精品解析：贵州黔南州广大实验高级中学2026-2027学年高二上学期10月月考质量检测数学试题

2026-2027学年度（上）高二年级10月月考质量检测 数学试题（空间向量与立体几何） 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题栏上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔将答案填涂在答题卡相应位置.回答非选择题时，将答案写在对应题号的横线上或下方空白处.写在其他位置无效. 第Ⅰ部分 （选择题） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列说法正确的是（　　） A. 单位向量的模都等于1，所以单位向量都相等 B. 若两个向量相等，则这两个向量一定共线 C. 若 ，则 D. 零向量与任意向量的数量积为1 2. 在平行六面体 中，（　　） A. B. C. D. 3. 下列命题中正确的是（　　） A. 若 ，，则 B. 对空间任意两个向量 ， 的充要条件是存在实数 使 C. 若对空间任意一点，有 且 ，则 四点共面 D. 若向量 共面，则存在实数 使 4. 已知 ，，，则 与 的夹角为（　　） A. B. C. D. 5. 下列关于空间向量基底的说法正确的是（　　） A. 空间任意三个不共线的向量都可以作为空间的一个基底 B. 若 是空间的一个基底，则其中任意两个向量都不共线 C. 空间的一个基底中可以含有零向量 D. 给定基底后，空间任一向量用该基底表示的系数不唯一 6. 已知向量 ，，且 与 互相垂直，则实数 （　　） A. B. C. D. 7. 下列关于方向向量与法向量的说法正确的是（　　） A. 一条直线的方向向量是唯一的 B. 一个平面的法向量是唯一的 C. 若直线 的方向向量 与平面 的法向量 满足 ，则 或 D. 若平面 的法向量与平面 的法向量垂直，则 8. 已知平面 过原点 ，它的一个法向量为 ；直线 过点 ，方向向量为 ，则 与 的位置关系是（　　） A. B. C. D. 相交但不垂直 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得3分，有选错的得0分．） 9. 在棱长为 2 的正方体 中，下列结论正确的是（　　） A. 异面直线 与 所成的角为 B. 异面直线 与 所成角的正弦值为 C. D. 直线 与平面 所成角的正弦值为 10. 已知平面 的法向量分别为 ，直线 的方向向量为 ，则下列结论正确的是（　　） A. 若 ，则 B. 若 且 ，则 C. 若 ，则 与 一定平行 D. 若 ，则 11. 在棱长为 2 的正方体 中，下列结论正确的是（　　） A. 直线 与平面 所成角的正弦值为 B. 直线 与平面 所成的角为 C. 直线 与平面 所成的角为 D. 直线 与平面 所成角的正弦值为 第Ⅱ部分 （非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知向量 ，，则 ______． 13. 已知点 ，直线 过原点 且方向向量为 ，则点 到直线 的距离为______． 14. 《九章算术》称四个面都是直角三角形的三棱锥为“鳖臑”．如图，鳖臑 中， 平面 ，，，点 在线段 上运动，则 的最小值为______． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知空间向量 ，． （1）求 与 的坐标，并求 ； （2）若 与 平行（共线），求实数 的值，并求 ． 16. 如图，在棱长为2的正方体中． （1）建立适当的空间直角坐标系，写出点 的坐标，并求直线的一个方向向量； （2）证明：平面． 17. 如图，正三棱柱 的底面 是边长为 2 的正三角形，侧棱 ， 为 的中点， 为 的中点． （1）建立适当的空间直角坐标系，写出的坐标，并用中点坐标公式求点的坐标； （2）求直线与底面所成角的大小； （3）求平面和平面所成角的余弦值． 18. 如图，正四面体的棱长为2，记，，，取 为空间的一组基底． （1）用这组基底表示与（为的中点）；求，并由此求异面直线与所成的角； （2）设为在平面上的射影，用基底表示，并求点到平面的距离及直线与平面所成角的正弦值． 19. 如图1，在四边形中，点位于两侧，且，，．将沿折起，点到达点 的位置（如图2），记二面角 的大小为 （）． （1）建立适当的空间直角坐标系；当 时，求 线段 的长，并证明 ； （2）用 表示点 的坐标，并求 关于 的表达式； （3）在折叠过程中，求点 到平面 的距离的最大值，并求出此时 的大小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度（上）高二年级10月月考质量检测 数学试题（空间向量与立体几何） 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题栏上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔将答案填涂在答题卡相应位置.回答非选择题时，将答案写在对应题号的横线上或下方空白处.写在其他位置无效. 第Ⅰ部分 （选择题） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列说法正确的是（　　） A. 单位向量的模都等于1，所以单位向量都相等 B. 若两个向量相等，则这两个向量一定共线 C. 若 ，则 D. 零向量与任意向量的数量积为1 【答案】B 【解析】 【详解】对于A，单位向量的方向不一定相同，故单位向量不一定相等，故A错误； 对于B，两个相等的非零向量，方向相同，一定共线；若两个向量是零向量，也满足共线，故B正确 对于C，两个向量模相等，方向不一定相同，这两个向量不一定相等，故C错误； 对于D，零向量与任意向量的数量积为0，故D错误. 2. 在平行六面体 中，（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】. 3. 下列命题中正确的是（　　） A. 若 ，，则 B. 对空间任意两个向量 ， 的充要条件是存在实数 使 C. 若对空间任意一点，有 且 ，则 四点共面 D. 若向量 共面，则存在实数 使 【答案】C 【解析】 【分析】先根据空间向量共线、向量共面、四点共面相关定理及其成立的前提条件，再依次对A、B、C、D四个命题逐个辨析，通过举反例否定错误选项，对C选项做向量式变形推导证明，最后确定正确答案即可. 【详解】选项A：当时，零向量与任意向量平行，但与不一定平行，∴A错误； 选项B：定理前提：，若，不存在实数使， 缺少条件，不是对任意两向量成立，∴B错误； 选项C：∵，， ∴， ， ， 共面，且有公共点，故四点共面，∴C正确； 选项D：定理前提：不共线，若共线（如），不一定存在满足，∴D错误； 4. 已知 ，，，则 与 的夹角为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】设向量与的夹角为，则， 由，故. 5. 下列关于空间向量基底的说法正确的是（　　） A. 空间任意三个不共线的向量都可以作为空间的一个基底 B. 若 是空间的一个基底，则其中任意两个向量都不共线 C. 空间的一个基底中可以含有零向量 D. 给定基底后，空间任一向量用该基底表示的系数不唯一 【答案】B 【解析】 【详解】对于选项A：空间任意三个不共线的向量，如果它们共面，则不能作为空间的一个基底，空间基底必须是三个不共面的向量，故A错误. 对于选项B：若是空间的一个基底，则这三个向量不共面.若其中任意两个向量共线(例如与共线).，则这三个向量必然共面，这就与它们是基底矛盾.因此，其中任意两个向量都不共线，故B正确. 对于选项C：零向量与任意向量都共面，若基底中含有零向量，则这三个向量共面，不能构成基底，故C错误. 对于选项D：根据空间向量基本定理，给定基底后，空间任一向量用该基底表示的系数是唯一的，故D错误. 6. 已知向量 ，，且 与 互相垂直，则实数 （　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量的加减、数乘与数量积的坐标公式计算即得. 【详解】因，， 则,  ,  因  与 互相垂直， 则,解得. 7. 下列关于方向向量与法向量的说法正确的是（　　） A. 一条直线的方向向量是唯一的 B. 一个平面的法向量是唯一的 C. 若直线 的方向向量 与平面 的法向量 满足 ，则 或 D. 若平面 的法向量与平面 的法向量垂直，则 【答案】C 【解析】 【详解】与直线平行的任意非零向量都是该直线的方向向量，共线的非零向量有无穷多个， 因此直线的方向向量不唯一，A错误； 与平面垂直的任意非零向量都是该平面的法向量，共线的非零向量有无穷多个， 因此平面的法向量不唯一，B错误； 若，则，即直线的方向向量与平面的法向量垂直， 此时直线与平面平行或在平面内，即或，C正确； 若两个平面的法向量垂直，则两个平面互相垂直，即，而非，D错误. 8. 已知平面 过原点 ，它的一个法向量为 ；直线 过点 ，方向向量为 ，则 与 的位置关系是（　　） A. B. C. D. 相交但不垂直 【答案】B 【解析】 【分析】先利用法向量与方向向量垂直，得到或.再根据点在平面外，进一步得到. 【详解】因为，，所以. 所以或. 又因为由点法式，平面方程为， 即，不满足平面方程，故在平面外， 所以. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得3分，有选错的得0分．） 9. 在棱长为 2 的正方体 中，下列结论正确的是（　　） A. 异面直线 与 所成的角为 B. 异面直线 与 所成角的正弦值为 C. D. 直线 与平面 所成角的正弦值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由异面直线所成角的定义，直线与平面所成角的定义，向量的数量积运算求解. 【详解】因为，所以异面直线 与 所成的角为, 连接，为等边三角形，则， 故异面直线 与 所成的角为 ，选项A正确； 异面直线 与 所成角的正弦值为，选项B错误； 因为，所以，选项C正确； 因为，平面，所以平面， 则直线 与平面 所成角为，故直线 与平面 所成角的正弦值为 ，选项D正确. 10. 已知平面 的法向量分别为 ，直线 的方向向量为 ，则下列结论正确的是（　　） A. 若 ，则 B. 若 且 ，则 C. 若 ，则 与 一定平行 D. 若 ，则 【答案】AB 【解析】 【详解】对于选项A：因为分别是平面的法向量，若，则，即两平面的法向量互相垂直，所以平面，故A正确. 对于选项B：若直线且，根据面面垂直的判定定理(如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直)，可得，故B正确. 对于选项C：若，说明两平面的法向量平行，则平面与平面可能平行，也可能重合，故C错误. 对于选项D：若，说明直线的方向向量与平面的法向量垂直，则直线平行于平面()或直线在平面内()，故D错误. 11. 在棱长为 2 的正方体 中，下列结论正确的是（　　） A. 直线 与平面 所成角的正弦值为 B. 直线 与平面 所成的角为 C. 直线 与平面 所成的角为 D. 直线 与平面 所成角的正弦值为 【答案】AC 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用线面夹角公式计算即可. 【详解】以为坐标原点，为正方向建立如图空间直角坐标系. 则 所以，平面 法向量为， 对于AB，直线 与平面 所成角的正弦值为， 故A正确，B错误. 对于CD，直线 与平面 所成角的正弦值为， 又因为直线 与平面 所成角属于，所以直线 与平面 所成的角为 ，故C正确，D错误 第Ⅱ部分 （非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知向量 ，，则 ______． 【答案】 【解析】 【详解】因 ，，则， 故. 13. 已知点 ，直线 过原点 且方向向量为 ，则点 到直线 的距离为______． 【答案】 【解析】 【详解】取直线上的原点，则向量在方向向量上的投影为， 则点到直线 的距离为. 14. 《九章算术》称四个面都是直角三角形的三棱锥为“鳖臑”．如图，鳖臑 中， 平面 ，，，点 在线段 上运动，则 的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】通过建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算将数量积表示为关于参数的二次函数，进而求得最小值. 【详解】因为  平面 ，，且 ， 所以 ，． 如图，以  为坐标原点，， 的方向分别为  轴、 轴的正方向，过点  且平行于  的直线为  轴，建立空间直角坐标系 ． 则 ，，， ． 设 ，其中 ． 因为 ， 所以  ． 又 ， 所以     ． 因为 ， 所以，当  时， 取得最小值 ． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知空间向量 ，． （1）求 与 的坐标，并求 ； （2）若 与 平行（共线），求实数 的值，并求 ． 【答案】（1） ，，. （2） ，. 【解析】 【小问1详解】 由 ，，得 ， ， 故 .  【小问2详解】 ，，由 与  平行， 则 ，可得 ，得 ，经检验符合题意， 此时 ，故 . 16. 如图，在棱长为2的正方体中． （1）建立适当的空间直角坐标系，写出点 的坐标，并求直线的一个方向向量； （2）证明：平面． 【答案】（1）， （2）因为， 所以， 则， 因为平面，所以平面 【解析】 【小问1详解】 以为原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则直线的一个方向向量； 【小问2详解】 略 17. 如图，正三棱柱 的底面 是边长为 2 的正三角形，侧棱 ， 为 的中点， 为 的中点． （1）建立适当的空间直角坐标系，写出的坐标，并用中点坐标公式求点的坐标； （2）求直线与底面所成角的大小； （3）求平面和平面所成角的余弦值． 【答案】（1）以的中点为原点，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，过点且平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系. ，，，，，； ，. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）以的中点为原点，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，过点且平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系，然后写出各点坐标. （2）求得直线的方向向量和平面的法向量，然后用向量法求得所成角的正弦值，继而得到线面角的大小. （3）分别求出平面和平面的法向量，然后用向量法求得夹角的余弦值. 【小问1详解】 以的中点为原点，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，过点且平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系. ，，，，，； ，. 【小问2详解】 易得平面的法向量为，. 记直线与平面所成的角为， 则. 又，，即直线与平面所成的角为. 【小问3详解】 ，，， 记平面的法向量为， 则，令，则. . 同理可求得平面的一个法向量为. 记平面角 和平面所成角为， 则. 所以平面角 和平面所成角的余弦值为. 18. 如图，正四面体的棱长为2，记，，，取 为空间的一组基底． （1）用这组基底表示与（为的中点）；求，并由此求异面直线与所成的角； （2）设为在平面上的射影，用基底表示，并求点到平面的距离及直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）；；； （2）；； 【解析】 【分析】（1）先用基底分别表示，与，再求，利用向量的夹角公式求异面直线与所成角； （2）用基底表示，求出，借助于直角三角形即可求得直线与平面所成角. 【小问1详解】 由图知，，，， 则， 则异面直线与所成的角为； 【小问2详解】 因 ； 则 ， ，则， 所以点到平面的距离为， 直线与平面所成角为，则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 19. 如图1，在四边形中，点位于两侧，且，，．将沿折起，点到达点 的位置（如图2），记二面角 的大小为 （）． （1）建立适当的空间直角坐标系；当 时，求 线段 的长，并证明 ； （2）用 表示点 的坐标，并求 关于 的表达式； （3）在折叠过程中，求点 到平面 的距离的最大值，并求出此时 的大小． 【答案】（1）证明：因为，，，所以，，所以四边形是正方形，连接，交于点， 则，，， 由翻折的性质得， 因为平面平面，，， 且平面，平面， 所以即为二面角的平面角，即， 以为轴，为轴，垂直于平面的方向为轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，， 当时，即， 则，又因为，平面且， 所以平面，所以此时点在轴，则点坐标为， ， 且，所以. （2）点坐标为；. （3）点到平面的距离的最大值为，此时. 【解析】 【分析】（1）证明四边形是正方形，连接，交于点，得到，，以为轴，为轴，垂直于平面的方向为轴，建立如图所示空间直角坐标系，证明，当时，点在轴，即可求出点的坐标，根据两点间的距离公式即可算出的长度，再通过计算，即可证明； （2）由翻折的性质可得点在平面上，且轨迹是以点为圆心，半径为的一个半圆，即可得出点坐标，根据两点间距离公式即可表示出； （3）设点到平面的距离为，易得平面的一个法向量，由（2）得的坐标表达，根据点到平面距离公式可以得出，根据三角函数的性质即可求出点到平面的距离的最大值及此时的大小. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 由翻折的性质可得点在平面上，且轨迹是以点为圆心，半径为的一个半圆， 故点坐标为， 则. 【小问3详解】 设点到平面的距离为， 易得平面的一个法向量， 因为， 所以， 根据三角函数的性质可得，当时，有， 故点到平面的距离的最大值为，此时. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $