第10讲 解三角形之范围与最值 专项训练-2027届高三数学一轮复习

解三角形之范围与最值 高三数学专题复习 · 三角第十讲 0 题型概说 本讲研究的问题：解三角形中的取值范围与最值——在”定角”或”定边”之后，求面积、周长、某条边或某个角的最值；或在锐角三角形、钝角三角形等形状约束下求某个量的范围。它是前两讲”定理选型”“条件化简”的下游：先把条件化简到位，剩下的就是把目标量表示为一个变量的函数，再求该函数在允许范围上的最值。 与前三讲的分工：第八、九讲的任务是”定出角与边”；本讲的任务是”在没定死的地方游走”——对称条件（  与 的关联）配合基本不等式、角参数化（把边写成 后目标成为 的组合）、锐角窗口（三个不等式夹出的开区间）。三类工具对应三条主线，识别条件形态即可选路。 识别信号总览： 题面特征 方法指向 单元 定角后给 （或  ）定值，求面积/周长最值；， 型对称条件 基本不等式卡 （或  ） 单元一 “锐角三角形”约束下求 、周长、 的范围 锐角窗口 + 单调性 单元二 求 、、 的最值 角参数化 + 均值/辅助角 单元三 与 之比、双分支结构、 型混合条件 结构压轴 单元四 单元一 对称结构的最值 1.1 识别特征 条件已定出一个角（或可直接定角），并给出某边的定值（ 、），求面积或周长的最值；或条件本身对称（ 、、 ），目标是面积、周长、某边的最值。 1.2 结论与推导 结论 1.1（均值不等式卡乘积）　定角 与定边 下，余弦定理 是关于 、 的对称约束：由 得 （  时系数为正），解出 的上界，代入 得面积最大值；等号在 （等腰）时成立，且该等腰三角形存在，故上界可达。 推导：对称约束 + 对称目标（ 、 ）是均值不等式的标准场景；等号条件 只需代回约束验证一次存在性（定角定边下等腰三角形总存在）。 结论 1.2（配凑和与积）　求周长最值：把余弦定理配凑为 ，若 已知则 立得；若已知 求 的范围，则由 得 ；三角形不等式 给出上界，合起来是闭半开区间。 推导： 的上界对应 的下界（系数为负时）； 的范围由”均值下界（可达）+ 三角形不等式上界（取不到）“合成，端点开闭逐一核对。 结论 1.3（  型参数化的最值）　定角 、定边 时，正弦定理给出 、，目标量化为 的函数：周长 ，用辅助角合并为 型，在 的自然范围 上取最值。 推导： 化为单 ；范围端点由 的开区间决定，注意最大值点落在区间内时取得到、落在端点时取不到。 结论 1.4（ “1 的代换”与对称破缺）　形如”，求 的最值”：把目标乘以条件（  ），展开为常数 与 、 两项，用均值不等式收口；不对称的系数（  与 ）决定了等号点的位置（  ）。 推导：；乘积为定值是均值不等式可用性的判据，“1 的代换”正是制造这个定值。 1.3 方法决策表 题面 动作 定角定边求面积最大 均值卡 上界（结论 1.1） 定角定边求周长 / 定 求 范围 配凑 （结论 1.2） 定角定边求周长（函数路线） 正弦定理参数化 + 辅助角（结论 1.3） 不对称切值条件 “1 的代换”（结论 1.4） 例题精讲 例 1（解答题） 在 中，内角 ，， 的对边分别是 ，，，且 ．（1）求 ；（2）若 ，求 的面积的最大值． ●解析 （1）展开：，即 。由余弦定理 。由 知 ，，故 。 （2） 时约束为 ，即 。由 ，故 ，即 ，得 ，等号当 时成立（此时 ，与 、 的余弦值相容，等腰三角形存在）。面积 ，最大值为 。 【答案】（1）；（2） 变式训练 变 1（解答题） 的内角 ，， 的对边分别为 ，，，设 ．（1）求 ；（2）若 ，求 周长的最大值． ●解析 （1）展开：。由正弦定理换边：，故 ，由 得 。 （2）由正弦定理，，故 ，。由 ，（  ）。。当 ，即 （在窗口内）时取最大值 。周长最大值为 。 【答案】（1）；（2） 变 2（解答题） 已知 ，， 分别是 的内角 ，， 的对边，且 ．（1）求 ；（2）若 ，求 面积的最大值． ●解析 （1）边化角：。两边消去 ：。由 约去，得 ，故 。 （2）。由余弦定理：，故 ，等号当 时成立（  的等腰三角形存在）。，最大值为 。 【答案】（1）；（2） 变 3（解答题） 在 中，内角 ，， 的对边分别为 ，，，已知 ．（1）求角 的大小；（2）若 ，求 面积的最大值． ●解析 （1）由正弦定理 ，与条件比较得 。由 得 ，故 。 （2）由余弦定理：，故 。由 得 ，即 ，等号当 时成立。面积 ，最大值为 。 【答案】（1）；（2） 变 4（解答题） 中，角 ，， 所对的边分别为 ，， 且 ．（1）若 ，求 的值；（2）求 的最大值． ●解析 （1）边化角：。由 得 ，故 ，整理得 ，即 （分母 ：由 知 ，若 则左端为 而右端为零，矛盾）。分子分母同除以 ：。代入 ：。 （2）。由 ：原式为 ，等号当 时成立（此时可取到）。最大值为 。 【答案】（1）；（2） 变 5（解答题） 已知 的内角 ，， 所对的边分别为 ，，，角 为钝角，，．（1）若 ，求 的值；（2）求 面积的最小值． ●解析 （1），即 。代入 ：，整理得 ，即 ，解得 或 。由 为钝角知 、 为锐角，，故 ，。。由 得 。 （2），。，故 。“1 的代换”（结论 1.4）：，等号当 时成立（与 联立得 ，，为正，可取）。故 ，最小值为 。 【答案】（1）；（2） 变 6（单项选择题） 记 的内角 ，， 的对边分别为 ，，，已知 ，，则 的面积的最大值为（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 由余弦定理：。由 得 。，故 （  ）。面积 ，等号当 时成立。选 B。 【答案】B 单元二 锐角窗口的取值范围 2.1 识别特征 题设” 为锐角三角形”，求 、、周长、、 等量的范围；或条件已把三个角约束在一条单参数链上（ 、 等），求相关比值或和的范围。 2.2 结论与推导 结论 2.1（锐角窗口三联不等式）　“锐角三角形”等价于三个角都属于 。当角之间有单参数关系（如 、 ）时，窗口是关于该参数的三联不等式，例如 时 解得 ；窗口是开区间（端点为直角三角形，被”锐角”排除）。 推导：把每个角都化为参数的线性函数逐一限制，取交集；哪条约束最紧由参数关系的系数决定。 结论 2.2（目标量单参数化）　窗口内的范围问题：把目标量（比值、和）写成参数的单调函数。比值走正弦定理（  ），三角目标和走降幂合并（如 时 ，其中二项和  ），边和走 参数化。单调者直接读范围；非单调者找区间内的极值点并比较两端。 推导：正弦定理把”边比”化为”角比”后，一切目标都是窗口参数的三角函数；降幂与辅助角把它化为一层 ，窗口端点的值与极值共同决定范围，开闭随端点开闭与取得性。 结论 2.3（反证判等与对称破缺）　条件 型（两边地位不对称）：设 推出与假设矛盾的结论、设 同样矛盾，从而 。判定后三角形成为等腰，目标量（  ）化为底角的单函数，窗口由第三角锐角给出。 推导：不等号方向沿”大角对大边、大边对大余弦反号”传递，两个方向都矛盾说明等号成立；等腰后 给 ，连同 成窗口。 结论 2.4（钝角窗口与二次函数）　“”即 ， 为钝角：窗口由 与已知角平移而来。定角后给 （或  ）定值求某边范围：设 ，目标边平方展开为 的二次函数，在 的自然区间上用配方法取最值。 推导：钝角排除后其余两角皆锐，窗口是半平面的交；二次函数在闭（或半开）区间上的最值由顶点是否落入区间决定，端点开闭沿用窗口的开闭。 2.3 方法决策表 题面 动作 锐角三角形 + 单参数角链 三联窗口 + 单调目标函数（结论 2.1、2.2） 两边不对称条件 反证判等腰后参数化（结论 2.3） 钝角条件（平方和不等式） 钝角窗口 + 二次函数配方（结论 2.4） 三项和 降幂合并为单 （结论 2.2） 例题精讲 例 2（解答题） 记 的内角 ，， 的对边分别为 ，，．已知 ．（1）求 ；（2）若 为锐角三角形，求 的取值范围． ●解析 （1）由正弦定理 ，与条件比较得 ，即 ，，故 。 （2）。， 与 两项降幂合并：。由和化积公式，取 、，则 、，故 的和化积为 ，即 。故 ，目标和为 。锐角窗口： 且 ，得 ，于是 ，。所以 。 【答案】（1）；（2） 例 3（解答题） 的内角 的对边分别为 ，已知 ．（1）求 ；（2）若 为锐角三角形，且 ，求 周长的取值范围． ●解析 （1）由内角和，，故条件即 。边化角：，由 约去：。由 知 ，约去得 ，故 ，。 （2）锐角窗口： 且 ，得 。由正弦定理，，。在窗口内 增大时， 增大，而 减小使 减小，故 与 都随 的增大而增大，周长随 递增。端点值： 趋于 时 趋于 ， 趋于 ， 趋于 ，周长趋于 ； 趋于 时 趋于 ， 趋于 ， 趋于 ，周长趋于 。窗口为开区间，两端均取不到，故周长的取值范围为 。 【答案】（1）；（2） 变式训练 变 7（解答题） 在 中，角 的对边分别为 ，已知 ．（1）求证：；（2）若 是锐角三角形，求 的取值范围． ●解析 （1） 边化角：。由 （平方差经积化和差）与 ：。由 约去：。由 与 ： 或 （后者给 ，舍去），故 。 （2）锐角窗口： 且 ，得 。。由 ：，，故 。 【答案】（1）见解析；（2） 变 8（解答题） 在锐角三角形 中，角 的对边分别为 ，已知 ．（1）比较 与 的大小；（2）求 的取值范围． ●解析 （1）由条件 ，得 。反证：若 ，锐角三角形中 递减，则 ，于是 ，，即 ，，矛盾；若 ，同理 ，，即 ，，矛盾。故 。 （2） 为等腰三角形，。锐角窗口： 给 。，在 上 递减，故 。 【答案】（1）；（2） 变 9（解答题） 在 中，内角 ，， 的对边分别为 ，，，且满足 ．（1）求角 的大小；（2）若 ，求 的取值范围． ●解析 （1）边化角：，即 。由 得 ，故 。 （2）。由 （等号当 时成立）得 ，故 ；三角形不等式 给出上界。故 。 【答案】（1）；（2） 变 10（解答题） 记 的内角 ，， 的对边分别为 ，，，若 ，．（1）求 的值；（2）求 的最大值． ●解析 （1）混合形式条件先统一量纲：，（余弦定理代入）。两式相加恰为射影恒等式的展开：。故条件给出 。由正弦定理 ，代入得 ，由 得 ，于是 。 （2）。由 ：，故 ，等号当 时成立。最大值为 。 【答案】（1）；（2） 变 11（填空题） 在 中，角 ，， 所对的边分别为 ，，，若 且 ，则 的最小值为_____． ●解析 ，。条件展开：，即 。由 得 ，故 。，当 时取等。 的最小值为 。 【答案】 单元三 角参数化与函数值域 3.1 识别特征 目标是某个角或其组合的最值： 的最小值、 的最大值、 的最大值、 的范围；条件把某两个角的三角函数用一个关系拴住（ 、、 ）。 3.2 结论与推导 结论 3.1（切值关系的建立）　条件边化角后常自然产生切值关系： 展开整理得 ，约去 后配 ，得 。切值关系一旦建立， 即可用均值不等式取最值（分母为正常数时）。 推导：展开时用 公式逐项对齐； 的分母 为负时先定号再取倒； 对正切值成立。 结论 3.2（单参数切式配方）　 型：令 为 （  为正），目标化为 ，分母用均值不等式取最小，从而目标取最大；等号点 落在约束允许范围内才算数。 型同理（分母  ）。 推导：分子分母同除以 （  为正）化为”常数 + 常数倒数”结构；检验等号点在窗口内是最后一步，不可省略。 结论 3.3（复合角方程的窗口取支）　 型：先写出复合角随 的范围（锐角窗口把它进一步收紧，如  ），在该小窗口内正弦取值唯一或唯一可得，定出 ；窗口收紧是锐角条件在交汇题中的核心作用。 推导：辅助角化简后方程的解集是离散的等差点列，窗口（由内角范围给出）截出其中有限个，逐个检验。 结论 3.4（切化弦的整理与均值）　 型：两边同乘 ，左端为 的一部分，整理得 （即  ）。对称结构下求角的最值：把目标角的余弦表示为对称式（如  ），均值不等式给下界，等号在等腰时成立。 推导：切化弦是含正切条件的通用第一步； 给出对称式的不等式方向，等号即等腰；锐角余弦递减把 翻译为 。 3.3 方法决策表 题面 动作 条件含两个角的切值积/和 建立切值关系 + （结论 3.1） 目标是单参数切式 同除参数 + 均值配方（结论 3.2） 定角 复合角窗口收紧取支（结论 3.3） 对称条件 + 角最值 切化弦 + 对称式均值（结论 3.4） 例题精讲 例 4（解答题） 在锐角三角形 中，内角 的对边分别为 ，，，已知 ．（1）求 的最小值；（2）若 ，，求 ． ●解析 （1）展开：，整理得 。由 约去：。又 ，代入得 。锐角三角形中 ，故 。，等号当 时成立。最小值为 。 （2）由（1）， 给 ，则 、 是 的两根： 或 。 时 ，，由正弦定理 ； 时 ，。故 或 。 【答案】（1）；（2） 或 例 5（解答题） 已知函数 ．（1）求 的最小正周期及单调递增区间；（2）设锐角 的内角 ，， 所对的边分别为 ，，，若 ，，，求 的面积． ●解析 （1）。最小正周期 ；由 （  ）得单调递增区间 （  ）。 （2），即 。锐角三角形中 ，故 ，该窗口内正弦取 仅在 处，解得 。由余弦定理：，即 ， 或 。检验： 时 ， 为钝角，与锐角三角形矛盾，舍去； 时 ，，均为锐角，成立。面积 。 【答案】（1），递增区间 （  ）；（2） 变式训练 变 12（解答题） 已知 中，角 ，， 的对边分别为 ，，，函数 ．（1）求 的单调递增区间；（2）若 ，且 ，求 的取值范围． ●解析 （1）。 给 ； 递增等价于 递减，其递减段 与窗口之交给出 ，即 。 （2）：，窗口内解为 （另一支 与 分别使 或 ，均舍），。 即 ， 为钝角，。。由 ，，，故 ，取值范围为 。 【答案】（1）；（2） 变 13（解答题） 已知 的内角 ，， 所对的边分别为 ，，，且 ．（1）证明： 是 ， 的等差中项；（2）求 的最大值． ●解析 （1）两边同乘 ：，即 ，亦即 。由 ，得 ，换边 ，即 是 ， 的等差中项。 （2），代入 ：，等号当 时成立（等边三角形， ）。 为锐角（  排除 ：若 则  ），余弦在 上递减，故 ，最大值为 。 【答案】（1）见解析；（2） 变 14（解答题） 在 中，内角 ，， 所对的边分别为 ，，，其面积 ．（1）求证：；（2）求 的最大值． ●解析 （1），得 。由射影与余弦定理：。由 ，；又 ，代入 ：，由 约去得 。 （2）由（1）与积化和差：（ ， ）。故 ，即 ，，其中 （  ）。由 ：（另一支 越界），即 。，等号当 （等腰）时成立。最大值为 。 【答案】（1）见解析；（2） 变 15（解答题） 设 的内角 的对边分别为 ，已知 ．（1）若 ，．（i）求 ；（ii）求 ；（2）求 的最大值． ●解析 （1），条件即 ，整理得 。 （i）。 （ii）：，。。由正弦定理 。 （2）由（1），且 、 均为锐角（  同号且内角限制为正）。。由 ：，等号当 （ ，，可取）时成立。最大值为 。 【答案】（1）（i）；（ii）；（2） 变 16（单项选择题） 在 中，若内角 为锐角，满足 ，则 的最大值为（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 ，条件即 。又 ，代入：，即 ，。（代入  ）。、 为锐角，：，等号当 时成立。选 D。 【答案】D 单元四 结构压轴 4.1 识别特征 压轴综合： 与 之比的范围、条件推出双分支结构（  或  ）、三选一结构条件后接范围、 型面积混合条件、外接圆面积定 后的周长范围。 4.2 结论与推导 结论 4.1（外接圆定 的周长参数化）　外接圆面积给出 （  ），定角 后 为定值，另两边 、，周长合并为单 ：如 、 时 ；锐角窗口给 的范围， 在其上的取值即周长范围。 推导：，和角化积或展开合并皆可；窗口端点与 的最值点（  落在窗口内）共同决定开闭。 结论 4.2（  与 之比的化简）　 型：，；利用 （  时）把 变形，得到 ，于是 ——目标化为 的线性函数，只剩 的范围。 推导：分子分母同乘共轭式（  ）是这类”分式 + 根号定值”结构的关键变形；线性函数的范围由 的范围平移伸缩。 结论 4.3（双分支结构的并）　条件 化简后出现因式乘积为零：，即 或 。两支各是一个三角形家族：每支内独立求目标的最值，最后”各支最小值取较小者、各支范围取并集”；无最大值要明确陈述（目标在某支内趋于无穷）。 推导：因式分解的零点把解空间分成不相交两支，逐支处理再合并；目标在某支内可任意增大而无上界的，要明确陈述”无最大值”，并说明最小值（下界）能否取得，这是最值与范围表述的完整要求。 结论 4.4（面积混合条件与平方消元）　 型：左边代入 、右边展开 （用  ），约去 得 与 的一次关系（  ）；与 联立（平方消元）解出 ，配合 定值的均值上界 ，面积最大值立得。 推导：混合条件的统一动作是”面积公式代入 + 余弦定理代换 + 约去公共因子”；一次关系与平方关系联立时，平方会产生增根（  舍去），逐根检验。 4.3 方法决策表 题面 动作 外接圆面积 + 定角 + 周长范围 参数化 + 单 合并（结论 4.1） 型比 共轭变形化为线性（结论 4.2） 条件因式分解出双支 逐支求最值再合并（结论 4.3） 与边的平方混合 统一代换约分 + 平方消元（结论 4.4） 例题精讲 例 6（解答题） 已知 的内角 所对的边分别是 ，．（1）求角 ；（2）若 外接圆的面积为 ，且 为锐角三角形，求 周长的取值范围． ●解析 （1）由正弦定理换边：，交叉相乘：，展开 ，即 。，故 。 （2）外接圆面积 给 ，。，。周长为 。展开：。锐角窗口： 且 ，得 ，即 。。周长为 。 【答案】（1）；（2） 例 7（解答题） 在锐角 中，角 ，， 的对边分别为 ，，，．（1）求角 ；（2）当 时， 的面积为 ，周长为 ，求 的取值范围． ●解析 （1）两边乘 ：，即 。，故 ，由 得 ，故 。 （2），。由余弦定理：，即 。于是 ，目标化为 的线性函数。由正弦定理 ，：。锐角窗口：，故 ，，。所以 。 【答案】（1）；（2） 例 8（解答题） 已知 ，， 分别为 的三个内角 ，， 的对边，且 ， 的面积 ．（1）求证：；（2）求 的最大值． ●解析 （1）；。条件即 ，由 约去：，即 。 （2）由（1）平方：，即 ，整理得 ，。 使 ，舍去；故 。，等号当 时成立（此时 由余弦定理确定且 与（1）相容）。最大值为 。 【答案】（1）见解析；（2） 变式训练 变 17（解答题） 已知 内角 ，， 所对的边分别是 ，，，且 ．（1）证明：（ ， 为任意角）；（2）求 的最值；（3）若 ，，求 的面积 的取值范围． ●解析 （1）右边为 。 （2）。右端 。故 。分支一：，，，（等号  ）。分支二：，与 联立：，展开 ，即 。（等号  ）。综合：最小值为 ；分支一中 趋于 时目标趋于正无穷，故无最大值。 （3）分支一： 为斜边，，，； 给 ，。分支二：。，，，且由分支二条件 与 得 ，故 。。设 ，，： 增时 减，故 从 递减到 ， 从 递增到 ，即 。综上 的取值范围为 。 【答案】（1）见解析；（2）最小值 ，无最大值；（3） 变 18（解答题） 在 中，内角 、、 所对的边分别为 、、，且满足 ．（1）求角 ；（2）若 ，求 周长的取值范围． ●解析 （1）由余弦定理 ，条件化为 ，即 ，，故 。 （2），，。周长为 。展开：。周长为 。由 得 ，，。周长 。 【答案】（1）；（2） 变 19（解答题） 在 中，内角 ，， 的对边长分别为 ，，，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，条件① ，条件② ，条件③ ．（1）求角 的大小；（2）若 是锐角三角形，且 ，求 面积的取值范围．注：如果选择多个条件分别作答，则按第一个解答计分． ●解析 （1）三条路径殊途同归 ：条件①边化角后 ，约去 得 ，解出 （负根舍），；条件②，约去得 ，；条件③展开整理 ，换边读 ，。 （2），：。。锐角窗口： 且 ，得 ，。。 【答案】（1）；（2） 变 20（解答题） 已知 的内角 的对边分别为 ，，且 的面积为 ．（1）求 ；（2）求 周长的最小值． ●解析 （1）展开：，即 。，故 。 （2），得 。周长 。由 ，故 ，。两项同时取等需 （此时 ，等边三角形存在）。，最小值为 。 【答案】（1）；（2） 学科网（北京）股份有限公司 $ 解三角形之范围与最值 高三数学专题复习 · 三角第十讲 0 题型概说 本讲研究的问题：解三角形中的取值范围与最值——在”定角”或”定边”之后，求面积、周长、某条边或某个角的最值；或在锐角三角形、钝角三角形等形状约束下求某个量的范围。它是前两讲”定理选型”“条件化简”的下游：先把条件化简到位，剩下的就是把目标量表示为一个变量的函数，再求该函数在允许范围上的最值。 与前三讲的分工：第八、九讲的任务是”定出角与边”；本讲的任务是”在没定死的地方游走”——对称条件（  与 的关联）配合基本不等式、角参数化（把边写成 后目标成为 的组合）、锐角窗口（三个不等式夹出的开区间）。三类工具对应三条主线，识别条件形态即可选路。 识别信号总览： 题面特征 方法指向 单元 定角后给 （或  ）定值，求面积/周长最值；， 型对称条件 基本不等式卡 （或  ） 单元一 “锐角三角形”约束下求 、周长、 的范围 锐角窗口 + 单调性 单元二 求 、、 的最值 角参数化 + 均值/辅助角 单元三 与 之比、双分支结构、 型混合条件 结构压轴 单元四 单元一 对称结构的最值 1.1 识别特征 条件已定出一个角（或可直接定角），并给出某边的定值（ 、），求面积或周长的最值；或条件本身对称（ 、、 ），目标是面积、周长、某边的最值。 1.2 结论与推导 结论 1.1（均值不等式卡乘积）　定角 与定边 下，余弦定理 是关于 、 的对称约束：由 得 （  时系数为正），解出 的上界，代入 得面积最大值；等号在 （等腰）时成立，且该等腰三角形存在，故上界可达。 推导：对称约束 + 对称目标（ 、 ）是均值不等式的标准场景；等号条件 只需代回约束验证一次存在性（定角定边下等腰三角形总存在）。 结论 1.2（配凑和与积）　求周长最值：把余弦定理配凑为 ，若 已知则 立得；若已知 求 的范围，则由 得 ；三角形不等式 给出上界，合起来是闭半开区间。 推导： 的上界对应 的下界（系数为负时）； 的范围由”均值下界（可达）+ 三角形不等式上界（取不到）“合成，端点开闭逐一核对。 结论 1.3（  型参数化的最值）　定角 、定边 时，正弦定理给出 、，目标量化为 的函数：周长 ，用辅助角合并为 型，在 的自然范围 上取最值。 推导： 化为单 ；范围端点由 的开区间决定，注意最大值点落在区间内时取得到、落在端点时取不到。 结论 1.4（ “1 的代换”与对称破缺）　形如”，求 的最值”：把目标乘以条件（  ），展开为常数 与 、 两项，用均值不等式收口；不对称的系数（  与 ）决定了等号点的位置（  ）。 推导：；乘积为定值是均值不等式可用性的判据，“1 的代换”正是制造这个定值。 1.3 方法决策表 题面 动作 定角定边求面积最大 均值卡 上界（结论 1.1） 定角定边求周长 / 定 求 范围 配凑 （结论 1.2） 定角定边求周长（函数路线） 正弦定理参数化 + 辅助角（结论 1.3） 不对称切值条件 “1 的代换”（结论 1.4） 例题精讲 例 1（解答题） 在 中，内角 ，， 的对边分别是 ，，，且 ．（1）求 ；（2）若 ，求 的面积的最大值． ●解析 （1）展开：，即 。由余弦定理 。由 知 ，，故 。 （2） 时约束为 ，即 。由 ，故 ，即 ，得 ，等号当 时成立（此时 ，与 、 的余弦值相容，等腰三角形存在）。面积 ，最大值为 。 变式训练 变 1（解答题） 的内角 ，， 的对边分别为 ，，，设 ．（1）求 ；（2）若 ，求 周长的最大值． 变 2（解答题） 已知 ，， 分别是 的内角 ，， 的对边，且 ．（1）求 ；（2）若 ，求 面积的最大值． 变 3（解答题） 在 中，内角 ，， 的对边分别为 ，，，已知 ．（1）求角 的大小；（2）若 ，求 面积的最大值． 变 4（解答题） 中，角 ，， 所对的边分别为 ，， 且 ．（1）若 ，求 的值；（2）求 的最大值． 变 5（解答题） 已知 的内角 ，， 所对的边分别为 ，，，角 为钝角，，．（1）若 ，求 的值；（2）求 面积的最小值． 变 6（单项选择题） 记 的内角 ，， 的对边分别为 ，，，已知 ，，则 的面积的最大值为（  ） A．　　B．　　C．　　D． 单元二 锐角窗口的取值范围 2.1 识别特征 题设” 为锐角三角形”，求 、、周长、、 等量的范围；或条件已把三个角约束在一条单参数链上（ 、 等），求相关比值或和的范围。 2.2 结论与推导 结论 2.1（锐角窗口三联不等式）　“锐角三角形”等价于三个角都属于 。当角之间有单参数关系（如 、 ）时，窗口是关于该参数的三联不等式，例如 时 解得 ；窗口是开区间（端点为直角三角形，被”锐角”排除）。 推导：把每个角都化为参数的线性函数逐一限制，取交集；哪条约束最紧由参数关系的系数决定。 结论 2.2（目标量单参数化）　窗口内的范围问题：把目标量（比值、和）写成参数的单调函数。比值走正弦定理（  ），三角目标和走降幂合并（如 时 ，其中二项和  ），边和走 参数化。单调者直接读范围；非单调者找区间内的极值点并比较两端。 推导：正弦定理把”边比”化为”角比”后，一切目标都是窗口参数的三角函数；降幂与辅助角把它化为一层 ，窗口端点的值与极值共同决定范围，开闭随端点开闭与取得性。 结论 2.3（反证判等与对称破缺）　条件 型（两边地位不对称）：设 推出与假设矛盾的结论、设 同样矛盾，从而 。判定后三角形成为等腰，目标量（  ）化为底角的单函数，窗口由第三角锐角给出。 推导：不等号方向沿”大角对大边、大边对大余弦反号”传递，两个方向都矛盾说明等号成立；等腰后 给 ，连同 成窗口。 结论 2.4（钝角窗口与二次函数）　“”即 ， 为钝角：窗口由 与已知角平移而来。定角后给 （或  ）定值求某边范围：设 ，目标边平方展开为 的二次函数，在 的自然区间上用配方法取最值。 推导：钝角排除后其余两角皆锐，窗口是半平面的交；二次函数在闭（或半开）区间上的最值由顶点是否落入区间决定，端点开闭沿用窗口的开闭。 2.3 方法决策表 题面 动作 锐角三角形 + 单参数角链 三联窗口 + 单调目标函数（结论 2.1、2.2） 两边不对称条件 反证判等腰后参数化（结论 2.3） 钝角条件（平方和不等式） 钝角窗口 + 二次函数配方（结论 2.4） 三项和 降幂合并为单 （结论 2.2） 例题精讲 例 2（解答题） 记 的内角 ，， 的对边分别为 ，，．已知 ．（1）求 ；（2）若 为锐角三角形，求 的取值范围． ●解析 （1）由正弦定理 ，与条件比较得 ，即 ，，故 。 （2）。， 与 两项降幂合并：。由和化积公式，取 、，则 、，故 的和化积为 ，即 。故 ，目标和为 。锐角窗口： 且 ，得 ，于是 ，。所以 。 例 3（解答题） 的内角 的对边分别为 ，已知 ．（1）求 ；（2）若 为锐角三角形，且 ，求 周长的取值范围． ●解析 （1）由内角和，，故条件即 。边化角：，由 约去：。由 知 ，约去得 ，故 ，。 （2）锐角窗口： 且 ，得 。由正弦定理，，。在窗口内 增大时， 增大，而 减小使 减小，故 与 都随 的增大而增大，周长随 递增。端点值： 趋于 时 趋于 ， 趋于 ， 趋于 ，周长趋于 ； 趋于 时 趋于 ， 趋于 ， 趋于 ，周长趋于 。窗口为开区间，两端均取不到，故周长的取值范围为 。 变式训练 变 7（解答题） 在 中，角 的对边分别为 ，已知 ．（1）求证：；（2）若 是锐角三角形，求 的取值范围． 变 8（解答题） 在锐角三角形 中，角 的对边分别为 ，已知 ．（1）比较 与 的大小；（2）求 的取值范围． 变 9（解答题） 在 中，内角 ，， 的对边分别为 ，，，且满足 ．（1）求角 的大小；（2）若 ，求 的取值范围． 变 10（解答题） 记 的内角 ，， 的对边分别为 ，，，若 ，．（1）求 的值；（2）求 的最大值． 变 11（填空题） 在 中，角 ，， 所对的边分别为 ，，，若 且 ，则 的最小值为_____． 单元三 角参数化与函数值域 3.1 识别特征 目标是某个角或其组合的最值： 的最小值、 的最大值、 的最大值、 的范围；条件把某两个角的三角函数用一个关系拴住（ 、、 ）。 3.2 结论与推导 结论 3.1（切值关系的建立）　条件边化角后常自然产生切值关系： 展开整理得 ，约去 后配 ，得 。切值关系一旦建立， 即可用均值不等式取最值（分母为正常数时）。 推导：展开时用 公式逐项对齐； 的分母 为负时先定号再取倒； 对正切值成立。 结论 3.2（单参数切式配方）　 型：令 为 （  为正），目标化为 ，分母用均值不等式取最小，从而目标取最大；等号点 落在约束允许范围内才算数。 型同理（分母  ）。 推导：分子分母同除以 （  为正）化为”常数 + 常数倒数”结构；检验等号点在窗口内是最后一步，不可省略。 结论 3.3（复合角方程的窗口取支）　 型：先写出复合角随 的范围（锐角窗口把它进一步收紧，如  ），在该小窗口内正弦取值唯一或唯一可得，定出 ；窗口收紧是锐角条件在交汇题中的核心作用。 推导：辅助角化简后方程的解集是离散的等差点列，窗口（由内角范围给出）截出其中有限个，逐个检验。 结论 3.4（切化弦的整理与均值）　 型：两边同乘 ，左端为 的一部分，整理得 （即  ）。对称结构下求角的最值：把目标角的余弦表示为对称式（如  ），均值不等式给下界，等号在等腰时成立。 推导：切化弦是含正切条件的通用第一步； 给出对称式的不等式方向，等号即等腰；锐角余弦递减把 翻译为 。 3.3 方法决策表 题面 动作 条件含两个角的切值积/和 建立切值关系 + （结论 3.1） 目标是单参数切式 同除参数 + 均值配方（结论 3.2） 定角 复合角窗口收紧取支（结论 3.3） 对称条件 + 角最值 切化弦 + 对称式均值（结论 3.4） 例题精讲 例 4（解答题） 在锐角三角形 中，内角 的对边分别为 ，，，已知 ．（1）求 的最小值；（2）若 ，，求 ． ●解析 （1）展开：，整理得 。由 约去：。又 ，代入得 。锐角三角形中 ，故 。，等号当 时成立。最小值为 。 （2）由（1）， 给 ，则 、 是 的两根： 或 。 时 ，，由正弦定理 ； 时 ，。故 或 。 例 5（解答题） 已知函数 ．（1）求 的最小正周期及单调递增区间；（2）设锐角 的内角 ，， 所对的边分别为 ，，，若 ，，，求 的面积． ●解析 （1）。最小正周期 ；由 （  ）得单调递增区间 （  ）。 （2），即 。锐角三角形中 ，故 ，该窗口内正弦取 仅在 处，解得 。由余弦定理：，即 ， 或 。检验： 时 ， 为钝角，与锐角三角形矛盾，舍去； 时 ，，均为锐角，成立。面积 。 变式训练 变 12（解答题） 已知 中，角 ，， 的对边分别为 ，，，函数 ．（1）求 的单调递增区间；（2）若 ，且 ，求 的取值范围． 变 13（解答题） 已知 的内角 ，， 所对的边分别为 ，，，且 ．（1）证明： 是 ， 的等差中项；（2）求 的最大值． 变 14（解答题） 在 中，内角 ，， 所对的边分别为 ，，，其面积 ．（1）求证：；（2）求 的最大值． 变 15（解答题） 设 的内角 的对边分别为 ，已知 ．（1）若 ，．（i）求 ；（ii）求 ；（2）求 的最大值． 变 16（单项选择题） 在 中，若内角 为锐角，满足 ，则 的最大值为（  ） A．　　B．　　C．　　D． 单元四 结构压轴 4.1 识别特征 压轴综合： 与 之比的范围、条件推出双分支结构（  或  ）、三选一结构条件后接范围、 型面积混合条件、外接圆面积定 后的周长范围。 4.2 结论与推导 结论 4.1（外接圆定 的周长参数化）　外接圆面积给出 （  ），定角 后 为定值，另两边 、，周长合并为单 ：如 、 时 ；锐角窗口给 的范围， 在其上的取值即周长范围。 推导：，和角化积或展开合并皆可；窗口端点与 的最值点（  落在窗口内）共同决定开闭。 结论 4.2（  与 之比的化简）　 型：，；利用 （  时）把 变形，得到 ，于是 ——目标化为 的线性函数，只剩 的范围。 推导：分子分母同乘共轭式（  ）是这类”分式 + 根号定值”结构的关键变形；线性函数的范围由 的范围平移伸缩。 结论 4.3（双分支结构的并）　条件 化简后出现因式乘积为零：，即 或 。两支各是一个三角形家族：每支内独立求目标的最值，最后”各支最小值取较小者、各支范围取并集”；无最大值要明确陈述（目标在某支内趋于无穷）。 推导：因式分解的零点把解空间分成不相交两支，逐支处理再合并；目标在某支内可任意增大而无上界的，要明确陈述”无最大值”，并说明最小值（下界）能否取得，这是最值与范围表述的完整要求。 结论 4.4（面积混合条件与平方消元）　 型：左边代入 、右边展开 （用  ），约去 得 与 的一次关系（  ）；与 联立（平方消元）解出 ，配合 定值的均值上界 ，面积最大值立得。 推导：混合条件的统一动作是”面积公式代入 + 余弦定理代换 + 约去公共因子”；一次关系与平方关系联立时，平方会产生增根（  舍去），逐根检验。 4.3 方法决策表 题面 动作 外接圆面积 + 定角 + 周长范围 参数化 + 单 合并（结论 4.1） 型比 共轭变形化为线性（结论 4.2） 条件因式分解出双支 逐支求最值再合并（结论 4.3） 与边的平方混合 统一代换约分 + 平方消元（结论 4.4） 例题精讲 例 6（解答题） 已知 的内角 所对的边分别是 ，．（1）求角 ；（2）若 外接圆的面积为 ，且 为锐角三角形，求 周长的取值范围． ●解析 （1）由正弦定理换边：，交叉相乘：，展开 ，即 。，故 。 （2）外接圆面积 给 ，。，。周长为 。展开：。锐角窗口： 且 ，得 ，即 。。周长为 。 例 7（解答题） 在锐角 中，角 ，， 的对边分别为 ，，，．（1）求角 ；（2）当 时， 的面积为 ，周长为 ，求 的取值范围． ●解析 （1）两边乘 ：，即 。，故 ，由 得 ，故 。 （2），。由余弦定理：，即 。于是 ，目标化为 的线性函数。由正弦定理 ，：。锐角窗口：，故 ，，。所以 。 例 8（解答题） 已知 ，， 分别为 的三个内角 ，， 的对边，且 ， 的面积 ．（1）求证：；（2）求 的最大值． ●解析 （1）；。条件即 ，由 约去：，即 。 （2）由（1）平方：，即 ，整理得 ，。 使 ，舍去；故 。，等号当 时成立（此时 由余弦定理确定且 与（1）相容）。最大值为 。 变式训练 变 17（解答题） 已知 内角 ，， 所对的边分别是 ，，，且 ．（1）证明：（ ， 为任意角）；（2）求 的最值；（3）若 ，，求 的面积 的取值范围． 变 18（解答题） 在 中，内角 、、 所对的边分别为 、、，且满足 ．（1）求角 ；（2）若 ，求 周长的取值范围． 变 19（解答题） 在 中，内角 ，， 的对边长分别为 ，，，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，条件① ，条件② ，条件③ ．（1）求角 的大小；（2）若 是锐角三角形，且 ，求 面积的取值范围．注：如果选择多个条件分别作答，则按第一个解答计分． 变 20（解答题） 已知 的内角 的对边分别为 ，，且 的面积为 ．（1）求 ；（2）求 周长的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $