转点对应的数字是，第六次翻转点不动，对应的数字是． 于是发现，每三次翻转点沿数轴的正方向移动个单位． 能被整除， 在翻转次后，点沿数轴的正方向移动了个单位， 点对应的数为． 19. 已知等腰三角形的两边长分别为和，则三角形的周长是________． 【答案】17或19 【解析】 【分析】分为腰长和为腰长两种情况，利用三角形三边关系验证能否构成三角形，再计算周长． 【详解】解：①当为腰长时，三角形的三边长分别为，，， ∵，符合三角形三边关系，能构成三角形， ∴周长为； ②当为腰长时，三角形的三边长分别为，，， ∵，符合三角形三边关系，能构成三角形， ∴周长为； 综上，三角形的周长为或． 20. 如图，中，，的平分线与边的垂直平分线相交于D，交的延长线于E，于F；现有下列结论：①；②；③平分；④；其中正确的有______．（填写序号） 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、角平分线的性质定理、线段垂直平分线的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． ①由角平分线的性质可知①正确；②由题意可知，故此可知，，从而可证明②正确；③若平分，则，从而得到为直角三角形，条件不足，不能确定，故③错误；④连接，然后证明，从而得到，从而可证明④． 【详解】解：如图所示：连接． ①∵平分，， ∴．故①正确． ②∵，平分， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 同理：． ∴．故②正确． ③由题意可知：． 假设平分，则．则， ∵，垂直平分， ∴， ∴． ∴． ∵是否等于不知道， ∴不能判定平分．故③错误． ④∵是的垂直平分线， ∴． 在和中 ， ∴． ∴． ∴， 又∵， ∴．故④正确． 故答案为：①②④． 三．解答题（共60分） 21. 解下列方程组 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 得， 得， 把代入①得，解得， ∴原方程组的解为； 【小问2详解】 解： 把②代入①得，解得， 把代入②得， ∴原方程组的解为． 22. 解下列不等式 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）对不等式移项得到，合并同类项得，两边同时除以 2 求出解集． （2）不等式两边同时乘 2 去分母，化简得到，移项计算得到解集． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 23. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，． （1）以轴为对称轴对称，得到．请你在图中画出； （2）写出，，三点的对应点、、的坐标； （3）直接写出的面积． 【答案】（1） （2） （3）1 【解析】 【分析】（1）根据轴对称的特点作图即可； （2）关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此可得答案； （3）利用割补法求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：． 24. 如图，在△ABC中，点D是边BC上一点，CD＝AB，点E在边AC上，且AD＝DE，∠BAD＝∠CDE． （1）如图1，求证：BD＝CE； （2）如图2，若DE平分∠ADC，在不添加辅助线的情况下，请直接写出图中所有与∠ADE相等的角（∠ADE除外）． 【答案】（1） 证明：在△ABD和△DCE中， ， ∴△ABD≌△DCE（SAS）， ∴BD＝CE． （2）∠EDC，∠BAD，∠B，∠C 【解析】 【分析】（1）由“SAS”可证△ABD≌△DCE，可得BD=CE； （2）由全等三角形的性质可得∠B=∠C，由三角形的外角性质和角平分线的性质可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵△ABD≌△DCE， ∴∠B＝∠C， ∵DE平分∠ADC， ∴∠ADE＝∠CDE＝∠BAD， ∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CDE， ∴∠B＝∠ADE＝∠BAD＝∠EDC＝∠C， ∴与∠ADE相等的角有∠EDC，∠BAD，∠B，∠C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质，角平分线的定义，掌握全等三角形的判定，明确角度的数量关系是解题的关键． 25. 【定义】如果两个角的差为，就称这两个角互为“伙伴角”，其中一个角叫做另一个角的“伙伴角”．例如：，，，则和互为“伙伴角”，即是的“伙伴角”，也是的“伙伴角”． （1）【理解】已知和互为“伙伴角”，且，，则的度数为________． （2）【运用】如图，在中，，且过点作的平行线，的平分线分别交、于、两点，和互为“伙伴角”，求的度数． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据题意得到，再由即可求解； （2）设的度数为，则，根据角平分线的定义可得，再利用平行线的性质得到，利用“伙伴角”的概念，列方程即可解答． 【小问1详解】 解：当时，由题意得，， ∵ ， ； 【小问2详解】 解：设的度数为， ，则， ∵的平分线分别交于两点， ， ， ， ，或， 可得，或 解得或 或． 26. 如图，在中，已知，、分别为的角平分线，、交于点． （1）求的度数 （2）如图，若，，求的长； （3）如图，若，求的大小． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由角平分线的定义和三角形内角和定理求出的度数，再由三角形内角和定理可得答案； （2）在上截取，连接，证明，得到，，再证明，可得； （3）延长到点P，使得，连接，证明，得到，则，进而可推出，由三角形内角和定理得到，，再由角平分线的定义和三角形外角的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴； ∵、分别为的角平分线， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图所示，在上截取，连接， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴； ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图所示，延长到点P，使得，连接， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵平分， ∴， ∴， ∴． 27. 中，，如图1，点分别在边上，且，垂足为， （1）求证：ED平分， （2）如图2，点为中点，过点作，交延长线于点，连接．求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，与相交于点，连接，若，求的长． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3）3 【解析】 【分析】（1）根据外角得性质得，用表示和 ，即可得到结论； （2）延长交的延长线于点P，证明和 进而即可得到结论； （3）过点C作于点H，交于点Q，推出从而得进而即可求解． 【小问1详解】 证明：∵是的一个外角， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ED平分； 【小问2详解】 证明：如图2，延长交的延长线于点P， ∵ ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵点为中点， ， 在和中， ∵ 【小问3详解】 解：如图3，过点C作于点H，交于点Q， 由（1）得， 在四边形中， 在和中， 【点睛】本题主要考查全等三角形得判定和性质，三角形内角和定理以及外角的性质，四边形内角和定理，添加合适的辅助线构造全等三角形是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $