专题02 期中真题百炼通关72题24大常考题型（期中专项训练）八年级数学上学期新教材苏科版

专题02 期中真题百炼通关（72题24大常考题型） 常考·进阶突破 题型1 三角形的三边关系 题型2 根据三角形中线求解长度、面积 题型3 与三角形高线有关的计算 题型4 全等三角形的性质 题型5 添加条件使三角形全等 题型6 倍长中线模型 题型7 一线三等角模型 题型8 手拉手模型 题型9 线段垂直平分线 题型10 角平分线 题型11 等腰三角形的判定与性质 题型12 等边三角形的判定与性质 题型13 求平方根与立方根 题型14 算术平方根的非负性 题型15 平方根、立方根的规律探究问题 题型16 平方根、立方根的实际应用 题型17 实数的相关问题 题型18 勾股定理的证明 题型19 用勾股定理解三角形 题型20 判断是否构成直角三角形 题型21 勾股定理与折叠结合 题型22 勾股定理与旋转结合 题型23 勾股定理的实际应用 题型24 勾股定理中的最值问题（将军饮马） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 常考·固本强基 题型1 三角形的三边关系（共3小题） 【易错】只需检验两短边之和大于最长边。易错：两两盲目比较；已知两边求第三边范围，忘记同时写出上下边界，忽略取值限制。 1．（26-27八年级上·江苏无锡·期中）已知在中，，，且为奇数． (1)求的周长； (2)已知、、为三角形三边，化简：． 【答案】(1)12 (2) 【详解】（1）解：由题意得：． 即：． 为奇数， ． 的周长为． （2）解：根据三角形的三边关系得： ． 2．（26-27八年级上·江苏苏州·期中）已知三角形的两边长a、b满足，第三边长c为奇数，则__________. 【答案】 或 【分析】利用非负数的性质求出和的值，再根据三角形三边关系确定的取值范围，结合是奇数得到结果. 【详解】解：，，且， ，， 解得 ， 根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，可得： ， 代入得 ， 为奇数， 或 . 3．（26-27八年级上·江苏淮安·期中）如图，是的边上的中线，已知，，． (1)的取值范围是_______． (2)若的周长为27，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接根据三角形三边关系进行解答即可； （2）将的周长转换为即可得出答案． 【详解】（1）解：由三角形三边关系定理得到， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵是的边上的中线， ∴， ∴． 题型2 根据三角形中线求解长度、面积（共3小题） 【易错】中线平分对边，等分三角形面积。易错：混淆中线、角平分线；误以为中线平分内角，面积等分结论做题时常遗忘。 4．（25-26七年级下·江苏南京·期末）如图，、分别是的高和中线，若，，， (1)求的长 (2)求与的周长差 【答案】(1) (2) 【分析】根据三角形的面积公式解答即可； 利用三角形中线的定义可得，即得的周长的周长，代入已知数据即可求解． 【详解】（1）解：∵是的高，， ∴， ∵，，， ∴， ∴； （2）解：∵是的中线， ∴， ∴的周长的周长 ． 5．（25-26七年级下·江苏常州·期中）如图，在中，是中线，． (1)求与的周长差； (2)点E在边上，连接．若的周长被分成的两部分的差是，求线段的长． 【答案】(1) (2)线段的长为或 【分析】本题考查了三角形的中线性质，三角形周长的计算，掌握相关知识点是解题的关键． （1）的周长，的周长，由中线的定义可得，即可解答； （2）由图可知三角形的周长，四边形的周长，，进而分当的周长-四边形的周长和四边形的周长-当的周长两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：的周长，的周长， ∵是中线， ∴， 与的周长差： （2）解：由图可知：的周长，四边形的周长， 当的周长-四边形的周长时， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， 又∵，，， ∴， ∴ ∴； 四边形的周长的周长时， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， 又∵，，， ∴， ∴ ∴； 综上，线段的长为或． 6．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）如图，在锐角中，D是的中点，，E是上的一点，且，与相交于点F，若的面积为3，则的最小值为___． 【答案】9 【分析】连接，由得到，得出，，由D是的中点推导得出，得出的面积，从而求出边上的高，根据垂线段最短得出的最小值即可． 【详解】解：如图，连接， ， ， ，， D是的中点， ，， ， ∴， ， ， 设边上的高为h， ， ， ， ， 的最小值为9． 题型3 与三角形高线有关的计算（共3小题） 【易错】高为顶点向对边或延长线作垂线段，用等面积法计算。易错：钝角三角形外部高画错；底与高不对应，漏标垂直符号。 7．（25-26七年级下·江苏镇江·期末）如图，在中，，，P为边上一动点（不与A，B重合），于点E，于点F，则的值是（     ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】C 【分析】连接，利用面积法将的面积表示为与的面积之和，结合即可求出的值． 【详解】解：如图，连接， ， ， ，， ， ， ． 8．（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，是等腰三角形，，，边上的高＝______．若点是底边边上的任意一点，于点，于点．则______． 【答案】 4 4 【分析】本题考查了三角形的面积公式，三角形的高，能够熟练掌握割补法求面积是解答本题的关键．先根据三角形面积求出边上的高，再根据图形可知三角形的面积等于三角形的面积加上三角形的面积，根据面积公式变形计算即可． 【详解】解：∵，， ∴边上的高 连接，如图所示： 由图可得：， 又∵，， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：cm， 故答案为：4；4 9．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，与中，与相交于E，交于F． (1)的边上的高是 ；的边上的高是 ； (2)若，，，求的面积及的长． 【答案】(1)， (2)的面积为8， 【分析】此题考查了三角形高的意义和求三角形面积，解题的关键是掌握三角形高的意义和求三角形面积公式． （1）根据三角形某条边上高的定义可以得解； （2）根据三角形面积公式即可求出的面积；然后利用的面积还等于，然后代数求解即可． 【详解】（1）∵在中， ∴的边上的高是； ∵在中， ∴的边上的高是； （2）∵在中，，，， ∴的面积； ∵ ∴，即 ∴． 题型4 全等三角形的性质（共3小题） 【易错】全等三角形对应边、对应角相等。易错：书写顶点顺序不对应；找错对应边角，误用非对应线段角度计算。 10．（26-27八年级上·江苏南京·期中）如图，，点共线，与交于点．若，，则线段的长度为___________． 【答案】 【分析】根据全等三角形的性质先求出，再结合的长度和线段之间的和差关系即可得到答案． 【详解】解：，点、、、共线， ， ， ． 11．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，在与中，．若，，则的长为___________． 【答案】4 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据得出，进而根据，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 12．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，已知，，，且点在线段上． (1)求的长． (2)求证：． (3)猜想与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2) 证明：∵， ∴， ∵点在线段上， ∴ ∴， ∴； (3) 解：直线与直线垂直，理由： 如图，延长交于点， ∵， ∴， ∵中，， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，垂直的定义，掌握知识点的应用是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质得出，，然后通过线段和差即可求解； （2）根据全等三角形的性质得出， 然后由平角定义即可求证； （3）延长交于点，根据全等三角形的性质得出，最后由三角形内角和即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴； （2）略 （3）略 题型5 添加条件使三角形全等（共3小题） 【易错】判定可用 SSS、SAS、ASA、AAS、HL，SSA、AAA 不行。易错：添加 SSA 类条件；忽略图形隐含公共边、公共角条件。 13．（26-27八年级上·江苏南通·期中）如图，已知，，下列条件中①，②，③，④能判定的序号是________． 【答案】①②③ 【分析】根据三角形全等的判定定理，有四种．逐条验证即可． 【详解】解：在与中，已知，， ①添加，符合，能判定； ②由，得出，所以添加，符合，能判定； ③添加，符合，能判定； ④添加，不能判定， 故能判定的序号是①②③． 14．（25-26七年级下·宁夏银川·期末）已知：如图，点在上，． 请从①；②；③这三个选项中，选择一个作为条件，使得，并说明理由． 解：选择条件是___________．理由是： 【答案】②， 理由：∵， ∴， ∵, ∴, 在和中 ∴； ③， 理由：∵， ∴， ∵， ∴， ∵, ∴, 在和中 ∴． 【分析】根据全等三角形的判定方法结合平行线的性质逐一判断证明即可． 【详解】选①或②，理由略． 若选①，满足的是边边角，不能判定两个三角形全等． 15．（2026·陕西榆林·三模）如图，在和中，点在边上，点在边上，若，，请你从以下三个选项：①；②；③中选择一个合适的选项作为补充条件，使得． (1)你选择的补充条件是__________（填序号）； (2)根据你选择的补充条件，写出的证明过程． 【答案】(1)①（或②） (2)选①，证明如下： 在和中， ， ∴． 选②，证明如下： 在和中， ， ∴． 【分析】（1）根据三角形全等的判定定理进行求解即可； （2）若选择①，则根据“”判定三角形全等；若选择②，则根据“”判定三角形全等． 【详解】（1）略 （2）略 题型6 倍长中线模型（共3小题） 【易错】延长中线构造全等，转移边和角。易错：辅助线描述不规范；不会转化线段，找不到全等三角形，不能完成边转移。 16．（26-27八年级上·江苏连云港·期中）在中，长为12，长为20，则第三边上中线的取值范围为__________． 【答案】 【分析】延长至点，使得，连接，则，证明得出，再结合三角形三边关系计算即可得出结果． 【详解】解：如图，延长至点，使得，连接，则， ∵为边的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 17．（25-26八年级上·江西赣州·期中）如图，在中，是边上的中线． (1)如图①，延长到点E，使，连接． ①求证：； ②若，则的取值范围是______． (2)如图②，若，试探究与有何数量关系，并说明理由． 【答案】(1) ①证明：是BC边上的中线， ， 在与中 ， ； ② (2) 解：，理由如下 证明：延长到点E，使，连接， 同（1）可证明， ，， ， 在和中， ， ． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，三角形的中线，熟练掌握和运用全等三角形的判定与性质是解决本题的关键． （1）①根据三角形全等的判定定理证明即可；②由全等得到，再由三角形三边关系得到，即可求解； （2）延长到点E，使，连接，根据三角形全等的判定定理，可证得，据此即可解答． 【详解】（1）①略 ②∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， 故答案为：； （2）略 18．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在长方形中，是中点，在边上，若，则（   ） A．3 B．2 C．1.5 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的面积，全等三角形的性质和判定，延长，交于点G，构造，利用三角形中线的性质得出，进而求出，再由求出答案． 【详解】解：延长，交于点G， ∵在长方形中，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 题型7 一线三等角模型（共3小题） 【易错】同一直线上三个相等角，推导等角证全等。易错：直接套用模型不推导；不会利用等角加减，推导所需相等角。 19．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，在中，，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，，则的长度为（   ） A．8.3 B．8.5 C．8.7 D．9.1 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 过点作于点，则，先证明得到，，则有，进而推出，得到，再利用线段的和差即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 20．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，在和中，，，点，，在一条直线上，，连结交于点． (1)求证：是的中点； (2)若，求的长． 【答案】(1) 证明：如图，过点作交于点，交于点， ， ， ， ， ，， ， ， 又， ， ， 又， ， ， ， ， ， 又， ， ， 是的中点． (2)5 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、勾股定理，熟练掌握相关知识点，学会添加适当的辅助线构造全等三角形，利用勾股定理求线段长度是解题的关键． （1）过点作交于点，交于点，先利用全等三角形判定定理推出，得到，再利用全等三角形判定定理推出，得到，即可得出结论； （2）由和求出的长，进而得到、的长，在中利用勾股定理得出的长，即可求出的长． 【详解】（1）略 （2）解：，， ， ， 解得：， ， 由（1）中的结论得，，， ，， ， ， ， 在中，， 由（1）中的结论得，是的中点， ， 的长为5． 21．（24-25八年级上·云南文山·期中）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型． 【问题发现】（1）如图2，已知中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F，求证：； （2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请写出，，之间的数量关系，并说明理由； 【问题提出】 （3）在（2）的条件下，若，，求的面积． 【答案】 （1）证明：， ， 又，， ， ， ， 在和中， ， ∴； （2）解：，理由如下： ，， ， 又， ∴， ，， ， 即； （3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据垂直的定义和余角的性质得到，根据全等三角形的性质推出； （2）根据余角的性质得到根据全等三角形的性质得到，，等量代换得到结论； （3）由（2）得且，得到，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由（2）得且，， ∴， ∴ ， ∴，则， ∴． 题型8 手拉手模型（共3小题） 【易错】共顶点等腰，旋转全等，得到等线段、等夹角。易错：分不清顶角；不会找旋转全等三角形，无法推导夹角相等。 22．（25-26八年级上·浙江金华·期末）在中，是斜边上的两点，且．现将绕点A旋转后得到，连，有下面结论：①；②；③；④．其中正确的结论是______． 【答案】①②④ 【分析】此题主要考查图形的旋转变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识．解题时注意旋转前后对应的相等关系． ①根据旋转的性质知，由，可求出，即可求出，由此即可证明； ②证明，即可判断； ③由旋转可知，由三角形三边关系得到．又由，即可判断． ④由，在中，，又有，即可判断 【详解】根据旋转的性质知， ∵， ∴． ∴， 即在和中， ， ∴； 故①正确； ∵在中， ∴， 由可知，，， ∴， 故②正确； 由旋转可知， ∴． ∵， ∴． 故③错误； ∵， ∴在中，， ∵； ∴， ∴， 故④正确， 综上，正确的为①②④． 故答案为：①②④． 23．（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图1，在中，，，D，E分别为的中点，将绕点C逆时针方向旋转得到（如图2），使直线恰好过点B，连接．    (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)求的长； 【答案】(1) ，理由如下． ∵，D，E分别为的中点， ∴，即， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 即：． (2) 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等的应用，正确熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据旋转的不变性证明，再由对应角相等及邻补角即可得证； （2）设，在中，由勾股定理得：，解方程即可； 【详解】（1）略 （2）解：中，， ∴，同理可求， ∵， ∴， 设， 在中，由勾股定理得：， 解得：（舍负）， ∴． 24．（24-25八年级上·山东泰安·期末）（1）问题发现：如图1，在中，，D为边上一点（不与点重合）将线段绕点逆时针旋转得到，连接，则线段BD与CE的数量关系是___________，位置关系是___________． （2）探究证明：如图2，在与中，，，将绕点A旋转，使点落在的延长线上时，连接，写出此时线段之间的等量关系，并证明： （3）拓展延伸：如图3，在四边形中，．若，，求的长． 【答案】（1），； （2），理由是： 如图2，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ，， ， ； （3） 【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质解答； （2）证明，得到，根据勾股定理计算即可； （3）如图3，作辅助线，构建全等三角形，证明，得到，证明是直角三角形，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：（1）在中，， ， ， ，即， 在和中， ， ， ，， ， ， 故答案为：，； （2）略； （3）如图3，将绕点逆时针旋转至，连接、， 则是等腰直角三角形， ， ， ， 同理得：， ， 中，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查的是全等三角形的判定和性质、勾股定理、以及旋转变换的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 题型9 线段垂直平分线（共3小题） 【易错】上点到线段两端距离相等；逆定理可判定。易错：性质判定混用；误将任意一点到两端等距就直接判定垂直平分。 25．（26-27八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，，线段的垂直平分线交于点，交于点，连接，则的周长等于________． 【答案】8 【分析】根据线段垂直平分线的性质推出，将的周长转化成，即可求出答案． 【详解】解：垂直平分， ． ，，， ． 26．（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图，在锐角中，边的垂直平分线分别交边、于点、，边的垂直平分线分别交边、于点、．若，，则的周长为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，，从而将的周长转化为 ，结合图形及已知条件，判断线段与在上有重叠部分，利用线段的和差关系即可求解． 【详解】解：∵垂直平分，垂直平分 ∴， ∴的周长 ∵， ∴的周长． 27．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，的角平分线和边的垂直平分线相交于点E，，，垂足分别为点M、N． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：连接，． 是的角平分线，，， ． 是的垂直平分线， ． ，， ． 在和中， ， ， ． ． (2)36 【分析】本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键． （1）连接，．根据角平分线的性质定理得出，，根据是的垂直平分线，得出．证明，即可得． （2）根据全等三角形的性质得出，结合，得出，证明，得出，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：， ． ， ， ，， ． 在和中， ， ， ． ． ． 的长为36． 题型10 角平分线（共3小题） 【易错】角平分线上点到角两边垂线段相等。易错：把斜线段当成距离；混淆性质与判定，缺少垂直条件直接使用结论。 28．（26-27八年级上·江苏宿迁·期中）如图四边形中，，E为的中点，平分． (1)求证：平分； (2)求证：． 【答案】(1)证明： 如图，作垂足为M， ∵平分， ∴， 为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴平分； (2)证明：由（1）可知， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证：， ∴， ∴． 【分析】（1）作垂足为M，根据角平分线的性质定理和判定定理证明即可； （2）通过证明和即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 29．（25-26八年级下·陕西咸阳·期中）如图，的内角与外角的平分线交于点，连接，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据角平分线的性质，可得，从而得是的平分线，计算即可求解． 【详解】如图，过点作，，，垂足分别为，，， 是的平分线，，， ， 同理可得， ， ，， 是的平分线， ． 30．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，C是的角平分线上一点，，，垂足分别为E，F．过点C作，交于点D，在射线上取一点B，使． (1)求证：； (2)若，，则的长为________． 【答案】(1) 证明：∵C是的角平分线上一点，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (2)4 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，熟记角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． （1）根据角平分线的性质得到，再结合运用可证明，根据全等三角形的性质和平行线的性质即可证明结论； （2）证明得到，由可得， 再根据线段的和差求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：在和中， ， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵，，， ∴， ∴． 故答案为：4． 题型11 等腰三角形的判定与性质（共3小题） 【易错】等边对等角、等角对等边，三线合一。易错：三线合一只用于顶角；未分类讨论腰底，漏多解情况。 31．（26-27八年级上·江苏扬州·期中）已知：如图，是等腰三角形的底边上的高，，且交于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：是等腰三角形的底边上的高， ， ， ， ， ， 是等腰三角形． (2) 【分析】（1）根据等腰三角形的性质和平行线的性质证明即可； （2）根据等腰三角形的判定和性质解答即可 【详解】（1）略 （2）解：是等腰三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 32．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，点在上，点在的垂直平分线上，连接，且与交于点．若，则的长是（    ） A．4 B．3.5 C．3 D．2 【答案】D 【分析】本题考查的是平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的性质与判定，如图：连接交于点O，证明垂直平分， ，，可得，再证明，进一步求解即可. 【详解】解：如图：连接交于点O， ∵点在的垂直平分线上， ∴， ∵， ∴垂直平分， ， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 33．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）如图，在中，，为的中点，连接，的垂直平分线交于点，交于点，交于点，连接，． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的度数． 【答案】(1) 证明：∵，为的中点， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形两锐角互余，掌握以上知识点是解题的关键． （）利用等腰三角形的三线合一性质可得是的垂直平分线，然后利用线段垂直平分线的定义可得，即可求证； （）先根据垂直定义可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得平分，从而可得，最后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算即可求解； 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵，为的中点， ∴平分， ∴， ∴． 题型12 等边三角形的判定与性质（共3小题） 【易错】三边相等，三角均 60°。易错：默认等腰三角形内角为 60°；判定缺少条件，混淆等边与等腰三角形结论。 34．（26-27八年级上·江苏连云港·期中）如图，和都是等边三角形，且点A、C、E在一条直线上．与相交于M点，与相交于N点． (1)判断和是否相等，并说明理由． (2)求证：为等边三角形． 【答案】(1)相等， 理由：和都是等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ， ； (2)证明：由（1）可知，， ， 和都是等边三角形， ，， ， 在和中， ， ， ， 又， 为等边三角形． 【分析】（1）根据等边三角形的性质，证明，再根据对应边相等即可得证； （2）根据全等三角形和等边三角形的性质，证明，得到，即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 35．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）如图，点C是线段上一点，，分别以为边向上作等边、等边，点F是边上的动点（可与端点重合），连接，则的最小值为_______． 【答案】4 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，轴对称性质，勾股定理等知识，由等边三角形的性质可得，，，，作点E关于的对称点，则，从而可判断，得，可得点在上，根据两点之间线段最短得的最小值为，求出即可． 【详解】解：∵、均是等边三角形， ∴，，， ∴， 作点E关于的对称点，连接，如图， 则，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点在上， 而，当三点在同一条直线上时值最小，即的长， 在中，，， ∴， ∴， ∴的最小值为4． 故答案为：4． 36．（25-26八年级上·山东聊城·期中）半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等，通过翻折、旋转或“截长补短”做辅助线等方法，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构成全等三角形，弱化条件，变更载体．而构建模型，可把握问题的本质． 【问题提出】 如图①，在四边形中，，E，F分别是上的点，且，探究图中线段之间的数量关系． 【思路启迪】 小王同学探究此问题的方法是，延长到点G，使，连接，先证明，再证明 ，可得出结论．他的结论应是 ． 【触类旁通】如图②，若在四边形中，分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【模型迁移】已知：如图，是等边三角形，，点D是外一点，且，分别交于点E、F，的周长为 ． 【答案】思路启迪：，； 触类旁通：上述结论仍然成立，证明如下： 如图，延长到，使，连接． ，， ， 在与中， ， ， ， ， ． 在和中 ， ． ． 模型迁移：12 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边对等角和等边三角形的性质，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． 思路启迪：先证明得到，再证明，得到，再由线段的和差关系可得结论； 触类旁通：延长到，使，连接，先导角证明，再证明得到，再接着证明，得到，再由线段的和差关系可得结论； 模型迁移：延长到H，使得，连接，可求出，由等边三角形的性质可得，则可证明，同理可证明，再根据三角形周长公式可得答案． 【详解】解：思路启迪：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； 触类旁通：略 模型迁移：如图所示，延长到H，使得，连接， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴的周长． 题型13 求平方根与立方根（共3小题） 【易错】平方根有正负两个，算术平方根非负；立方根符号同被开方数。易错：求平方根漏负根；混淆平方根、算术平方根。 37．（26-27八年级上·江苏盐城·期中）求下列各式中x的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， 解得：； （2）解：， ， 则， 解得：． 38．（26-27八年级上·江苏连云港·期中）已知正数的两个平方根分别是和，的立方根是2，求的算术平方根． 【答案】的算术平方根为． 【分析】由正数的两个平方根互为相反数列方程求a，即可求得m的值，再结合立方根的定义求n的值，最后代入求算术平方根． 【详解】解： ∵ 正数m的两个平方根分别是和， ∴， 解得 ， ∴， ∴ ， ∵ 的立方根是2， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴ 的算术平方根为． 39．（26-27八年级上·陕西咸阳·期中）已知的立方根是，的算术平方根是4． (1)求a，b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用立方根与算术平方根的含义列方程求解即可； （2）求解，进一步求解即可. 【详解】（1）解：因为的立方根是， 所以， 解得． 因为的算术平方根是4， 所以， 解得． （2）解：由（1）得，． 所以． 所以的平方根为． 题型14 算术平方根的非负性（共3小题） 40．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）若，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．根据非负数的性质列出方程求出a、b的值，代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得，， ∴， ∵的平方根是， ∴的平方根是． 41．（25-26八年级下·广东揭阳·期中）阅读材料：若，求m，n的值． 解： ∴ ∴ ∵ ∴ ∴m=2，n=-3 根据你的观察，解答下列问题： (1)已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且则△ABC为 三角形． (2)已知=0，求x和y的值． (3)证明：无论x，y取何值多项式的值总是正数． 【答案】(1)直角 (2) (3) 证明：， 且， ，即， 无论x，y取何值多项式的值总是正数． 【分析】（1）将式子利用完全平方公式变形，再根据平方和算术平方根的非负性求出a、b、c的值，再利用勾股定理的逆定理进行证明即可； （2）将式子利用完全平方公式变形，再根据平方和算术平方根的非负性求解即可； （3）将式子利用完全平方公式变形，再根据平方的非负性证明即可． 【详解】（1）， ， 即， ， ， ， ， 是直角三角形， 故答案为：直角； （2）， ， 即， ， 解得； （3）略 【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，平方和算术平方根的非负性，熟练掌握知识点是解题的关键． 42．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）已知a、b、c满足，则的平方根为____________． 【答案】 【分析】利用非负数的性质求出a，b，c的值，根据开平方，可得答案． 【详解】解：由题意得，且， ∴且， ∴， ∴， 由非负数的性质，得，即， 解得， ， ∴的平方根是． 故答案为： 【点睛】本题考查了绝对值非负性，算术平方根的非负性，平方根，解题的关键是根据算术平方根的非负性和绝对值非负性求出a，b，c的值 题型15 平方根、立方根的规律探究问题（共3小题） 【易错】观察被开方数缩放，对应结果的变化规律。易错：混淆平方根与立方根缩放倍数；只看表面数字，归纳规律出错。 43．（24-25七年级下·山东日照·期中）观察求算术平方根的规律，并利用这个规律解决下列问题： ， (1)已知，则_______； (2)已知，则_______； (3)归纳：已知数的小数点的移动与它的算术平方根的小数点移动间有何规律？ 【答案】(1) (2) (3)规律是：数的小数点每向右移两位，它的算术平方根的小数点相应向右移一位 【分析】本题考查了算术平方根、规律型：数字的变化类，熟练掌握算术平方根是解决本题的关键． （1）根据规律即可得出答案； （2）根据规律即可得出答案； （3）应从被开方数的小数点，以及相应的算术平方根的小数点的移动来找规律． 【详解】解：（1）∵， ∴； （2）∵，， ∴； （3）∵， ∴规律是：数的小数点每向右移两位，它的算术平方根的小数点相应向右移一位． 44．（25-26七年级下·湖北荆州·期中）先观察下列等式，再回答问题： 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：． (1)根据上述三个等式提供的信息填空， = ； (2)请按照上面各等式反映的规律，试写出第n个等式（n为正整数）； (3)对于任何实数a，表示不超过a的最大整数，如，，计算：的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了与算术平方根有关的规律探索，正确找到题中的规律是解题关键． （1）根据题中所给信息可判结果； （2）根据第一问的结果用字母代替数字即可； （3）根据规律将原式进行正确变形求解； 【详解】（1）∵第一个等式； 第二个等式； 第三个等式； 故根据规律可猜测第五个等式为； 故答案为：． （2）根据（1）总结规律可得：第n个等式为； （3）根据规律可化简 ． 45．（25-26八年级上·湖南郴州·期末）计算下表中各式的值，并将结果填在相应的空格中 式子 …… …… 结果 …… …… 根据你发现的规律，先完成上表，并直接填写下列两个小题的答案： (1) (2)若，则 参考值：，  ，   【答案】(1) (2)6180 【分析】本题主要考查了立方根的性质： （1）根据表格可得被开方数的小数点向右（或向左）移动3位，则它的立方根的小数点向右（或向左）移动1位，即可求解； （2）根据（1）中的规律解答即可． 【详解】（1）解：完成表格，如下： 式子 …… …… 结果 …… 6 60 …… 由此发现，被开方数的小数点向右（或向左）移动3位，则它的立方根的小数点向右（或向左）移动1位； ∵， ∴； 故答案为：； （2）解：∵， ∴． 故答案为：6180． 题型16 平方根、立方根的实际应用（共3小题） 【易错】实际问题结果一般取正数。易错：算出根后不取舍，保留负数解；不检验结果是否符合实际场景要求。 46．（25-26七年级下·广西南宁·期中）项目式学习活动主题：估算纸的长与宽 【知识储备】 (1)如图1，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个大正方形，则大正方形的边长为____； 【项目素材】 如图2，按照国际标准，A系列纸为长方形，其中纸的面积为．将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，变成纸⋯⋯． 【任务探究】 (2)将一张纸按如图3所示进行两次折叠（折痕分别是和），观察发现点E恰好和点D重合，则纸的长与宽之比为____； (3)根据上述结论，估算纸的长和宽分别是多少毫米（结果取整数）（参考数据：，，，，，，，） (4)在纸中能裁剪出面积为的圆吗？若能，请你设计裁剪方案；若不能，请说明理由（取3）． 【答案】(1) (2) (3)纸的宽约为，长约为． (4)在纸中不能裁剪出面积为的圆；理由见解析. 【分析】（1）由等面积法可知一个大正方形面积为2，从而得到大正方形的边长为即可解答； （2）由折叠的性质可知，由（1）可知在正方形中，由此即可解答； （3）设纸的宽为，则长为，根据面积建立方程，计算即可解答． （4）先求解半径，再进一步判断即可. 【详解】（1）解： 两个边长为1的小正方形 ，拼成一个大正方形面积为2， 大正方形的边长为. （2）解：由折叠的性质可知，由（1）可知在正方形中， ，即纸的长宽之比为； （3）解：由（2）可知：纸的长与宽之比是， 设纸的宽为，则长为， 纸的面积为， ， ， ， ； 故纸的宽约为，长约为． （4）解：设圆的半径为， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴直径为， ∵，， ∴在纸中不能裁剪出面积为的圆. 47．（25-26七年级下·全国·期中）如图，有一个长方体水池的长、宽、高之比为2：2：4，其体积为． (1)求长方体水池的长、宽、高． (2)把这个长方体水池注满水，当有一个半径为的球放入水池中时（球全部没入水中），溢出的水的体积为水池体积的，求该小球的半径（球的体积公式：，其中r为球的半径，π取3，结果精确到）． 【答案】(1)长、宽、高分别为，， (2) 【分析】此题主要考查了立方根的计算以及长方体体积公式，熟练掌握长方体体积公式是解题关键． （1）设长方体水池的长、宽、高分别为，，，根据题意体积为列出方程，然后利用立方根的定义求得的值后分别代入，中计算即可； （2）根据题意列式，利用立方根的定义求得的值并精确到即可． 【详解】（1）解：∵长方体水池的长、宽、高之比为2∶2∶4，其体积为， ∴设长方体水池的长、宽、高分别为，，， ， ， ， 解得， ，， 故长方体水池的长、宽、高分别为，，． （2）解：已知该小球的半径为， 则， ， ． 故该小球的半径约为． 48．（24-25七年级下·湖北襄阳·期中）小明打算利用一张面积为的正方形卡纸裁出需要的形状进行手工制作． (1)求正方形卡纸的边长； (2)如图1，按图中方式裁出一个长方形（图中阴影部分），要求长方形的长宽之比为，裁出的长方形的面积能否为？请通过计算说明； (3)如图2，按图中方式裁出阴影部分，将其沿虚线折叠得到一个正方体，若正方体的体积为，求该正方体的表面积． 【答案】(1) (2) 解：裁出的长方形的面积不能为，理由如下： 设裁出的长方形的长为，宽为． 根据题意，得，       解得或（舍去）， ∵， ∴裁出的长方形的面积不能为； (3) 【分析】本题主要考查了算术平方根和立方根的实际应用，熟知求算术平方根和立方根的方法是解题的关键． （1）设出正方形卡片的边长，根据正方形面积计算公式建立方程求解即可； （2）设裁出的长方形的长为，宽为，根据长方形面积计算公式建立方程求出长和宽，再比较长方形长和宽与正方形边长的大小即可得到结论； （3）根据正方体体积公式计算出棱长，进而求出其表面积即可． 【详解】（1）解：设正方形卡纸的边长为． 根据题意，得，     解得或（舍去）．     答：正方形卡纸的边长为． （2）略 （3）解：∵正方体的体积为， ∴该正方体的棱长为， ∴该正方体的表面积为． 题型17 实数的相关问题（共3小题） 【易错】实数与数轴上点一一对应，比较大小可用平方估值。易错：认为只有有理数在数轴；负数平方比较大小容易出错。 49．（26-27八年级上·江苏南京·单元测试）某校向学生征集明信片用于校园宣传，聪聪准备用一张面积为的正方形卡纸制作明信片． (1)求正方形卡纸的边长； (2)学校要求明信片设计为长宽之比为，且面积为的长方形，聪聪能在准备的正方形卡纸上裁出符合要求的明信片吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)不能，理由如下： 设明信片长为，宽为， 由题意得：， ， ， 或（负值，舍去）， ∴， ∴明信片的长为， ∵， ∴， ∴，即明信片的长大于正方形卡纸的边长， ∴聪聪不能在准备的正方形卡纸上裁出符合要求的明信片． 【分析】（1）求的算术平方根即可； （2）设明信片长为，宽为，由长方形的面积构造方程，求出长方形的长，与正方形的边长对比即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴正方形卡纸的边长为； （2）略 50．（25-26七年级下·云南德宏·期末）我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，因为，所以的整数部分为1，将减去其整数部分1，所得的差就是其小数部分即，根据以上的内容，解答下面的问题： (1)的整数部分是______，小数部分是______； (2)如果的小数部分为m，的整数部分为n，求的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）求得的取值范围可得答案； （2）先求得和的取值范围可得m、n的值，代入所求代数式中求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分为3，小数部分为； （2）解：∵，， ∴，， ∵的小数部分为m，的整数部分为n， ∴，， ∴． 51．（25-26七年级下·四川绵阳·期中）综合实践课上，爱动手的小聪同学想把两个面积为的小正方形分别沿一条对角线裁剪开后拼成一个如图所示的大正方形，并沿大正方形的四边镶上一根铁丝将其固定． (1)求这根铁丝长度最少为多少厘米？ (2)现有一个长、宽之比为，且面积为的长方形，在（1）的条件下，用这根铁丝沿长方形的边去围这个长方形，这根铁丝够用吗？请通过计算说明你的判断． 【答案】(1)80 (2)铁丝够用． 理由：设长方形纸片的长为，宽为，长方形的周长为． 依题意得：， 解得：， ， ， 长方形的周长为， ， ， 用这根的铁丝沿长方形的边去围这个长方形，铁丝够用． 【分析】本题考查了图形的剪拼、正方形的面积、算术平方根的实际应用等知识． （1）根据题意得到大正方形面积，然后求出边长即可解决问题； （2）设长方形纸片的长为，宽为，根据面积为可得，则长方形的周长为，再根据可得，由此即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意得大正方形的面积为， 设大正方形的边长为， 则， ∴（舍去负值）， ∴大正方形的边长为． ∴这根铁丝长度最少为． （2）略 题型18 勾股定理的证明（共3小题） 52．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，，，垂足分别为，，且． (1)求证：； (2)若，，，连接，，利用不同方法计算四边形的面积，证明勾股定理． 【答案】(1) 证明：，， ． 在中，． ， ． 在和中， ． ，． ， ． (2) 解：， ，，． ， ， ， 即． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理的证明，熟练掌握全等三角形的判定方法，以及等积法证明勾股定理是解题的关键： （1）证明，得到，，再根据线段的和差关系即可得证； （2）根据和两种方法，即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 53．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）现有4个全等的直角三角形（阴影部分），直角边长分别为a、b，斜边长为c，将它们拼合为如图的形状．用两种不同的方法计算整个组合图形的面积，可以证明勾股定理． (1)写出你的证明过程； (2)当，时，求空白部分的面积． 【答案】(1) 证明：五边形的面积拆分为正方形、三角形与三角形的面积和， 即 五边形的面积也拆分为正方形、正方形、三角形与三角形的面积和， 即 ∵两种方法表示的面积相等， ∴， 两边消去，得，即勾股定理得证． (2) 【分析】本题考查了勾股定理的面积法证明及组合图形的面积拆分计算，解题的关键是将五边形面积拆分为不同基本图形（正方形、矩形、三角形）的面积和，通过面积相等建立等式推导勾股定理，再利用勾股定理计算空白部分面积． （1）将五边形的面积用两种不同的基本图形组合方式表示，建立等式，化简得勾股定理． （2）空白部分面积为正方形的面积减去两个直角三角形的面积，结合勾股定理将其转化为，代入、的值计算． 【详解】（1）略 （2）解：空白部分（正方形的面积为， 由⑴结论，代入得空白部分面积为 当，时，原式 答：空白部分的面积为． 54．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法．如图，火柴盒的一个侧面是一个长方形倒下到的位置，连接，设，，． (1)试用、有关的代数式表示梯形的面积； (2)试用、、有关的代数式分别表示、、的面积； (3)由和的结论证明勾股定理：． 【答案】(1) (2) (3) 解：由图形可知， 则 ． 因此，． 【分析】本题考查了勾股定理的证明，需注意：组成的图形的面积有两种表示方法：大的面积的表示方法和各个组成部分的面积的和． （1）根据梯形面积公式表示梯形的面积； （2）根据三角形面积公式分别表示、、的面积； （3）根据，列出方程并整理可证． 【详解】（1）解：梯形的面积； （2）解：， 为直角三角形， ； （3）略 题型19 用勾股定理解三角形（共3小题） 【易错】已知两边求第三边，斜边不确定要分类讨论。易错：默认长边一定是斜边；平方、开方运算出现计算失误。 55．（25-26九年级下·江苏南通·期中）如图，在中，两锐角的平分线相交于点D，于点E，于点F． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1) 证明：过点D作， ∵两锐角的平分线相交于点D，于点E，于点F． ∴, ∴； (2) 【分析】（1）过点D作，根据角平分线的性质即可得到结论； （2）先用勾股定理求出．再利用等面积法列出方程求解即可 【详解】（1）略 （2）解：连接， 中，， ∴， 设， ∴ 解得： ∴ 56．（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，，D是的中点，分别过点A、D作直线，直线、之间的距离为7，过点B作于点M，延长交于点N． (1)求的值； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2)5 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，完全平方公式，证明是解题的关键． （1）根据题意可得，，则可利用证明，得到，再由线段的和差关系可得答案； （2）利用完全平方公式得到，则可求出，结合勾股定理可得答案． 【详解】（1）解：∵，，直线、之间的距离为7， ∴，， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵，D是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）可得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴或（舍去）． 57．（2026八年级上·江苏·专题练习）如图，在长方形中，．延长到点，使，连接．动点从点出发，沿着射线以每秒1个单位的速度运动，点运动的时间为秒．连接． (1)求当为何值时，是直角三角形； (2)直接写出当为何值时，是等腰三角形． 【答案】(1)或 (2)或4或或 【分析】此题是四边形综合题，主要考查了勾股定理，直角三角形的性质和等腰三角形的性质，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． （1）分两种情况，利用勾股定理建立方程求解，即可得出结论； （2）分，，三种情况讨论，根据勾股定理和等腰三角形的性质可求t的值． 【详解】（1）解：当时，如图， 在四边形是长方形， ∴，， 在中，，， ∴ ∵，，点从点出发，沿着射线以每秒1个单位的速度运动，点运动的时间为秒． ∴，， ，， 在中，， 在中，， ∴， ∴， ∴． 当时，此时点P与点C重合， ∴， ∴． 综上所述，当或时，是直角三角形； （2）若为等腰三角形， 则或或， 当时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， 当时，如图， ∵， ∴， ∴， 当时，如图， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图，当在的延长线上时，且， ∴， ∴； 综上所述：当或4或或时，为等腰三角形． 题型20 判断是否构成直角三角形（共3小题） 【易错】勾股逆定理，较短两边平方和等于最长边平方。易错：不先找最长边直接代入；混淆勾股定理与其逆定理用途。 58．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，校园里有一块四边形的空地，，，，，过点修一条小路，是的中点，且． (1)证明：； (2)求这块空地的面积． 【答案】(1) 证明：∵E是的中点，， ∴ ∴，， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）由勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，即可得出结论； （2）连接，由线段垂直平分线的性质得，再由勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，然后由三角形面积公式列式计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， ∵，E是的中点， ∴垂直平分， ∴． ∵ ，， ∴， ∴， ∴四边形空地的面积=． 59．（2025八年级·江苏无锡·竞赛）在中，，于点D，设，，，． (1)求证：； (2)判断以，、h为边的三角形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)直角三角形，理由见解析 【分析】（1）根据勾股定理和三角形的面积公式得出，进而得出，即可证明； （2）利用勾股定理的逆定理进行证明即可． 【详解】（1）证明：在中，由勾股定理得：， 由三角形的面积公式可知：． ． ． ，， ． （2）解：该三角形是直角三角形，理由如下： 由（1）得：， ． ，h，为边的三角形是直角三角形． 60．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）如图，，垂足为D． (1)若，，，那么是直角三角形吗？证明你的结论． (2)若，设，，．求证：． 【答案】(1) 是，证明如下： ∵， ∴， ∵，，， ∴，，， ∴； ∴是直角三角形； (2) 证明：∵， ∴， ∵，，， ∴，，； ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，熟练掌握两个定理是解题的关键： （1）勾股定理求出，再利用勾股定理逆定理进行判断即可； （2）根据勾股定理，结合完全平方公式即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 题型21 勾股定理与折叠结合（共3小题） 【易错】折叠前后对应边相等，设未知量列勾股方程。易错：找错折叠相等线段；设未知数后，线段表达式书写错误。 61．（24-25八年级上·江苏南通·期末）在中，，，． (1)求的长； (2)点为上的一点，将沿直线翻折，点恰好落在边上的点处．请利用无刻度的直尺和圆规作出点（不写作法，保留作图痕迹），并求出的长． 【答案】(1)； (2) 如图，点即为所求作， ． 【分析】本题考查了尺规作图－作角平分线，勾股定理与折叠问题． （1）根据勾股定理计算即可求解； （2）根据折叠的性质得到，，设，则，在中，利用勾股定理列式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴； （2）解：∵将沿直线翻折，点恰好落在边上的点处， ∴，， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴． 62．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）已知：如图，长方形中，，沿直线把折叠，点O恰好落在上一点F处． (1)求的长度． (2)求的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理，折叠的性质等知识．熟练掌握勾股定理，折叠的性质是解题的关键． （1）由题意知，由勾股定理得，，计算求解即可； （2）由折叠的性质可知，，，，则，设，则，由勾股定理得，，即，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵长方形，， ∴， 由勾股定理得，， ∴的长度为； （2）解：由折叠的性质可知，，，， ∴， 设，则， 由勾股定理得，，即， 解得，， ∴的长度为． 63．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，长方形边沿折痕折叠，使点D落在上的F处，已知，的面积为24，    (1)求的长度； (2)求的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查折叠的性质，勾股定理的知识，解题的关键是掌握折叠的性质，勾股定理的运用． （1）根据折叠的性质，得，；根据，解出，可得的值， （2）根据直角三角形，利用勾股定理，即可求出． 【详解】（1）解：∵四边形是长方形， ∴，，， ∵是沿折痕折叠得到的， ∴，， ∵， ∴， ∴在直角三角形中，， ∴， ∴， （2）∵， ∴，， 设， ∴， ∴在直角三角形，， ∴， ∴， ∴． 题型22 勾股定理与旋转结合（共3小题） 【易错】旋转构造全等，转移边，形成新直角三角形。易错：不会转化线段；找不到旋转后产生的直角，无法列式。 64．（2025·山东日照·模拟预测）在中，，，点为边上一动点，连接，将绕着点逆时针方向旋转得到，连接． (1)如图，，点恰好为中点，与交于点，若，求的长度； (2)如图，与交于点，连接，在延长线上有一点，，求证：． 【答案】(1) (2)证明：如图，过点作交于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵将绕着D点逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】（1）根据勾股定理，得出，再根据等腰三角形三线合一的性质，结合直角三角形性质得出，再根据中点的性质，得出，再根据勾股定理，即可得出的长度； （2）过点作交于点，根据勾股定理，得出，证明，得到，，然后证明，得到，然后等量代换即可证明． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∵点恰好为中点， ∴， ∴； （2）略 65．（25-26九年级上·广西南宁·期中）如图，等腰中，，，点D在上，将绕点B沿顺时针方向旋转，得到． (1)求的度数； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定，等腰三角形的性质，勾股定理，旋转的性质，本题中利用全等三角形得出线段和角相等是解题的关键． （1）由等腰直角三角形的性质和旋转的性质，明三角形和全等，得到，，即可求解； （2）由勾股定理可得，，从而得到，，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵是由旋转得到的， ∴， ∴，， ∴． （2）解：在等腰直角三角形中， ∵， ∴， 又∵， ∴，， 由（1）知且， ∴， ∴DE＝． 66．（2025九年级下·四川凉山·专题练习）在中，，，根据题意完成下列问题： (1)如图①，点为内的点，连接，，，将绕着点按逆时针方向旋转后得．连接，，若，，，求证：． (2)如图②，若点是中斜边上的点（点不与点、重合），试求、、的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) 证明：∵，，， ∴， ∴， ∵将绕着点按逆时针方向旋转后得， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． (2)， 理由：将绕着点逆时针旋转得到，连接，， 则，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理得到，根据旋转的性质得到，，求得，根据全等三角形的性质得到，求得，根据平行线的判定定理得到； （2）根据旋转的性质得到，，求得，根据全等三角形的性质得到，，根据勾股定理得到结论． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理，正确地作出辅助线是解题的关键． 题型23 勾股定理的实际应用（共3小题） 【易错】把生活场景抽象为直角三角形模型。易错：几何图画错；单位不统一，忽略题目隐含直角条件。 67．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）为持续提升居民生活环境品质，打造“颜值”与“内涵”并重的生态宜居环境，某市积极开展“市容环境卫生整治行动·植绿种树”活动．志愿者在某小区临街的拐角处清理出一块四边形空地如图）进行绿化，经测量米，米，米，米． (1)求证：． (2)求空地的面积． 【答案】(1) 连接， 在中，米，米，米，米， （米）， ， ， 是直角三角形； (2)空地的面积是． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，勾股定理的逆定理及三角形面积等，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）由勾股定理得米，再由勾股定理的逆定理得是直角三角形； （2）由三角形面积公式即可得出结论． 【详解】（1）解：略． （2）解： ． 答：空地的面积是． 68．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，在一条东西方向铁路的北边有一鸟类巢穴C，铁路上有A、B两处观测点，观测点A距离鸟类巢穴，观测点B距离鸟类巢穴，两观测点A、B相距．火车行驶时会对周围半径范围造成噪声污染． (1)证明为直角三角形，并求点C到铁路的距离； (2)当一列长度为的火车以的速度经过铁路时会对鸟类巢穴造成噪声污染吗？若不会造成噪声污染，请说明理由；若会造成噪声污染，求出火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长． 【答案】(1) 证明：由题意可知，，， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且； 如图1，过点C作于点D， ∴， ∴， 即点C到铁路的距离为； (2)会对鸟类巢穴造成噪声污染，火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长为． 【分析】本题考查了勾股定理的应用以及勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）由勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且；过点C作于点D，再由面积法求出的长即可； （2）以点C为圆心，以52米为半径画圆弧，分别交于点E、F，连接、，则，，由勾股定理求得，得出，再根据火车长度与速度即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴当一列长度为的火车以的速度经过铁路时会对鸟类巢穴造成噪声污染， 如图2，以点C为圆心，以为半径画圆弧，分别交于点E、F，连接、， 则， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长为：， 答：当一列长度为的火车以的速度经过铁路时会对鸟类巢穴造成噪声污染，火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长为． 69．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）【背景介绍】 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】 （1）将两个全等的直角三角形按照图②所示摆放，使和在一条直线上，连接． 请用，，分别表示出梯形、、、的面积，再探究这四个图形面积之间的关系，证明：勾股定理． 【方法迁移】 请利用“双求法”解决下面的问题： （2）如图③，小正方形边长为，连接小正方形的三个顶点，可得，则边上的高为________． （3）如图④，在中，是边上的高，，，，设，求的值． 【答案】（1），，，， 证明：∵与是两个全等的直角三角形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴，，，， 观察图形可知：， ∴， ∴； （2）；（3） 【分析】本题考查勾股定理的证明及运用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据梯形的面积公式即可得到结论； （2）先计算出的面积，再根据三角形的面积公式即可求得边上的高； （3）根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）解：设边上的高为， ∵小正方形边长为， ∴，， ， ∴， ∴， 故答案为：； （3）∵在中，是边上的高，，，，设， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 即的值为． 题型24 勾股定理中的最值问题（将军饮马）（共3小题） 【易错】作对称点，两点之间线段最短，结合勾股求长度。易错：对称点作错；分不清同侧、异侧，不会转化折线段。 70．（25-26八年级上·吉林长春·期中）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． (1)应用一：最短路径问题 如图1，一只蚂蚁从点沿圆柱侧面爬到相对一侧中点处，如果圆柱的高为，圆柱的底面半径为，那么最短的路线长是___________； (2)应用二：解决实际问题． 小明在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过如图2勘测，得到如下记录： ①测得水平距离的长为12米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为13米； ③小明牵线放风筝的手到地面的距离长为1.5米，如果小明想让风筝沿方向再上升4米，和的长度不变（理想状态下）．则他应该再放出___________米线． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查了勾股定理的应用等知识． （1）画出圆柱侧面展开图，求出，，根据勾股定理即可求出； （2）由题意得，米，求出米，根据勾股定理求出米， 米．问题得解． 【详解】（1）解：将圆柱侧面展开，如图所示，连接． ∵圆柱的底面半径为， ∴， ∵点为中点， ∴． 在中，． 故答案为： （2）解：如图， 由题意得， 在中，米， 当风筝沿方向再上升4米时，米， 在中，米， 米． 故答案为：2 71．（24-25八年级上·江苏淮安·期中）勾股定理具有丰富的文化内涵，它揭示了直角三角形的三边关系，搭建起几何与代数之间的桥梁，为解决几何问题拓宽了思路．请完成下面问题： (1)如图，请你用两种不同方法表示梯形的面积，从而验证勾股定理． (2)如图，在直线的同侧有两个点、，已知点和点到直线的距离分别为2和5，且．现要在直线上取点，使得的值最小． ①请用无刻度直尺和圆规在图2中确定点的位置（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） ②直接写出的最小值为_________； (3)借助上面的思考过程，直接写出的最小值为_______． 【答案】(1) 证明：由题意可知，梯形的面积第一种表示方法： ， 第二种表示方法： ， 则， ∴； (2) ①作关于直线的对称点，连接与直线交于点， 由轴对称可知，， ∴，当点在上时取等号， 故，点即为所求； ② (3) 【分析】本题考查轴对称—最短问题，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． （1）由梯形，三角形面积公式即可证明问题； （2）①根据轴对称的性质，作关于直线的对称点，连接与直线交于点，； ②根据勾股定理求出，根据矩形的性质分别求出，，根据勾股定理求出，得到，结合题意计算即可； （3）作关于直线的对称点，连接与直线交于点，则的最小值为，然后根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）①略 ②作，，相交于点，作于点，连接， 则，， 在中，，， ∴， 在中，， ∴的最小值为， 故答案为：； （3）如图，作于，于，，，，，则， ∴， 作关于直线的对称点，连接与直线交于点，类比（2）可知，此时最小，最小值为， 作于，则， 由勾股定理得，，即最小为， ∴的最小值为， 故答案为：． 72．（24-25八年级上·山西太原·期中）综合与实践 问题情境： “转化”是一种重要的数学思想，将空间问题转化为平面问题是转化思想的一个重要方面．例如，如图1，一个正方体的棱长为1，有一只蚂蚁从点出发，沿着正方体的表面爬行到点．沿怎样的路线爬行路程最短？要解决这个问题，我们可以把正方体展开（如图2，图3，图4），把空间两个面上的两点，之间的最短路径问题转化为同一个面上两点之间的距离问题．根据“两点之间，线段最短”，可知蚂蚁沿线段爬行的路程最短，利用勾股定理易证最短路程为．    问题解决： (1)如图5，一个长方体盒子，它的长、宽、高分别为、、，一只蚂蚁想从盒底的点沿盒的表面爬到盒顶的点，你能帮蚂蚁设计一条最短的路线吗？蚂蚁要爬行的最短路程是多少？ (2)如图6，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点在棱上，．一只蚂蚁要沿长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短路程是多少？ 【答案】(1)蚂蚁爬行的最短路线为（P为的中点），最短路程是 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么． （1）分两种情况画出图形，求出最短路径长度，然后再进行比较即可； （2）将长方体按三种方案展开，画出图形，求出结果，然后进行比较即可． 【详解】（1）解：如图1，． 如图2，． 因为， 故蚂蚁爬行的最短路线为（P为的中点），最短路程是． （2）解：将长方体按下列三种方案展开： 如图3，一直角边为，另外一条直角边为， 根据勾股定理得． 如图4，一直角边为20cm，另外一条直角边为， 根据勾股定理得． 如图5，，， 根据勾股定理得． 因为， 所以一只蚂蚁要沿长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短路程是． $ 专题02 期中真题百炼通关（72题24大常考题型） 常考·进阶突破 题型1 三角形的三边关系 题型2 根据三角形中线求解长度、面积 题型3 与三角形高线有关的计算 题型4 全等三角形的性质 题型5 添加条件使三角形全等 题型6 倍长中线模型 题型7 一线三等角模型 题型8 手拉手模型 题型9 线段垂直平分线 题型10 角平分线 题型11 等腰三角形的判定与性质 题型12 等边三角形的判定与性质 题型13 求平方根与立方根 题型14 算术平方根的非负性 题型15 平方根、立方根的规律探究问题 题型16 平方根、立方根的实际应用 题型17 实数的相关问题 题型18 勾股定理的证明 题型19 用勾股定理解三角形 题型20 判断是否构成直角三角形 题型21 勾股定理与折叠结合 题型22 勾股定理与旋转结合 题型23 勾股定理的实际应用 题型24 勾股定理中的最值问题（将军饮马） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 常考·固本强基 题型1 三角形的三边关系（共3小题） 【易错】只需检验两短边之和大于最长边。易错：两两盲目比较；已知两边求第三边范围，忘记同时写出上下边界，忽略取值限制。 1．（26-27八年级上·江苏无锡·期中）已知在中，，，且为奇数． (1)求的周长； (2)已知、、为三角形三边，化简：． 2．（26-27八年级上·江苏苏州·期中）已知三角形的两边长a、b满足，第三边长c为奇数，则__________. 3．（26-27八年级上·江苏淮安·期中）如图，是的边上的中线，已知，，． (1)的取值范围是_______． (2)若的周长为27，求的周长． 题型2 根据三角形中线求解长度、面积（共3小题） 【易错】中线平分对边，等分三角形面积。易错：混淆中线、角平分线；误以为中线平分内角，面积等分结论做题时常遗忘。 4．（25-26七年级下·江苏南京·期末）如图，、分别是的高和中线，若，，， (1)求的长 (2)求与的周长差 5．（25-26七年级下·江苏常州·期中）如图，在中，是中线，． (1)求与的周长差； (2)点E在边上，连接．若的周长被分成的两部分的差是，求线段的长． 6．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）如图，在锐角中，D是的中点，，E是上的一点，且，与相交于点F，若的面积为3，则的最小值为___． 题型3 与三角形高线有关的计算（共3小题） 【易错】高为顶点向对边或延长线作垂线段，用等面积法计算。易错：钝角三角形外部高画错；底与高不对应，漏标垂直符号。 7．（25-26七年级下·江苏镇江·期末）如图，在中，，，P为边上一动点（不与A，B重合），于点E，于点F，则的值是（     ） A．8 B．7 C．6 D．5 8．（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，是等腰三角形，，，边上的高＝______．若点是底边边上的任意一点，于点，于点．则______． 9．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，与中，与相交于E，交于F． (1)的边上的高是 ；的边上的高是 ； (2)若，，，求的面积及的长． 题型4 全等三角形的性质（共3小题） 【易错】全等三角形对应边、对应角相等。易错：书写顶点顺序不对应；找错对应边角，误用非对应线段角度计算。 10．（26-27八年级上·江苏南京·期中）如图，，点共线，与交于点．若，，则线段的长度为___________． 11．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，在与中，．若，，则的长为___________． 12．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，已知，，，且点在线段上． (1)求的长． (2)求证：． (3)猜想与的位置关系，并说明理由． 题型5 添加条件使三角形全等（共3小题） 【易错】判定可用 SSS、SAS、ASA、AAS、HL，SSA、AAA 不行。易错：添加 SSA 类条件；忽略图形隐含公共边、公共角条件。 13．（26-27八年级上·江苏南通·期中）如图，已知，，下列条件中①，②，③，④能判定的序号是________． 14．（25-26七年级下·宁夏银川·期末）已知：如图，点在上，． 请从①；②；③这三个选项中，选择一个作为条件，使得，并说明理由． 解：选择条件是___________．理由是： 15．（2026·陕西榆林·三模）如图，在和中，点在边上，点在边上，若，，请你从以下三个选项：①；②；③中选择一个合适的选项作为补充条件，使得． (1)你选择的补充条件是__________（填序号）； (2)根据你选择的补充条件，写出的证明过程． 题型6 倍长中线模型（共3小题） 【易错】延长中线构造全等，转移边和角。易错：辅助线描述不规范；不会转化线段，找不到全等三角形，不能完成边转移。 16．（26-27八年级上·江苏连云港·期中）在中，长为12，长为20，则第三边上中线的取值范围为__________． 17．（25-26八年级上·江西赣州·期中）如图，在中，是边上的中线． (1)如图①，延长到点E，使，连接． ①求证：； ②若，则的取值范围是______． (2)如图②，若，试探究与有何数量关系，并说明理由． 18．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在长方形中，是中点，在边上，若，则（   ） A．3 B．2 C．1.5 D． 题型7 一线三等角模型（共3小题） 【易错】同一直线上三个相等角，推导等角证全等。易错：直接套用模型不推导；不会利用等角加减，推导所需相等角。 19．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，在中，，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，，则的长度为（   ） A．8.3 B．8.5 C．8.7 D．9.1 20．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，在和中，，，点，，在一条直线上，，连结交于点． (1)求证：是的中点； (2)若，求的长． 21．（24-25八年级上·云南文山·期中）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型． 【问题发现】（1）如图2，已知中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F，求证：； （2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请写出，，之间的数量关系，并说明理由； 【问题提出】 （3）在（2）的条件下，若，，求的面积． 题型8 手拉手模型（共3小题） 【易错】共顶点等腰，旋转全等，得到等线段、等夹角。易错：分不清顶角；不会找旋转全等三角形，无法推导夹角相等。 22．（25-26八年级上·浙江金华·期末）在中，是斜边上的两点，且．现将绕点A旋转后得到，连，有下面结论：①；②；③；④．其中正确的结论是______． 23．（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图1，在中，，，D，E分别为的中点，将绕点C逆时针方向旋转得到（如图2），使直线恰好过点B，连接．    (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)求的长； 24．（24-25八年级上·山东泰安·期末）（1）问题发现：如图1，在中，，D为边上一点（不与点重合）将线段绕点逆时针旋转得到，连接，则线段BD与CE的数量关系是___________，位置关系是___________． （2）探究证明：如图2，在与中，，，将绕点A旋转，使点落在的延长线上时，连接，写出此时线段之间的等量关系，并证明： （3）拓展延伸：如图3，在四边形中，．若，，求的长． 题型9 线段垂直平分线（共3小题） 【易错】上点到线段两端距离相等；逆定理可判定。易错：性质判定混用；误将任意一点到两端等距就直接判定垂直平分。 25．（26-27八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，，线段的垂直平分线交于点，交于点，连接，则的周长等于________． 26．（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图，在锐角中，边的垂直平分线分别交边、于点、，边的垂直平分线分别交边、于点、．若，，则的周长为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 27．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，的角平分线和边的垂直平分线相交于点E，，，垂足分别为点M、N． (1)求证：； (2)若，，求的长． 题型10 角平分线（共3小题） 【易错】角平分线上点到角两边垂线段相等。易错：把斜线段当成距离；混淆性质与判定，缺少垂直条件直接使用结论。 28．（26-27八年级上·江苏宿迁·期中）如图四边形中，，E为的中点，平分． (1)求证：平分； (2)求证：． 29．（25-26八年级下·陕西咸阳·期中）如图，的内角与外角的平分线交于点，连接，若，则（    ） A． B． C． D． 30．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，C是的角平分线上一点，，，垂足分别为E，F．过点C作，交于点D，在射线上取一点B，使． (1)求证：； (2)若，，则的长为________． 题型11 等腰三角形的判定与性质（共3小题） 【易错】等边对等角、等角对等边，三线合一。易错：三线合一只用于顶角；未分类讨论腰底，漏多解情况。 31．（26-27八年级上·江苏扬州·期中）已知：如图，是等腰三角形的底边上的高，，且交于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的长． 32．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，点在上，点在的垂直平分线上，连接，且与交于点．若，则的长是（    ） A．4 B．3.5 C．3 D．2 33．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）如图，在中，，为的中点，连接，的垂直平分线交于点，交于点，交于点，连接，． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的度数． 题型12 等边三角形的判定与性质（共3小题） 【易错】三边相等，三角均 60°。易错：默认等腰三角形内角为 60°；判定缺少条件，混淆等边与等腰三角形结论。 34．（26-27八年级上·江苏连云港·期中）如图，和都是等边三角形，且点A、C、E在一条直线上．与相交于M点，与相交于N点． (1)判断和是否相等，并说明理由． (2)求证：为等边三角形． 35．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）如图，点C是线段上一点，，分别以为边向上作等边、等边，点F是边上的动点（可与端点重合），连接，则的最小值为_______． 36．（25-26八年级上·山东聊城·期中）半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等，通过翻折、旋转或“截长补短”做辅助线等方法，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构成全等三角形，弱化条件，变更载体．而构建模型，可把握问题的本质． 【问题提出】 如图①，在四边形中，，E，F分别是上的点，且，探究图中线段之间的数量关系． 【思路启迪】 小王同学探究此问题的方法是，延长到点G，使，连接，先证明，再证明 ，可得出结论．他的结论应是 ． 【触类旁通】如图②，若在四边形中，分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【模型迁移】已知：如图，是等边三角形，，点D是外一点，且，分别交于点E、F，的周长为 ． 题型13 求平方根与立方根（共3小题） 【易错】平方根有正负两个，算术平方根非负；立方根符号同被开方数。易错：求平方根漏负根；混淆平方根、算术平方根。 37．（26-27八年级上·江苏盐城·期中）求下列各式中x的值． (1)； (2)． 38．（26-27八年级上·江苏连云港·期中）已知正数的两个平方根分别是和，的立方根是2，求的算术平方根． 39．（26-27八年级上·陕西咸阳·期中）已知的立方根是，的算术平方根是4． (1)求a，b的值； (2)求的平方根． 题型14 算术平方根的非负性（共3小题） 40．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）若，求的平方根． 41．（25-26八年级下·广东揭阳·期中）阅读材料：若，求m，n的值． 解： ∴ ∴ ∵ ∴ ∴m=2，n=-3 根据你的观察，解答下列问题： (1)已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且则△ABC为 三角形． (2)已知=0，求x和y的值． (3)证明：无论x，y取何值多项式的值总是正数． 42．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）已知a、b、c满足，则的平方根为____________． 题型15 平方根、立方根的规律探究问题（共3小题） 【易错】观察被开方数缩放，对应结果的变化规律。易错：混淆平方根与立方根缩放倍数；只看表面数字，归纳规律出错。 43．（24-25七年级下·山东日照·期中）观察求算术平方根的规律，并利用这个规律解决下列问题： ， (1)已知，则_______； (2)已知，则_______； (3)归纳：已知数的小数点的移动与它的算术平方根的小数点移动间有何规律？ 44．（25-26七年级下·湖北荆州·期中）先观察下列等式，再回答问题： 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：． (1)根据上述三个等式提供的信息填空， = ； (2)请按照上面各等式反映的规律，试写出第n个等式（n为正整数）； (3)对于任何实数a，表示不超过a的最大整数，如，，计算：的值． 45．（25-26八年级上·湖南郴州·期末）计算下表中各式的值，并将结果填在相应的空格中 式子 …… …… 结果 …… …… 根据你发现的规律，先完成上表，并直接填写下列两个小题的答案： (1) (2)若，则 参考值：，  ，   式子 …… …… 结果 …… 6 60 …… 题型16 平方根、立方根的实际应用（共3小题） 【易错】实际问题结果一般取正数。易错：算出根后不取舍，保留负数解；不检验结果是否符合实际场景要求。 46．（25-26七年级下·广西南宁·期中）项目式学习活动主题：估算纸的长与宽 【知识储备】 (1)如图1，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个大正方形，则大正方形的边长为____； 【项目素材】 如图2，按照国际标准，A系列纸为长方形，其中纸的面积为．将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，变成纸⋯⋯． 【任务探究】 (2)将一张纸按如图3所示进行两次折叠（折痕分别是和），观察发现点E恰好和点D重合，则纸的长与宽之比为____； (3)根据上述结论，估算纸的长和宽分别是多少毫米（结果取整数）（参考数据：，，，，，，，） (4)在纸中能裁剪出面积为的圆吗？若能，请你设计裁剪方案；若不能，请说明理由（取3）． 47．（25-26七年级下·全国·期中）如图，有一个长方体水池的长、宽、高之比为2：2：4，其体积为． (1)求长方体水池的长、宽、高． (2)把这个长方体水池注满水，当有一个半径为的球放入水池中时（球全部没入水中），溢出的水的体积为水池体积的，求该小球的半径（球的体积公式：，其中r为球的半径，π取3，结果精确到）． 48．（24-25七年级下·湖北襄阳·期中）小明打算利用一张面积为的正方形卡纸裁出需要的形状进行手工制作． (1)求正方形卡纸的边长； (2)如图1，按图中方式裁出一个长方形（图中阴影部分），要求长方形的长宽之比为，裁出的长方形的面积能否为？请通过计算说明； (3)如图2，按图中方式裁出阴影部分，将其沿虚线折叠得到一个正方体，若正方体的体积为，求该正方体的表面积． 题型17 实数的相关问题（共3小题） 【易错】实数与数轴上点一一对应，比较大小可用平方估值。易错：认为只有有理数在数轴；负数平方比较大小容易出错。 49．（26-27八年级上·江苏南京·单元测试）某校向学生征集明信片用于校园宣传，聪聪准备用一张面积为的正方形卡纸制作明信片． (1)求正方形卡纸的边长； (2)学校要求明信片设计为长宽之比为，且面积为的长方形，聪聪能在准备的正方形卡纸上裁出符合要求的明信片吗？请说明理由． 50．（25-26七年级下·云南德宏·期末）我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，因为，所以的整数部分为1，将减去其整数部分1，所得的差就是其小数部分即，根据以上的内容，解答下面的问题： (1)的整数部分是______，小数部分是______； (2)如果的小数部分为m，的整数部分为n，求的值． 51．（25-26七年级下·四川绵阳·期中）综合实践课上，爱动手的小聪同学想把两个面积为的小正方形分别沿一条对角线裁剪开后拼成一个如图所示的大正方形，并沿大正方形的四边镶上一根铁丝将其固定． (1)求这根铁丝长度最少为多少厘米？ (2)现有一个长、宽之比为，且面积为的长方形，在（1）的条件下，用这根铁丝沿长方形的边去围这个长方形，这根铁丝够用吗？请通过计算说明你的判断． 题型18 勾股定理的证明（共3小题） 52．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，，，垂足分别为，，且． (1)求证：； (2)若，，，连接，，利用不同方法计算四边形的面积，证明勾股定理． 53．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）现有4个全等的直角三角形（阴影部分），直角边长分别为a、b，斜边长为c，将它们拼合为如图的形状．用两种不同的方法计算整个组合图形的面积，可以证明勾股定理． (1)写出你的证明过程； (2)当，时，求空白部分的面积． 54．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法．如图，火柴盒的一个侧面是一个长方形倒下到的位置，连接，设，，． (1)试用、有关的代数式表示梯形的面积； (2)试用、、有关的代数式分别表示、、的面积； (3)由和的结论证明勾股定理：． 题型19 用勾股定理解三角形（共3小题） 【易错】已知两边求第三边，斜边不确定要分类讨论。易错：默认长边一定是斜边；平方、开方运算出现计算失误。 55．（25-26九年级下·江苏南通·期中）如图，在中，两锐角的平分线相交于点D，于点E，于点F． (1)求证：； (2)若，求的长． 56．（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，，D是的中点，分别过点A、D作直线，直线、之间的距离为7，过点B作于点M，延长交于点N． (1)求的值； (2)若，求的长． 57．（2026八年级上·江苏·专题练习）如图，在长方形中，．延长到点，使，连接．动点从点出发，沿着射线以每秒1个单位的速度运动，点运动的时间为秒．连接． (1)求当为何值时，是直角三角形； (2)直接写出当为何值时，是等腰三角形． 题型20 判断是否构成直角三角形（共3小题） 【易错】勾股逆定理，较短两边平方和等于最长边平方。易错：不先找最长边直接代入；混淆勾股定理与其逆定理用途。 58．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，校园里有一块四边形的空地，，，，，过点修一条小路，是的中点，且． (1)证明：； (2)求这块空地的面积． 59．（2025八年级·江苏无锡·竞赛）在中，，于点D，设，，，． (1)求证：； (2)判断以，、h为边的三角形的形状，并说明理由． 60．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）如图，，垂足为D． (1)若，，，那么是直角三角形吗？证明你的结论． (2)若，设，，．求证：． 题型21 勾股定理与折叠结合（共3小题） 【易错】折叠前后对应边相等，设未知量列勾股方程。易错：找错折叠相等线段；设未知数后，线段表达式书写错误。 61．（24-25八年级上·江苏南通·期末）在中，，，． (1)求的长； (2)点为上的一点，将沿直线翻折，点恰好落在边上的点处．请利用无刻度的直尺和圆规作出点（不写作法，保留作图痕迹），并求出的长． 62．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）已知：如图，长方形中，，沿直线把折叠，点O恰好落在上一点F处． (1)求的长度． (2)求的长度． 63．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，长方形边沿折痕折叠，使点D落在上的F处，已知，的面积为24，    (1)求的长度； (2)求的长度． 题型22 勾股定理与旋转结合（共3小题） 【易错】旋转构造全等，转移边，形成新直角三角形。易错：不会转化线段；找不到旋转后产生的直角，无法列式。 64．（2025·山东日照·模拟预测）在中，，，点为边上一动点，连接，将绕着点逆时针方向旋转得到，连接． (1)如图，，点恰好为中点，与交于点，若，求的长度； (2)如图，与交于点，连接，在延长线上有一点，，求证：． 65．（25-26九年级上·广西南宁·期中）如图，等腰中，，，点D在上，将绕点B沿顺时针方向旋转，得到． (1)求的度数； (2)若，，求的长． 66．（2025九年级下·四川凉山·专题练习）在中，，，根据题意完成下列问题： (1)如图①，点为内的点，连接，，，将绕着点按逆时针方向旋转后得．连接，，若，，，求证：． (2)如图②，若点是中斜边上的点（点不与点、重合），试求、、的数量关系，并说明理由． 题型23 勾股定理的实际应用（共3小题） 【易错】把生活场景抽象为直角三角形模型。易错：几何图画错；单位不统一，忽略题目隐含直角条件。 67．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）为持续提升居民生活环境品质，打造“颜值”与“内涵”并重的生态宜居环境，某市积极开展“市容环境卫生整治行动·植绿种树”活动．志愿者在某小区临街的拐角处清理出一块四边形空地如图）进行绿化，经测量米，米，米，米． (1)求证：． (2)求空地的面积． 68．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，在一条东西方向铁路的北边有一鸟类巢穴C，铁路上有A、B两处观测点，观测点A距离鸟类巢穴，观测点B距离鸟类巢穴，两观测点A、B相距．火车行驶时会对周围半径范围造成噪声污染． (1)证明为直角三角形，并求点C到铁路的距离； (2)当一列长度为的火车以的速度经过铁路时会对鸟类巢穴造成噪声污染吗？若不会造成噪声污染，请说明理由；若会造成噪声污染，求出火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长． 69．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）【背景介绍】 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】 （1）将两个全等的直角三角形按照图②所示摆放，使和在一条直线上，连接． 请用，，分别表示出梯形、、、的面积，再探究这四个图形面积之间的关系，证明：勾股定理． 【方法迁移】 请利用“双求法”解决下面的问题： （2）如图③，小正方形边长为，连接小正方形的三个顶点，可得，则边上的高为________． （3）如图④，在中，是边上的高，，，，设，求的值． 题型24 勾股定理中的最值问题（将军饮马）（共3小题） 【易错】作对称点，两点之间线段最短，结合勾股求长度。易错：对称点作错；分不清同侧、异侧，不会转化折线段。 70．（25-26八年级上·吉林长春·期中）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． (1)应用一：最短路径问题 如图1，一只蚂蚁从点沿圆柱侧面爬到相对一侧中点处，如果圆柱的高为，圆柱的底面半径为，那么最短的路线长是___________； (2)应用二：解决实际问题． 小明在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过如图2勘测，得到如下记录： ①测得水平距离的长为12米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为13米； ③小明牵线放风筝的手到地面的距离长为1.5米，如果小明想让风筝沿方向再上升4米，和的长度不变（理想状态下）．则他应该再放出___________米线． 71．（24-25八年级上·江苏淮安·期中）勾股定理具有丰富的文化内涵，它揭示了直角三角形的三边关系，搭建起几何与代数之间的桥梁，为解决几何问题拓宽了思路．请完成下面问题： (1)如图，请你用两种不同方法表示梯形的面积，从而验证勾股定理． (2)如图，在直线的同侧有两个点、，已知点和点到直线的距离分别为2和5，且．现要在直线上取点，使得的值最小． ①请用无刻度直尺和圆规在图2中确定点的位置（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） ②直接写出的最小值为_________； (3)借助上面的思考过程，直接写出的最小值为_______． 72．（24-25八年级上·山西太原·期中）综合与实践 问题情境： “转化”是一种重要的数学思想，将空间问题转化为平面问题是转化思想的一个重要方面．例如，如图1，一个正方体的棱长为1，有一只蚂蚁从点出发，沿着正方体的表面爬行到点．沿怎样的路线爬行路程最短？要解决这个问题，我们可以把正方体展开（如图2，图3，图4），把空间两个面上的两点，之间的最短路径问题转化为同一个面上两点之间的距离问题．根据“两点之间，线段最短”，可知蚂蚁沿线段爬行的路程最短，利用勾股定理易证最短路程为．    问题解决： (1)如图5，一个长方体盒子，它的长、宽、高分别为、、，一只蚂蚁想从盒底的点沿盒的表面爬到盒顶的点，你能帮蚂蚁设计一条最短的路线吗？蚂蚁要爬行的最短路程是多少？ (2)如图6，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点在棱上，．一只蚂蚁要沿长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短路程是多少？ 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $