三角函数与解三角形 专项测试卷（基础）-2027届高三数学一轮复习

三角函数与解三角形单元测试卷（基础版·解析版） （考试时间 120 分钟　满分 150 分） 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在中，，，则 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 由余弦定理 ， 因为 ，所以 。故选 B。 2．《九章算术》中有这样的一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”意思是说：现有一块扇形田，弧长30步，扇形所在圆的直径为16步，则这块扇形田的面积（单位：平方步）是 A．60 B．120 C．240 D．480 【答案】B 【解析】 弧形田的弧长为 步，直径为 步，所以半径为 步。 由扇形面积公式 得 （平方步）。故选 B。 3．要得到函数的图象，只需将函数的图象 A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】B 【解析】 把 的图象向右平移 个单位长度，得 ，恰为所求图象。故选 B。 4．下列函数中最小正周期等于的是 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 A： 的最小正周期 ，不符合； B： 的图象由 的图象把 轴下方的部分翻折到上方得到， 在 上递增、在 上递减，最小正周期为 ，符合； C： 为常函数，没有最小正周期，不符合； D： 的图象关于 轴对称，不是周期函数，不符合。故选 B。 5．若，则的值是 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 由 得 ， 即 ，所以 。 于是 。故选 B。 6．已知角的终边经过点，则 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 因为角 的终边经过点 ，所以 ， ，。 所以 。故选 D。 7．函数的图象关于点中心对称，则的最小值为 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 正弦函数 的对称中心为 （），故 的对称中心横坐标 满足 （）。 由点 是 图象的对称中心，把 代入得 （），即 。 因为 ，所以 ，解得 。 又 ，所以 的最小值为 ，此时 取得最小值 。故选 C。 8．已知，则 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 由两角和的正弦公式 ， 所以 。 两边平方得 ，即 ， 所以 。故选 A。 二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。 9．的内角，，对边分别为，，，若，，的面积为，则 A． B． C．当时， D．当时， 【答案】ABC 【解析】 由 及正弦定理得 ， 即 。因为 ，，所以 ，即 。 由 得 ，又 ，所以 ，A 正确； 由 知 ，所以 ，B 正确； 当 时，由余弦定理 ，C 正确； 当 时，，得 。 因为 ，所以 或 ，D 错误。故选 ABC。 10．在中，已知，则 A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】 由 且 得 ，所以 。 A：由 知 或 。 若 ，记 ，则 ，，从而 。 由 得 （正弦在 上单调递增）， 而 ， 所以 ，即 ，与 ， 矛盾。 故 ，A 正确。 B、C：先确定 B 的允许范围 设 是满足 的三角形内角。记 ， 则 或 。若 ，则 ， 即 ，也就是 ，得 ，矛盾。 所以 ，从而 ，。 这说明任意 都能构成符合条件的三角形。 取 接近 即可使 ，故 B 错误； 取 ，此时 ， ，，能构成三角形，故 C 错误。 D：由 ， 而 ，，正弦在 上单调递增， 所以 ，即 ，从而 ，D 正确。故选 AD。 11．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（），则下列说法正确的是 A．若，则C为直角 B．若，则B为钝角 C．若，则 D．若，则的最大值为 【答案】BCD 【解析】 由 及正弦定理 ， 得 ， 整理得 。　　① A： 时 ① 化为 。因为 ，所以 ，， 即 为直角（不是 为直角），A 错误。 B： 时 由 及余弦定理 得 ，所以 ，即 。 于是 ， 为钝角，B 正确。 C： 时 由 得 ，所以 ， 即 ，从而 ，C 正确。 D： 时 由 知 ， 为锐角。由 ① 得 ，即 ，故 也为锐角。 所以 。 令 ，则 ，所以 ， 当且仅当 即 时取等号，D 正确。故选 BCD。 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12．若，则_______ 【答案】 【解析】 由 ， ， 两式相加得 ，即 ； 两式相减得 ，即 。 所以 。 13．已知，则___________． 【答案】 【解析】 设 ，则 。 所以 。 因为 ，所以 。 14．已知锐角满足，则______. 【答案】 【解析】 由 得 ， 即 。 由 为锐角知 ，两边同除以 ：， 即 ，解得 或 。 因为 是锐角，，所以 。 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．在中，角、、所对的边分别为，，，满足．（13分） (1)求； (2)若，，求的周长． 【答案】(1) ；(2) 或 【解析】 (1) 由余弦定理 ，，所以 。 代入 得 。因为 ，所以 ， 因为 ，所以 。 (2) 由余弦定理 得 ， 即 ，解得 或 ，两者都能构成三角形。 所以 的周长为 或 。 16．已知函数（）的最小正周期为．（15分） (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调递增区间； (3)求函数的最小值，并求取得最小值时的取值集合． 【答案】(1) ；(2) （）；(3) 最小值 ，此时 【解析】 (1) 。 因为 的最小正周期为 ，所以 ，解得 ， 故 。 (2) 令 （）， 解得 ， 所以 的单调递增区间为 （）。 (3) 因为 ，所以 ， 当且仅当 ，即 （）时取到最小值。 所以 的最小值为 ，取得最小值时 的取值集合为 。 17．已知函数.（15分） (1)求在区间上的单调递减区间； (2)若，求的值. 【答案】(1) ；(2) 【解析】 (1) 。 令 得 。 取 得 ，它在 内， 故 在 上的单调递减区间为 。 (2) 先化简条件 。 由 得 。 结合 得 ，。 所以 。 （此时 ， 在一或三象限，，故恒为 。） 18．在中，角所对的边分别为，且满足．（17分） (1)证明：； (2)若，，求的面积． 【答案】(1) 证明见解析；(2) 【解析】 (1) 因为 ，所以 。 代入 得 ， 即 ，也就是 。 因为 ，所以 ，即 。 (2) 由 得 ，又 ，所以 。 由余弦定理 ， 所以 。 所以 。 19．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（17分） (1)求C； (2)若，求周长的最大值． 【答案】(1) ；(2) 【解析】 (1) 用积化和差：， ，。 代入已知 得 。 整理得 。 若 ，则 ，得 或 ，不可能。 所以 ，，。 (2) 用正弦定理求外接圆半径 由正弦定理 ，所以 。 。 周长 。 因为 ， ， 等号当 时成立。 所以 ，即周长最大值为 。 学科网（北京）股份有限公司 $ 三角函数与解三角形单元测试卷（基础版） （考试时间 120 分钟　满分 150 分） 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在中，，，则（　　） A． B． C． D． 2．《九章算术》中有这样的一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”意思是说：现有一块扇形田，弧长30步，扇形所在圆的直径为16步，则这块扇形田的面积（单位：平方步）是（　　） A．60 B．120 C．240 D．480 3．要得到函数的图象，只需将函数的图象（　　） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 4．下列函数中最小正周期等于的是（　　） A． B． C． D． 5．若，则的值是（　　） A． B． C． D． 6．已知角的终边经过点，则（　　） A． B． C． D． 7．函数的图象关于点中心对称，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 8．已知，则（　　） A． B． C． D． 二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。 9．的内角，，对边分别为，，，若，，的面积为，则（　　） A． B． C．当时， D．当时， 10．在中，已知，则（　　） A． B． C． D． 11．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（），则下列说法正确的是（　　） A．若，则C为直角 B．若，则B为钝角 C．若，则 D．若，则的最大值为 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12．若，则_______ 13．已知，则___________． 14．已知锐角满足，则______. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．在中，角、、所对的边分别为，，，满足．（13分） (1)求； (2)若，，求的周长． 16．已知函数（）的最小正周期为．（15分） (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调递增区间； (3)求函数的最小值，并求取得最小值时的取值集合． 17．已知函数.（15分） (1)求在区间上的单调递减区间； (2)若，求的值. 18．在中，角所对的边分别为，且满足．（17分） (1)证明：； (2)若，，求的面积． 19．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（17分） (1)求C； (2)若，求周长的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $