解三角形专项测试-2027届高三数学一轮复习

解三角形测试 （测试时间120分钟，总分150分） 姓名：___________班级：___________ 一、单选题（每题5分，共40分） 1．三角形的三边所对的角为，，则下列说法不正确的是（    ） A． B．若面积为，则周长的最小值为12 C．当，时， D．若，，则面积为 2．中，内角的对边分别为，且，则的形状为（    ） A．直角三角形或等腰三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 3．设的内角、、所对的边为、、，则下列条件能确定是等腰三角形是（    ） A． B． C． D． 4．斗笠起源于汉代，兴盛于明清．斗笠用竹篾、箭竹叶为原料，编织而成，有尖顶和圆顶两种形制，主要用于遮阳和遮雨，其中尖顶斗笠示意图如图所示，大致呈圆锥形．某款尖顶斗笠底部圆的半径为，母线长为，点是斗笠底部圆周上一点．为了装饰这个斗笠，现要镶嵌一条从点出发绕斗笠外部一周后回到点处的金属条，则这个金属条的最短长度为（　　） A． B． C． D． 5．中，内角的对边分别为，以下选项为正确的是（ ） A．若，则一定为锐角三角形 B．若，，，则有两解 C．，则为锐角三角形 D．若，则为等腰三角形 6．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则的值为（   ） A． B．2 C． D． 7．在中，已知，，，则B的大小为（     ） A． B． C．或 D．或 8．已知，，分别为三个内角，，的对边，且，的外接圆半径为2.则（ ） A． B．2 C． D．4 二、多选题（每题6分，共18分） 9．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，若，且，则（      ） A． B． C． D． 10．如图所示，为了测量A，B处岛屿的距离，小明在D处观测，A，B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶30海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则下列结论正确的是（    ） A． B．A、D之间的距离为海里 C．A、B两处岛屿间的距离为海里 D．B、D之间的距离为海里 11．已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，下面四个结论正确的是（    ） A．若，则为等腰三角形 B．在锐角中，不等式恒成立 C．若，，且有唯一解，则或 D．若，的平分线交AC于点D，，则的最大值为9. 三、填空题（每题5分，共15分） 12．在中，已知分别为，，所对的边，为的面积．若向量满足，则=________ 13．在中，，，，则等于__________． 14．的三个内角的对边分别是，若的面积是，，， 则＝________ 四、解答题 15．（13分）在中，内角、、的对边分别为、、，且，向量，，. （1）求； （2）若，求的面积. 16．（15分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin A－sin C(cosB＋sin B)＝0. (1)求角C的大小； (2)若c＝2，且△ABC的面积为，求a，b的值． 17．（15分）在，，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答. 问题:的内角的对边分别为，已知_ (1)求； (2)若为的中点，，求的面积. 18．(17分）设向量，函数. （1）求函数的最小正周期； （2）中边所对的角为，若，当取最大值时，求的面积. 19．（17分）在中，． (1)求的值． (2)当的面积最大时，求角的大小． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《解三角形测试》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A C C B A A B ACD BC 题号 11 答案 BC 1．C 【分析】对于A，根据正弦定理和余弦定理可求出；对于B，由面积为，求出，由余弦定理得到，再根据基本不等式可求出周长的最小值；对于C，由余弦定理可求出结果；对于D，由正弦定理求出，再根据三角形的面积公式可求出结果. 【详解】对于A，由，得， 得， 由正弦定理得， 所以， 因为，所以，故A说法正确； 对于B，因为面积为，所以，所以， 所以， 由余弦定理得， 所以， 所以， 当且仅当时，等号成立， 故的周长的最小值为.故B说法正确； 对于C，当，时，由余弦定理得， 所以，得， 解得或（舍），故C说法不正确； 对于D，若，，由正弦定理得， 得， 所以面积为， 因为， 所以面积为.故D说法正确. 故选：C 2．A 【详解】因为，由正弦定理得 ， ，或， 又、、为三角形内角，故或，为直角三角形或等腰三角形. 3．C 【分析】利用正弦定理边角互化可判断ACD选项，利用余弦定理可判断B选项. 【详解】对于A选项，由正弦定理可得，所以， 、，所以或，即或， 所以是等腰三角形或直角三角形； 对B选项，由余弦定理得，， ，故为直角三角形； 对C选项，由正弦定理得，所以， 、，则，则，故， 所以，是等腰三角形； 对于D选项，，则， 、，则，， 所以，，所以， 、，所以或，即或， 所以是等腰三角形或直角三角形. 故选：C. 【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下： （1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； （2）若式子中含有、、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； （3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； （4）代数式变形或者三角恒等变换前置； （5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解； （6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理. 4．C 【分析】作出该斗笠的侧面展开图，先由扇形弧长和母线长求出圆心角，再由余弦定理即可求得答案. 【详解】作出该斗笠的侧面展开图如图所示，由图可知金属条的最短长度为线段之长. 由题意知，圆弧的长即圆锥的底面圆周长，则， 由余弦定理，得， 即． 故选：C． 5．B 【分析】由余弦定理即可判断A；由正弦定理即可判断B；举反例即可判断C；由得出为等腰三角形或直角三角形，即可判断D． 【详解】对于A，因为，所以，即为锐角，但不能确定为锐角，故不一定为锐角三角形，故A错误； 对于B，， 所以有两解，故B正确； 对于C，若，满足，但为钝角三角形，故C错误； 对于D，或或， 所以为等腰三角形或直角三角形，故D错误； 故选：B． 6．A 【分析】由诱导公式和逆用正弦差角公式得到，结合角的范围得到，利用正弦定理得到. 【详解】由诱导公式得， 又， 故， 即， 所以，又， 所以， 所以，即，所以， 又，由正弦定理得． 故选：A 7．A 【详解】在中，因为，，， 根据正弦定理得，，故. 8. B 【详解】 根据正弦定理知， 又因为， 所以，又，所以， 所以， 即，所以， 由正弦定理可得，解得， 故选：B. 9．ACD 【详解】解析：，，即，，. ，根据正弦定理可得， 即，又，.，， ，. 10．BC 【分析】根据三角形的内角求得∠CAD,判定A；利用正弦定理求得AD,判定A；利用等腰直角三角形性质求得BD,判定D；利用余弦定理求得AB,判定C. 【详解】解：由题意可知，，，，， 所以，故A错误； ， 在中，由正弦定理得，得(海里)，故B正确； 在中，因为，，所以(海里)，故D错误； 在中，由余弦定理得， (海里)，故C正确. 故选：BC. 11．BC 【分析】用余弦定理统一成边形式化简判断出A的真假；由为锐角三角形，与正弦函数的单调性可得B选项的真假；根据边角的关系与解的数量判断C的真假；根据三角形面积可得到，将变为，展开后利用基本不等式，即可求得答案，判断出D的真假． 【详解】对于A，因为，由余弦定理可得：， 所以有，整理可得， 所以或，故为等腰三角形或直角三角形，故A错误； 对于B，若为锐角三角形，所以，故， 由正弦函数在单调递增，则，故B正确． 对于C，若有一个解，则或，所以或，故C正确． 选项D，的平分线交于点，， 由，由角平分线性质和三角形面积公式得， 得，即，得， 得， 当且仅当，即时，取等号，故D错误．    故选：BC． 12． 【详解】试题分析：，，且有，故有， 而，故有，，， 由于，. 考点：1.平面向量共线；2.三角形的面积公式；3.余弦定理；4.同角三角函数的商数关系 13． 【详解】因为，，， 所以由得，解得， 因为，所以． 14. 6 【详解】因为△ABC的面积是，，a＝2c， 所以，解得，可得， 由余弦定理可得. 15．（1）或；（2）或. 【解析】（1）由三角形的内角和定理结合等式可得出，由可得出，利用正弦定理边角互化思想得出，再利用三角恒等变换思想得出，可求出角的三角函数值，进而可求得角的值； （2）分和两种情况讨论，可知这两种情况下均为直角三角形，求出直角边长，利用三角形的面积公式得出的面积. 【详解】（1），，， ，，，， 由正弦定理，得，即， ，， ，或， ，或； （2）由（1）知，， 当时，，，； 当时，则，由正弦定理得，则， . 综上，的面积为或. 【点睛】本题考查利用三角恒等变换思想求三角形中的角，同时也考查了三角形面积的计算，涉及共线向量坐标表示的应用，考查计算能力，属于中等题. 16．(1) C＝(2) a＝2，b＝2 【详解】试题分析：（1）由，得，所以，；（2）由面积公式，求得，又由余弦定理，求得，解方程组得到． 试题解析： （1）， ， 即，得， ． （2），则， 又，得， 所以． 点睛：解三角形的综合题型，需要对正弦定理、余弦定理及面积公式要熟悉掌握，本题中还考查了三角形内的转化应用．余弦定理是解决边长关系最有用的工具． 17．(1) (2) 【分析】（1）选利用正弦定理由边化角结合辅助角公式即可求解；选由正弦定理得，化为正切即可求解；选③由正弦定理得根据和差公式化简即可求解； （2）在中，由余弦定理得可得，结合面积公式即可求解． 【详解】（1）若选， 由条件与正弦定理得, 因为，所以， 所以，则 因为所以，所以 故 若选， 由条件得,由正弦定理得， 因为，所以，所以. 因为，所以 若选③， 由条件得，由正弦定理得, 即，整理得， 因为，所以 因为，所以 （2）（2）在中，由余弦定理得即， 解得负值舍去)，所以 故的面积为 18．（1）；（2）. 【详解】（1）根据三角函数化一公式将f（x）化简成y=Asin（ωx+φ）形式，带入周期公式求出； （2）利用正弦定理将条件化简得到，从而得出C，根据f（）取最大值求出B，然后解三角形． （1） 的最小正周期是. （2）即 又， 时取到最大值， 此时，又. 点睛：这个题目考查了向量的点积的坐标运算，三角函数的化一公式，和周期公式，再者就是正弦定理的应用，通过正弦定理来边角互化，得到角的大小，再通过面积公式求得三角形的面积公式． 19．(1)8； (2)当的面积取最大值时，． 【分析】（1）由两边平方，根据数量积的性质和条件可求的值；（2）由面积公式表示出的面积，利用基本不等式求其最值即可． 【详解】（1）因为，所以，又， 所以． （2）由(1)， ， ， ， ， ， ．当且仅当时取等号， 所以的面积的最大值为，此时．又， 所以． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $