八年级数学上学期期中分层模拟·素养提升卷（新教材苏科版）

2026-2027学年八年级上学期期中模拟卷 数学·全解全析 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（3分）下列是几组教学用具的简图，其中是全等形的一组是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据全等形的定义，能够完全重合的两个图形叫作全等形，逐一分析各选项． 【详解】解：A选项：两个瓶子的瓶身高度略有差异，大小不一致，不符合题意； B选项：一个是锥形瓶，一个是烧杯，形状完全不同，不符合题意； C选项：两个三角尺的形状、角度、边长比例完全不同，不符合题意； D选项：两个地球仪的形状、大小完全相同，符合题意． 2．（3分）把一根长14厘米的木条按下面所标长度剪开，剪成的三段首尾顺次相接可以围成三角形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．，两边之和等于第三边，所以不能围成三角形； B．，两边之和小于第三边，所以不能围成三角形； C．，两边之和等于第三边；所以不能围成三角形； D．，，任意两边之和大于第三边，所以能围成三角形． 3．（3分）一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据一个正数的两个平方根分别是和，列出关于a的方程，求出a的值，然后求出其中一个平方根，最后求出这个正数即可． 【详解】解：∵和是一个正数的两个平方根， ∴与互为相反数， ∴， 解得：， ∴其中一个平方根为， ∴这个正数为． 4．（3分）如图是两人某次棋局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小正方形的边长为1，则“车”“炮”两棋子所在格点之间的距离为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，将问题转化为直角三角形的问题，利用勾股定理计算斜边长度，从而得到两棋子之间的距离． 【详解】解：根据题意得，“车”“炮”两棋子所在格点之间的距离为：． 故选：C． 5．（3分）如图，面积为的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为；若点在数轴上（点在点的右侧）且，则点所表示的数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方形的边长是面积的算术平方根得，结合点A所表示的数及两点间距离可得点E所表示的数． 【详解】解：∵正方形的面积为， ∴边长， ∵， ∴， ∵顶点在数轴上，且表示的数为， ∴点所表示的数为． 6．（3分）如图，在的小正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点、、都在格点（网格线的交点）上，是的高线，则的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用勾股定理得到，，，证明出为等腰直角三角形，再由等腰三角形三线合一的性质和直角三角形斜边上的中线为斜边一半解答即可． 【详解】解：，，， ∴ ∴为等腰直角三角形， ∵为的高， ∴是斜边上的中线， ∴． 7．（3分）如图，在中，，将绕点按顺时针方向旋转到的位置，连接．若，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作，过点作垂足在的延长线上，根据等腰三角形的性质可知，可证，根据全等三角形的性质可知，再根据三角形的面积公式求出结果． 【详解】解：如下图所示，过点作，过点作垂足在的延长线上， ， ， 由旋转可知，， ， ， 在和中，， ， ， ，，， ， ， 的面积为． 8．（3分）设，为上一点，，为上一点，，为上任一点，是上任一点，那么折线的长最小值是（    ） A．12 B． C．8 D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称的性质、最短路径问题、等边三角形的性质与判定、勾股定理，利用轴对称的性质将折线的长进行转化是解题的关键． 先分别作A、D关于、的对称点、，连接、、，，，根据轴对称的性质可得，，，，则，再由勾股定理求出的长，由两点之间线段最短可得的长即为折线的长的最小值． 【详解】解：如图，分别作A、D关于、的对称点、，连接、、，，， 则，，，， ∴， ∴当共线时，有最小值， 由轴对称的性质得，， ∴， 取的中点，连接， 则， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故折线的长的最小值为． 故选：B． 第二部分（非选择题 共106分） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 9．（3分）比较大小：_____．（填或或） 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， 即． 10．（3分）用四舍五入法对取近似数，精确到十分位的结果是______． 【答案】 【分析】本题考查了近似数，熟练掌握近似数的表示方法是解题的关键；精确到哪一位，则把后面与其相邻的数位上的数字四舍五入得到近似数；由题意，把百分位的数四舍五入即可． 【详解】解：用四舍五入法对取近似数，精确到十分位结果是， 故答案为： 11．（3分）如图，是等腰三角形，且，垂足是点D，点E，F是线段上的任意两点，若的面积为，则图中阴影部分的面积是____． 【答案】10 【分析】由等腰三角形“三线合一”可知是的对称轴，且，由轴对称的性质可得，再结合计算即可得出结果． 【详解】解：∵且， ∴由等腰三角形“三线合一”可知是的对称轴，且， ∴由轴对称的性质可得， ∴ ． 12．（3分）如果与互为相反数，那么的算术平方根是_________． 【答案】1 【分析】根据相反数的定义和非负数的性质求出x、y的值，然后求出的值，最后根据的算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 的算术平方根是1． 13．（3分）如图，在的正方形网格中，，两点都是网格的格点，若是等腰三角形，且点也是该网格的格点，则点的个数是________． 【答案】4 【分析】当是等腰三角形时，有三种情况：①以为腰，且B为顶角顶点时，满足条件的点为点，②以为腰，且A为顶角顶点时，满足条件的点有：，③当为底边时，满足条件的点为点，所以一共有4个． 【详解】解：∵，如图所示： 符合条件的点C一共有4个． 14．（3分）如图，在中，，，．点分别为边上一点，将沿折叠，使点落在边的中点处，则___________． 【答案】 【分析】本题考查了勾股逆定理以及勾股定理，折叠的性质．首先根据勾股定理逆定理判定为直角三角形，且；由中点的定义求出的长；根据折叠的性质可得；设，则，在 中利用勾股定理建立关于的方程，解方程即可求解． 【详解】解：， ， 是直角三角形，且． 点是边的中点， ． 由折叠的性质可知，． 设， 则， ． 在中，由勾股定理得 ， 即 ， 解得 ， ． 15．（3分）观察与判断：如图，经过已知直线外一点，按图中的作图痕迹，得到直线．根据作图，判断以下五个结论：①；②点与点既关于直线对称，也关于点对称；③若，则；④若，则四边形的周长为；⑤四边形的面积为．其中正确结论的序号为___________． 【答案】②④⑤ 【分析】根据尺规作图痕迹可知是线段的垂直平分线，利用垂直平分线的性质、轴对称与中心对称的定义、直角三角形边角关系及四边形面积公式逐一判断． 【详解】解：由作图痕迹可知，是线段的垂直平分线， ，，，， 对于①：， ，不一定为， ①错误； 对于②：垂直平分， 点与点关于直线对称， 是的中点， 点与点关于点对称， ②正确； 对于③：在直角中，， ， ， ∴不是等边三角形，则， 故 ③错误 对于：④四边形的周长， ，， 周长, , 周长， ， 周长， ④正确 对于⑤：， 四边形的面积， ⑤正确， 综上所述，正确的结论是②④⑤． 16．（3分）如图，在中，的平分线与边的垂直平分线相交于点D，过点D分别作垂足分别为E、F，则_______． 【答案】 【分析】首先利用角平分线性质得，垂直平分线性质得，再证得出，进而确定长度；最后通过构造含角的直角三角形，利用勾股定理列方程求解． 【详解】解：如图，连接、， 由是的平分线，，，根据角平分线的性质， 可得，且． 是的垂直平分线， ． 在和中， ， ， ． 在和中 ∵，， ． 已知，， 代入得， 解得． ∴． 在上取点，使， ∵，平分， ∴， ． 又， 为等腰直角三角形， 设，， 则． 在中，由勾股定理得 ， 即． ， ， ， 因长度为正，故，即． 三、解答题（本大题共11小题，满分82分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（5分）求下列各式中x的值 (1) (2) 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先开立方，再求出解； （2）先开平方，再求出方程的解． 【详解】（1）解：由， 开方，得， 所以； ···············2分 （2）解：， 开方，得或， 所以或．··············5分 18．（5分）已知一个正数x的两个平方根分别是和，的立方根是2． (1)求a，b的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)a，b值分别为3，4 (2)的算术平方根为2 【分析】（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数可得，求出，再根据立方根的定义得求出b； （2）根据算术平方根的定义解答即可． 【详解】（1）解：∵一个正数的两个平方根是和， ∴， 解得； ∵的立方根是2， ∴， 解得， 答：a，b值分别为3，4；··············2分 （2）解：∵， ∴， 答：的算术平方根为2．··············5分 19．（6分）如图，在的方格纸中，的三个顶点都在格点上，请按以下要求画格点三角形． (1)在图1中，画出一个与全等（不包含）的． (2)在图2中，画出一点P使点P到所在直线的距离相等且使． 【答案】(1)如图，或或即为所求（画一个即可） (2)如图，点即为所求． 【分析】（1）根据全等三角形对应边相等作图即可； （2）由图可得，四边形是正方形，则点P到所在直线的距离相等，然后根据勾股定理求解，故点P即为所求． 【详解】(1)如图，或或即为所求（画一个即可） ··············3分 (2)如图，点即为所求． ··············6分 20．（6分）如图，的外角的平分线与边的垂直平分线相交于点，过点作，，垂足分别为点，． (1)求证：． (2)若，，则_____________． 【答案】(1)证明：如图，连接，， 的平分线与边的垂直平分线相交于点，，， ，，， 在和中， ， ， ． (2) 【分析】（1）根据角平分线的性质和垂直平分线的性质，可证，，再根据“”可证，即可求证； （2）设，根据“”可得，从而，，，再根据，列出方程，求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接，， 的平分线与边的垂直平分线相交于点，，， ，，， 在和中， ， ， ．··············2分 （2）解：设， 在和中， ， ， ， ，， ，， ， ，解得， ．··············6分 21．（6分）如图，等边、等边． (1)求证：； (2)若，当是直角三角形时，求的度数． 【答案】(1)证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； (2)或． 【分析】（1）由等边三角形的性质得，，，从而，由证，得． （2）由全等得，结合，，在中表示各角，分类讨论直角三角形． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴；··············3分 （2）解：由（1）知， ， 设，则， 为等边三角形， ， ， ， ， 当时，，， 当时，，， 或．··············6分 22．（8分）综合与实践：下面是小明学习了实数以后的感悟，请认真阅读，并完成相应的任务： 7是有理数，当一个正方形的面积为7时，它的边长是，而是无理数． 无理数是无限不循环小数，下面是小明确定的整数部分和小数部分的方法． ，，，， 的整数部分是2，小数部分是． (1)的整数部分是_________； (2)为的小数部分，为的整数部分，求的值； (3)已知，其中是一个正整数，，求的值． 【答案】(1)3； (2)1； (3)19 【分析】（1）根据阅读材料解答即可； （2）根据阅读材料分别求得a和b的值，然后代入计算即可； （3）根据，可知，结合题意可求得x和y的值，然后代入计算即可． 【详解】（1）解：，，， ， 的整数部分是3；··············2分 （2）解：，，， ， 的小数部分是，即， ，，， ， 的整数部分是2，即， ；··············5分 （3）解：由（2）得，， ∴， ∵，其中x是一个正整数，， ， ∴．··············8分 23．（8分）如图，在等边三角形右侧作射线，，点关于射线的对称点为点，交于点，连接，，． (1)由对称性可知：________，________，用含的代数式表示________； (2)在的变化过程中，的大小是否发生变化？如果发生变化，请直接写出的范围；如果不发生变化，请直接写出的大小； (3)若已知，，求的长． 【答案】(1)，， (2)的大小不发生变化，且 (3) 【分析】（1）点A关于射线的对称点为点D，连接，由轴对称的性质可得，，由是等边三角形可得，进一步即得，然后利用三角形的内角和定理即可求出结果； （2）利用三角形内角和定理得到，利用平角的定义得到的度数，再通过证明得到，即可得出结论； （3）在上取点F使得，连接，由（2）得，则是等边三角形，，再通过证明得到，再利用线段的和差以及等量代换即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，点A关于射线的对称点为点D，连接， ，， 是等边三角形， ， ， ··············3分 （2）不发生变化，如图，设与交于点O， ， ， 又， ， ， ， ， ， 的大小不发生变化，且；··············5分 （3）如图，在上取点F使得，连接， 由（2）得，，， 是等边三角形，， ， ， ，即， 又， ， ， ．··············8分 24．（8分）如图，有一台风中心沿东西方向由A向B移动，已知点C为一海港，，，，经测量，以台风中心为圆心周围及以内的地区会受到影响． (1)求证：； (2)请通过计算说明海港C会受台风影响； (3)台风中心从A开始移动时，海港C处有一艘小型货轮开始卸货，预计3小时完成．若台风中心每小时移动，请问在海港C受台风影响之前，请通过计算说明货轮能否完成卸货？ 【答案】(1) 证明：∵，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，且； (2) 解：如图1，过点作，垂足为， ∵， ∴， ∴， ∴海港会受影响； (3) 解：货轮能完成卸货；理由如下： 如图2，设当海港开始受影响时台风中心在上的位置为处， ∴， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴， 由台风中心移动速度是可得，从到的时间为：（小时）， ∵， ∴货轮能在海港受台风影响之前完成卸货． 【分析】（1）由得到； （2）过点作，垂足为，利用三角形面积公式求得，即可判断海港的影响情况； （3）设当海港开始受影响时台风中心在上的位置为处，则，利用勾股定理求得和的值，，再根据台风中心的移动速度计算出时间，与卸货时间进行比较即可得出结果． 【详解】(1) 证明：∵，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，且；··············2分 (2) 解：如图1，过点作，垂足为， ∵， ∴， ∴， ∴海港会受影响；··············5分 (3) 解：货轮能完成卸货；理由如下： 如图2，设当海港开始受影响时台风中心在上的位置为处， ∴， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴， 由台风中心移动速度是可得，从到的时间为：（小时）， ∵， ∴货轮能在海港受台风影响之前完成卸货．··············8分 25．（10分）【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图①，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E．使，连接．请根据小明的方法思考： (1)由已知和作图能得到，依据是__________． A． B． C． D． (2)由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是__________． 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． (3)【方法应用】如图②，在四边形中，，点E是的中点，若是的平分线，试猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想； (4)【问题拓展】如图③，在四边形中，，，，以为顶点作一个角，角的两边分别交，于、两点，连接，探索线段、、之间的数量关系，并加以证明． 【答案】(1)A； (2)； (3)，证明如下： 延长，，交于点F， ∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． (4)；理由如下： 延长至点，使，连接，如图所示， ，，， 在和中， ∵， ， ，， ，， ， ， 在和中， ∵， ， ， ， ． 【分析】（1）由是中线得到，又，，通过“”可证．据此可解答； （2）由，，根据三角形的三边关系有，即，又，因此； （3）延长，，交于点F，易证，得到，由是的平分线和，得到，从而，即可得到； （4）延长至点，使，连接，证明 ，，得出，结合，即可得出． 【详解】（1）A··············2分 （2）解：∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 故答案为：；··············4分 (3)，证明如下： 延长，，交于点F， ∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴．··············6分 (4)；理由如下： 延长至点，使，连接，如图所示， ，，， 在和中， ∵， ， ，， ，， ， ， 在和中， ∵， ， ， ， ．··············10分 26．（10分）如图，在中，，点B在的延长线上，，连接． (1)求的长； (2)动点P从点A出发，沿射线运动，速度为1个单位/秒，运动时间为t秒． ①当t为何值时，； ②当t为何值时，是等腰三角形？ 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据勾股定理解答即可； （2）①当即，再求出答案； ②分三种情况：再根据等腰三角形的性质得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴；··············2分 （2）解：①∵， ∴即， 解得， 所以当时，；··············4分 ②当时，是等腰三角形， ∴， ∴， 此时； 当时，是等腰三角形， ∴， 此时； 当点P与点D重合时，是等腰三角形， ∴， 此时； 当点P在线段的延长线上时，当时，是等腰三角形， ∴， 此时． 所以当或或2或时，是等腰三角形．··············10分 27．（10分）已知是钝角三角形，，，，交于点，动点在射线上，连接，以为直角边，在的右侧作等腰直角三角形，，，连接． (1)如图1，点在线段上时， ①若，，则线段的长为_________；的度数为_________；线段的长为_________； ②经过猜想，请直接写出，及之间的数量关系； (2)如图2，若点在线段的延长线上，（1）中②的结论是否仍然成立？若成立，请加以证明：若不成立，请说明理由： (3)如图3，动点在上运动，，连接，若，，直接写出的最小值． 【答案】(1)①；；；② (2)解：（1）中②的结论仍然成立． 证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）根据直角三角形两锐角互余及等角对等边推出，由勾股定理得，由可得结论；证明得，由可得结论；如图，过点作于点，根据等腰三角形三线合一及直角三角形斜边上中线的性质得，，再结合可得结论； ②根据直角三角形两锐角互余及等角对等边推出，如图，过点作于点，得，根据等腰三角形三线合一及直角三角形斜边上中线的性质得，继而得到，即可得出结论； （2）（1）中②的结论仍然成立．根据直角三角形两锐角互余及等角对等边推出，证明得，，继而得到，进一步得出，再根据勾股定理得，从而得出结论； （3）如图，以为顶点为一边在的下方作，在的下方截取，过作交直线于点，连接、，证明得，推出，当、、共线时，最小，最小值为线段的长，结合三角形内角和定理及等角对等边推出，设，根据勾股定理得出，再由可得答案． 【详解】（1）①解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 如图，过点作于点， ∴， ∵，，， ∴是中边上的中线， ∴，， ∴， ∴；··············3分 ②解：． 理由：∵，， ∴， ∴， ∴， 如图，过点作于点， ∴， ∴， ∵，， ∴是中边上的中线， ∴， ∴， ∴， 即；··············5分 （2）解：（1）中②的结论仍然成立． 证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴；··············7分 （3）解：如图，以为顶点为一边在的下方作，在的下方截取，过作交直线于点，连接、， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 当、、共线时，最小，最小值为线段的长， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为．··············10分 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上学期期中模拟卷 数学·参考答案 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 7 8 D D D C B B A B 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 9． 10． 11．10 12．1 13．4 14． 15．②④⑤ 16． 三、解答题（本大题共11小题，满分82分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（5分） 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先开立方，再求出解； （2）先开平方，再求出方程的解． 【详解】（1）解：由， 开方，得， 所以； ···············2分 （2）解：， 开方，得或， 所以或．··············5分 18．（5分） 【答案】(1)a，b值分别为3，4 (2)的算术平方根为2 【分析】（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数可得，求出，再根据立方根的定义得求出b； （2）根据算术平方根的定义解答即可． 【详解】（1）解：∵一个正数的两个平方根是和， ∴， 解得； ∵的立方根是2， ∴， 解得， 答：a，b值分别为3，4；··············2分 （2）解：∵， ∴， 答：的算术平方根为2．··············5分 19．（6分） 【答案】(1)如图，或或即为所求（画一个即可） (2)如图，点即为所求． 【分析】（1）根据全等三角形对应边相等作图即可； （2）由图可得，四边形是正方形，则点P到所在直线的距离相等，然后根据勾股定理求解，故点P即为所求． 【详解】(1)如图，或或即为所求（画一个即可） ··············3分 (2)如图，点即为所求． ··············6分 20．（6分） 【答案】(1)证明：如图，连接，， 的平分线与边的垂直平分线相交于点，，， ，，， 在和中， ， ， ． (2) 【分析】（1）根据角平分线的性质和垂直平分线的性质，可证，，再根据“”可证，即可求证； （2）设，根据“”可得，从而，，，再根据，列出方程，求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接，， 的平分线与边的垂直平分线相交于点，，， ，，， 在和中， ， ， ．··············2分 （2）解：设， 在和中， ， ， ， ，， ，， ， ，解得， ．··············6分 21．（6分） 【答案】(1)证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； (2)或． 【分析】（1）由等边三角形的性质得，，，从而，由证，得． （2）由全等得，结合，，在中表示各角，分类讨论直角三角形． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴；··············3分 （2）解：由（1）知， ， 设，则， 为等边三角形， ， ， ， ， 当时，，， 当时，，， 或．··············6分 22．（8分） 【答案】(1)3； (2)1； (3)19 【分析】（1）根据阅读材料解答即可； （2）根据阅读材料分别求得a和b的值，然后代入计算即可； （3）根据，可知，结合题意可求得x和y的值，然后代入计算即可． 【详解】（1）解：，，， ， 的整数部分是3；··············2分 （2）解：，，， ， 的小数部分是，即， ，，， ， 的整数部分是2，即， ；··············5分 （3）解：由（2）得，， ∴， ∵，其中x是一个正整数，， ， ∴．··············8分 23．（8分） 【答案】(1)，， (2)的大小不发生变化，且 (3) 【分析】（1）点A关于射线的对称点为点D，连接，由轴对称的性质可得，，由是等边三角形可得，进一步即得，然后利用三角形的内角和定理即可求出结果； （2）利用三角形内角和定理得到，利用平角的定义得到的度数，再通过证明得到，即可得出结论； （3）在上取点F使得，连接，由（2）得，则是等边三角形，，再通过证明得到，再利用线段的和差以及等量代换即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，点A关于射线的对称点为点D，连接， ，， 是等边三角形， ， ， ··············3分 （2）不发生变化，如图，设与交于点O， ， ， 又， ， ， ， ， ， 的大小不发生变化，且；··············5分 （3）如图，在上取点F使得，连接， 由（2）得，，， 是等边三角形，， ， ， ，即， 又， ， ， ．··············8分 24．（8分） 【答案】(1) 证明：∵，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，且； (2) 解：如图1，过点作，垂足为， ∵， ∴， ∴， ∴海港会受影响； (3) 解：货轮能完成卸货；理由如下： 如图2，设当海港开始受影响时台风中心在上的位置为处， ∴， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴， 由台风中心移动速度是可得，从到的时间为：（小时）， ∵， ∴货轮能在海港受台风影响之前完成卸货． 【分析】（1）由得到； （2）过点作，垂足为，利用三角形面积公式求得，即可判断海港的影响情况； （3）设当海港开始受影响时台风中心在上的位置为处，则，利用勾股定理求得和的值，，再根据台风中心的移动速度计算出时间，与卸货时间进行比较即可得出结果． 【详解】(1) 证明：∵，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，且；··············2分 (2) 解：如图1，过点作，垂足为， ∵， ∴， ∴， ∴海港会受影响；··············5分 (3) 解：货轮能完成卸货；理由如下： 如图2，设当海港开始受影响时台风中心在上的位置为处， ∴， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴， 由台风中心移动速度是可得，从到的时间为：（小时）， ∵， ∴货轮能在海港受台风影响之前完成卸货．··············8分 25．（10分） 【答案】(1)A； (2)； (3)，证明如下： 延长，，交于点F， ∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． (4)；理由如下： 延长至点，使，连接，如图所示， ，，， 在和中， ∵， ， ，， ，， ， ， 在和中， ∵， ， ， ， ． 【分析】（1）由是中线得到，又，，通过“”可证．据此可解答； （2）由，，根据三角形的三边关系有，即，又，因此； （3）延长，，交于点F，易证，得到，由是的平分线和，得到，从而，即可得到； （4）延长至点，使，连接，证明 ，，得出，结合，即可得出． 【详解】（1）A··············2分 （2）解：∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 故答案为：；··············4分 (3)，证明如下： 延长，，交于点F， ∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴．··············6分 (4)；理由如下： 延长至点，使，连接，如图所示， ，，， 在和中， ∵， ， ，， ，， ， ， 在和中， ∵， ， ， ， ．··············10分 26．（10分） 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据勾股定理解答即可； （2）①当即，再求出答案； ②分三种情况：再根据等腰三角形的性质得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴；··············2分 （2）解：①∵， ∴即， 解得， 所以当时，；··············4分 ②当时，是等腰三角形， ∴， ∴， 此时； 当时，是等腰三角形， ∴， 此时； 当点P与点D重合时，是等腰三角形， ∴， 此时； 当点P在线段的延长线上时，当时，是等腰三角形， ∴， 此时． 所以当或或2或时，是等腰三角形．··············10分 27．（10分） 【答案】(1)①；；；② (2)解：（1）中②的结论仍然成立． 证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）根据直角三角形两锐角互余及等角对等边推出，由勾股定理得，由可得结论；证明得，由可得结论；如图，过点作于点，根据等腰三角形三线合一及直角三角形斜边上中线的性质得，，再结合可得结论； ②根据直角三角形两锐角互余及等角对等边推出，如图，过点作于点，得，根据等腰三角形三线合一及直角三角形斜边上中线的性质得，继而得到，即可得出结论； （2）（1）中②的结论仍然成立．根据直角三角形两锐角互余及等角对等边推出，证明得，，继而得到，进一步得出，再根据勾股定理得，从而得出结论； （3）如图，以为顶点为一边在的下方作，在的下方截取，过作交直线于点，连接、，证明得，推出，当、、共线时，最小，最小值为线段的长，结合三角形内角和定理及等角对等边推出，设，根据勾股定理得出，再由可得答案． 【详解】（1）①解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 如图，过点作于点， ∴， ∵，，， ∴是中边上的中线， ∴，， ∴， ∴；··············3分 ②解：． 理由：∵，， ∴， ∴， ∴， 如图，过点作于点， ∴， ∴， ∵，， ∴是中边上的中线， ∴， ∴， ∴， 即；··············5分 （2）解：（1）中②的结论仍然成立． 证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴；··············7分 （3）解：如图，以为顶点为一边在的下方作，在的下方截取，过作交直线于点，连接、， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 当、、共线时，最小，最小值为线段的长， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为．··············10分 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年八年级上学期期中模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：130分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材苏科版八年级数学上册第1~3章。 5．难度系数：0.65 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1．（3分）下列是几组教学用具的简图，其中是全等形的一组是（     ）． A． B． C． D． 2．（3分）把一根长14厘米的木条按下面所标长度剪开，剪成的三段首尾顺次相接可以围成三角形的是（     ） A． B． C． D． 3．（3分）一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数为（     ） A． B． C． D． 4．（3分）如图是两人某次棋局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小正方形的边长为1，则“车”“炮”两棋子所在格点之间的距离为（    ） A． B．3 C． D． 5．（3分）如图，面积为的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为；若点在数轴上（点在点的右侧）且，则点所表示的数为（     ） A． B． C． D． 6．（3分）如图，在的小正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点、、都在格点（网格线的交点）上，是的高线，则的长为（ ） A． B． C． D． 7．（3分）如图，在中，，将绕点按顺时针方向旋转到的位置，连接．若，则的面积为（     ） A． B． C． D． 8．（3分）设，为上一点，，为上一点，，为上任一点，是上任一点，那么折线的长最小值是（    ） A．12 B． C．8 D． 第二部分（非选择题 共106分） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 9．（3分）比较大小：_____．（填或或） 10．（3分）用四舍五入法对取近似数，精确到十分位的结果是______． 11．（3分）如图，是等腰三角形，且，垂足是点D，点E，F是线段上的任意两点，若的面积为，则图中阴影部分的面积是____． 12．（3分）如果与互为相反数，那么的算术平方根是_________． 13．（3分）如图，在的正方形网格中，，两点都是网格的格点，若是等腰三角形，且点也是该网格的格点，则点的个数是________． 14．（3分）如图，在中，，，．点分别为边上一点，将沿折叠，使点落在边的中点处，则___________． 15．（3分）观察与判断：如图，经过已知直线外一点，按图中的作图痕迹，得到直线．根据作图，判断以下五个结论：①；②点与点既关于直线对称，也关于点对称；③若，则；④若，则四边形的周长为；⑤四边形的面积为．其中正确结论的序号为___________． 16．（3分）如图，在中，的平分线与边的垂直平分线相交于点D，过点D分别作垂足分别为E、F，则_______． 三、解答题（本大题共11小题，满分82分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（5分）求下列各式中x的值 (1) (2) 18．（5分）已知一个正数x的两个平方根分别是和，的立方根是2． (1)求a，b的值； (2)求的算术平方根． 19．（6分）如图，在的方格纸中，的三个顶点都在格点上，请按以下要求画格点三角形． (1)在图1中，画出一个与全等（不包含）的． (2)在图2中，画出一点P使点P到所在直线的距离相等且使． 20．（6分）如图，的外角的平分线与边的垂直平分线相交于点，过点作，，垂足分别为点，． (1)求证：． (2)若，，则_____________． 21．（6分）如图，等边、等边． (1)求证：； (2)若，当是直角三角形时，求的度数． 22．（8分）综合与实践：下面是小明学习了实数以后的感悟，请认真阅读，并完成相应的任务： 7是有理数，当一个正方形的面积为7时，它的边长是，而是无理数． 无理数是无限不循环小数，下面是小明确定的整数部分和小数部分的方法． ，，，， 的整数部分是2，小数部分是． (1)的整数部分是_________； (2)为的小数部分，为的整数部分，求的值； (3)已知，其中是一个正整数，，求的值． 23．（8分）如图，在等边三角形右侧作射线，，点关于射线的对称点为点，交于点，连接，，． (1)由对称性可知：________，________，用含的代数式表示________； (2)在的变化过程中，的大小是否发生变化？如果发生变化，请直接写出的范围；如果不发生变化，请直接写出的大小； (3)若已知，，求的长． 24．（8分）如图，有一台风中心沿东西方向由A向B移动，已知点C为一海港，，，，经测量，以台风中心为圆心周围及以内的地区会受到影响． (1)求证：； (2)请通过计算说明海港C会受台风影响； (3)台风中心从A开始移动时，海港C处有一艘小型货轮开始卸货，预计3小时完成．若台风中心每小时移动，请问在海港C受台风影响之前，请通过计算说明货轮能否完成卸货？ 25．（10分）【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图①，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E．使，连接．请根据小明的方法思考： (1)由已知和作图能得到，依据是__________． A． B． C． D． (2)由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是__________． 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． (3)【方法应用】如图②，在四边形中，，点E是的中点，若是的平分线，试猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想； (4)【问题拓展】如图③，在四边形中，，，，以为顶点作一个角，角的两边分别交，于、两点，连接，探索线段、、之间的数量关系，并加以证明． 26．（10分）如图，在中，，点B在的延长线上，，连接． (1)求的长； (2)动点P从点A出发，沿射线运动，速度为1个单位/秒，运动时间为t秒． ①当t为何值时，； ②当t为何值时，是等腰三角形？ 27．（10分）已知是钝角三角形，，，，交于点，动点在射线上，连接，以为直角边，在的右侧作等腰直角三角形，，，连接． (1)如图1，点在线段上时， ①若，，则线段的长为_________；的度数为_________；线段的长为_________； ②经过猜想，请直接写出，及之间的数量关系； (2)如图2，若点在线段的延长线上，（1）中②的结论是否仍然成立？若成立，请加以证明：若不成立，请说明理由： (3)如图3，动点在上运动，，连接，若，，直接写出的最小值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上学期期中模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：130分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材苏科版八年级数学上册第1~3章。 5．难度系数：0.65 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1．（3分）下列是几组教学用具的简图，其中是全等形的一组是（     ）． A． B． C． D． 2．（3分）把一根长14厘米的木条按下面所标长度剪开，剪成的三段首尾顺次相接可以围成三角形的是（     ） A． B． C． D． 3．（3分）一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数为（     ） A． B． C． D． 4．（3分）如图是两人某次棋局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小正方形的边长为1，则“车”“炮”两棋子所在格点之间的距离为（    ） A． B．3 C． D． 5．（3分）如图，面积为的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为；若点在数轴上（点在点的右侧）且，则点所表示的数为（     ） A． B． C． D． 6．（3分）如图，在的小正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点、、都在格点（网格线的交点）上，是的高线，则的长为（ ） A． B． C． D． 7．（3分）如图，在中，，将绕点按顺时针方向旋转到的位置，连接．若，则的面积为（     ） A． B． C． D． 8．（3分）设，为上一点，，为上一点，，为上任一点，是上任一点，那么折线的长最小值是（    ） A．12 B． C．8 D． 第二部分（非选择题 共106分） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 9．（3分）比较大小：_____．（填或或） 10．（3分）用四舍五入法对取近似数，精确到十分位的结果是______． 11．（3分）如图，是等腰三角形，且，垂足是点D，点E，F是线段上的任意两点，若的面积为，则图中阴影部分的面积是____． 12．（3分）如果与互为相反数，那么的算术平方根是_________． 13．（3分）如图，在的正方形网格中，，两点都是网格的格点，若是等腰三角形，且点也是该网格的格点，则点的个数是________． 14．（3分）如图，在中，，，．点分别为边上一点，将沿折叠，使点落在边的中点处，则___________． 15．（3分）观察与判断：如图，经过已知直线外一点，按图中的作图痕迹，得到直线．根据作图，判断以下五个结论：①；②点与点既关于直线对称，也关于点对称；③若，则；④若，则四边形的周长为；⑤四边形的面积为．其中正确结论的序号为___________． 16．（3分）如图，在中，的平分线与边的垂直平分线相交于点D，过点D分别作垂足分别为E、F，则_______． 三、解答题（本大题共11小题，满分82分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（5分）求下列各式中x的值 (1) (2) 18．（5分）已知一个正数x的两个平方根分别是和，的立方根是2． (1)求a，b的值； (2)求的算术平方根． 19．（6分）如图，在的方格纸中，的三个顶点都在格点上，请按以下要求画格点三角形． (1)在图1中，画出一个与全等（不包含）的． (2)在图2中，画出一点P使点P到所在直线的距离相等且使． 20．（6分）如图，的外角的平分线与边的垂直平分线相交于点，过点作，，垂足分别为点，． (1)求证：． (2)若，，则_____________． 21．（6分）如图，等边、等边． (1)求证：； (2)若，当是直角三角形时，求的度数． 22．（8分）综合与实践：下面是小明学习了实数以后的感悟，请认真阅读，并完成相应的任务： 7是有理数，当一个正方形的面积为7时，它的边长是，而是无理数． 无理数是无限不循环小数，下面是小明确定的整数部分和小数部分的方法． ，，，， 的整数部分是2，小数部分是． (1)的整数部分是_________； (2)为的小数部分，为的整数部分，求的值； (3)已知，其中是一个正整数，，求的值． 23．（8分）如图，在等边三角形右侧作射线，，点关于射线的对称点为点，交于点，连接，，． (1)由对称性可知：________，________，用含的代数式表示________； (2)在的变化过程中，的大小是否发生变化？如果发生变化，请直接写出的范围；如果不发生变化，请直接写出的大小； (3)若已知，，求的长． 24．（8分）如图，有一台风中心沿东西方向由A向B移动，已知点C为一海港，，，，经测量，以台风中心为圆心周围及以内的地区会受到影响． (1)求证：； (2)请通过计算说明海港C会受台风影响； (3)台风中心从A开始移动时，海港C处有一艘小型货轮开始卸货，预计3小时完成．若台风中心每小时移动，请问在海港C受台风影响之前，请通过计算说明货轮能否完成卸货？ 25．（10分）【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图①，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E．使，连接．请根据小明的方法思考： (1)由已知和作图能得到，依据是__________． A． B． C． D． (2)由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是__________． 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． (3)【方法应用】如图②，在四边形中，，点E是的中点，若是的平分线，试猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想； (4)【问题拓展】如图③，在四边形中，，，，以为顶点作一个角，角的两边分别交，于、两点，连接，探索线段、、之间的数量关系，并加以证明． 26．（10分）如图，在中，，点B在的延长线上，，连接． (1)求的长； (2)动点P从点A出发，沿射线运动，速度为1个单位/秒，运动时间为t秒． ①当t为何值时，； ②当t为何值时，是等腰三角形？ 27．（10分）已知是钝角三角形，，，，交于点，动点在射线上，连接，以为直角边，在的右侧作等腰直角三角形，，，连接． (1)如图1，点在线段上时， ①若，，则线段的长为_________；的度数为_________；线段的长为_________； ②经过猜想，请直接写出，及之间的数量关系； (2)如图2，若点在线段的延长线上，（1）中②的结论是否仍然成立？若成立，请加以证明：若不成立，请说明理由： (3)如图3，动点在上运动，，连接，若，，直接写出的最小值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $