精品解析：上海市上海杨浦双语学校2026-2027学年七年级上学期10月单元练习三数学试卷

杨浦双语初一数学单元练习三 一、填空题（每题3分，共36分） 1. ______. 2. ______. 3. 计算：_________． 4. 设，则_________（用含的代数式表示）． 5. ______. 6. 一个正方形的边长是，则它的面积是______. 7. 计算：_________． 8. 如果，那么的值为_________． 9. 已知a+b=8，ab=2，则(a-b)2=___________________. 10. 观察等式①9 -1=2×4 ②25 -1=4×6 ③49 -1=6×8，按照规律写出第n个等式为_________． 11. 若，则_________． 12. 的个位数字是______. 二、选择题（每题3分，共18分） 13. 下列四个多项式：，，，中，能写成平方差公式的式子有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 14. 下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 15. 如果，那么的结果是（ ） A. B. C. D. 16. 若，，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 无法判断 17. 若，，则的值是（ ） A. -33 B. 33 C. -11 D. 11 18. 如图所示分割正方形，各图形面积之间的关系验证了一个等式，这个等式是（ ） A. B. C. D. 三、简答题（第19、20题每题5分，第21~23题每题6分，第24题8分，第25题10分，共46分） 19. 计算：. 20. 求值：，其中，. 21. 已知，求下列各式的值： （1）； （2）． 22. 利用乘法公式进行简便计算： （1）； （2）． 23. 如图，在一块直径为的圆形场地上，分别划出了一个半径为，另两个半径为的圆形场地，在这三个圆形场地上植满花卉，剩余的部分铺设草皮． （1）试求铺设草皮的面积（用含、的代数式表示）； （2）当，时，求铺设草皮的面积．（取） 24. 初中数学的一些代数公式可以通过几何图形的面积来推导和验证． 如图①，从边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形后，将其沿虚线裁剪，然后拼成一个矩形（如图②）． （1）通过计算两个图形的面积（阴影部分的面积），可以验证的乘法公式是_______；（直接填字母） A. B. C.D. （2）小丽在计算时利用了（1）中的公式： ________．（请你将最后结果补充完整） （3）仿照以上的结论和方法，计算： 25. 阅读材料：形如的式子叫做完全平方式．有些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、代数最值等问题中都有着广泛的应用． 示例：用配方法求代数式的最小值， 解：原式 的最小值为． （1）若代数式是完全平方式，则常数k的值为__________； （2）用配方法求代数式的最小值； （3）若实数a，b满足，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杨浦双语初一数学单元练习三 一、填空题（每题3分，共36分） 1. ______. 【答案】 【解析】 【分析】根据平方差公式计算即可 【详解】解： 故答案为： 【点睛】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式特点是解题的关键 2. ______. 【答案】 【解析】 【分析】根据完全平方公式计算即可 【详解】解： 故答案为： 【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握公式的特点是解题的关键 3. 计算：_________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用单项式乘多项式法则和平方差公式展开，再合并同类项得到结果． 【详解】解：原式 ． 4. 设，则_________（用含的代数式表示）． 【答案】 【解析】 【分析】将2022和2024变形为与2023相关的式子，利用平方差公式化简，代入即可得到结果． 【详解】解：设， 则 ． 5. ______. 【答案】 【解析】 【分析】运用平方差公式和完全平方公式解答即可． 【详解】解： 故答案为： 【点睛】本题主要考查了整式的运算．解答此题的关键是要熟记：平方差公式和完全平方公式． 6. 一个正方形的边长是，则它的面积是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形的面积公式和完全平方公式计算即可 【详解】解：正方形的面积= 故答案为： 【点睛】本题主要考查了正方形的面积公式和完全平方公式，熟练掌握相关的知识是解题的关键 7. 计算：_________． 【答案】 【解析】 【分析】将原式中相同项和相反项分组，把看作整体，用平方差公式简化计算，再展开完全平方得到结果． 【详解】解： ． 8. 如果，那么的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】将两边平方，利用完全平方公式结合已知的求出的值，再代入计算所求式子即可． 【详解】解：∵， ∴，展开得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 9. 已知a+b=8，ab=2，则(a-b)2=___________________. 【答案】56 【解析】 【分析】根据完全平方公式先把化成，再代入求值即可. 【详解】解： 把代入 得： 故填：56. 【点睛】本题考查了完全平方公式，整体思想的运用使运算更加简便. 10. 观察等式①9 -1=2×4 ②25 -1=4×6 ③49 -1=6×8，按照规律写出第n个等式为_________． 【答案】(2n+1)2 – 1=2n(2n+2) 【解析】 【分析】等式的左边是连续奇数的平方与1的差，右边是连续两个偶数的乘积，由此写出规律即可． 【详解】①9-1=32-1=2×4， ②25-1=52-1=4×6， ③49-1=72-1=6×8… 因此第n个等式为：（2n+1）2-1=2n（2n+2）（n为大于或等于1的自然数）． 故答案为（2n+1）2-1=2n（2n+2）（n为大于或等于1的自然数） 【点睛】此题考查数字的变化规律，主要从等式的两边发现的规律为：左边是连续奇数的平方与1的差，右边是连续两个偶数的乘积，进一步解决问题． 11. 若，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】由已知条件可得，再代入化简求值即可． 【详解】解：， ，且， ． 12. 的个位数字是______. 【答案】5 【解析】 【分析】利用平方差公式进行计算，然后利用个位数的变化规律解答． 【详解】， ∵，，，，， 所以个位上的数字是以2，4，8，6为周期， 所以4096÷4=1024，则个位数字为6，的个位数字为5. 故答案为：5. 【点睛】本题考查了平方差公式的应用，题型较好，难度适中，是一道不错的题目，通过此题能培养学生的观察能力，根据已知得出规律为：每四个数的个位数一组循环是解题关键． 二、选择题（每题3分，共18分） 13. 下列四个多项式：，，，中，能写成平方差公式的式子有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据平方差公式特点：①两项，②都可以写成平方的形式，③平方前面是异号，可以得到答案． 【详解】解：，；符合平方差公式特点； ，；不符合平方差公式特点． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了平方差公式特点，把握公式特点是解题的关键． 14. 下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平方差公式和完全平方公式逐一进行判断即可 【详解】解：A.，本选项错误； B. ，本选项错误； C. ，本选项正确； D. ，本选项错误； 故选：C 【点睛】此题主要考查了平方差公式和完全平方公式，熟练掌握公式的特点是解题的关键 15. 如果，那么的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据平方差公式得出Q，再根据完全平方公式得出答案 【详解】∵ ∴Q=2a-5b ∴ 故选：D 【点睛】此题主要考查了平方差公式和完全平方公式，熟练掌握公式的特点是解题的关键 16. 若，，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 无法判断 【答案】A 【解析】 【分析】根据完全平方公式的变形，将b化简，进而与a比较即可求解． 【详解】解：， ， 故． 故选A． 【点睛】本题考查了完全平方公式的变形，掌握完全平方公式的变形是解题的关键． 17. 若，，则的值是（ ） A. -33 B. 33 C. -11 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】利用完全平方式的计算变形即可． 【详解】解：由已知a+b=0可得（a+b）2=0， 而a2-ab+b2=（a+b）2-3ab=0+3×11=33． 故选：B． 【点睛】本题要注意灵活应用完全平方式，同时要注意数学整体思想的应用，在现有条件下，当不能把a、b分别求出的情况下，只能采用所学完全平方式来完成解答． 18. 如图所示分割正方形，各图形面积之间的关系验证了一个等式，这个等式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一个大正方形的面积-小正方形的面积=四个矩形的面积列式即可． 【详解】解：大正方形的面积=（y+x）2，小正方形的面积=（y-x）2， 四个长方形的面积=4xy， 则由图形知，大正方形的面积-小正方形的面积=四个矩形的面积，即（y+x）2-（y-x）2=4xy． 故选：D． 【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景．应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义；主要围绕图形面积展开分析． 三、简答题（第19、20题每题5分，第21~23题每题6分，第24题8分，第25题10分，共46分） 19. 计算：. 【答案】5x2+5y2-12xy. 【解析】 【分析】分别运用完全平方公式和平方差公式展开即可. 【详解】解：原式=4x2+9y2-12xy+x2-(2y)2 =5x2+9y2-4y2-12xy =5x2+5y2-12xy. 【点睛】本题考查了完全平方公式和平方差公式的运用，牢记公式的形式是解题关键. 20. 求值：，其中，. 【答案】，8. 【解析】 【分析】利用平方差公式计算即可 【详解】 把代入原式可得原式 【点睛】此题主要考查了平方差公式特点，把握公式特点是解题的关键． 21. 已知，求下列各式的值： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用完全平方公式将原式变形为含和的形式，代入已知条件计算； （2）先将四次式变形，利用完全平方公式逐步计算出中间结果后代入求值． 【小问1详解】 解： 代入， 则； 【小问2详解】 解： 代入得，． 22. 利用乘法公式进行简便计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）420 【解析】 【分析】（1）将带分数化为符合平方差公式的结构，利用平方差公式进行计算； （2）利用完全平方公式与平方差公式进行计算 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 23. 如图，在一块直径为的圆形场地上，分别划出了一个半径为，另两个半径为的圆形场地，在这三个圆形场地上植满花卉，剩余的部分铺设草皮． （1）试求铺设草皮的面积（用含、的代数式表示）； （2）当，时，求铺设草皮的面积．（取） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：铺设草皮的面积为 ； 【小问2详解】 解：当，时，， 答：铺设草皮的面积约为． 24. 初中数学的一些代数公式可以通过几何图形的面积来推导和验证． 如图①，从边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形后，将其沿虚线裁剪，然后拼成一个矩形（如图②）． （1）通过计算两个图形的面积（阴影部分的面积），可以验证的乘法公式是_______；（直接填字母） A. B. C.D. （2）小丽在计算时利用了（1）中的公式： ________．（请你将最后结果补充完整） （3）仿照以上的结论和方法，计算： 【答案】（1）B （2） （3） 【解析】 【分析】（1）图①中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，图②是长为，宽为的长方形，据此求出两个阴影部分面积，再由图①、图②中阴影部分面积相等可得答案； （2）利用平方差公式求解即可； （3）先把原式变形为，再利用平方差公式求解即可． 【小问1详解】 解：图①中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即， 图②是长为，宽为的长方形，因此面积为， 由图①、图②中阴影部分面积相等可得，故选项B符合题意． 【小问2详解】 解：原式 …… ． 【小问3详解】 解：原式 …… ． 25. 阅读材料：形如的式子叫做完全平方式．有些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、代数最值等问题中都有着广泛的应用． 示例：用配方法求代数式的最小值， 解：原式 的最小值为． （1）若代数式是完全平方式，则常数k的值为__________； （2）用配方法求代数式的最小值； （3）若实数a，b满足，求的最小值． 【答案】（1）16 （2）2 （3）4 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式、利用配方法求最小值，熟练掌握配方法是解题关键． （1）利用完全平方公式即可得； （2）利用配方法把配凑成，由此即可得； （3）将配凑成，由此即可得． 【小问1详解】 解：∵代数式是完全平方式， ， ， ； 【小问2详解】 解： ， ， ， 的最小值为2； 【小问3详解】 解：∵ ， ， ， ， ， 的最小值为4． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $