精品解析：贵州遵义市第十四中学2026-2027学年上学期第一次检测高二数学试题

高二数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，， 所以. 2. 若向量，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量的数量积的坐标表示求，判断C,D，结合向量垂直的坐标表示判断A，由向量平行的坐标表示判断B. 【详解】因为，， 所以，所以C错误，D错误，A正确， 令，即，该方程无实数解，故，不平行，B错误. 3. 方程的复数根为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】对于实系数一元二次方程，本题中，，， 首先计算判别式：. 由求根公式，方程的复数根为： . 4. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】，， ，函数单调递减，故， 综上可得，． 5. 若数据4，5，6，，的众数为4，70%分位数为6，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据众数的定义明确，中至少一个为4且4是唯一众数，再结合分位数的计算规则确定另一未知数的取值范围，最终推导x+y的取值范围. 【详解】因为数据众数为4， 所以，中至少有一个为4，且5、6的出现次数最多为1， 即，中不能额外出现5或6， 又因为数据总个数，计算分位数位置，因不是整数，向上取整得4， 即数据从小到大排序后第4项为70%分位数，所以第四项为6， 假设， 另一数为，此时5个数据为，，，，，排序后分情况讨论： 若，排序后第4项为5，不符合分位数为6的要求； 若，则排序后第4项为，则此时，不符题意，舍去； 若，排序后第4项为6，符合题意， 因此，， 即的取值范围为. 6. 已知杯体内腔高度为，杯底内壁直径为，上口内壁直径为的圆台形水杯装满了水.将该水杯中的水全部倒入杯体内腔高度为，杯底内壁直径为的圆柱形水杯中，若忽略圆柱形水杯底座的厚度，则（ ） A. 圆柱形水杯中的水溢出 B. 圆柱形水杯中的水没有溢出，且该水杯中水面的高度为 C. 圆柱形水杯中的水没有溢出，且该水杯中水面的高度为 D. 圆柱形水杯中的水没有溢出，且该水杯中水面的高度为 【答案】B 【解析】 【分析】先计算圆台形水杯中水的体积，再结合圆柱形水杯的底面积求出水面高度，与圆柱水杯高度对比判断结果. 【详解】水的体积等于圆台形水杯的容积，圆台体积公式为，其中圆台高度，下底半径，上底半径， 代入得： . 圆柱形水杯的底面积：.倒入圆柱后水面高度：， 已知圆柱形水杯高度为，，故水没有溢出，水面高度为. 7. 在正方体中，，分别为，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】法一：设正方体的棱长为2，取的中点为，连接、. 因为是的​中点，是的中点，可得平行且等于. 在正方体中，平行且等于，故平行且等于，四边形为平行四边形，所以. 由异面直线夹角定义可知，（或其补角）就是异面直线与所成的角. 计算的三边： ​，，. 由余弦定理得，因为，是锐角，满足异面夹角范围. 因此异面直线与所成角的余弦值为. 法二：设正方体的棱长为2，以为坐标原点，分别以的方向为、、轴正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，，所以异面直线与的方向向量分别为，. 故，， . 设异面直线与所成角为，，根据异面直线所成角的向量公式得. 8. 已知点，，点在轴正半轴上运动，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将表示为两个直角三角形锐角的差，用两角差正切公式写出表达式，再借助基本不等式求分式函数的最大值． 【详解】设点，记， ，， ， 则， 由基本不等式，， 故，当且仅当时等号成立． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，，，则（ ） A. B. 当为实数时， C. 当的共轭复数为时， D. 当在复平面内对应的点位于第四象限时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据复数的模长计算、共轭复数的定义、复数的加法运算及复数的几何意义，结合相关性质逐一判断各选项即可. 【详解】 选项A：根据复数模长公式得，该选项正确， 选项B：，复数为实数时虚部为0，即，得，该选项错误， 选项C：，若，对应系数相等得，该选项正确， 选项D：在复平面内对应点的坐标为，第四象限的点满足虚部（纵坐标）小于0，即，解得，该选项正确. 10. 一个不透明的袋子中装有大小和质地均相同的5个球，其中有编号为1，2，3的3个红球，编号为4，5的2个白球，从袋中一次性随机摸出2个球，分别记录编号为，.设事件“2个球的颜色不同”，“2个球的颜色相同”，“”，“”，则（ ） A. 和互为对立 B. 和互斥 C. 和互斥 D. 和相互独立 【答案】AC 【解析】 【分析】事件A包含的基本事件为，事件B包含的基本事件为，事件C包含的基本事件为，事件D包含的基本事件为，根据对立事件、互斥事件及独立事件的概念判断. 【详解】从袋中一次性随机摸出2个球包含的基本事件共种，事件A包含的基本事件共种，概率为，事件B包含的基本事件共种，概率为，，所以和互为对立事件，A选项正确； 事件A包含的基本事件为， 事件C包含的基本事件为， 事件A与事件C有公共基本事件，所以和不是互斥事件，B选项错误； 事件B包含的基本事件为，事件B与事件C没有公共基本事件，C选项正确； 事件D包含的基本事件为，概率为， 事件A与事件D有公共基本事件，， 所以和不是相互独立事件，D选项错误. 11. 在中，，的角平分线交于点，为的重心，点在线段上，且，，则（ ） A. B. 是等腰三角形 C. 是钝角三角形 D. 的面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据的角平分线,由面积关系可得 ，为的重心，且，，可得，选项AB可得；根据余弦定理，求底角的余弦值，选项C可证明；根据面积公式，选项D可得. 【详解】 在中，，的角平分线交于点， 设边上的高为， 即： ，则，， 为的重心，为边中点，点在线段上，且， ， 即： 即：，选项B正确； ,选项A正确； 设，则 根据余弦定理 所以是锐角三角形，选项C错误； ，选项D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. ________. 【答案】 【解析】 【详解】. 13. 一艘渔船从码头处出发，沿正南方向航行了后到达处进行捕捞作业，然后从处出发，沿北偏东的方向航行了一段距离后到达处进行捕捞作业，最后从处出发，沿北偏西的方向航行了一段距离回到处，则处与处之间的距离为________km.（参考数据：取，） 【答案】 16 【解析】 【详解】 由题意得，，结合方位角可得， ， 在中，由正弦定理， ， 代入，，得 ， 处与处之间的距离为. 14. 如图，将边长为的正六边形纸片的六个角各切去一个全等的四边形（阴影部分），再沿虚线折起，做成一个无盖正六棱柱形容器，且该容器的12个顶点均在球的球面上，当球的表面积取得最小值时，该正六棱柱形容器的高为_______． 【答案】 【解析】 【分析】先设正六棱柱的高为，结合原正六边形内角为的几何特征，推导出正六棱柱底面正六边形的外接圆半径为，再利用正六棱柱的对称性得到其外接球半径的平方表达式，将该式整理为关于的二次函数，通过求二次函数的最小值点，最终得到外接球表面积最小时对应的正六棱柱高. 【详解】原正六边形边长为，正六边形内角为. 切去全等四边形后折为无盖正六棱柱，设正六棱柱的高为， 则切去的四边形中，切去的水平段长度为. 由此可得正六棱柱的底面正六边形边长为： ， 正六棱柱的个顶点都在球上，正六棱柱上下底面是全等的正六边形，外接球的球心必然在正六棱柱上下底面中心连线的中点处， 底面正六边形的外接圆半径等于其边长，设球半径为， 由勾股定理得：， 而函数开口向上，对称轴为， 则时，取得最小值， 而球的表面积，则球的表面积取得最小值时，， 则正六棱柱形容器的高为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的图象关于直线对称. （1）求； （2）将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，求的单调递增区间. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合正弦函数的对称轴可得即可求解；（2）根据图象的平移可得，结合正弦函数的单调增区间即可求解. 【小问1详解】 因为函数的图象关于直线对称， 所以，解得：， 因为，令，解得： 【小问2详解】 由题可得， 令， 解得：， 所以的单调递增区间为 16. 如图，在长方体中，，. （1）证明：平面. （2）求点到平面的距离. 【答案】（1）因为是长方体，所以上下底面平行且全等，对应边互相平行，故 又因为平面，平面，所以平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）利用长方体的结构特征得到，再结合线面平行的判定定理即可证得结论； （2）利用等体积法建立关于距离的方程，分别求出底面和的面积代入求解. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 设点到平面的距离为, 由题意知，在长方体中，，,所以，, 因为平面，平面 ，所以, 在中，, 同理，平面 ，平面 ，所以, 在中，， 在中，， 在中，因为 ，， 取的中点，连接，则，且， 在中，， 所以， 在中，，所以， 因为平面，所以， 又因为，所以， 即，解得. 所以点到平面的距离为. 17. 已知的内角，，的对边分别为，，，且. （1）求； （2）若外接圆的半径为，且的周长为8，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化简可得，化简即可求解； （2）利用正弦定理可得，结合余弦定理化简可得即可求解. 【小问1详解】 因为.，由正弦定理可得. 因为在中，， 所以， 则， 因为， 所以，即， 所以，故 【小问2详解】 外接圆的半径为，由正弦定理可得， 所以， 因为的周长为8，所以， 由余弦定理可得：， 化简可得：， 解得：， 所以 18. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，底面，，，分别为线段，的中点，且. （1）证明：平面. （2）已知，分别为线段，上的点，且，. （i）证明：平面平面. （ii）求二面角的正切值. 【答案】（1）因为分别为的中点，由三角形中位线定理得,因为底面是菱形，所以，, 又已知，由得 所以菱形是正方形,因为底面，底面 ，所以 又，且， 平面，所以 结合，所以 （2）(i)由（1）知，且已知，所以，因为底面是菱形，且，所以四边形是正方形， 在平面内，因为，所以是直角三角形， 已知，在中，， 因为是的中点，所以，且平分，即， 在中，已知，，， 由余弦定理得： 所以， 在中，已知，，， 由余弦定理得： 所以， 在中，因为，所以， 所以 在中，因为， 所以由勾股定理逆定理得， 因为平面，平面 ，平面 ， 所以，， 所以是二面角的平面角， 因为，即，所以平面平面. （ii）. 【解析】 【分析】（1）利用中位线定理得，结合已知条件推出，从而证明底面是正方形，再证平面，由平行关系得证； （2）（i）先由已知垂直关系推导出底面为正方形，并在 中利用余弦定理证得；结合（1）的平面得到且，利用线面垂直证明面面垂直； (ii)利用（1）的线面垂直关系，证明点是点在平面上的射影，确定为的射影三角形；分别计算这两个三角形的面积，利用面积射影定理求出二面角的余弦值，进而求得正切值. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 （i）略； (ii)由（i）知 平面，所以, 在中，，，, 因为平面，所以平面平面，且交线为, 在平面内，过点作于点, 因为平面，平面,所以，所以点与点重合, 所以平面, 所以是在平面上的射影, 设二面角的大小为，由面积射影定理得, 在中，，，, 取中点，连接，则,, , 所以, 因为为锐角，所以,所以. 所以二面角 的正切值为. 19. 在中，，，． （1）求的大小． （2）设，是边上的两个动点（不含端点）． （i）若平分，求； （ii）若，求面积的最小值． 【答案】（1） （2） （i）（ii） 【解析】 【分析】（1）结合特殊角的函数值，由余弦定理求解即可； （2）（i）由平分，再由三角形的面积公式求解的面积，再由即可求解； （ii）由正弦定理求解的面积，即，再由诱导公式以及三角函数的性质即可求解. 【小问1详解】 在中，由余弦定理可得． 因为，所以． 【小问2详解】 （ⅰ）因为平分，所以． 的面积， 的面积， 的面积． 由，可得，解得． （ⅱ）在中，， 由，，，， 得，． 设．在中，由正弦定理可得， 得， 同理可得， 则的面积． 因为，所以， 则 ． 因为，所以，则， 当时，取得最大值1，则， 从而面积的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若向量，，则（ ） A. B. C. D. 3. 方程的复数根为（ ） A. B. C. D. 4. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 若数据4，5，6，，的众数为4，70%分位数为6，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知杯体内腔高度为，杯底内壁直径为，上口内壁直径为的圆台形水杯装满了水.将该水杯中的水全部倒入杯体内腔高度为，杯底内壁直径为的圆柱形水杯中，若忽略圆柱形水杯底座的厚度，则（ ） A. 圆柱形水杯中的水溢出 B. 圆柱形水杯中的水没有溢出，且该水杯中水面的高度为 C. 圆柱形水杯中的水没有溢出，且该水杯中水面的高度为 D. 圆柱形水杯中的水没有溢出，且该水杯中水面的高度为 7. 在正方体中，，分别为，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点，，点在轴正半轴上运动，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，，，则（ ） A. B. 当为实数时， C. 当的共轭复数为时， D. 当在复平面内对应的点位于第四象限时， 10. 一个不透明的袋子中装有大小和质地均相同的5个球，其中有编号为1，2，3的3个红球，编号为4，5的2个白球，从袋中一次性随机摸出2个球，分别记录编号为，.设事件“2个球的颜色不同”，“2个球的颜色相同”，“”，“”，则（ ） A. 和互为对立 B. 和互斥 C. 和互斥 D. 和相互独立 11. 在中，，的角平分线交于点，为的重心，点在线段上，且，，则（ ） A. B. 是等腰三角形 C. 是钝角三角形 D. 的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. ________. 13. 一艘渔船从码头处出发，沿正南方向航行了后到达处进行捕捞作业，然后从处出发，沿北偏东的方向航行了一段距离后到达处进行捕捞作业，最后从处出发，沿北偏西的方向航行了一段距离回到处，则处与处之间的距离为________km.（参考数据：取，） 14. 如图，将边长为的正六边形纸片的六个角各切去一个全等的四边形（阴影部分），再沿虚线折起，做成一个无盖正六棱柱形容器，且该容器的12个顶点均在球的球面上，当球的表面积取得最小值时，该正六棱柱形容器的高为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的图象关于直线对称. （1）求； （2）将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，求的单调递增区间. 16. 如图，在长方体中，，. （1）证明：平面. （2）求点到平面的距离. 17. 已知的内角，，的对边分别为，，，且. （1）求； （2）若外接圆的半径为，且的周长为8，求. 18. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，底面，，，分别为线段，的中点，且. （1）证明：平面. （2）已知，分别为线段，上的点，且，. （i）证明：平面平面. （ii）求二面角的正切值. 19. 在中，，，． （1）求的大小． （2）设，是边上的两个动点（不含端点）． （i）若平分，求； （ii）若，求面积的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $