精品解析：上海市闵行第三中学2026-2027学年上学期九年级第一次阶段数学学科作业练习

闵行三中2026学年九年级第一次阶段数学学科作业练习 （练习时间：90分钟，满分：150分） 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 关于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标是 D. 时，随增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】根据顶点式的性质，判断开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性即可得到答案． 【详解】解：， ∴顶点坐标为，对称轴为直线，故B错误，C正确； ∵， ∴抛物线开口向下，故A错误， ∴当时，随的增大而减小，故D错误． 2. 如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为（ ） A. 2 B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】利用平行线分线段成比例定理，解答即可． 【详解】解：， ， ，，， 解得． 3. 对一个三角形进行放缩运动时，下列结论中正确的是（） A. 各个内角的大小始终保持不变 B. 各条边的长度始终保持不变 C. 三角形的面积始终保持不变 D. 三角形的周长始终保持不变 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形的面积，解题的关键是根据相似三角形的性质来判断．根据相似三角形的对应角相等、对应边成比例的性质来判断． 【详解】解：一个三角形进行放缩运动，各个内角的大小始终保持不变，故A符合题意； 一个三角形进行放缩运动，各条边的长度也进行变化，故B选项不符合题意； 一个三角形进行放缩运动，各条边的长度也进行变化，面积也进行变化，故C选项不符合题意； 一个三角形进行放缩运动，各条边的长度也进行变化，周长也进行变化，故D选项不符合题意， 故选：A． 4. 下列条件中，不能判定和相似的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，，，， D. ，，，， 【答案】D 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定条件逐一验证，注意两边成比例时相等的角需为夹角． 【详解】解：A、，， ， ， ，不符合题意； B、，，， ， ，不符合题意； C、，， ， 又， ，不符合题意； D、，， ，但是与的夹角，是与的夹角，不是与的夹角，不能判定与相似，符合题意． 5. 已知是的边上的一点，，那么下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知条件：∠BAD=∠C、∠B=∠B，可判定△BAD∽△BCA；再根据相似三角形的性质进行判断． 【详解】解：∵∠BAD=∠C，∠B=∠B， ∴△BAD∽△BCA； ∴ ， 即； 故选B． 【点睛】此题主要考查的是相似三角形的判定和性质；能够发现隐含条件公共角∠B是解答此题的关键． 6. 二次函数的图像如图，给出下列五个结论：①；②；③；④；⑤点，都在抛物线上，则有，其中正确的结论是（ ） A. ①③④ B. ②④⑤ C. ①③⑤ D. ①④⑤ 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的对称性，抛物线与x轴的交点，函数的最值，抛物线的增减性等解答即可； 【详解】解：根据图象，得抛物线与x轴有两个不同的交点， ， ； 故①正确； 设抛物线与x轴的正半轴的交点为，与负半轴的交点为， ∵对称轴为直线， ∴， 解得， 根据图象，得， ∴， 解得， 根据图象，当时，直线与抛物线的交点位于第二象限，纵坐标大于0，此时对应的函数值为， 故， ， 故②错误； ∵二次函数开口向下， ∴， ∵抛物线的图象与y轴的交点在正半轴上， ∴； ∵对称轴为直线， ∴， ∴， 当时，， ， ∴, 故③正确； 当时，， 当时，， ， 故抛物线有最大值，且当时，取得最大值，最大值为， ； 故④错误； ∵二次函数开口向下， ∴抛物线上的点与对称轴的距离越大，函数值越小， ∵点，都在抛物线上，且， ∴， 故⑤正确． 二、填空题：（本大题共11题，每题4分，满分44分） 7. 抛物线与y轴的交点坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】轴上点的横坐标为，令代入抛物线解析式即可求得交点纵坐标，得到交点坐标． 【详解】解：∵ 轴上所有点的横坐标为， ∴ 在抛物线中，令，得， ∴ 抛物线与轴的交点坐标为． 8. 将抛物线向左平移1个单位，再向上平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可． 【详解】解：∵抛物线向左平移1个单位，再向上平移2个单位， ∴平移后的抛物线的顶点坐标为， ∴得到的抛物线的解析式为． 故答案为： 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，解决本题的关键是熟练掌握二次函数平移的规律：左加右减，上加下减，此类题目，利用顶点的变化确定函数解析式的变化更简便． 9. 若线段厘米，是的黄金分割点，则较长线段________厘米． 【答案】## 【解析】 【分析】利用黄金分割的定义计算即可． 【详解】解：∵线段厘米，C是的黄金分割点，且， ∴，即， 解得：厘米， 故答案为：． 【点睛】本题考查了黄金分割点的定义，若C是的黄金分割点，，则，熟练应用黄金分割的性质列出方程是解题的关键． 10. 已知线段厘米，厘米，那么线段a和c的比例中项是____厘米． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了成比例线段，设线段a和c的比例中项为b，由题意得出，计算即可得解． 【详解】解：设线段a和c的比例中项为b， ∴，即， ∴（负值舍去）． 故答案为：6． 11. 如图，，，，那么________． 【答案】9 【解析】 【分析】由题意得出，则，求出，即可求出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 12. 如图，在梯形中，，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定和性质，解答即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 13. 如图，已知是的斜边上的高，，，则________． 【答案】16 【解析】 【分析】根据勾股定理求出的长，证明，利用相似三角形对应边成比例计算的长． 【详解】解：是斜边上的高 ， ． 14. 二次函数，当________时有最小值． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵二次函数中，二次项系数， ∴二次函数开口向上，在顶点处取得最小值， 对于二次函数，顶点的横坐标为， 本题中，，代入得：． ∴当时有最小值． 15. 如图，已知与关于坐标原点O位似，且点A与点对应，、、、，则点C的对应点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据位似比，解答即可． 【详解】解：根据题意，与关于坐标原点O位似，且点A与点对应，、、、， 故相似比为， 故把各坐标分别乘以得得到，，． 16. 如果一个二次函数的图像的对称轴是直线，且当时，函数值y随着自变量x的增大而减小，那么这个二次函数的解析式可以是________．（只要写出一个） 【答案】，答案不唯一，满足二次项系数小于，对称轴为即可 【解析】 【分析】根据二次函数的增减性可得该函数开口向下，即二次项系数为负，结合对称轴为，即可写出符合要求的解析式． 【详解】解：∵二次函数对称轴是直线，且当时，随的增大而减小 ∴二次函数开口向下，二次项系数 设二次函数的顶点式为，取， 可得符合所有条件的解析式． 17. 如图，在中，，，，点E是边的中点，点P为边上的一动点，连接，将沿折叠得到，交于点D．当与的一条直角边垂直时，线段的长为________． 【答案】4 【解析】 【分析】分两种情况：①当时；②当时，进一步结合相似三角形求解即可． 【详解】解：∵点E是边的中点， ∴． 分类讨论：①当时，如图， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴； ②当时，如图， ∵，， ∴， 此时与没有交点， 综上可知，线段的长为4． 三、简答题（本大题共7题，满分82分） 18. 已知． （1）求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2）80 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，代数式求值，熟练掌握比例的性质，是解题的关键． （1）设，得，代入，求出结果即可； （2）设，得，根据，得出，进而求得的值，代入代数式，即可求解． 【小问1详解】 解：设， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：设， ∴． 又∵， ∴， 解得：， ∴， ∴． 19. 如图，矩形的边在的边上，顶点、分别在边、上，已知，高，矩形的长和宽，试求矩形的面积． 【答案】． 【解析】 【分析】根据长宽比例设矩形的宽为，长为，由矩形得到，证明，结合推导出、，利用相似三角形对应高的比等于相似比列方程求出，最后计算矩形面积． 【详解】解：， 设， 四边形是矩形， ，， ∵是的高， ， ． ，， ∴， ． ，，， 四边形是矩形． ． ． ∵， ． ． ， ， ， ， ， ． ， ． 20. 如图，点、分别在的边、上，若，，． （1）求证：； （2）已知，，求的长； （3）在（2）的条件下，若的面积为，求的面积． 【答案】（1）证明：， ， ， ， ； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）首先利用三角形内角和定理计算的度数，因为是两个三角形的公共角，如果能得到另一组对应角相等，那么可根据两角分别相等的两个三角形相似的判定定理证明相似； （2）由可推出与的比值，因为已证两个三角形相似，所以对应边成比例，结合的长度，代入比例式即可求解； （3）根据相似三角形的性质，相似三角形面积比等于相似比的平方，因为已得到两个三角形的相似比，结合的面积，即可求出的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， ， ， ，即，解得， ∴的长为； 【小问3详解】 ， ，即， ， ∴的面积为． 21. 篮球发球机是用于日常投篮、传球等技术训练的一种辅助设备．发球机经设置按某一角度发球后，把球看成点，一位教练为了得出篮球飞行过程中离地高度h（单位：m）与水平距离s（单位：m）之间的关系，测得一些数据如表： （m） 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 … h（m） 0.45 1.1 1.65 2.1 2.45 2.7 2.85 2.9 2.85 … 为观察与之间的关系，建立平面直角坐标系，以为横坐标，为纵坐标，插出表中各对对应值为坐标的点，画出该函数图象，发现篮球的飞行路线可看成抛物线的一部分． （1）发球机出口点的离地高度为 ； （2）求出该抛物线的解析式； （3）小亮在训练时发现，当球离地高度的取值范围是时，接球较为舒适．已知标准篮球场地罚球线距离发球机出口的水平距离为5.8米，此时小亮站在罚球线处，他 （填“能”或“不能”）舒适地接到球． 【答案】（1） （2） （3）不能． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，本题的关键是理解题意，求出二次函数解析式． （1）根据表中的数据即可得的答案； （2）根据表中的数据利用待定系数法求出二次函数解析式； （3）把代入函数解析式求解，比较即可得的答案． 【小问1详解】 解：根据表中的数据知，时，， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：小亮站在罚球线处，不能舒适地接到球，理由如下： 设抛物线的解析式为， 把时，；时， 代入得， 解得， 抛物线的解析式为， 【小问3详解】 当时，米， 当球离地高度h的取值范围是时，接球较为舒适，不能舒适地接到球， 故答案为：不能． 22. 当实数k分别满足什么条件时，抛物线与轴的交点个数符合以下情况： （1）有两个交点； （2）有且只有一个交点． 【答案】（1）且 （2） 【解析】 【分析】（1）抛物线是二次函数，首先保证二次项系数不为0即；利用判别式，有两个交点要求，联立解得且； （2）有且只有一个交点要求解得，此时二次项系数不为0，仍然是抛物线． 【小问1详解】 解：抛物线与x轴有两个交点， ， 且， 且； 【小问2详解】 解：抛物线与x轴有且只有一个交点， ， ， ，此时． 23. 已知：如图，在中，点、分别在边、上，且，、交于点． （1）求证：； （2）如果平分，求证：． 【答案】（1）证明：，， ． ∴， ． （2）证明：由（1）得， ∴， ∴， 又， ． ． 过点作于，于， ． 平分，，， ． 在和中， ， ． ． 【解析】 【分析】（1）要证 ，先将乘积式转化为比例式．已知，是公共角，证明，利用相似三角形对应边成比例得到比例式，变形得到乘积式． （2）由（1）的相似得到，结合公共角，证明，得到．过点作于，于．由角平分线性质得，再证明 ，证得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 已知在直角坐标平面中，抛物线经过点，，三点． （1）求该抛物线的表达式； （2）点是点关于抛物线对称轴对称的点，连接、，将抛物线向下平移个单位后，点落在点处，过、两点的直线与线段交于点． ①如果，求的值； ②如果与相似，求的值． 【答案】（1） （2）①；②或 【解析】 【分析】（1）已知抛物线与轴两个交点，设交点式，代入点坐标求出参数，得到抛物线表达式． （2）①先求出抛物线对称轴与点坐标，根据平移得到点坐标，求出直线与直线解析式，联立求交点，再利用距离公式或者坐标线段比求出．②先判断的角度特征，结合公共角，分两种相似情况讨论，利用相似三角形对应边成比例建立方程，求解的值． 【小问1详解】 解：抛物线过，， 设． 抛物线过， ， ， ． ． 【小问2详解】 解：①， 对称轴为直线． ，是关于的对称点， ． 向下平移个单位， ． ， ． 设直线解析式：，代入，． ， ，． ∴直线解析式：． 设直线解析式：，代入，． ， ，． ∴直线解析式：． 联立， ， ， ，． ． ． ． ． ②，，， ，，． ， ∴与相似分两种情况． 情况一：，如图， ， ， ， ． 设直线为， ∵直线：过，， ∴， 解得，， ∴直线：， 联立， ∴， ， 当时，． ∴， ∴． ，且在线段上，， ． ， ， ， 解得． 情况二：如图，当时， ， ． ∴点与点重合，此时与轴重合， ∵， ∴, , 综上，或． 【点睛】本题主要考查了二次函数解析式求解、抛物线的对称性、一次函数解析式、坐标求线段长度、相似三角形的判定与性质，熟练掌握函数图像上点坐标特征、分类讨论相似三角形对应顶点，联立一次函数求交点是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 闵行三中2026学年九年级第一次阶段数学学科作业练习 （练习时间：90分钟，满分：150分） 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 关于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标是 D. 时，随增大而增大 2. 如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为（ ） A. 2 B. C. D. 3 3. 对一个三角形进行放缩运动时，下列结论中正确的是（） A. 各个内角的大小始终保持不变 B. 各条边的长度始终保持不变 C. 三角形的面积始终保持不变 D. 三角形的周长始终保持不变 4. 下列条件中，不能判定和相似的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，，，， D. ，，，， 5. 已知是的边上的一点，，那么下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 二次函数的图像如图，给出下列五个结论：①；②；③；④；⑤点，都在抛物线上，则有，其中正确的结论是（ ） A. ①③④ B. ②④⑤ C. ①③⑤ D. ①④⑤ 二、填空题：（本大题共11题，每题4分，满分44分） 7. 抛物线与y轴的交点坐标为________． 8. 将抛物线向左平移1个单位，再向上平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为______． 9. 若线段厘米，是的黄金分割点，则较长线段________厘米． 10. 已知线段厘米，厘米，那么线段a和c的比例中项是____厘米． 11. 如图，，，，那么________． 12. 如图，在梯形中，，，，则________． 13. 如图，已知是的斜边上的高，，，则________． 14. 二次函数，当________时有最小值． 15. 如图，已知与关于坐标原点O位似，且点A与点对应，、、、，则点C的对应点的坐标为________． 16. 如果一个二次函数的图像的对称轴是直线，且当时，函数值y随着自变量x的增大而减小，那么这个二次函数的解析式可以是________．（只要写出一个） 17. 如图，在中，，，，点E是边的中点，点P为边上的一动点，连接，将沿折叠得到，交于点D．当与的一条直角边垂直时，线段的长为________． 三、简答题（本大题共7题，满分82分） 18. 已知． （1）求的值； （2）若，求的值． 19. 如图，矩形的边在的边上，顶点、分别在边、上，已知，高，矩形的长和宽，试求矩形的面积． 20. 如图，点、分别在的边、上，若，，． （1）求证：； （2）已知，，求的长； （3）在（2）的条件下，若的面积为，求的面积． 21. 篮球发球机是用于日常投篮、传球等技术训练的一种辅助设备．发球机经设置按某一角度发球后，把球看成点，一位教练为了得出篮球飞行过程中离地高度h（单位：m）与水平距离s（单位：m）之间的关系，测得一些数据如表： （m） 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 … h（m） 0.45 1.1 1.65 2.1 2.45 2.7 2.85 2.9 2.85 … 为观察与之间的关系，建立平面直角坐标系，以为横坐标，为纵坐标，插出表中各对对应值为坐标的点，画出该函数图象，发现篮球的飞行路线可看成抛物线的一部分． （1）发球机出口点的离地高度为 ； （2）求出该抛物线的解析式； （3）小亮在训练时发现，当球离地高度的取值范围是时，接球较为舒适．已知标准篮球场地罚球线距离发球机出口的水平距离为5.8米，此时小亮站在罚球线处，他 （填“能”或“不能”）舒适地接到球． 22. 当实数k分别满足什么条件时，抛物线与轴的交点个数符合以下情况： （1）有两个交点； （2）有且只有一个交点． 23. 已知：如图，在中，点、分别在边、上，且，、交于点． （1）求证：； （2）如果平分，求证：． 24. 已知在直角坐标平面中，抛物线经过点，，三点． （1）求该抛物线的表达式； （2）点是点关于抛物线对称轴对称的点，连接、，将抛物线向下平移个单位后，点落在点处，过、两点的直线与线段交于点． ①如果，求的值； ②如果与相似，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $